二次函数中的存在性问题作业及答案

二次函数中的存在性问题（作业）

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，

B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求直线AC的解析式及B，D两点的坐标；

（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2.如图，已知二次函数1(2)(1320)48

y x x =

+-的图象过点A (-4，3)，B (4，4)，交x 轴于C 、D 两点．（1）求证：△ACB 是直角三角形；

（2）若点P 是x 轴上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，是否存在以P 、H 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．

3.如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x =-与抛物线

2

543412+--=x x y 交于A 、B 两点，点A 在x 轴上．若点P 是直线AB 上方抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），设点P 的横坐标为m ，连接PA ，以PA 为边作图示一侧的正方形APFG ．随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F 或G 恰好落在y 轴上时，请写出对应的点P 的坐标．

4.在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++与x 轴的两个

交点分别为A (-3，0)，B (1，0)，过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H ．

（1）直接填写：a =，b =，顶点C 的坐标为；（2）若点P 是x 轴上方抛物线上的一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标．

【参考答案】

1．解：（1）由抛物线解析式y=-x2+2x+3

可得：A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)，D(1，4)，

再由A、C两点坐标，可得直线AC的解析式为：y=3x+3

（2）由题意可得：PQ∥AC且PQ=AC，

①如图1，当点Q在点P上方时，过点Q作QE⊥x轴于点E，可证△PEQ≌△AOC

∴QE=OC=3

故令y=-x2+2x+3=3，解得：x1=0(舍去)，x2=2

故Q1(2，3)

②如图2，当点Q 在点P 下方时，同①过点Q 作QE ⊥x 轴于点E ，可证△PEQ ≌△AOC

∴QE =OC =3

故令y =-x 2+2x +3=-3，解得：1=1+7x ，2=17

x -故2(1+73)Q -，，3(173)

Q --，综上，Q 点的坐标为Q 1(2，3)、2(1+73)Q -，，3(173)

Q --，2．(1)证明：由抛物线的表达式1(2)(1320)48

y x x =+-，可得：C (-2，0)，D 20(0)13

，，如图1，

过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为E 、F ，则AE =3，EC =2，CF =6，BF =4∵12

AE EC CF BF ==且∠AEC =∠BFC =90°∴△AEC ∽△CFB

∴∠ACE =∠CBF

∴∠ACE +∠BCF =∠CBF +∠BCF =90°

∴∠ACB =90°

即△ACB 是直角三角形

（2）由题意得：1(,(2)(1320))48

P m m m +-，(,0)H m 在Rt △ACB 中，由（1）可知：12

AC CB =，故△PHD 也是直角边的比为1:2的直角三角形，

①如图2，当点P 在第二象限抛物线上，即m ＜-2时，∴1(2)(1320)48PH m m =+-，201=(2013)1313

DH m m =--i ）12PH DH =解得：150=13

m -

ii ）2PH DH =解得：2122=13

m -②如图3，当点P 在第一象限抛物线上，即m ＞2013

时，∴1(2)(1320)48PH m m =+-，201=(1320)1313

DH m m =--i ）12PH DH =解得：32=13

m -（舍去）ii ）2PH DH =解得：470=13

m 综上，50=13m -，122=13m -或70=13

m 时满足条件. 3.解：由23342135

442y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩

可得，A (-8,152-),B (2,0).则－8＜m ＜2.

1当G 点在y 轴上时，此时，如图1

过点A 作CD ∥y 轴，过点P ，G 分别作x 轴的平行线交CD 于D 、C 两点

∵PA AG PAD AGC D C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩

∴△PAD ≌△AGC

∴AD =CG =2，

则点P 在y =2这条直线上

由2135=2442x x --+可求得，1231731722x x +=

=－－－，.∴P 1(

3172+－，2),P 2(3172－－，2)2当F 点在y 轴上时，此时，如图2

过点A 作AH ∥y 轴，过点P 作x 轴的平行线，交AH 于H 点,交y 轴于点E .

此时△PAH ≌△FPE

∴EP =AH =m ，即P （m ，m ）

P 在抛物线上，将P （m ，m ）代入抛物线解析式可得由2135442m m m --+=可求得，1278978922

m m +=

=－－－，.又∵-8＜m ＜2，