数学直觉思维的应用举例

数学直觉思维的应用举例

数学直觉思维是具有意识的人脑对数学对象的某种直接的领悟和洞察。它是一种深层次的心理活动，这是从心理学的角度来说，而通俗点说，直觉没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考背景。

在数学教学过程中，老师过于把证明过程分的严格化、程序化。学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳，直觉的光环被掩盖了，学生内在潜能没有被激发出来，学习的兴趣没有被调动起来，得不到思维的真正乐趣。《中国青年报》曾报道：“约30%的初中学生学习了平面几何推理之后，丧失了对数学学习的兴趣”。这种现象应该引起数学教育者的反思。

直觉思维和逻辑思维同等重要，直觉思维是逻辑思维的方向。在数学教学中，既要注重逻辑思维的培养，也要重视直觉思维的培养，偏离任何一方都会制约一个人的思维能力的发展，不符合新课标的课程理念。依思斯图尔特曾经说过这样一句话：“数学的全部力量就是在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑。”受控制的精神和富有灵感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。

本文，笔者主要谈一下数学直觉在中学数学教学中的应用。

（1）直觉猜想，严密论证

在数学研究（包括中学数学的学习）里面，先猜想后论证，几乎是一条规律。人们在解一道数学难题或证明一个数学定理之前，往往先对解题结果或定理结论作一种大致的估量或猜测，然后再作出解答或详细证明。

例1 设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外一动点，当点A运动到使∠BAP=∠CAD时，△ABC是什么三角形？为什么？

解析：根据已知条件：“BP=CQ,∠BAP=∠CAQ” ，无法用三段论法推知结论，必须用直觉来体会，凭直觉可猜测AB=AC，即△ABC是等腰三角形。这种猜测，理由是不是充分？结论是不是可靠？作出以下证明；

∵S△ABP=S△ACQ，∴=1

∴==1∴AB?BP=AC?AQ——（1）

同理，∵S△BAQ=S△CAP∴AB?AQ=AC?AP——（2）

由（1）×（2）得AB2=AC2，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形。

分析上述解题过程中可知，直觉猜想对发现解题思路，起了重要的作用。

（2）直觉洞察，科学预见

数学直觉能力，取决于人们在数学研究中的直觉洞察力。直觉洞察题中各已知条件之间的关系，然后再预见解题的方法和途径。而不是直接进行有关运算或证明。

例2 已知y=2x3+-1，求arctan y的值。

解析：如果不假思索，直接进行反三角函数的运算是无效果的，为了“有效地推导”，必须进行直觉洞察，有眼力的学生观察已知条件，考虑到偶次根式被开方数不小于零和ex＞0，就可发现题设隐含的条件：arcsinx-≥0，再考虑到反正弦函数的值域：arcsinx-≥0。本题就不难解决了。

上面的例题就是要求我们应用直觉洞察力作出以下的科学预见：

（1）不能直接进行反三角函数的运算；

（2）应该注意偶次根式被开方数的性质；

（3）必须考虑反正弦函数的值域；

（4）先求x的值，再求y的值，最后求arctan y的值。

（3）审美直觉，把握实质

从“繁杂”中区分出简洁明了的、实质性的东西，从而发现解题途径是数学直觉思维的魅力之所在。

例3 已知三正数x2y2z满足x+y+z=1，试求函数f（x2y2z）=（1+）（1+）（1+）的最小值。

解析：直接求最小值，无从下手，但根据x2y2z在条件中“平等”的地位及函数f（x2y2z）中，各变量的对称性，由审美直觉，可以猜测：当时，函数取得最小值64。只需要进一步检验猜测的结果的正确性，即证明不等式：（1+）（1+）（1+）≥64.問题转化了，难度也随之降低。

事实上，1+=1+=2+≥2+2≥4，同理，1+≥4，1+≥4，将上述三式两边分别相乘便得到要证的不等式。

上例中，变量在条件和结论中的对称性，无区别性，对审美直觉起着重要的作用。审美直觉对于发现问题的结果及解题途径有机器重要的意义。有些数学问题的解决，往往可以从审美直觉中获得某种直觉猜测，然后再进行逻辑证明。