第1-2 流体静力学(1)
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A F
A
f
W Fx 2lx S
B
B
其中△S = 2l△x（有二面） ,是AB 向右移动过程中液面面积 的增量。外力克服分子间引力做功，液体表面能增加，若用 △E 表示表面能增量，则： E W E W S S S 表面张力系数在数值上等于增加单位液体表面积时，外力所 需做的功，或增加单位液体表面积时，所增加的表面能—— 比表面能；
2 附加压强：ps R
——球形液面附加压强公式
球形液面附加压强与表面张力系数成正比，与球面半径R成反比。 半径无限大时，附加压强等于零，这正是水平液面的情况。 适用于任何液面：球面、半球面、凹凸面，R是液面处的曲率半径；
2 凸液面：pi p0 R 2 凹液面：pi p0 R
10 8 m ——分子力是短程力 液体中紧邻分子间的间距为 ro，作用合力为零，而众多非紧邻 分子间距却大于ro，因此液体分子间的作用力是吸引力。
R为分子有效作用距离
r ro rR
f 0 f 0
引力起主要作用
分子作用球(约10-8 m)：在液体内 部P点任取一分子A ,以A为球心， 以分子有效作用距离为半径作一 球，称为分子作用球 。球外分子 对 A 无作用力，球内分子对 A 的 作用力对称分布，合力为零。
(4). 表面张力系数（定义一） 设想在液面上画一条直线 段，线段两侧液面均有收缩的 趋势，即 宏观上有表面张力作 用，该力与液面相切 , 与线段垂 直， 指向各自的一方 , 分别用 F 和 F′ 表示，这恰为一对作用力 与反作用力， F = -F′。
F
F
由于线段上各点均有表面张力作用 ,线段越长 ,则 表面张力越大。设线段长为l ,则：F = l 。
上的表面张力大小，单位：N / m 。
为表面张力系数，表示液体表面单位长度直线段
表面张力的方向：与液面相切，与线段垂直；
(5). 表面张力系数与表面能增量（定义二）
如图所示，铁丝框上挂有液膜，表面 张力系数为 ，将AB边无摩擦、匀速、 等温地右移△x，在AB边上加的力为： F =2 l （有二面），则在这个过程 中外力F 所做的功为:
在宏观上就表现为液体表面有收缩的趋势。
②从能量观点来分析
把分子从液体内部移到表面层，需克服 f⊥ 作功;
外力作功 , 分子势能增加 , 即 表面层内分子的势能 比液体内部分子的势能大，表面层为高势能区; 面能，用E 表示。
表面层内,各个分子势能增量的总和称为液体的表
• 任何系统的势能越小越稳定，所以表面层内的 分子有尽量挤入液体内部的趋势，即液面有收 缩的趋势，使液面呈紧张状态，宏观上就表现 为液体的表面张力。 • 体积一定, 球体的表面积最小;
叶面：疏水、不吸 水的表面，永遠保 持一塵不染。 荷花效应
大珠小珠落玉盘
神奇的水黾(mǐn ) 1、既不会划破水面，也不会浸湿自己 的腿。 2、它在水面上每秒钟可滑行100倍于 身体长度的距离，这相当于一位身高 1.8米的人以每小时400英里的速度游泳。 橄榄油滴浮在同 密度的水和酒精 的混合液体中， 油滴形成完美的 球形。
任何弯曲液面都对液体产生附加压强；
附加压强方向恒指向弯曲液面的曲率中心；
三、球形液面的附加压强---拉普拉斯公式
设有一半径为R的球形液滴，其表 面张力系数为 ，是 凸液面 ，则液 滴表面层内外的压强:
P内＝P外 ps
在液体表面，取微小球冠形液 体元，球冠的边缘线l存在表面张 力F，沿球冠表面切线方向。 由于球冠很小，忽略其重力。 l
第1章 流体力学
基本概念
流体：具有流动性的液体和气体；
基本内容 流体静力学 流体动力学
1.2 液体的表面现象 ——静止液体的力学性质
理解液体表面张力产生的微观本质; 掌握表面张力系数的两种定义; 掌握弯曲液面的附加压强的产生及计算(拉普拉斯公式); 掌握毛细管现象中的朱仑公式。
2）凹液面时，如图S周界上
表面张力的合力指向外部， S好象被拉出，液面内部压 强小于外部压强，使S受到 一向上的附加压强 ps ，由力 平衡条件，液面下压强：
f
P0 Ps
A B
S
P
f
PB＝P0 ps
※附加压强使得液体内部压强小于外部压强。
总之：附加压强使弯曲液面内外压强不等，与液面 曲率中心同侧的压强恒大于另一侧。
pB pA gh
二：附加压强的产生
f
A B
P0
S
f
1.平液面
P
大气压强为P0，取靠近液面的两点A,B；其中A 在液体外部，B在液体内部； 在液体表面上取一小面积△S ,由于液面水平， 表面张力沿水平方向， △S 平衡时其边界表面张 力相互抵消，△S 内外压强相等：
PB = PA＝ P0
1.2.2 液体的表面张力
一、表面张力
1.现象： (1). 液体表面有收缩到最小的趋势； (2).液面像紧绷的弹性薄膜。 说明：液面上存在沿表面的收缩力 作用，这种力只存在于液体表面。 2.表面张力 (1)表面层：在液体与气体交界面，厚度等于分子有效作用距离 (=10-8 m) 的一层液体。
(2)表面张力：液体的表面层中有一种使液面尽可能收缩成最小 的宏观张力。
与相邻物质化学性质有关：同一液体与不同物质交界， 值不同。 与温度有关：温度升高， 值减小。
与液体内所含杂质有关：在液体内加入杂质，液体的 表面张力系数将显著改变，有的使其 值增加；有的 使其值减小。使值减小的物质称为表面活性物质。
表面活性物质——了解(相关化学领域)
表面活性物质在农药、医药、冶金、石油、民用洗涤、食品等各领域 得到广泛的应用。 肥皂就是最常见的表面活性物质。肥皂水的表面张力系数约为 40103N/m，是纯水的一半。一般说来，醇、酸、醛、酮等有机物质大都是 表面活性物质。 表面活性物质在水溶液中，能使不溶或微溶于水的有机物质的溶解度 显著增加，这种现象称为增溶作用(或加溶作用)。 增溶作用在工业、农业及日常生活等各方面得到广泛应用。在制备农 药时，为使一些不溶于水的药物成为乳浊液，常加入增溶剂，以提高 药效； 另外，为了使喷洒在作物叶片上的农药能适当地展布开来，往往Leabharlann Baidu要 在稀释过的农药中加入表面活性物质：皂素、皂角粉、肥皂水； 但对酶类结构的杀虫利，会因肥皂水而使药物水解。近年来常采用阴 离子型表面活性物质 ( 农乳 500) 和非离子型表面活性物质 ( 如宁乳 0204)， 以克服使酯类农约水解的缺点。 在冶金工业中，为加快熔融金属的结晶速度，在金属中加入表面活性 物质降低其表面张力系数。如：钢液结晶时加入不同含量的硼会改变 表面张力系数值。
1.2.3 弯曲液面的附加压强
——拉普拉斯公式
自然界中有许多情况下液面是弯曲的，液滴、水 中的气泡、肥皂泡、人体肺泡内壁覆盖的一层粘 液等等，它们的液面都是弯曲的。 有的弯曲液面是凸液面，如水滴；有的弯曲液面 是凹液面，如水中的气泡。
弯曲液面内外存在一压强差，称为附加压强, 用ps 表示。附加压强的产生是因为存在表面张力，具 体是由表面张力的分量所引起的。
2. 液面弯曲
1) 凸液面时，如图 S 周界上 表面张力沿切线方向，合力 指向液面内， S 好象紧压在 液体上，使 S 受到一向下的 附加压强 ps ，由力平衡条件， 液面下液体的压强：
f
P0
A B
S
Ps
f
P
PB＝PA ps P0 ps
ps为正;
※附加压强使得液体内部压强大于外部压强
W S
M 1.0 103 4 4 3 3 V R N r 0.9 103 3 3 M
W (4 r 2 N 4 R2 )
三.影响表面张力系数的因素
与液体的性质有关：不同液体， 值不同； 密度小、易挥发的液体值较小。如:酒精、乙醚的值 很小，金属熔化后的值很大。
补充例题1： 当许多半径为 r 的小水滴融合成一个半径为 R 的 大水滴时释放出的能量。水的表面张力系数 在 此过程中保持不变，假设水滴 为球状。
表明：小水滴融合成大水滴时，表面积减少，要 释放出能量；
反之，大水滴分散成许多小水滴时，表面积增大， 要吸收外界能量；如：静电喷雾、搅拌
补充例题2： 水和油边界的表面张力系数 ＝1810-3N/m，为 了使 M=1.0 10-3kg 的油在水内散布成半径 r＝ 10-6m 的油滴， 搅拌过程中 外界需要做多少功 ? 散布过程可以认为是等温的，油的密度为 ＝ 0.9×103kg/m3;
(3)表面张力产生的微观本质
①分子力观点：表面张力是由于液体表面层内分子间相互作用
与液体内部分子间相互作用不同。
分子间既有引力作用，同时又有斥力作用
f
合力
分子力曲线
斥力
r ro r ro
v12
f 0 f 0
平衡位置 斥力起主要作用 v12=0
o
d
r0
斥力
r
R
引力 引力
r
d
d为分子有效直径 10 10 m
掌握!!
四.球形液泡的内、外压强差
如图, 由于球形液泡很薄，有内 外两个表面，内外膜半径近似相 等，设A、B、C 三点压强分别为 PA 、PB 、PC ，则： 2 凸液面：
PB PA
凹液面： PB PC
2 2 PA PC R R
R 2
R
4 PC PA R
一. 静止液体压强的特点
压强：是作用在与物体表面垂直方向上的每单位面积的力大小 ——标量
1. 静止液体中的任一点，来自任何方向的压强均相同；
2. 液体内部等高点的压 强相等，液体表面的压 强等于大气压强； y
3. 高度差为h的两点，压 强差为 gh ，并且离液面 越深处的压强越大；
A h B x
P外
r
p内 R
l
F
F// F
受力分析：
P内 r 2 ,
P外 r 2 , 表面张力F
P外
在球冠的边缘线上取线元 l （垂 直于纸面）, 对应表面张力为F。
F// F cos F F sin
r
l
p内 R
l
F
F//
F
沿边缘线一周，F//相互抵消，作用 在球冠边缘线上的表面张力的合力为：
f
f
f
从表面层中Q、R、S点任取一分子，其分子作用球一部分在 液体外，空气密度比水小，破坏了表面层的分子受力的球对 称性； 其受合力与液面垂直，指向液体内部，这使得表面层内的分 子与液体内部的分子不同,都受一个指向液体内部的合力 f 越靠近表面，受到的f越大； 在f作用下，液体表面的分子有被拉进液体内部的趋势。
液体分子间距较气体小了一个数量级 ,为10-10 m，分子排 列较紧密，分子间作用力较大,其热运动与固体相似 ,主要 在平衡位置附近作微小振动。
• 液体没有一定形状，并具有流动性。
这是由于液体分子振动的平衡位置不固定，是近程有序， 即在很小范围内在一短暂时间里保持一定的规则性。
由于液体分子间距小，分子间相互作用力较大， 当液体与气体、固体接触时，交界处由于分子力作 用而产生一系列特殊现象，即：液体表面现象。
F F F sin sin l l sin
l 2r
受力平衡：
P内 r P外 r F
2 2
2 sin P内 P外 r
r sin R
2 P内 P外 R
2 P内 P外 ——拉普拉斯公式 R
相关的现象和问题 问题1：为什么小液滴和小气泡总是成类球状而不
会成别的几何形状（如立方体、多角形等）？
问题2：水在玻璃管中呈凹形液面（弯月面），而
汞在玻璃管(如血压计)中却呈凸形液面，为什么？
问题3：肌注、输液、输血时要防止气泡进入 ,为什
么？
概 述
液体的性质与其微观结构有关
• 液体具有一定的体积，不易压缩。
液泡内压强大于液泡外压强，并与半径成反比。 同样处在大气压下，液泡半径越小，内外的压强差越大;
※向带有活塞的三通玻璃管吹气使两端分别挂上大小不一的 肥皂泡，旋转活塞使两气泡连通，观察气泡的变化? 发现小泡将越来越小，大泡越胀越大。这就是小泡的附加 压强大于大泡的附加压强的缘故。
A
f
W Fx 2lx S
B
B
其中△S = 2l△x（有二面） ,是AB 向右移动过程中液面面积 的增量。外力克服分子间引力做功，液体表面能增加，若用 △E 表示表面能增量，则： E W E W S S S 表面张力系数在数值上等于增加单位液体表面积时，外力所 需做的功，或增加单位液体表面积时，所增加的表面能—— 比表面能；
2 附加压强：ps R
——球形液面附加压强公式
球形液面附加压强与表面张力系数成正比，与球面半径R成反比。 半径无限大时，附加压强等于零，这正是水平液面的情况。 适用于任何液面：球面、半球面、凹凸面，R是液面处的曲率半径；
2 凸液面：pi p0 R 2 凹液面：pi p0 R
10 8 m ——分子力是短程力 液体中紧邻分子间的间距为 ro，作用合力为零，而众多非紧邻 分子间距却大于ro，因此液体分子间的作用力是吸引力。
R为分子有效作用距离
r ro rR
f 0 f 0
引力起主要作用
分子作用球(约10-8 m)：在液体内 部P点任取一分子A ,以A为球心， 以分子有效作用距离为半径作一 球，称为分子作用球 。球外分子 对 A 无作用力，球内分子对 A 的 作用力对称分布，合力为零。
(4). 表面张力系数（定义一） 设想在液面上画一条直线 段，线段两侧液面均有收缩的 趋势，即 宏观上有表面张力作 用，该力与液面相切 , 与线段垂 直， 指向各自的一方 , 分别用 F 和 F′ 表示，这恰为一对作用力 与反作用力， F = -F′。
F
F
由于线段上各点均有表面张力作用 ,线段越长 ,则 表面张力越大。设线段长为l ,则：F = l 。
上的表面张力大小，单位：N / m 。
为表面张力系数，表示液体表面单位长度直线段
表面张力的方向：与液面相切，与线段垂直；
(5). 表面张力系数与表面能增量（定义二）
如图所示，铁丝框上挂有液膜，表面 张力系数为 ，将AB边无摩擦、匀速、 等温地右移△x，在AB边上加的力为： F =2 l （有二面），则在这个过程 中外力F 所做的功为:
在宏观上就表现为液体表面有收缩的趋势。
②从能量观点来分析
把分子从液体内部移到表面层，需克服 f⊥ 作功;
外力作功 , 分子势能增加 , 即 表面层内分子的势能 比液体内部分子的势能大，表面层为高势能区; 面能，用E 表示。
表面层内,各个分子势能增量的总和称为液体的表
• 任何系统的势能越小越稳定，所以表面层内的 分子有尽量挤入液体内部的趋势，即液面有收 缩的趋势，使液面呈紧张状态，宏观上就表现 为液体的表面张力。 • 体积一定, 球体的表面积最小;
叶面：疏水、不吸 水的表面，永遠保 持一塵不染。 荷花效应
大珠小珠落玉盘
神奇的水黾(mǐn ) 1、既不会划破水面，也不会浸湿自己 的腿。 2、它在水面上每秒钟可滑行100倍于 身体长度的距离，这相当于一位身高 1.8米的人以每小时400英里的速度游泳。 橄榄油滴浮在同 密度的水和酒精 的混合液体中， 油滴形成完美的 球形。
任何弯曲液面都对液体产生附加压强；
附加压强方向恒指向弯曲液面的曲率中心；
三、球形液面的附加压强---拉普拉斯公式
设有一半径为R的球形液滴，其表 面张力系数为 ，是 凸液面 ，则液 滴表面层内外的压强:
P内＝P外 ps
在液体表面，取微小球冠形液 体元，球冠的边缘线l存在表面张 力F，沿球冠表面切线方向。 由于球冠很小，忽略其重力。 l
第1章 流体力学
基本概念
流体：具有流动性的液体和气体；
基本内容 流体静力学 流体动力学
1.2 液体的表面现象 ——静止液体的力学性质
理解液体表面张力产生的微观本质; 掌握表面张力系数的两种定义; 掌握弯曲液面的附加压强的产生及计算(拉普拉斯公式); 掌握毛细管现象中的朱仑公式。
2）凹液面时，如图S周界上
表面张力的合力指向外部， S好象被拉出，液面内部压 强小于外部压强，使S受到 一向上的附加压强 ps ，由力 平衡条件，液面下压强：
f
P0 Ps
A B
S
P
f
PB＝P0 ps
※附加压强使得液体内部压强小于外部压强。
总之：附加压强使弯曲液面内外压强不等，与液面 曲率中心同侧的压强恒大于另一侧。
pB pA gh
二：附加压强的产生
f
A B
P0
S
f
1.平液面
P
大气压强为P0，取靠近液面的两点A,B；其中A 在液体外部，B在液体内部； 在液体表面上取一小面积△S ,由于液面水平， 表面张力沿水平方向， △S 平衡时其边界表面张 力相互抵消，△S 内外压强相等：
PB = PA＝ P0
1.2.2 液体的表面张力
一、表面张力
1.现象： (1). 液体表面有收缩到最小的趋势； (2).液面像紧绷的弹性薄膜。 说明：液面上存在沿表面的收缩力 作用，这种力只存在于液体表面。 2.表面张力 (1)表面层：在液体与气体交界面，厚度等于分子有效作用距离 (=10-8 m) 的一层液体。
(2)表面张力：液体的表面层中有一种使液面尽可能收缩成最小 的宏观张力。
与相邻物质化学性质有关：同一液体与不同物质交界， 值不同。 与温度有关：温度升高， 值减小。
与液体内所含杂质有关：在液体内加入杂质，液体的 表面张力系数将显著改变，有的使其 值增加；有的 使其值减小。使值减小的物质称为表面活性物质。
表面活性物质——了解(相关化学领域)
表面活性物质在农药、医药、冶金、石油、民用洗涤、食品等各领域 得到广泛的应用。 肥皂就是最常见的表面活性物质。肥皂水的表面张力系数约为 40103N/m，是纯水的一半。一般说来，醇、酸、醛、酮等有机物质大都是 表面活性物质。 表面活性物质在水溶液中，能使不溶或微溶于水的有机物质的溶解度 显著增加，这种现象称为增溶作用(或加溶作用)。 增溶作用在工业、农业及日常生活等各方面得到广泛应用。在制备农 药时，为使一些不溶于水的药物成为乳浊液，常加入增溶剂，以提高 药效； 另外，为了使喷洒在作物叶片上的农药能适当地展布开来，往往Leabharlann Baidu要 在稀释过的农药中加入表面活性物质：皂素、皂角粉、肥皂水； 但对酶类结构的杀虫利，会因肥皂水而使药物水解。近年来常采用阴 离子型表面活性物质 ( 农乳 500) 和非离子型表面活性物质 ( 如宁乳 0204)， 以克服使酯类农约水解的缺点。 在冶金工业中，为加快熔融金属的结晶速度，在金属中加入表面活性 物质降低其表面张力系数。如：钢液结晶时加入不同含量的硼会改变 表面张力系数值。
1.2.3 弯曲液面的附加压强
——拉普拉斯公式
自然界中有许多情况下液面是弯曲的，液滴、水 中的气泡、肥皂泡、人体肺泡内壁覆盖的一层粘 液等等，它们的液面都是弯曲的。 有的弯曲液面是凸液面，如水滴；有的弯曲液面 是凹液面，如水中的气泡。
弯曲液面内外存在一压强差，称为附加压强, 用ps 表示。附加压强的产生是因为存在表面张力，具 体是由表面张力的分量所引起的。
2. 液面弯曲
1) 凸液面时，如图 S 周界上 表面张力沿切线方向，合力 指向液面内， S 好象紧压在 液体上，使 S 受到一向下的 附加压强 ps ，由力平衡条件， 液面下液体的压强：
f
P0
A B
S
Ps
f
P
PB＝PA ps P0 ps
ps为正;
※附加压强使得液体内部压强大于外部压强
W S
M 1.0 103 4 4 3 3 V R N r 0.9 103 3 3 M
W (4 r 2 N 4 R2 )
三.影响表面张力系数的因素
与液体的性质有关：不同液体， 值不同； 密度小、易挥发的液体值较小。如:酒精、乙醚的值 很小，金属熔化后的值很大。
补充例题1： 当许多半径为 r 的小水滴融合成一个半径为 R 的 大水滴时释放出的能量。水的表面张力系数 在 此过程中保持不变，假设水滴 为球状。
表明：小水滴融合成大水滴时，表面积减少，要 释放出能量；
反之，大水滴分散成许多小水滴时，表面积增大， 要吸收外界能量；如：静电喷雾、搅拌
补充例题2： 水和油边界的表面张力系数 ＝1810-3N/m，为 了使 M=1.0 10-3kg 的油在水内散布成半径 r＝ 10-6m 的油滴， 搅拌过程中 外界需要做多少功 ? 散布过程可以认为是等温的，油的密度为 ＝ 0.9×103kg/m3;
(3)表面张力产生的微观本质
①分子力观点：表面张力是由于液体表面层内分子间相互作用
与液体内部分子间相互作用不同。
分子间既有引力作用，同时又有斥力作用
f
合力
分子力曲线
斥力
r ro r ro
v12
f 0 f 0
平衡位置 斥力起主要作用 v12=0
o
d
r0
斥力
r
R
引力 引力
r
d
d为分子有效直径 10 10 m
掌握!!
四.球形液泡的内、外压强差
如图, 由于球形液泡很薄，有内 外两个表面，内外膜半径近似相 等，设A、B、C 三点压强分别为 PA 、PB 、PC ，则： 2 凸液面：
PB PA
凹液面： PB PC
2 2 PA PC R R
R 2
R
4 PC PA R
一. 静止液体压强的特点
压强：是作用在与物体表面垂直方向上的每单位面积的力大小 ——标量
1. 静止液体中的任一点，来自任何方向的压强均相同；
2. 液体内部等高点的压 强相等，液体表面的压 强等于大气压强； y
3. 高度差为h的两点，压 强差为 gh ，并且离液面 越深处的压强越大；
A h B x
P外
r
p内 R
l
F
F// F
受力分析：
P内 r 2 ,
P外 r 2 , 表面张力F
P外
在球冠的边缘线上取线元 l （垂 直于纸面）, 对应表面张力为F。
F// F cos F F sin
r
l
p内 R
l
F
F//
F
沿边缘线一周，F//相互抵消，作用 在球冠边缘线上的表面张力的合力为：
f
f
f
从表面层中Q、R、S点任取一分子，其分子作用球一部分在 液体外，空气密度比水小，破坏了表面层的分子受力的球对 称性； 其受合力与液面垂直，指向液体内部，这使得表面层内的分 子与液体内部的分子不同,都受一个指向液体内部的合力 f 越靠近表面，受到的f越大； 在f作用下，液体表面的分子有被拉进液体内部的趋势。
液体分子间距较气体小了一个数量级 ,为10-10 m，分子排 列较紧密，分子间作用力较大,其热运动与固体相似 ,主要 在平衡位置附近作微小振动。
• 液体没有一定形状，并具有流动性。
这是由于液体分子振动的平衡位置不固定，是近程有序， 即在很小范围内在一短暂时间里保持一定的规则性。
由于液体分子间距小，分子间相互作用力较大， 当液体与气体、固体接触时，交界处由于分子力作 用而产生一系列特殊现象，即：液体表面现象。
F F F sin sin l l sin
l 2r
受力平衡：
P内 r P外 r F
2 2
2 sin P内 P外 r
r sin R
2 P内 P外 R
2 P内 P外 ——拉普拉斯公式 R
相关的现象和问题 问题1：为什么小液滴和小气泡总是成类球状而不
会成别的几何形状（如立方体、多角形等）？
问题2：水在玻璃管中呈凹形液面（弯月面），而
汞在玻璃管(如血压计)中却呈凸形液面，为什么？
问题3：肌注、输液、输血时要防止气泡进入 ,为什
么？
概 述
液体的性质与其微观结构有关
• 液体具有一定的体积，不易压缩。
液泡内压强大于液泡外压强，并与半径成反比。 同样处在大气压下，液泡半径越小，内外的压强差越大;
※向带有活塞的三通玻璃管吹气使两端分别挂上大小不一的 肥皂泡，旋转活塞使两气泡连通，观察气泡的变化? 发现小泡将越来越小，大泡越胀越大。这就是小泡的附加 压强大于大泡的附加压强的缘故。