第6讲 空间几何体的结构学生

第6讲 空间几何体的结构
[玩前必备]
1．空间几何体
我们研究的空间几何体包括多面体和旋转体两类。

（1）多面体有平面图形围起来的几何体， （2）旋转体有平面图形旋转得到的几何体。

2．棱柱的定义及表示
棱柱ABCDE －A ′B ′C ′D ′E ′(或棱柱AC ′)
3.棱柱的分类
(1)按底面多边形的边数 棱柱⎩⎪⎨⎪⎧
三棱柱四棱柱五棱柱
……
(2)按侧棱与底面是否垂直
棱柱⎩⎪⎨⎪⎧
――――→侧棱与底面垂直直棱柱――――――→底面是正多边形正棱柱――――→侧棱与底面不垂直
斜棱柱
(3)特殊的四棱柱：平行六面体。

4．棱锥的定义及表示
棱锥S －ABCD (或棱锥S －AC )
5.棱锥的分类
(1)按底面多边形的边数 棱锥⎩⎪⎨⎪⎧
三棱锥四棱锥五棱锥
……
(2)特殊的棱锥
正棱锥⎩
⎪⎨⎪⎧
底面是正多边形，顶点在过底面中心，且与底面垂直的直线上
6.棱台的结构特征及分类
如图可记作：棱台ABC
7.圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征 (1)定义
⎭⎪⎬⎪⎫
圆柱圆锥圆台分别看作以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫矩形的一边直角三角形的一直角边直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫
矩形直角三角形直角梯形
分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体→这类几何体叫旋转体． (2)相关概念
①高：在轴上的这条边(或它的长度)． ②底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面． ③侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面． ④母线：绕轴旋转的边． (3)图形表示
8.球
（1）定义：一个球面可以看作半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体叫做球． （2）相关概念
球心：形成球的半圆的圆心；球的半径：连接球心和球面上一点的线段． 球的直径：连接球面上两点并且通过球心的线段． 球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆． 球的小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆．
两点的球面距离：在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，把这个弧长叫做两点的球面距离．
（3）球形表示
[玩转典例]
题型一棱柱、棱锥、棱台的有关概念
例1(1)下列命题中正确的是()
A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面
D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
(2)下列说法正确的序号是________．
①棱锥的侧面不一定是三角形；
②棱锥的各侧棱长一定相等；
③棱台的各侧棱的延长线交于一点；
④有两个面互相平行且相似，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台．
[题型练透]
1.下列命题：
①各侧面为矩形的棱柱是长方体；
②直四棱柱是长方体；
③侧棱与底面垂直的棱柱是直棱柱；
④各侧面是矩形的直四棱柱为正四棱柱．
其中正确的是________．(填序号)
2.下列命题：
①各个侧面是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；
②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
③棱锥的所有侧面可以都是直角三角形；
④四棱锥的侧面中最多有四个直角三角形；
⑤棱台的侧棱长都相等．
其中正确的命题有________．(填序号)
题型二旋转体的结构特征
例2 下列命题正确的是________．(填序号)
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；
⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；
⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．
[题型练透]
1．下列命题：
①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；
②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；
③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；
④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．
其中正确的个数为()
A．0 B．1 C．2 D．3
题型三简单几何体中的计算问题
例3 正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为23，求正三棱锥的高和斜高．
例4一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．
例5在球内有相距9 cm的两个平行截面面积分别为49π cm2和400π cm2，求此球的半径．
[题型练透]
1.已知正四棱台的上、下底面面积分别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长．
2.如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的底面半径．
3.湖面上浮着一个球，湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个直径为24 cm，深为8 cm的空穴，则球的半径为________ cm.
题型四几何体的展开图求最值
例6 如图，在侧棱长为23的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值．
[题型练透]
1. 如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为()
A．2 2 B．2 5 C．4 D．45
[玩转练习]
1．下面几何体中是棱柱的有()
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．下面多面体中有12条棱的是()
A．四棱柱B．四棱锥
C．五棱锥D．五棱柱
3．一棱柱有10个顶点，且所有侧棱长之和为100，则其侧棱长为()
A．10 B．20 C．5 D．15
4．有两个面平行的多面体不可能是()
A．棱柱B．棱锥
C．棱台D．以上都错
5．下列说法正确的是()
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱
6．如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是()
A．三棱锥B．四棱锥
C．三棱柱D．三棱台
7．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________．
8．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．
9．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________．
10．A，B，C是球面上三点，已知弦(连接球面上两点的线段)AB＝18 cm，BC＝24 cm，AC ＝30 cm，平面ABC与球心的距离恰好为球半径R的一半，求球的半径．
11．圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径与两底面面积之和．。