历校内竞赛题之初等模型
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评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
例子2 分蛋糕问题
妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的 蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点 对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下 的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给 你。哥哥利问题用归高结等为数如学下知一识道证解明决题了：这个问题，
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
地面为连续曲面
f() , g()是连续函数
椅子在任意位置 至少三只脚着地
对任意, f(), g()
至少一个为0
数学 问题
已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
n
，经过时间t后，细菌的总数是
lim
n
A0
1
k
t n
n
A0ekt
设细菌的总数为y,则所求的数学模型为：
y A0ekt
海报设计问题
现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为 128平方分米，上下空白个2分米，两边空白个1分米，如何 确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？
s 这2个x 问4题y可用4求一2 元函2数x 最值4 的12方8法解8决 最小 x
• 若行驶12km，停车等候5min,应付多少车费？ • 若行驶23.7km,停车等候7min，应付多少车费？
解（1）设车费为y元，其中行程车费为y1元，停车费为y2 元，行程为x km，x∈z+,停车时间为t min，t ∈z+,则
10
y1 10 x 41.6
10 x 5 2.4 15 41.6
y2
0.8
t 2.5
0x4 4 x 15 15 x
数学模型为
10
y y1 y2 10 x 41.6 10 x 52.4 15 41.6
0x4
4 x 15 15 x
0.8 2t.5
计算起来很简单。
1.2极限问题中的初等模型 1.3最值问题中的初等模型 1.4积分问题中的初等模型
1.1 生活中的问题
例子wk.baidu.com 椅子能在不平的地面上放稳吗
问题分析 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚
模 连线呈正方形; 型 假 • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 设 曲面;
• 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
你知已道知他平用面的上是一条什没么有办交法叉吗点？的
封闭曲线，P是曲线所围图形上 任一点，求证：一定存在一条过 P的直线，将这图形的面积二等 分。
若S1≠ S2 不妨设S1＞S2
S1 P P S2
l ?
(此时l与x轴正向的夹角记为 0)
以点P为旋转中心，将l按逆时 针方向旋转，面积S1，S2就连 续依赖于角 的变化，记为
S1 , S2
令： f S1 S2
而f 在 0,0上连续，且
f 0 S1 0 S2 0 0
只证明了直线的存在性
f 0 S1 0 S2 0 0 你能找到它么？
由零点定理得证。
例子3 出租车收费问题
某城市出租汽车收费情况如下：起价10元（4km以内），行 程不足15km，大于等于4km部分，每公里车费1.6元；行程 大于等于15km部分，每公里车费2.4元。计程器每0.5km记 一次价。
• 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置
B
´
B
A´
• 四只脚着地 椅脚与地面距离为零
四个距离 (四只脚)
距离是的函数 C
正方形 对称性
两个距离
C´
A
O
x
D´ D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
细菌繁殖问题
某种细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时，与当时 已有的数量成正比，即，V=KA0(K>0为比例常数)。
1.建立细菌繁殖的数学模型。
2近.假似设数一据种。细天菌数的个数按指数细方菌式个增数长，下表是收集到的
5
936
求：开始时细菌个数可能是多少？若继续以现在的速度增长
下去，假定细1菌0 无死亡，60天2后19细0 菌的个数大概是多少？
由于细菌的繁殖时连续变化的，
在很短的时间内数量变化得很小，
繁殖速度可近似看做不变。
解:建立数学模型
将时间间隔t分成n等分，在第一段时间 内，细菌繁殖的数量
为段时间A末，01细在 k菌第nt 的一k2A数段0 n量时t 为间末细菌的；数以量此为类推，最，后同一样段A，0时1第间 k二末nt
细菌的数A0量1为k nt
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
例如，当行驶路程x（km）满足 12≤x<12.5时，按12.5km计价；当 12.5 ≤x<13时，按13km计价；
例如，等候时间t(min)满足 2.5≤t<5时，按2.5min计价收费0.8元； 当5≤t<25 ，按5min计价
请回答下列问题
• 假设行程都是整数公里，停车时间都是2.5min的整数倍， 请建立车费与行程的数学模型。
历校内竞赛题之初等模型
初等模型
生活中的问题 极限、最值、积分问题的初等模型 经济问题中的初等模型 线性代数模型 建模举例 重点:各种简单的初等模型 难点:简单初等模型的建立和求解
• 1.1 生活中的问题
• 1， 椅子能在不平的地面上放稳吗？
• 2， 分蛋糕问题
• 3， 出租车收费问题
• 4， 蚂蚁逃跑问题 • 1.2 极限问题中的初等模型 • 1.3 最值问题中的初等模型 • 1.4 积分问题中的初等模型 • 细菌繁殖问题 • 海报设计问题 • 工人上班效率问题 • 最大利润问题 • 商品的贮存费问题 • 车辆平均行驶速度问题
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
例子2 分蛋糕问题
妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的 蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点 对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下 的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给 你。哥哥利问题用归高结等为数如学下知一识道证解明决题了：这个问题，
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
地面为连续曲面
f() , g()是连续函数
椅子在任意位置 至少三只脚着地
对任意, f(), g()
至少一个为0
数学 问题
已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
n
，经过时间t后，细菌的总数是
lim
n
A0
1
k
t n
n
A0ekt
设细菌的总数为y,则所求的数学模型为：
y A0ekt
海报设计问题
现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为 128平方分米，上下空白个2分米，两边空白个1分米，如何 确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？
s 这2个x 问4题y可用4求一2 元函2数x 最值4 的12方8法解8决 最小 x
• 若行驶12km，停车等候5min,应付多少车费？ • 若行驶23.7km,停车等候7min，应付多少车费？
解（1）设车费为y元，其中行程车费为y1元，停车费为y2 元，行程为x km，x∈z+,停车时间为t min，t ∈z+,则
10
y1 10 x 41.6
10 x 5 2.4 15 41.6
y2
0.8
t 2.5
0x4 4 x 15 15 x
数学模型为
10
y y1 y2 10 x 41.6 10 x 52.4 15 41.6
0x4
4 x 15 15 x
0.8 2t.5
计算起来很简单。
1.2极限问题中的初等模型 1.3最值问题中的初等模型 1.4积分问题中的初等模型
1.1 生活中的问题
例子wk.baidu.com 椅子能在不平的地面上放稳吗
问题分析 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚
模 连线呈正方形; 型 假 • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 设 曲面;
• 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
你知已道知他平用面的上是一条什没么有办交法叉吗点？的
封闭曲线，P是曲线所围图形上 任一点，求证：一定存在一条过 P的直线，将这图形的面积二等 分。
若S1≠ S2 不妨设S1＞S2
S1 P P S2
l ?
(此时l与x轴正向的夹角记为 0)
以点P为旋转中心，将l按逆时 针方向旋转，面积S1，S2就连 续依赖于角 的变化，记为
S1 , S2
令： f S1 S2
而f 在 0,0上连续，且
f 0 S1 0 S2 0 0
只证明了直线的存在性
f 0 S1 0 S2 0 0 你能找到它么？
由零点定理得证。
例子3 出租车收费问题
某城市出租汽车收费情况如下：起价10元（4km以内），行 程不足15km，大于等于4km部分，每公里车费1.6元；行程 大于等于15km部分，每公里车费2.4元。计程器每0.5km记 一次价。
• 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置
B
´
B
A´
• 四只脚着地 椅脚与地面距离为零
四个距离 (四只脚)
距离是的函数 C
正方形 对称性
两个距离
C´
A
O
x
D´ D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
细菌繁殖问题
某种细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时，与当时 已有的数量成正比，即，V=KA0(K>0为比例常数)。
1.建立细菌繁殖的数学模型。
2近.假似设数一据种。细天菌数的个数按指数细方菌式个增数长，下表是收集到的
5
936
求：开始时细菌个数可能是多少？若继续以现在的速度增长
下去，假定细1菌0 无死亡，60天2后19细0 菌的个数大概是多少？
由于细菌的繁殖时连续变化的，
在很短的时间内数量变化得很小，
繁殖速度可近似看做不变。
解:建立数学模型
将时间间隔t分成n等分，在第一段时间 内，细菌繁殖的数量
为段时间A末，01细在 k菌第nt 的一k2A数段0 n量时t 为间末细菌的；数以量此为类推，最，后同一样段A，0时1第间 k二末nt
细菌的数A0量1为k nt
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
例如，当行驶路程x（km）满足 12≤x<12.5时，按12.5km计价；当 12.5 ≤x<13时，按13km计价；
例如，等候时间t(min)满足 2.5≤t<5时，按2.5min计价收费0.8元； 当5≤t<25 ，按5min计价
请回答下列问题
• 假设行程都是整数公里，停车时间都是2.5min的整数倍， 请建立车费与行程的数学模型。
历校内竞赛题之初等模型
初等模型
生活中的问题 极限、最值、积分问题的初等模型 经济问题中的初等模型 线性代数模型 建模举例 重点:各种简单的初等模型 难点:简单初等模型的建立和求解
• 1.1 生活中的问题
• 1， 椅子能在不平的地面上放稳吗？
• 2， 分蛋糕问题
• 3， 出租车收费问题
• 4， 蚂蚁逃跑问题 • 1.2 极限问题中的初等模型 • 1.3 最值问题中的初等模型 • 1.4 积分问题中的初等模型 • 细菌繁殖问题 • 海报设计问题 • 工人上班效率问题 • 最大利润问题 • 商品的贮存费问题 • 车辆平均行驶速度问题