探索两条直线平行的条件

3.如果直线a、b都和直线c平行，那么a、b就互相平行.( )

［生甲］第1句话是错的.只有在同一平面内的两条不相交的直线才是平行线.

(也可举例：如异面直线.学生只要说清即可).

［生乙］第2句话是错的.因为一条直线的平行线有无数条，只有经过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行.

［生丙］第3句是对的，它是平行线的一个性质.

［师］同学们分析得很好.下面我们来看一个生活中的实例

如图，装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角为多少度时，才能使木条a与木条b平行?

(同学们讨论)

［师］大家可以用课前裁好的线条在桌子上演示.

［生］木条a也与墙壁边缘垂直时，才能使木条a与木条b平行.

［师］大家经过讨论，得到了：若木条b与墙壁边缘垂直时，只有木条a也与墙壁边缘垂直时，才能使木条a与木条b平行.那么在同一平面内，两条直线除不相交外，还可能在什么情况下平行呢？这节课我们就来探索直线平行的条件.

新课讲授［师］大家拿出准备好的纸条，按如下方法来做一做

如图(1)所示，三根木条相交成∠1,∠2,固定木条b、c,转动木条a.

（1）（2）（3）（4）

图2－11

如图(2)，在木条a的转动过程中，观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系，你发现木条a与木条b的位置关系发生了什么变化？木条a何时与木条b平行？

改变图(1)中∠1的大小，按照上面的方式再做一做.∠1与∠2的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行？

［师］同学们先独立操作、观察，找出结论，然后前后四人讨论，得出结论.

(学生动手操作，然后交流，教师指导、巡视)

新课活动

［生甲］在转动木条a的过程中，看到∠1与∠2的大小关系为三种情况：大于、等于、小于；木条a与木条b的位置关系有两种情况：相交与平行；当∠1=∠2时，木条a与木条b平行.

［师］你们同意他的说法吗？

［生齐声］同意.

［师］好，这只是一种情况下得出的结论.如果改变∠1的大小，情况又如何呢？

［生乙］我们观察到的情况与甲同学说的一样.

［生丙］我注意到：只要∠2与∠1的大小相等，那么木条a、b就平行.

［师］是这样的吗？

［生齐声］是.

［师］好.由此可以看到：木条a、b的位置关系与∠1、∠2的大小关系密切相关，当∠1等于∠2时，木条a、b所在的直线就平行.那么∠1、∠2是什么样的角呢？

看图：

图2－12

直线AB、CD与直线l相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线l 所截)，构成八个角.∠1与∠2这两个角分别在直线CD、AB的上方，并且都在直线l的右侧，像这样具有位置相同的一对角称为同位角(corresponding angles),∠3与∠4也是同位角.

辨别同位角时要注意位置上的两个“同”字，在第三条直线的同旁，被截两直线的同方向.

下面大家看这个图中，还有没有其他的同位角呢？

［生甲］∠5与∠6是同位角.这两个角在直线l的右侧，又在直线CD、AB的下方.

［生乙］∠7与∠8是同位角.这两个角分别在直线CD、AB的下方，并且在直线l的左侧.

［师］很好，大家了解了同位角后，想一想刚才我们得到的：“当∠1=∠2时，木条a、b所在的直线平行”这个结论应该怎么叙述？

［生］从图中可知：∠1与∠2是同位角.所以可以这样说：同位角相等，两条直线平行.

［师］好，这样我们就得到直线平行的条件：同位角相等.即：平行线的判定：

同位角相等，两直线平行.

用几何符号表示：∠1=∠2→a∥b

在上学期，我们学过了利用移动三角尺的方法来画平行线，那现在大家来分组讨论讨论.

怎样用移动三角尺的方法画两条平行线？你能用这种方法过已知直

线外一点画它的平行线吗？请说出其中的道理.(课件——画平行线)

(学生分组操作、讨论)

［生甲］(学生一边操作，一边叙述).先画一条直线，用一个三角尺的一边与这条直线重合，然后把第二个三角尺紧靠第一个三角尺，第二个三角尺不动，移动第一个三角尺，这样就可以画出与已知直线平行的直线.

用这种方法可以作：过已知直线外一点画它的平行线.

(图如下：AB∥CD,点P在CD上.)

图2－13

［生乙］画直线CD与AB平行的过程中，实际上使用了一个三角尺的一边和另一个三角尺的一个角.一个三角尺不动，在另一个三角尺平移的过程中，那个角的大小不变，而且从一个位置平移到另一个位置，两个位置上的那个角构成了同位角关系.“同位角相等，两直线平行.”

［师］同学们分析得很好.在画已知直线的平行线时，实际就用到了“同位角相等，两直线平行”这个直线平行的条件.（参看课件——同位角相等，两直线平行）

好，下面大家动手画一画：过直线外一点画这条直线的平行线.

(学生动手操作，教师指导)

［师］好，同学们画得很好.接下来我们做练习，以巩固本节所学内容.

小结提升

本节课我们主要探讨了直线平行的条件：“同位角相等，两直线平行”.还认识了同位角，并且会用三角尺过已知直线外一点作这条直线的平行线.

到现在为止，我们就有了几种判定两直线平行的方法：小组讨论交流，人人讨论，人人发言总结所学判定方法：

(1)定义(不常用)

(2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.

(3)同位角相等，两直线平行.

课堂达标

已知如图2－16，直线AB、CD被MN所截，∠1=∠2，则直线AB与CD 的位置关系如何？还有没有其他的证明方法？

图2－16

［过程］让学生观察、思考、猜想、验证.培养学生初步的论证能力.假设AB与CD平行.则需要∠3=∠2,但∠1=∠3(对顶角相等)且∠1=∠2(已知)，所以∠3=∠2.这样猜想得以论证.其他的论证方法与前面一样，只是找的同位角不一样.在讨论过程中，要让学生找到其他的三对同位角，并可验证.