必修二数学直线与平面的位置关系

必修二数学直线与平面的位置关系

一、直线与平面平行的判定与性质

【知识要点】

1. 直线与平面的位置关系:

(1)直线与平面相交:有且只有一个公共点.记作:A a =⋂α; (2)直线在平面内:有无数公共点,记作α⊂a ; (3)直线和平面平行:没有公共点.记作: a ∥α.

2. 直线和平面平行

(1)判定定理:如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行(线线平行,线面平行). 符号表示：ααα////,,a b a b a ⇒⊂⊄.

(2)性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行(线面平行, 线线平行).符号表示：l a l a a //,,//⇒=⋂⊂βαβα.

【基础训练】

1. 如果△ABC 的三个顶点到平面α的距离相等且不为零，那么△ABC 的( )

A 、三边均与α平行

B 、三边中至少有一边与α平行

C 、三边中至多有一边与α平行

D 、三边中至多有两边与α平行

2. 对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是( ) A.若,,m m n α⊥⊥则n α∥ B.若m αα∥,n ∥,则m ∥n C.若,m n αα⊂∥,则m ∥n

D.若m ∥n ，则m 、n 与α所成的

角相等

3. P 是ABC ∆所在平面外一点，D 、E 分别是PAB ∆、PBC ∆重心，AC=a ，则DE 的长

为 。 4.

5. 平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在α和β间的两条线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，则

EF 与α的关系是（ ） A ．平行

B ．相交

C ．垂直

D ．不能确定

a b

M N

A

B

C D N M

D 1C 1B A 1D C

B

A P

Q 【典例精析】

例1．【判定】在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在AB 上，Q 在B 1C 1上，且AP ＝B 1Q ，N 是PQ 的中点，M 是正方形ABB 1A 1的中心．求证：(1)//MN 平面1111D C B A ； ⑵∥A 1C 1．

例2．【性质】如图所示，a 、b 是异面直线，A 、C 与B 、D 分别a 、b 上的两点，直线a //

平面α，直线b//平面α，M AB =α ，N CD =α ，若BM AM =，求证：DN CN =。

例3．【选讲】如右图所示直线EH AB //，直线HG CD //，且直线AB 与CD 异面垂直，

2==AB CD 。

（1）证明：四边形EFGH 是矩形。

（2）求E 点在何处时可使四边形EFGH 面积最大。

二、直线和平面垂直的判定与性质

【知识要点】

αP

B

A

C O

D

C

B

A

C1A1D1F (1)定义: 若一条直线a 与一个平面α内的任意一条直线垂直,则称直线a 垂直于平面

α.

(2) 判定定理:若直线a 与一个平面α内的两条相交直线垂直, 则直线a 垂直于平面α. 符号表示：ααα⊥⇒=⋂⊂⊂⊥⊥a P n m n m n a m a ,,,,。 (3) 性质定理:如果两条直线垂直于同一平面,那么这两条直线平行. 符号表示：b a b a //,⇒⊥⊥αα。

【基础训练】

1. 直线l 与平面α内的两条直线都垂直，则直线l 与平面α的位置关系是 （ ） A.平行 B.垂直 C.在平面α内 D.无法确定

2. 已知三条相交于一点的线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且A 、B 、C 在同一平面内，P 在平

面ABC 外，PH ⊥平面ABC 于H ，则垂足H 是ABC ∆的（ ）

A.外心

B.内心

C.垂心

D.重心 3. 如图，定点A 和B 都在平面α内，定点α∉P ，α⊥PB ，C 是α内异于A 和B 的动点，

且AC PC ⊥。那么，动点C 在平面α内的轨迹（ ）

A.一条线段，但要去掉两个点

B.一个圆，但要去掉两个点

C.一个椭圆，但要去掉两个点

D.半圆，但要去掉两个点

【典例精析】

例1．【判定】在正方体1111D C B A ABCD -中，O 为底面ABCD 的中心，F 为1CC 的中点，求证：

⊥O A 1平面BDF 。

例2．【判定】空间四边形ABCD 中，若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，求证：AC ⊥BD 。

点拨：异面直线垂直的证明（转化为“线面垂直”⇒“线线垂直”）

D

A

B

C

A1

C1

D1

F

E 例3．【性质】在正方体1111D C B A ABCD -中，E

F ,分别为D A 1，AC 上的点，

且 EF ⊥D A 1，EF ⊥AC .求证：EF //1BD

三、斜线与平面所成的角 【知识要点】

1. 定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的角叫做这条斜线与平面所成的角。

2. 范围：(1)当直线与平面垂直时, 直线与平面所成的角为 90. (2)当直线平行于平面时，规定直线与平面所成的角为 0

(3)直线与平面所成的角的范围是[]

90.0

【基础训练】

1．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ）

A.[0º，90º]

B.（0º，90º）

C.[0º，180º]

D.[0º，180º)

2．已知四棱锥ABCD P -，四条侧棱相等均为10，底面是矩形，且8=AB ，6=BC ，则侧棱与底面所成的角的大小为 。 3．

4．已知正方体''''D C B A ABCD -，O 是底面ABCD 的中心，则直线O C '与平面''A ABB 所成的角的正切值为 。

【典例精析】

例1．已知平面α外两点A 、B 到平面α的距离分别为1和2，A 、B 两点在

α内的射影之间的距离为3，则直线AB 和平面α所成角的大小为 。

例2．如图,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD =AD .

求证：（1）AC ⊥PB ；

（2）求PC 与平面PBD 所成的角；