苏教版数学高一《函数的图像》 同步导学案
高一数学《函数的图像》导学案
高一数学《函数的图像》导学案例1、画出下列函数的图象。
（1）x y )1(-= {}3,2,1,0∈x （2） x x y --=1解：解：⎨⎧-=--=1211x x x y )1()1(<≥x x函数图象只是若干个孤立点。
（3）xx x y -+=0)21(注意：先写成分段函数再作图。
解：定义域为 ⎪⎩⎪⎨⎧≠--≠021x x x 0<⇒x 且x ≠21-强调：定义域十分重要。
例2根据所给定义域，画出函数222+-=x x y 的图象。
1。
R x ∈ 2。
]2,1(-∈x3。
2,1(-∈x例3、已知⎪⎩⎪⎨-=12)(πx f)0()0()0(<=>x x x 解：f (1)=3×12-2=1 f (-2)=-1关于函数图象的变换1．平移变换 研究函数y =f (x )与y =f (x +a )+b 的图象之间的关系例4、函数2)1(+=x y -2和1)21(2+-=x y 的图象分别是由2x y =函数的图象经过如何变化得到的。
（1）将2x y =的图象沿 x 轴向左平移1个单位再沿y 轴向下平移2个单位得2)1(+=x y -2的图象； （2）将2x y =的图象沿x 轴向右平移21个 单位再沿y 轴向上平移1个单位得函数1)21(2+-=x y 的图象。
小结：1。
将函数y =f (x )的图象向左（或向右）平移|k |个单位（k >0向左,k <0向右）得y =f (x +k )图象； 2．将函数y =f (x )的图象向上（或向下）平移|k |个单位（k >0向上,k <0向下）得y =f (x ) +k 图象。
2、对称变换 函数y =f (x )与y =-f (x )、y =f (-x )及y =-f (-x )的图象分别关于x 轴、y 轴、原点对称 例5、设xx f 1)(=(x >0)作出y =-f (x )、y =f (-x )及y =-f (-x )的图象。
苏教版高中数学必修1《函数的概念和图象》导学案
2.1.1 函数的概念和图象一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)准确利用前面所学的集合以及对应的语言来刻画函数；(2)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；(3)会画一些简单函数的图象。
2．预习提纲：(1)强化对函数的概念的认识阅读教材第23-25页以及典型例题例1-5，教材开头以三个问题引出函数的概念，这三个函数分别以表格、解析式、图象形式给出的，具有一定的代表性。
教材的例1和典型例题例1、例3是从“数”的角度深化对函数概念的认识，教材例2以及典型例题例4都是求函数的定义域，要注意对常见的约束条件的认识，教材例3和典型例题例4-5都是求函数的值域问题，要掌握求值域的常见方法。
(2)养成通过“形”(主要指图象)来研究函数的习惯阅读教材第27-30页，教材例4目的是熟悉一次函数和二次函数图象的作法，而例5是离散型的函数图象(由一些孤立的点组成)，例6是函数图象的一个直接应用(比大小)，可以体会到图象的直观性的好处。
(3)完成自我测试题3．典型例题例1 判断下列对应关系是否为函数关系。
（1）||x y x =→，R y R x ∈∈,；（2）x y x 1=→,}2,0,1{-∈x }21,0,1{-∈y ；（3）x y →为x 的平方根，R y x ∈+∞∈),,0(。
分析：欲判断一个对应A →B 是否为函数，必须抓住函数概念的实质，即A 中元素的任意性，B 中元素的惟一性。
解：(1)对于任意一个实数x ，||x 被惟一确定，所以这个对应是函数；(2)对于0=x ，在}21,0,1{-中没有元素与它对应，所以这个对应不是函数； (3)对于1=x ，有两个元素1±与它对应，所以这个对应也不是函数。
点评：函数的本质是两个非空数集之间的一种单值对应，把握函数定义中的“非空”、“每一个”、“惟一”三个关键词，并能据此判断一个对应是否是函数。
例2 判断下列函数()f x 与()g x 是否表示同一函数，为什么？（1）0()(1)()1f x x g x =-=，； （2）()()f x x g x ==，（3）22()()(1)f x x g x x ==+，； （4）()()f x g x == 分析：相同函数是指定义域、对应法则、值域都相同的函数，由于这些函数都是以解析形式给出，因此，可以用研究其函数的定义域与对应法则是否相同来说明两个函数是否相同。
苏教版数学高一《函数的概念和图像》精品导学案
意义的实数的集合．由上可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定．例4 下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？⑴()2x y =；⑵33x y =；⑶2x y =．解：⑴()2x y =＝x （0≥x ）,0≥y ，定义域不同且值域不同，不是； ⑵33x y =＝x （R x ∈）,R y ∈，定义域值域都相同，是同一个函数；⑶2x y =＝|x |=⎩⎨⎧-xx ,00<≥x x ,0≥y ；值域不同，不是同一个函数 【解后反思】 判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同．只有完全一致时，这两个函数才算相同．例5 求函数f(x)=(x-1)2+1,x ∈{-1,0,1,2,3}的值域．略解：值域为{2,1,5,} ．注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.②符号“f ：A →B ”表示A 到B 的一个函数，它有三个要素；定义域．值域．对应关系，三者缺一不可.③集合A 中数的任意性，集合B 中数的惟一性.④f 表示对应关系，在不同的函数中，f 的具体含义不一样.⑤f (x )是一个符号，绝对不能理解为f 与x 的乘积.三．理解数学：1．求下列函数的定义域：（1）1()(12)(1)f x x x =-+；(2)()42f x x x =-++；(3) 2．求下列函数的值域：(1)y ＝1－2x （x ∈R ）；(2)y ＝｜x ｜－1 x ∈{－2，－1，0，1，2}；(3)y ＝x 2＋4x ＋3 （－3≤x ≤1）．分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域.对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”.解：(1)y ∈R(2)y ∈{1，0，－1}(3)画出y ＝x 2＋4x ＋3（－3≤x ≤1）的图象，如图所示，当x ∈[－3，1]时，得y ∈[－1，8]【课后提升】1．下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y （定义域不同） ②111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y （定义域不同） xx x f -++=211)(。
苏教版高中数学必修一函数的概念和图象学案一
高一数学导学案函数的图像教学目标：1. 通过实际情景了解图像法是描述两个变量之间函数关系的一种重要方法，进一步理解函数的概念。
2. 会用描点法和图像变换法作函数的图像，并能根据图像比较函数值的大小。
3. 培养运用数形结合思想解题的能力。
重点难点：认识函数图像的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图像，利用图像变换作出所求函数的图像。
一、知识归纳：将 的一个值0x 作为横坐标，相应的 作为纵坐标，就可以得到坐标平面上的一个点 ，当自变量取遍函数定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点。
所有这些点组成的集合为 ，所有这些点组成的图形就是函数)(x f y =的图像。
二、例题讲解考点一：求作函数的图像例1：作出下列函数的图像（1）1,≤=x x y（2）1+=x y（3）)3,1[,1)1(2∈+-=x x y （4）xx y 3=例2：作出函数112-+=x x y 的图像学点二：函数图像的应用例3：试画出函数1)(2+=x x f 的图像，并根据图像回答下列问题。
（1） 比较)3(),1(),2(f f f -的大小。
（2） 若,021x x <<试比较)(),(21x f x f 的大小。
例4：已知定义在R 上的函数图像关于原点对称，它在),0(+∞上的图像如图所示，则不等式0)(<x f 的解集为三、针对训练1. 课本28页练习2. 若函数)(x f y =的图像经过点（0，1），那么函数)4(+=x f y 的图像经过点3．已知函数112)(--=x x x f 的图像经过点),4,(p 求p 值，并画出该函数的图像4.作出下列函数的图像(1)2)(=x f(2))22,(1)(≤≤-∈-=x Z x x x f(3)43)(2-+=x x x f5.若)(,x f R x ∈是22-=x y 与x y =这两个函数的较大者，则)(x f 的最小值为 四、课后小结。
高中数学 第二章函数的图像导学案 苏教版必修1(学生版)
3．函数 的图象与其定义域、值域的对应关系：函数 的图象在 轴上的射影构成的集合对应着函数的___________________，在 轴上的射影构成的集合对应着函数的___________________________．
想一想：函数的图像如下
图1图2
1.定义域：__________值域：__________2.定义域：__________值域：__________
2．能正确画出一些常见函数的图象；
3．会利用函数的图象求一些简单函数的值域、判断函数值的变化趋势；
学习重难点
1．能正确画出一些常见函数的图象；
2．会利用函数的图象求一些简单函数的值域
3．从“形”的角度加深对函数的理解．
课前预习
阅读教材P25至P28完成下列填空
二、根据函数的图像求函数的值域
1．已知函数 ，利用函数图象分别求它在下列区间上的值域：
（1） ；（2） ；（3） ．
2．求函数 的值域。
3.求函数 的值域。
随堂检测
1.直线 与抛物线 的交点有个；直线 与抛物线 的交点可能有个；
2．函数 的图象如图所示，填空：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4）若 ，则 与 的大小关系为．
3.画出函数的图像并求函数 的值域．
4．画出函数的图像并求函数 的值域。
5.已知函数 ，若 恒成立，求 的取值范围。
归纳总结
函数的图像及作法__________________________________________________________
____________________________________________________________________________
苏教版数学高一必修1学案 函数的概念和图象 (2)
2．1．1 函数的概念和图象1．体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念．2．了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域．函数的概念一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y ＝f (x )，x ∈A ．其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域．若A 是函数y ＝f (x )的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域．符号y ＝f (x )是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为x 是自变量，它是法则所施加的对象；f 是对应法则，它可以是一个或几个解析式，也可以是图象、表格或文字描述；y 是自变量的函数，当x 允许取某一个具体数值时，相应的y 值与之对应．“y ＝f (x )”仅仅是函数符号，还可用“y ＝g (x )”“y ＝F (x )”“y ＝G (x )”等来表示函数关系．【做一做1－1】已知f (x )＝x －3＋x ＋2，则f (7)＝__________．答案：5【做一做1－2】求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝2x；(2)y ＝x －1＋3． 解：(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域：(－∞，0)∪(0，＋∞)；(2)定义域：［1，＋∞)，值域：［3，＋∞)．1．三种基本初等函数的定义域和值域剖析：(1)一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)的定义域是R ，值域是R ．(2)反比例函数f (x )＝k x(k ≠0)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (3)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ．当a ＞0时，值域是244ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，；当a ＜0时，值域是244ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦，． 2．如何判断两个函数是同一函数剖析：只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：(1)定义域不同，两个函数不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的；(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能惟一地确定函数的对应法则．例如，函数y ＝x ＋1与y ＝x －1，它们的定义域都是R ，值域都是R ，也就是说，这两个函数的定义域和值域都分别相同，但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一函数．由于值域可以由定义域和对应法则惟一确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数．题型一 函数的概念【例1】下列四组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的有__________．①f (x )＝4x 4，g (x )＝(4x )4②f (x )＝x ，g (x )＝3x 3③f (x )＝1，g (x )＝1(x ≠0)④f (x )＝x －1，g (x )＝|x －1|解析：若两个函数能表示同一个函数，则必须满足：①定义域相同；②对应法则相同． 对于①，两函数的定义域不同，其中f (x )的定义域为{x |x ∈R }，g (x )的定义域为{x |x ≥0}；对于②，定义域、值域和对应法则都相同，所以f (x )与g (x )表示同一函数；对于③，定义域不同，其中f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}；④的对应法则不同．答案：②反思：一般地，函数的定义域和对应法则确定，值域就随之确定，因此判断两个函数是否为同一函数，只需判断它们的定义域和对应法则是否分别相同即可．题型二 求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域：(1)y ＝2＋3x －2； (2)y ＝3－x ·x －1；(3)y ＝2x ＋1． 分析：给定函数时，要指明函数的定义域．对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合．解：(1)要使函数有意义，必须满足x －2≠0成立，即x ≠2，所以这个函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠2}．(2)要使函数有意义，必须满足⎩⎨⎧3－x ≥0，x －1≥0成立，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |x ∈R ，且1≤x ≤3}．(3)要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，2x ＋1≥0成立，解得x ＞－1，所以这个函数的定义域为{x |x ＞－1}．反思：一般地，求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值的集合：(1)解析式是整式的函数，其定义域为R ；(2)解析式是分式的函数，其定义域为使分母不为零的实数的集合；(3)解析式是偶次根式的函数，其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合；(4)如果解析式是由实际问题得出的，则其定义域是同时使实际问题和解析式有意义的实数的集合；(5)求函数的定义域的步骤通常是先根据题意列不等式(组)，再解不等式(组)，而后得出结论． 题型三 求函数的值域【例3】求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1x －3；(2)y ＝x 2－2x 2＋1． 分析：求函数的值域没有统一的方法．如果函数的定义域是有限个值，那么就可将函数值都求出得到值域；如果函数的定义域是无数个值时，则可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，如观察法、配方法、换元法等．解：(1)(观察法)y ＝2x ＋1x －3＝2＋7x －3． 因为x ≠3，7x －3≠0， 所以y ≠2．故所求函数的值域为{y |y ≠2}．(2)(逐步求解法)先分离常数，y ＝x 2－2x 2＋1＝x 2＋1－3x 2＋1＝1－3x 2＋1．∵x 2＋1≥1，∴0＜1x 2＋1≤1． ∴－2≤1－3x 2＋1＜1．∴y ∈［－2,1)． 题型四 求已知函数的函数值【例4】已知f (x )＝x 2＋1，g (x )＝12x ＋1， (1)求f (2)和g (a )；(2)求f ［g (1)］和g ［f (x )］．分析：求某个函数的某个函数值，就是将自变量用相应的代数式或数替换，然后化简即可；求f ［g (a )］时，一般遵循先里后外的原则，先求g (a )，然后将f (x )解析式中的x 代换为g (a )，同时要注意函数的定义域．解：(1)f (2)＝22＋1＝5，g (a )＝12a ＋1． (2)f ［g (1)］＝211()=()133f +＋1＝109；g ［f (x )］＝g (x 2＋1)＝12(x 2＋1)＋1＝12x 2＋3． 反思：要正确理解f (a )的含义．如果自变量取a ，则由对应法则f 确定的y 的值称为函数在a 处的函数值，记作f (a )；求某个函数的函数值时，还要正确理解对应法则“f ”和“g ”的含义．1已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f ［f (x )］的定义域是__________． 解析：由条件得：f ［f (x )］＝11x ＋1＋1， 从而由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1x ＋1＋1≠0，得之． 答案：{x |x ≠－1，且x ≠－2}2设f (x )＝1＋x 1－x，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2010(x )等于__________． 解析：因f 1(x )＝f (x )＝1＋x 1－x， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x 1－x＝－1x ， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝1－1x 1＋1x＝x －11＋x ， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝1＋x －11＋x 1－x －11＋x＝x ， 所以它的规律是以4为周期，从而由2 010＝4×502＋2，得f 2 010(x )＝f 2(x )．答案：－1x3函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R )的值域是______．解析：(方法一)由y ＝x 2x 2＋1，得x 2＝y 1－y． ∴y 1－y≥0．解之，得0≤y ＜1． (方法二)y ＝x 2x 2＋1＝1－1x 2＋1， ∵x 2＋1≥1，∴－1≤－1x 2＋1＜0．∴0≤y ＜1． 答案：［0,1)已知P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列对应不表示从P 到Q 的函数的有__________．(1)f ：x →y ＝12x (2)f ：x →y ＝13x (3)f ：x →y ＝32x (4)f ：x →y ＝x解析：因为当x ＝4时，y ＝6不在集合Q 中，(3)不符合函数的定义，其他均符合．。
苏教版数学高一-必修4导学案 1.3.3正弦型函数图像 学生版
课题：§1.3.3函数)sin(ϕω+=x A y 的图象 总第____课时班级_______________姓名_______________ 【学习目标】1．掌握由y = sinx 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程；2．会用五点法画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图；3．根据三角函数的图象求函数解析式.【重点难点】学习重点：由x y sin =到)sin(ϕω+=x A y 的图象的变换.学习难点：根据三角函数的图象求函数解析式.【学习过程】一、自主学习与交流反馈1．在物理学中，物体做简谐运动时，位移s 和时间t 的关系为s = Asin(ωt + φ) (A > 0，ω>0) 这里Ａ是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的________；往复振动一次所需的时间ωπ2=T 称为这个振动的________；单位时间内往复振动的次数πω21==T f 称为振动的________；ωt + φ称为________，t = 0时的相位φ称为________．2．函数)6sin(π+=x y 和x y sin =的图象有何关系?问题1：一般地,函数)sin(ϕ+=x y 的图象与函数x y sin =的图象有何关系?3．函数x y sin 3=和x y sin =的图象关系?问题2：一般地, 函数x A y sin =的图象与函数x y sin =的图象的关系?4．函数x y 2sin =和x y sin =的图象有何关系?问题3：一般地,函数x y ωsin =的图象与函数x y sin =的图象有何关系?5．函数)62sin(3π+=x y 和x y 2sin =的图象有何关系?问题4：一般地,函数)sin(ϕω+=x A y (其中A ，ω，ϕ都是常数且A>0，0>ω)的图象与函数x y ωsin =的图象有何关系?二、知识建构与应用：1．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的最大值是_________，最小值是_________，周期是_________，频率是_________，相位是_________，初相是_________；其图象的对称轴是直线________________________，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心．2．利用图象变换作三角函数图象：（1）振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换：由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象．（2）周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换：由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1|ω|倍，得到y ＝sinω x 的图象． （3）相位变换或叫做左右平移：由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象．（4）上下平移变换：由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象．注意：由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）+B （A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别．三、例题例1 若函数y = 3sin(2x - π3)表示一个振动量． (1)求这个振动的振幅、周期、初相；(2)画出该函数的简图；(3)根据函数的简图，写出函数的单调减区间.例2 如图是函数,0,0)(sin()(ωϕω>>+=A x A x f 的图象的一部分，求函数)(x f 解析式，并说明y =经过怎样的变换得到)(x f 的图像.x四、巩固练习1．函数)321sin(32π+=x y 的振幅是 ，周期为 ，初相为 . 2．已知函数x y sin 3=的图象为C（1）为了得到函数)5sin(3π-=x y 的图象，只需把C 上的所有点 .（2）为了得到函数)52sin(3π+=x y 的图象，只需把C 上的所有点 .3．要得到函数)42sin(3π+=x y 的图象，只要将函数x y 2sin 3=的图象 .4．(1)将函数x y cos =的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象向左平移3π个单位得到)(x f y =的图象，则___________)(=x f . (2)把函数)33cos(π+=x y 的图象向_____平移____个单位可得到)3sin(x y -=的图象.。
[推荐学习]高一数学 函数的概念和图象(1)导学案 苏教版
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赣马高级中学2010级高一数学 第一课时 函数的概念和图象（1）导学案学习目标1．理解函数概念；2．了解构成函数的三个要素；3．会求一些简单函数的定义域与值域；4．培养理解抽象概念的能力．1． 函数的定义：设,A B 是两个 数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的 元素x ，在集合B 中都有 的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记为 ．其中 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域， 的取值集合叫做函数()y f x =的值域。
一．对函数的定义的理解例1：判断下列对应是否为函数：（1）;,,Z y R x x y y x ∈∈→的最大整数，为不大于其中（2）2,,,x y y x x N y R →=∈∈；（3）x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，{|03}y y y ∈≤≤；（4）16x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤， {|03}y y y ∈≤≤．二．求函数的定义域例2：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f （2）131-+--x x ； （3）1()2f x x =-． （4）1()1f x x =+三、求函数值例3: 已知函数()|1|1f x x =--的定义域为{2,1,0,1,2,3,4}--，求(1),((1))f f f --的值． 分析：求((1))f f -的值，即当(1)x f =-时，求()f x 的值例4：比较下列两个函数的定义域与值域：（1）f(x)=(x+2)2+1，x ∈{－1,0,1,2,3}；（2）2()(1)1f x x =-+．迁移应用】1. 对于集合{|06}A x x =≤≤，{|03}B y y =≤≤，有下列从A 到B 的三个对应：①12x y x →= ；②13x y x →=；③x y x →=；其中是从A 到B 的函数的对应的序号为 ；2. 函数3()|1|2f x x =+-的定义域为 ____________3. 函数f(x)=x －1（x z ∈且[1,4]x ∈-）的值域为 ．4．若2()(1)1,{1,0,1,2,3}f x x x =-+∈-，则((0))f f = ；5．函数()f x =；6．已知函数()y f x =的定义域为[－2，3]，则函数(1)f x +的定义域为 ．函数的概念和图象（1）2． 函数的定义：设,A B 是两个非空数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记为(),y f x x A =∈．其中输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域，所有输出值y 的取值集合叫做函数()y f x =的值域。
2022-2023学年高一数学 苏教版必修第一册5-1 函数的概念和图象同步教案
【教学目标】1. 理解函数的概念，掌握函数的符号表示；2. 了解函数的基本性质，如奇偶性、周期性等；3. 掌握函数图象的特点和绘制方法。
【教学重点】1. 函数的定义和符号表示；2. 函数的基本性质；3. 函数图象的特点和绘制方法。
【教学难点】函数图象的绘制方法。
【教学过程】【Step 1】导入新课引入“函数”的概念，提问学生：你们对函数的了解有哪些？【Step 2】函数的定义和符号表示1. 讲解函数的定义：函数是一种从一个集合$A$到另一个集合$B$的映射，它将$A$中的每个元素映射到$B$中唯一的一个元素上。
2. 引导学生了解函数的符号表示和基本性质：单调性、奇偶性、周期性、单调区间、零点等。
【Step 3】函数图象的绘制1. 讲解函数图象的概念和特点：在平面直角坐标系中，函数的自变量作为横坐标，因变量作为纵坐标，所有点的集合即为函数的图象。
2. 通过例题讲解函数图象的绘制方法，特别是采取画出部分图象逐渐推导出整个函数图象的方法。
【Step 4】函数的实际应用1. 提出一个实际问题：一辆汽车行驶了100公里，时间为2小时。
求该车的平均速度。
2. 引导学生利用函数知识解决实际问题，特别是解决瞬时速度等实际问题。
【Step 5】总结归纳1. 总结函数的定义和基本性质；2. 总结函数图象的绘制方法；3. 强调函数在实际问题中的应用。
【Step 6】课堂练习1. 判断函数$y=x^2$的单调性；2. 写出函数$y=cosx$的零点所在的区间；3. 绘制函数$y=\dfrac{1}{x}$的图象。
【Step 7】作业布置】1. 完成教材上的相关习题；2. 搜集有关函数图象的实用题目，进行练习。
【教学反思】本课时通过引入函数的概念，让学生了解函数定义及其符号表示，并掌握函数的基本性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
同时，通过例题的演示，讲解函数图象的特点和绘制方法，让学生能够熟练掌握函数图象的绘制方法。
通过实际问题的引入，帮助学生理解函数在实际问题中的应用。
江苏省高邮市界首中学高中数学 函数的图象导学案 苏教版必修1
江苏省高邮市界首中学高中数学 函数的图象导学案 苏教版必修1【学习目标】 1.了解作图的基本要求,会作与一次函数、二次函数、反比例函数相关的函数图象；2.会通过图像变换作图;3.了解函数图象可以由孤立的点构成,明白作图是由点到线,由局部到整体;4.明白图象是数形结合的基础,培养数形结合的数学思想.【学习重点】图象的画法和简单应用。
【预习内容】1、复习求函数值域的方法；2、常见函数的图象：一次函数()0y kx b k =+≠的图象是 ；二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象是 ；反比例函数()0k y k x =≠的图象是 。
3、（1）已知函数2y x =的图象，将它的图象向 平移 个单位，再向 平移 单位就得到函数223y x x =--的图象。
（2）已知函数1y x=的图象，将它的图象向 平移 个单位，再向 平移 单位就得到函数111y x =++的图象。
【新知学习】1、将自变量的一个值0x 作为 ，相应的函数值()0f x 作为 ，就得到坐标平面上的一个点()()00,x f x 。
当自变量取遍函数定义域A 中的每一个值时，就得到了一系列这样的点。
所有这些点组成的集合（点集）为()(){},|x f x x A ∈，所有这些点组成的图形就是_____________。
2、作函数图象的一般方法：（1）描点法;（2）图像变换法。
【新知深化】1、平移变换：①水平变换： y ＝()f x ()y f x a =- (a >0)；y ＝()f x ()y f x a =+ (a >0)。
②竖直变换：y ＝()f x y ＝()f x ＋b (b >0)；y ＝()f x y ＝()f x －b (b >0)2.对称变换【新知应用】例1.试画出下列函数的图象:(1) ()1f x x =+ 及()1f x x =+, {}1,2x ∈及()1f x x =+,{}1,2x ∈(2) ()()214f x x =--,1x Z x ∈≤且及()()214f x x =--,[)1,3x ∈(3) ()11f x x =- 及()11f x x =+及()211x f x x +=-思考：它们与()1f x x =有什么关系？例2：作下列函数的图象：（1）()21,0,0x f x x x >⎧=⎨≤⎩； （2）()|3|1f x x x =++-例3. 作下列函数的图象：（1）()234f x x x =+-；（2）()234f x x x =+-思考：它们与()234f x x x =+-有什么关系？例4、设函数()21f x x =+的图象，并根据图象回答下列问题：（1）比较()()()2,1,3f f f -的大小；（2）若120x x <<，试比较()1f x 与()2f x 的大小。
函数的图像导学案教案
函数的图像（第一课时）导学案主备人：李丽荣执教人：时间：2009-10-17学习目标：1、了解函数图象的意义；2、初步掌握画函数图象的方法（列表、描点、连线）；3、学会通过观察、分析函数图象来获取相关信息；4、结合实例培养自己数形结合的思想和读图能力．学习重点难点：初步掌握画函数图象的方法；通过观察、分析函数图象来获取信息.一、知识回顾1、在一个变化过程中，我们称数值____________的量为变量；在一个变化过程中，我们称数值____________的量为常量.2、长方形相邻两边长分别为x、•y•，面积为10•，•则用含x•的式子表示y•为____________，则这个问题中，____________是常量；________________是变量．3、一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量．．确．．．．x与y，并且对于x•的每一个确定的值，y•都有唯一定的值与其对应．．．．，•那么我们就说x•是_________，y是x的________．如果当x=a时y=b，那么b•叫做当自变量的值为a时的___________．4、已知三角形底边长为8，高为h，三角形的面积为s，则s与h的函数关系式为_______________，其中自变量是___________，自变量的函数是___________。
二、学习新知（一）函数图象的画法1、明确函数图象的意义：阅读课本99页2、描点法画函数图象：问题一：正方形的面积S与边长x的函数关系为_______________，其中自变量x的取值范围是__________，我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系．想一想：自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，是否能确定一个点（x，S）呢？（1）列表：（计算并填写下表）（2）描点：（建立直角坐标系，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）（3）连线：（按照强调：用表示不在曲线上的点；在函数图象上的点要画成3、归纳总结：说明：通过图象可以（二）解读函数图象信息问题二：.可以认为，__________是问题三：x表示时间，y表示小明离他家的距离，小明家、菜地、玉米地在同一条直线上。
苏教版数学高一《函数的概念与图像》 精品导学案 苏教
（1） 与下列函数的定义域：
（1） （2）
*变式：若 的定义域为 ， 的定义域为；
例3已知函数 ，求 .
变式1：函数 的值域是函数 ， 的值域是.
变式2：若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数 ，值域为 的“同族函数”共有个；
中的一个数 ，在集合 中和它对应，那么这样的对应叫做从 到
的一个函数，记为，其中 叫， 的取值范围叫做函数
的，与 的值相对应的 的值叫， 的取值范围叫做函数的；
2．在对应法则 中，若 ，则 ；
3．下列图象中不能作为函数 的图象的是：
【例题讲解】
例1
（1） ；（2） ；
（3） 其中 ；
（4） ，其中
以上 个对应中，为函数的有.
【课堂检测】
1.对于集合 ， ，有下列从 到 的三个对应：① ；② ；③ ；其中是从 到 的函数的对应的序号为；
2.函数 的定义域为____________
3.若 ，则 ；
【教学反思】
§2.1.1函数的概念与图像（1）
【教学目标】
1．通过现实生活中的实例体会函数是描述变量之间的依赖关系得重要模型，理解函数概念；
2．了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域并能说出他们的值域.
【考纲要求】
了解构成函数的三要素；
【课前导学】
1．函数的定义：设 ， 是两个数集，如果按照某种确定的，使对于集合
高中数学 函数(师生共用)导学案 苏教版必修1
（2） (1.2) ,(1.25) （3） 5.25 ,5.26 ,5.26
3 3
1
1
2
例 3：已知 y xa , y xb , y xc , y xd 的图象如图所示：
y
y
x
c
y x
y
x
a
y
x
b
1
yx
0
d
1
x
则 a ， b ， c ， d 的大小关系是_________________________
小 组
1 3
二：课堂活动
例 1：写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （1） y x3 （2） y x 2
1 2 1
（3） y x 2
1 2 1 4
（4） y x2 x2
姓 名
（5） y x x
1 2
（6） f ( x) x 3( x)
例 2：比较大小： （1） 1.5 ,1.7
三：当堂检测
1． 在函数 （1）y
1 ,（2）y 2 x2 , （3）y x2 x ， （4）y 1 中， 是幂函数序号为 x2
．
2.已知幂函数 y f ( x) 的图象过 (2, 2) ，则这个函数的解析式_____________________ 3. 比较下列几组数大小 （1） 1.5 ， 1.7 ， 1 ； （2） (
学习札记
常数； 注意：幂函数与指数函数的区别． 2.幂函数的性质： （1）幂函数的图象都过点 (1,1) ；任何幂函数都不过 第四 象限； （2）当 0 时，幂函数在 [0, ) 上单调递增；当 0 时，幂函数在 (0, ) 上 单调递 减； （3） 在经过点 (1,1) 平行于 y 轴的直线的右侧， 按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 下 到 上 分布； (4)当 2, 2 时，幂函数是 偶函数 ； 当 1,1,3, 时，幂函数是 奇函数 ．
苏教版数学高一《指数函数》 同步导学案 苏教
【解】(1)已知本金为a 元,利率为r 则:1期后的本利和为(1)y a a r a r =+⨯=+2期后的本利和为2(1)(1)(1)y a r a r r a r =+++=+ ……………………………x 期后的本利和为(1),xy a r x N *=+∈ (2)将1000, 2.25%,5a r x ===代入上式得1117.68y ≈(元).答:5期后的本利和为1117.68元点评:审清题意是求函数关系式的关键；同时要能从具体的、特殊的结论出发，归纳、总结出一般结论．例3：20002002年，我国国内生产总值年平均增长7.8%左右．按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2010年我国国内生产总值约为2000年的多少倍（结果取整数）．【解】设2000年我国的年生产总值为a ,则年生产总值y 随时间x (年)的函数关系可 表示为(10.078) 1.078,x x y a a x N *=⋅+=⋅∈图象为由图象可见经过10年国内生产总值约2倍.或当10x =时 101.0782y a a =⨯≈，答:2010年我国国内生产总值约为2000年的2倍.点评:建立函数关系是解决实际问题的重要方法，同时利用函数图象求方程的近似解是常用方法．追踪训练一1.（1） 一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件a 个,计划从今年开始的m 年内,每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长%p ,则此种规格电子元件的年产量y 随年数x 变化的函数关系式为 _______________（2）一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件的成本是a 元/个, 计划从今年开始的m 年内, 每年生产此种规格电子元件的单件成本比上一年下降%p ,则此种规格电子元件的单件成本y 随年数x 变化的函数关系式是____________________________________．2. 2000年10月18日,美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息:”市政委员会今天宣布:本市垃圾的体积达到350000m ”,副标题是:”垃圾的体积每三年增加一倍”.如果把三年作为垃圾体积加倍的周期,请你完成下面关于垃圾体积3()V m 与垃圾体积的加倍的周期(3年)数n 的关系的表格,并回答下列问题:周期数n体积()3V m0 0500002⨯ 1 1500002⨯ 22500002⨯……n 500002n ⨯(1) 设想城市垃圾的体积每三年继续加倍,问24年后该市垃圾的体积是多少? (2) 根据报纸所述的信息,你估计3年前垃圾的体积是多少? (3) 如果2n =-,这时的,n V 表示什么信息?(4) 写出n 与V 的函数关系式,并画出函数图象(横轴取n 轴); (5) 曲线可能与横轴相交吗?为什么?解:(1)由于垃圾的体积每3年增加1倍,24年后即8个周期后, 该城市垃圾的体积是8350000212800000()m ⨯=.(2) 根据报纸所述的信息,估计3年前垃圾的体积是1350000225000()m -⨯=.(3)如果2n =-,这时的n 表示6年前,V 表示6年前的垃圾.（4）n 与V 的函数关系式是500002nV =⨯，图象如图（5）对任意整数n ，有20n >，所以5000020nV =⨯>，曲线不可能与横轴相交.。
苏教版高中数学必修一《函数的概念和图象》导学案
2.1.1 函数的概念和图象一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)准确利用前面所学的集合以及对应的语言来刻画函数；(2)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；(3)会画一些简单函数的图象。
2．预习提纲：(1)强化对函数的概念的认识阅读教材第23-25页以及典型例题例1-5，教材开头以三个问题引出函数的概念，这三个函数分别以表格、解析式、图象形式给出的，具有一定的代表性。
教材的例1和典型例题例1、例3是从“数”的角度深化对函数概念的认识，教材例2以及典型例题例4都是求函数的定义域，要注意对常见的约束条件的认识，教材例3和典型例题例4-5都是求函数的值域问题，要掌握求值域的常见方法。
(2)养成通过“形”(主要指图象)来研究函数的习惯阅读教材第27-30页，教材例4目的是熟悉一次函数和二次函数图象的作法，而例5是离散型的函数图象(由一些孤立的点组成)，例6是函数图象的一个直接应用(比大小)，可以体会到图象的直观性的好处。
(3)完成自我测试题3．典型例题例1 判断下列对应关系是否为函数关系。
（1）|Rx∈∈,；y|xyx=→，R（2）x y x 1=→,}2,0,1{-∈x }21,0,1{-∈y ； （3）x y →为x 的平方根，R y x ∈+∞∈),,0(。
分析：欲判断一个对应A →B 是否为函数，必须抓住函数概念的实质，即A 中元素的任意性，B 中元素的惟一性。
解：(1)对于任意一个实数x ，||x 被惟一确定，所以这个对应是函数；(2)对于0=x ，在}21,0,1{-中没有元素与它对应，所以这个对应不是函数；(3)对于1=x ，有两个元素1±与它对应，所以这个对应也不是函数。
点评：函数的本质是两个非空数集之间的一种单值对应，把握函数定义中的“非空”、“每一个”、“惟一”三个关键词，并能据此判断一个对应是否是函数。
例2 判断下列函数()f x 与()g x 是否表示同一函数，为什么？（1）0()(1)()1f x x g x =-=，； （2）()()f x x g x ==，（3）22()()(1)f x x g x x ==+，； （4）2()()f x g x x ==， 分析：相同函数是指定义域、对应法则、值域都相同的函数，由于这些函数都是以解析形式给出，因此，可以用研究其函数的定义域与对应法则是否相同来说明两个函数是否相同。
高中数学 第二章 函数 2.1.1 第2课时 函数的图象学案 苏教版必修1-苏教版高一必修1数学学案
2.1.1 第2课时函数的图象1．理解函数图象的概念，并能画出一些比较简单的函数的图象．(重点)2．能够利用图象解决一些简单的函数问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 函数的图象阅读教材P27开始至例4上的一段，完成下列问题．将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f (x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f (x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f (x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f (x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f (x)的图象．1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)直线x＝a和函数y＝f (x)，x∈[m，n]的图象有1个交点．( )(2)设函数y＝f (x)的定义域为A，则集合P＝{(x，y)|y＝f (x)，x∈A}与集合Q＝{y|y ＝f (x)，x∈A}相等，且集合P的图形表示的就是函数y＝f (x)的图象．( ) 【解析】(1)若a∈[m，n]，则x＝a与y＝f (x)有一个交点，若a∉[m，n]，则x＝a 与y＝f (x)无交点，故(1)错误．(2)Q是一个数集，P是一个点集，显然P≠Q，故(2)错误，但是P的图形表示的是函数y＝f (x)的图象．【答案】(1)×(2)×2．下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数y＝f (x)的图象的有________．(填序号)【解析】能作为函数的图象，必须符合函数的定义，即定义域内的每一个x只能有唯一的y与x对应，故②④可以，①③不可以．【答案】②④教材整理2 作图、识图与用图阅读教材P27例4至P28例6，完成下列问题．作函数的图象(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线．(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口向上，a<0时，图象开口向下，对称轴为x＝－b2a.函数y＝x＋1，x∈Z，且|x|<2的图象是__________．(填序号)【解析】由题意知，函数的定义域是{－1,0,1}，值域是{0,1,2}，函数的图象是三个点，故③正确．【答案】③[小组合作型]作函数的图象作出下列函数的图象，并求函数的值域．(1)y＝3－x(|x|∈N*且|x|<3)；(2)y＝x2－2x＋2(－1≤x<2).【精彩点拨】(1)中函数的定义域为{－2，－1,1,2}，图象为直线上的孤立点．(2)中函数图象为抛物线的一部分．【自主解答】(1)∵|x|∈N*且|x|<3，∴定义域为{－2，－1,1,2}，∴图象为直线y＝3－x上的4个孤立点，如图．由图象可知，值域为{5,4,2,1}．(2)y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1(x∈[－1,2))，故函数图象为二次函数y＝(x－1)2＋1图象上在区间[－1,2)上的部分，如图，x＝1时，y＝1，x＝－1时，y＝5，∴函数的值域为[1,5]．1．画函数的图象，需首先关注函数的定义域．定义域决定了函数的图象是一系列点、连续的线或是其中的部分．2．描点作图，要找出关键“点”，再连线．如一次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点，两点连线即得；二次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点、顶点，连线即得．连线时还需标注端点的虚实．3．函数的图象能体现函数的定义域、值域．这就是数形结合思想．[再练一题]1．将例1(2)中的定义域改为[0,3)，函数的图象与值域变成怎样了．【解】图象变成函数y＝(x－1)2＋1在[0,3)上的部分图象，如图．∵x＝0时，y＝2，x＝3时，y＝5.∴值域变为[1,5)．函数图象的应用已知函数f (x)＝－x2＋2x＋3的图象如图212所示，据图回答以下问题：(1)比较f (－2)，f (0)，f (3)的大小；(2)求f (x)在[－1,2]上的值域；(3)求f (x)与y＝x的交点个数；(4)若关于x的方程f (x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．图212【精彩点拨】从图象上找到对应问题的切入点进而求解．【自主解答】(1)由题图可得f (－2)＝－5，f (0)＝3，f (3)＝0，∴f (－2)<f (3)<f (0)．(2)在x∈[－1,2]时，f (－1)＝0，f (1)＝4，f (2)＝3，∴f (x)∈[0,4]．(3)在图象上作出直线y＝x的图象，如图所示，观察可得，f (x)与y＝x有两个交点．(4)原方程可变形为：－x2＋2x＋3＝k，进而转化为函数y＝－x2＋2x＋3，x∈[－1,2]和函数y＝k图象的交点个数问题，移动y＝k易知0≤k<3或k＝4时，只有一个交点．∴0≤k<3或k＝4.1．函数图象较形象直观的反映了函数的对称性，函数的值域及函数值随自变量变化而变化的趋势．2．常借助函数图象求解以下几类问题(1)比较函数值的大小；(2)求函数的值域；(3)分析两函数图象交点个数；(4)求解不等式或参数范围．[再练一题]2．若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．【解】原方程变形为x2－4x＋4＝1－m，即(x－2)2＝1－m，设曲线y1＝(x－2)2，x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图象如图所示，由图可知：①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1；②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3<m≤0，∴m＝1或－3<m≤0.(此题也可设曲线y1＝－(x－2)2＋1，x∈(0,3)和直线y2＝m后画出图象求解)[探究共研型]利用图象的平移变换作函数图象探究1 设f (x)＝x2，则f (x＋1)的表达式是什么，在同一坐标系中，做出两者的图象，这两个图象形状一样吗？位置呢？【提示】 f (x＋1)＝(x＋1)2，两者图象的形状相同，f (x＋1)的图象比f (x)的图象向左了一个单位．如下图(1)．探究2 同一坐标系中做出f (x)＝x2，f (x－2)的图象，观察两者的形状和位置有什么异同？【提示】 f (x－2)＝(x－2)2，f (x)与f (x－2)的图象形状相同，f (x－2)的图象比f (x)的图象向右了2个单位．如下图(1)．(1)探究3 若已知y＝f (x)的图象，如何得到y＝f (x＋a)的图象？【提示】当a>0时，y＝f (x＋a)可由y＝f (x)向左移动a个单位．当a<0时，y＝f (x＋a)可由y＝f (x)向右移动|a|个单位．探究4 若f (x)＝x2，写出y＝f (x)＋1和y＝f (x)－2的表达式，并在同一坐标系中做出三者的图象，观察其形状和位置的异同，由此，结合探究3，若已知f (x)的图象，如何得到y ＝f (x )＋b 的图象？【提示】 y ＝f (x )＋1＝x 2＋1，y ＝f (x )－2＝x 2－2，如图(2)． 由y ＝f (x )的图象得到y ＝f (x )＋b 的图象时，若b >0，把f (x )的图象向上移动b 个单位得y ＝f (x )＋b 的图象． 若b <0，把f (x )的图象向下移动|b |个单位得y ＝f (x )＋b 的图象．(2)用平移图象的方式作出y ＝2＋1x －1的图象，并说明函数y ＝2＋1x －1的值域．【精彩点拨】 y ＝2＋1x －1可以看作y ＝1x先向右移动一个单位，又向上移动2个单位得到．【自主解答】从图象可以看出y ＝2＋1x －1的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．函数图象的平移变换(1)左右平移：a ＞0时，y ＝f (x )的图象向左平移a 个单位得到y ＝f (x ＋a )的图象；a ＞0时y ＝f (x )的图象向右平移a 个单位得到y ＝f (x －a )的图象．(2)上下平移：b ＞0时y ＝f (x )的图象向上平移b 个单位得到y ＝f (x )＋b 的图象；b ＞0时y ＝f (x )的图象向下平移b 个单位得到y ＝f (x )－b 的图象．[再练一题]3．已知函数y ＝1x，将其图象向左平移a (a >0)个单位，再向下平移b (b >0)个单位后图象过坐标原点，则ab 的值为________．【解析】 y ＝1x ――→左移a y ＝1x ＋a ――→下移b y ＝1x ＋a －b 过(0,0)，故1a－b ＝0，∴1－ab ＝0，∴ab ＝1.【答案】 11．对于集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，则由下列图形给出的对应f 中，能构成从A 到B 的函数的是________．(填序号)【解析】 (1)中有一部分x 值没有与之对应的y 值；(2)中出现“一对多”的关系，不是函数关系；(3)中当x ＝1时对应两个不同的y 值，不构成函数；(4)中对应关系符合函数定义．【答案】 (4)图2132．函数y ＝f (x )的图象如图213所示．填空： (1)f (0)＝________； (2)f (－1)＝________； (3)f (－3)＝________； (4)f (－2)＝________；(5)f (2)＝________； (6)f (4)＝________；(7)若2<x 1≤x 2<4，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是________．【解析】 由图象知f (0)＝4，f (－1)＝5，f (－3)＝0，f (－2)＝3，f (2)＝2，f (4)＝6，当2<x 1≤x 2<4时，f (x 1)≤f (x 2)．【答案】 (1)4 (2)5 (3)0 (4)3 (5)2 (6)6 (7)f (x 1)≤f (x 2)3．下列图形是函数y ＝－|x |(x ∈[－2,2])的图象的是________．(填序号)【解析】 y ＝－|x |，当x ＝2时，y ＝－2，当x ＝－2时，y ＝－2.故选②. 【答案】 ②4．一次函数y ＝3x ＋1，x ∈N *且3≤x ≤6的图象上有________个孤立的点． 【解析】 当x ∈[3,6]，且x ∈N *时，x 的取值为3,4， 5,6，共有4个孤立点． 【答案】 45．作出下列函数的图象，并指出其值域． (1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x(－2≤x ≤1，且x ≠0).【解】 (1)用描点法可以作出y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)的图象，如图所示．易知y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.(2)用描点法可以作出y ＝2x(－2≤x ≤1，且x ≠0)的图象，如图所示．2 x (－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．易知y＝。
江苏省高中数学学案苏教版必修1：8《函数的概念和图象》.doc.docx
第 8 课时函数的概念和图象【学习目标】1．理解函数的概念，明确函数的三个要素；2．学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法；理解静与动的辩证关系.【课前导学】（一）引入问题【问题 1】初中我们学过哪些函数？答：正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数．【问题 2 】初中所学函数的定义是什么？答：设在某变化过程中有两个变量x 和 y，如果给定了一个x 的值，相应地确定唯一的一个y 值，那么就称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量， y 是因变量．（二）函数感性认识【引例1】炮弹飞行时间的变化范围是数集A{ x 0x26} ，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集B { h 0 h 845} ，对应关系 h130t5t 2（ * ）．从问题的实际意义可知，对于数集 A 中的任意一个时间 t，按照对应关系（ * ），在数集 B 中都有唯一确定的高度h 和它对应．【引例2】中数集A{t 1979 t2001} ， B{ S 0S26} ，并且对于数集A中的任意一个时间t，按图中曲线，在数集 B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应．【引例3】中数集A{1991,1992,,2001}, B{53.8,52.9,,37.9(%)} ，且对于数集A中的每一个时间（年份），按表格，在数集 B 中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应．【课堂活动】一．建构数学：（一）归纳总结给函数“定性”归纳以上三例，三个实例中变量之间的关系都可以描述为两个数集A、 B 间的一种对应关系：对数集A 中的每一个 x，按照某个对应关系，在数集 B 中都有唯一确定的 y 和它对应，记作 f : A B ．（二 )理性认识函数的定义设 A ．B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称 f : A B 为从集合A到集合 B 的一个函数（function），记作 y f ( x), x A ，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain），与x的值相队对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合{ f (x) x A} 叫做函数的值域(range)．定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；（ 1）对应法则： f (x) 是一个函数符号，表示为“ y 是 x 的函数” , 绝对不能理解为“y 等于 f 与 x 的乘积”，在不同的函数中， f 的具体含义不一样；y=f(x) 不一定是解析式，在不少问题中，对应法则 f 可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号 f (x) 表示外，还常用g(x) ．F(x) ．G(x) 等符号来表示；自变量 x 在其定义域内任取一个确定的值 a 时，对应的函数值用符号 f (a)来表示．如函数 f (x)=x 2+3x+1,当 x=2 时的函数值是： f (2)=22．+3×2+1=11注意： f (a) 是常量， f (x)是变量， f (a) 是函数 f (x) 中当自变量 x=a 时的函数值．（ 2）定义域是自变量x 的取值范围；【注意】 ①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；如： y=x 2(x R )与 y=x 2(x>0) ； y=1 与 y=x 0②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数 x 的集合；在实际中，还必须考虑 x 所代表的具体量的允许值范围； 如：一个矩形的宽为 xm ，长是宽的 2 倍，其面积为 y=2x 2， 此函数的定义域为x>0, 而不是 xR ．（ 3）值域 是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定．二．应用数学 ：例 1 判断下列对应是否为函数：（ 1） x1R ；, x 0, xx（ 2） xy ，这里 y 2x, x N , y R ．分析：依据函数的定义． （解答见教材 P 23 例 1）例 2 已知函数 f (x)x 31 ，x 2（ 1）求函数的定义域；（ 2 ）求 f ( 3), f ( 2) 的值；3（ 3）当 a>0 时，求 f (a), f (a 1) 的值．【思路分析】函数的定义域就是指能使表达式有意义的实数的集合． 解：略．例 3 求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1；(2)f(x) ＝ 3x ＋ 2 ；(3) f(x)＝ x ＋1 ＋ 1．x － 22－ x解： (1)x － 2≠ 0，即 x ≠ 2 时， 1x － 2有意义，∴这个函数的定义域是 { x ｜ x ≠ 2} ．2(2)3x ＋ 2≥ 0，即 x ≥－ 3时 3x ＋2 有意义，∴函数 y ＝ 3x ＋ 2 的定义域是 [－23 ，＋∞）．(3)x ＋ 1≥0 x ≥－ 1，2－ x ≠0 x ≠ 2∴这个函数的定义域是 { x ｜ x ≥－ 1} ∩ { x ｜ x ≠ 2} ＝ [ － 1， 2）∪（ 2，＋∞）．【说明】 给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合．从上例可以看出，当确定用解析式y=f (x) 表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：（ 1）如果 f (x) 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；（2）如果 f (x) 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；（3）如果 f (x) 是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；（4）如果 f (x) 是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；（ 5）如果 f (x) 是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．由上可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定．例 4 下列函数中哪个与函数y x 是同一个函数？⑴ y23 x3；⑶ y x2．x ；⑵ y解：⑴ y20 ）,y0，定义域不同且值域不同，不是；x ＝x（ x⑵ y3x 3＝ x （x R ）,y R ，定义域值域都相同，是同一个函数；⑶ y x 2＝ | x |=x, x0, y0 ；值域不同，不是同一个函数x x0【解后反思】判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同．只有完全一致时，这两个函数才算相同．例 5 求函数 f(x)=(x-1) 2+1,x ∈ {-1,0,1,2,3} 的值域．略解：值域为 {2,1,5,} ．注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.②符号“ f： A→ B”表示 A 到 B 的一个函数，它有三个要素；定义域．值域．对应关系，三者缺一不可 .③集合 A 中数的任意性，集合 B 中数的惟一性 .④ f 表示对应关系，在不同的函数中， f 的具体含义不一样 .⑤ f(x) 是一个符号，绝对不能理解为 f 与 x 的乘积 .三．理解数学：1．求下列函数的定义域：1x 4x 2 ；(3) f ( x)x 1（ 1）f ( x)； (2) f (x)1(1 2x)( x 1) 2 x 2．求下列函数的值域：(1)y＝ 1－ 2x（ x∈R）；(2)y＝｜ x｜－ 1x∈ { － 2，－ 1， 0， 1， 2} ；(3)y＝ x2＋ 4x＋ 3（－ 3≤x≤ 1）．分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.对于 (1)(2) 可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2) 的值域 .对于 (3) 可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”.解： (1)y∈R(2)y∈ {1 ，0，－ 1}2(3)画出 y＝ x ＋ 4x＋3（－ 3≤ x≤ 1）的象，如所示，当 x∈[ －3， 1]，得 y∈ [－ 1， 8]【后提升】1．下列各中的两个函数是否相同的函数？① y1(x3)( x5)x5x3， y2（定域不同）② y1x1x1 ，y2(x 1)( x1)（定域不同）③ f 1 ( x)( 2x 5 )2， f2 (x)2x5（定域．域都不同）2f ( x) 的象与直x1的公共点数目是．或1．函数 y3．求函数 f(x)=(x-1) 2+1 的域．（答： {y|y ≥ 1}4．求下列函数的定域：1） y=12） y=1．11 | x |x 2x 2答案：（ 1) {x|x ∈ R,且 x≠± 1} ；（2） {x|xx ∈ R,且 x≠1,2,3} ．5．某胞分裂，由一个分裂成 2 个， 2 个分裂成 4 个， 4 个分裂成8 个⋯⋯，将胞分裂的个数y 表示分裂次数 x 的函数．（答案 y=2x,x∈ N）。
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执笔人：夏文秀审核人：2011年9月日
第二章函数的图像第 2 课时
【教师活动】
【教学目标】
1.能够作出简单函数的图
像
2.通过作图，了解图象可以
是连续的曲线，也可以是
散点
3.通过教学，培养学生数形
结合的能力
【教学重难点】
作函数的图象，会从图像看出函【教学准备】
多媒体
【教学活动】
1 问题情境
2 师生互动
3 建构数学
4 数学应用
5 课堂练习
【教学反思】【学生活动】
【学习目标】
1．会画简单函数的图像
2.能够从图像中看出函数的定义域和值域
【课时安排】
1课时
【课前预习】
如何画一次函数、二次函数以及反比例函数的图像
【课堂探究】
一．问题情境
1.回忆初中所学的一次函数，反比例函数和二次函数的图
2.是不是每一个函数都可以用图象表示呢？怎样才能准确数的图象呢？
二．师生互动
三．建构数学
1．函数的图像的概念：
注意点：
四．数学应用
例1画出下列函数的图象：
（1）f(x)＝x＋1；
（2）f(x)＝x＋1，x∈{－1，0，1，2，3}；
（3）f(x)＝(x－1)2＋1，x∈R；
（4）f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，3)．
例2书26页例5
例3．试画出函数f(x)＝x2＋1的图象，并根据图象回答下（1）比较f(－2)，f(1)，f(3)的大小；
（2）若0＜x1＜x2，试比较f(x1)与f(x2)的大小．。