指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
2024-2025年北师大版数学必修第一册4.4-5指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(带答案)
§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较§5信息技术支持的函数研究必备知识基础练知识点一指数函数、幂函数、对数函数增长的差异1．研究函数y＝0.5e x－2，y＝ln (x＋1)，y＝x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．知识点二指数函数、幂函数、对数函数增长的比较2．下面对函数f(x)＝log12 x，g(x)＝(12)x与h(x)＝x－12在区间(0，＋∞)上的衰减情况的叙述正确的是( )A．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变慢B．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变快C．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变慢D．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变快3．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2 D．x2>log2x>2x4．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象关于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2．(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)的大小．知识点三指数函数、幂函数、对数函数的实际应用5．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？(可用计算器)关键能力综合练1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 3x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人对应的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 3xD ．f 4(x )＝2x2．以下四种说法中，正确的是( ) A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B ．对任意的x >0，x a>log a x C ．对任意的x >0，a x >log a xD ．一定存在x 0，当x >x 0，a >1，n >0时，总有a x>x n>log a x 3．已知－1<α<0，则( )A ．0.2α>(12 )α>2αB ．2α>0.2α>(12 )αC ．(12 )α>0.2α>2αD ．2α>(12 )α>0.2α4．有一组实验数据如下表所示：A ．y ＝log a x (a >1)B ．y ＝ax ＋b (a >1)C ．y ＝ax 2＋b (a >0) D ．y ＝log a x ＋b (a >1) 5.如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的关系图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( ) A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t26．(探究题)某校甲、乙食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份( )A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高7．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．8．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝e kt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________，经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．9．(易错题)某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．核心素养升级练1．(多选题)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i(x)(i ＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x3，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则以下结论正确的是( )A．当x>1时，甲走在最前面B．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲2．(情境命题—生活情境)某地区第1周、第2周、第3周患某种传染病的人数分别为52，54，58.为了预测以后各周的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y ＝p·q x＋r，其中y为患病人数，x为周数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果第4周、第5周、第6周的患病人数分别为66，82，115，你认为谁选择的模型较好？§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较§5信息技术支持的函数研究必备知识基础练1．解析：分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图所示，从图象上可以看出函数y＝0.5e x－2的图象首先超过了函数y＝ln (x＋1)的图象，然后又超过了函数y＝x2－1的图象，即存在一个x0满足0.5e x0－2＝x2－1，当x>x0时，ln (x ＋1)<x2－1<0.5e x－2.y＝ln (x＋1)增长最慢，y＝0.5e x－2增长最快．2．答案：C解析：由函数f(x)＝log12 x，g(x)＝(12)x与h(x)＝x－12在区间(0，＋∞)上的图象(图略)知函数f(x)，g(x)，h(x)的衰减速度均逐渐变慢，故选C.3．答案：B解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略)，由图象，可知在区间(2，4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象．所以当2<x<4时，x2>2x>log2x.4．解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<6<x2.由图可知g(6)>f(6).5．解析：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N＋)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．画出三个函数的图象，如图所示，由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累计的回报数．列表如下：因此，投资1～6天，应选择第一种投资方案；投资7天，应选择第一或第二种投资方案；投资8～10天，应选择第二种投资方案；投资11天(含11天)以上，应选择第三种投资方案．关键能力综合练1．答案：D解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )，f 4(x )的图象(图略)，可知当x >4时，f 4(x )>f 1(x )>f 2(x )>f 3(x )，故选D.2．答案：D解析：对于A ，幂函数的增长速度受指数影响，指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B ，C 中x a ，log a x ，a x的大小都受a 的影响，选D.3．答案：A解析：∵12 >0.2，－1<α<0，∴2α<(12 )α<0.2α.故选A.4．答案：C解析：通过所给数据可知y 随x 增大，其增长速度越来越快，而A 、D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C.5．答案：A解析：由题中图象可知该函数模型为指数函数． 6．答案：A解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a >0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x .由题意，可得m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m （m ＋8a ） .因为y 21 －y 22 ＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2>0，所以y 1>y 2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．7．答案：y ＝x 2解析：当x 变大时，x 比ln x 增长要快，∴x 2要比x ln x 增长得要快． 8．答案：2ln 2 1 024解析：设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝e k2 ，解得k ＝2ln 2，y (5)＝e(2ln2)·5＝e10ln 2＝210＝1 024(个).9．答案：②③解析：由t ∈[0，3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1).反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3，8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停止生产，所以②③正确．核心素养升级练1．答案：BCD解析：路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为：f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 3，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1).它们相应的函数模型分别是指数型函数、幂函数、一次函数和对数型函数模型． 当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝8，∴选项A 不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x ＝1时甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面，∴选项B 正确；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，∴选项C 正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体．∴选项D 正确．故选B 、C 、D.2．解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ·12＋b ·1＋c ＝52，a ·22＋b ·2＋c ＝54，a ·32＋b ·3＋c ＝58， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝52，4a ＋2b ＋c ＝54，9a ＋3b ＋c ＝58， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝52， 所以甲：y 1＝x 2－x ＋52，又⎩⎪⎨⎪⎧p ·q 1＋r ＝52， ①p ·q 2＋r ＝54， ②p ·q 3＋r ＝58， ③②—①，得p ·q 2－p ·q 1＝2， ④ ③—②，得p ·q 3－p ·q 2＝4， ⑤ ⑤÷④，得q ＝2.将q ＝2代入④式，得p ＝1. 将q ＝2，p ＝1代入①式，得r ＝50， 所以乙：y 2＝2x＋50.计算当x ＝4时，y 1＝64，y 2＝66； 当x ＝5时，y 1＝72，y 2＝82； 当x ＝6时，y 1＝82，y 2＝114. 可见，乙选择的模型较好．。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
2
1
0
0
200
400
600
800
1000
1200
对于模型由y=1.002x函数图像并利用计算 器满,足可1以.0知02道x0=在5,由区于间它(80在5,区80间6)[内10有,1一00个0]上点递x0 增,因此当x>x0时,y>5,因此该模型也不符合 要求;
5
4 3y=㏒7x2100
500
1000
当x比较大时，y=2x比y=x2增长得更快。
5、在区间(0,＋∞)上,当a＞1,n＞0时,当x足 够大时,随着x的增大,y=ax的增长速度越来 越快,会超过并远远大于y=xn的增长速度,而 y=logax的增长速度则越来越慢.
因此,总会存在一个x0， 使得当x＞x0时，一定有ax＞xn＞logax.
练习
2、作图像，试比较函数y=4x,y=x4, y=log4x 的增长情况. y=x4 y y=4x
y=log4x
x
小结 比较了指数函数、幂函数、对数函数的增长
在区间(0,＋∞)上,当a＞1,n＞0时,当x足够大 时,随着x的增大,y=ax的增长速度越来越快, 会超过并远远大于y=xn的增长速度,而 y=logax的增长速度则越来越慢.
O (1,0)
x
幂函数
3.当x＞0，n＞0时，幂函数y=xn是增函数， 并且对于x＞1，当n越大时，其函数值的 增长就越快。
y=x2 y y=x4
6 5 4 3 2 1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
y 3x
y 2x
y
O (1,0)
y=log2x y=log3x y=log5x
x
y=x2 y y=x4
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(45张PPT)——高中数学必修第一册
一次函数y＝kx(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)和对数函数y＝logbx(b＞1)的增长有何差异？
一般地，无论k(k＞0)、a(a＞1)、b(b＞1)如何取值，三种函数在区间(0，＋∞)上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值．
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
【解析】(1)由于指数型函数的增长式为爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y=的增长速度最快，故选A.
(2)从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.
x
y=2x
y=2x
0
1
0
2
4
4
4
16
8
6
64
12
8
256
16
10
1024
20
12
4096
24
…
…
…
可以看到，当自变量x越来越大时，y＝2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长；而函数y＝2x的增长速度依然保持不变，与函数y＝2x的增长速度相比几乎微不足道．
北师大版高一数学必修1课件：3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
快的是指数函数y=5x,故选D.
(2)指数函数中的增长量是成倍增加的,函数y1中增长量分别为
6,18,54,162,486,1 458,4 374,…,是成倍增加的,因而y1呈指数变化.
答案:(1)D (2)y1
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4>
1
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2
>
1 4
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探究一
探究二
探究三
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当堂检测
1.比较函数值大小的关键在于构造恰当的函数,若指数相同而底 数不同,则考虑幂函数;若指数不同而底数相同,则考虑指数函数;若 底数不同,指数也不同,则需引入中间量.
解析:根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图像的特 点,a,c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函 数.b,d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数.
答案:C
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
f(10)=210=1 024,g(10)=103=1 000,f(10)>g(10),
所以x2∈[9,10],即b=9.
综上可知,a=1,b=9.
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4．某工厂 12 月份的产量是 1 月份产量的 7 倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是 ________．
解析：设这一年的月平均增长率为 x,1 月份产量为 a， 则 a(1＋x)12＝7a，∴x＝ 12 答案： 7－1 12 7－1.
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【例 3】 下面给出 f(x)与 f(x＋1)－f(x)随 x 的增大而得到的函数值列表. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 2 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 x x2 2x＋7 x log2x 1 1 9 1 0 2 4 11 1.4142 1 3 9 13 1.7321 1.5850 4 16 15 2 2 5 25 17 2.2361 2.3219 6 36 19 2.4495 2.5850 7 49 21 2.6458 2.8074 8 64 23 2.8284 3 9 81 25 3 3.1699 10 100 27 3.1623 3.3219
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指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增 长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化 规律． 虽然对指数函数、对数函数以及幂函数各自的单调性都有了比较清楚的认识，但是对这三种 函数增长的差异总是认识不清，突破的思路有二：一是使用科学计算器，计算这三个函数所 对应的一系列函数值，再计算并观察函数值的变化量，从中分析三个函数的函数值增长的快 慢情况，感知其增长的差异；二是借助于图像的直观性，感知其增长的差异．
指数函数幂函数对数函数增长的比较教案
指数函数幂函数对数函数增长的比较教案
指数函数、幂函数和对数函数增长的比较教案
教学目标
通过本教案的学习，学生将能够：
理解指数函数、幂函数和对数函数的定义；
理解指数函数、幂函数和对数函数的增长特点；
比较指数函数、幂函数和对数函数在不同增长情况下的差异。
教学步骤
1.引入
引导学生回顾函数的基本概念，并复习函数的图像、定义域和值域的表示方法。
2.指数函数
定义：指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是常数且大于0，x是自变量。
指数函数的图像特点：
当a>1时，函数呈现上升的指数增长趋势；
当0<a<1时，函数呈现下降的指数增长趋势。
3.幂函数
定义：幂函数是形如y=x^a的函数，其中a是常数，x是自变量。
幂函数的图像特点：
当a>1时，函数呈现上升的幂函数增长趋势；
当0<a<1时，函数呈现下降的幂函数增长趋势。
4.对数函数
定义：对数函数是形如y=log<sub>a</sub>(x)的函数，其中a是常数且大于0，x是自变量。
对数函数的图像特点：
当a>1时，函数呈现上升的对数增长趋势；
当0<a<1时，函数呈现下降的对数增长趋势。
指数函数对数函数幂函数增长的比较老师版本
1．三种函数的增长特点(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．2．三种函数的增长比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝x n(n＞0)，指数函数y＝a x(a＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有a x＞x n＞log a x.[小问题·大思维]1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立．2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.[研一题][例1] 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x0510********关于x呈指数型函数变化的变量是________．[自主解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．[答案] y2[悟一法]解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．[通一类]1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小.[研一题][例2] 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[自主解答] 设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N)．＋作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.天数1234567891011…累积收益方案一4080120160200240280320360400440…二，投资十一天及其以上，应选方案三．[悟一法](1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．[通一类]2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 解：(1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252；(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100，∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.若x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在(0，12)内的上下位置关系，再构建不等式求解．[妙解] 设y 1＝x 2，y 2＝log m x ，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m ＜1.当x ＝12时，y 1＝14，若两函数在x ＝12处相交，则y 2＝14.由14＝log m 12得m ＝116，又x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，因此，实数m 的取值范围为116≤m ＜1.1．下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝(12)x 在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D．f(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越快答案：C2．下列所给函数，增长最快的是( )A．y＝5x B．y＝x5C．y＝log5x D．y＝5x 答案：D3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x) C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x 答案：C4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x图像的上方，则f(x)＞g(x)．答案：f(x)＞g(x) 5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9150，∴x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9x50.答案：y＝0.9x50·m6．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x；(2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，g(x)＞f(x)．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A ．y ＝10xB ．y ＝lg xC ．y ＝x 10D ．y ＝10x 答案：D 2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被的面积可增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图像为( )解析：y ＝f (x )＝(1＋10.4%)x ＝1.104x 是指数型函数，定义域为{0，1，2，3，4…}，由单调性，结合图像知选D.答案：D3．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )解析：由图像可知，y ＝2x 与y ＝x 2的交点有3个，说明函数y ＝2x －x 2与x 轴的交点有3个，故排除B 、C 选项，当x <x 0时，有x 2>2x 成立，即y <0，故排除D.答案：A4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( ) A ．h (x )＜g (x )＜f (x ) B ．h (x )＜f (x )＜g (x ) C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x )解析：在同一坐标下作出函数f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的图像，由图像知，D 正确．答案：D二、填空题5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2004年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2014年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________． 答案：y ＝15(1＋x )106．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y ＝f (x )的图像恰好经过k 个格点，则称函数y ＝f (x )为k 阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．①y ＝x 2；②y ＝x －1；③y ＝e x －1；④y ＝log 2x .解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1，1)，(－1，－1)；而③y ＝e x －1除了(0，0)外，其余点的坐标都与e 有关，所以不是整点，故③符合．答案：③7．若a ＝(35)x ，b ＝x 3，c ＝log 35x ，则当x ＞1时，a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵x ＞1，∴a ＝(35)x ∈(0，1)，b ＝x 3∈(1，＋∞)，c ＝log 35x ∈(－∞，0)．∴c ＜a ＜b .答案：c ＜a ＜b8．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y 1＝x 2，y 2＝a x 的图像：要使x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，只要当x ＝－1时有(－1)2－a －1≤12，解得a ≤2，∴1＜a ≤2.当0＜a ＜1时，同理，只需12－a 1≤12，即a ≥12. ∴12≤a ＜1. 综上所述，a 的取值范围是[12，1)∪(1，2]． 答案：[12，1)∪(1，2]三、解答题9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同． 试通过计算说明，谁将在合同中获利？解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，第一天得到1分， 第二天得到2分， 第三天得到4分， 第四天得到8分， 第20天得到219分， ……第31天得到230分，使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈214 7.48(万元)． 所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．10．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算机作出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10，1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x 的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万． 对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10，1 000]上单调递增，当x ∈(20，1 000)时，y ＞5，因此该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x ，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10，1 000]时，是否有y x＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10，1 000]． 利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图)，由图像可知它是单调递减的，因此f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，log 7x ＋1＜0.25x .所以，当x ∈[10，1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求．。
指、幂、对函数增长的比较(绝对精品)
总结:要点点拨
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
【目标回顾】
1. 2. 3. 通过学习，是否理解并掌握了三种函数增长的差异； 通过学习，是否学会了简单的数据分析； 通过学习，是否掌握了数形结合思想的应用.
作业:巩固提升
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
作业
参见学案，请及时完成.
结语:勇往直前
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
人要学会走路，也得学会摔跤，而 且只有经过摔跤才能学会走路。 ——马克思
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y=2x
y=x2 y=log2 x
2
1 04 41源自89 1.584 9
16 16
16 16 2
32
25
64
36
128
49
256
64 3
…
… …
2.321 9 2.584 9 2.807 3
二：请用图形计算器或计算机软件作图，并观 察图像，体会它们增长的快慢？
探究②:得结论
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
图像观察结果
越来越慢 x轴平行一样
慢于 快于 远快于
反馈:学以致用
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
解析：5个.
数形结合，转化为图像交点问题.
解析：2个.
数形结合，转化为图像交点问题.
小结：通过解答以上两个小题，请同学们理解并掌握 数形结合思想在函数研究中的应用.
y=2x
函数值的变化量 y=x100
y=log2x
3.321 928 1 3.321 928 1 1.584 962 5 0.736 965 6 0.485 426 8 0.362 570 1 0.152 003 1 0.137 503 5 0.125 530 9
幂函数对数函数指数函数增长速度比较
幂函数对数函数指数函数增长速度比较幂函数、对数函数和指数函数是高中数学中经常涉及的三种基本函数类型。
这三种函数具有不同的定义和性质，它们的增长速度也各不相同。
下面，我将从三个方面分别阐述幂函数、对数函数和指数函数的增长速度及其比较。
一、幂函数的增长速度幂函数的一般形式为y=x^a，其中a为正实数，x为自变量，y为因变量。
当a>1时，幂函数的增长速度比线性函数快，而当0<a<1时，则比线性函数慢。
幂函数随着x的增大而增大，增长速度越来越快，但增长速度的大小与指数a的大小有关。
例如，y=x^2和y=x^3的增长速度比y=x和y=x^1.5快，因为x^2和x^3比x和x^1.5的增长速度更快。
另一方面，y=x^0.5和y=x^0.3的增长速度比y=x慢，因为x^0.5和x^0.3比x的增长速度更慢。
二、对数函数的增长速度对数函数的一般形式为y=loga(x)，其中a为正实数且a ≠ 1，x为正实数。
对数函数随着x的增大而增加，但增长速度非常缓慢。
例如，y=log2(x)和y=log3(x)的增长速度比y=log5(x)和y=log10(x)慢，因为以2或3为底的对数的增长速度比以5或10为底的对数慢。
三、指数函数的增长速度指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为正实数且a ≠ 1，x为自变量。
指数函数随着x的增大而快速增加。
例如，y=2^x和y=3^x的增长速度比y=1.5^x和y=1.1^x快，因为2和3比1.5和1.1更大。
比较三种函数的增长速度根据上述三种函数的增长速度特性，我们可以得出以下结论：1. 当x越来越大时，指数函数的增长速度最快，其次是幂函数，最慢的是对数函数。
2. 如果幂函数和指数函数的底相同，那么指数函数的增长速度比幂函数快。
例如，y=2^x的增长速度比y=x^2的增长速度快。
3. 如果对数函数和指数函数的底相同，那么对数函数的增长速度比指数函数慢。
例如，y=log2(x)的增长速度比y=2^x的增长速度慢。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
§３．6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【使用说明与预习指导】1、 认真阅读课本第98--103页的内容，认真归纳出98—99页三个表的规律以及100-103页信息技术应用部分得到的规律，规范填写预习案部分的内容，并熟记基础知识。
2、 根据预习到的知识和以前学过的知识，小组合作、讨论完成【探究案】部分的内容，由组长负责，拿出讨论结果，准备展示、点评。
3、 及时整理展示、点评的结果（用双色笔），独立完成【检测案】部分的内容并和组员核对结果。
【学习目标】1.通过观察和类比函数图象，体会三种函数增长的快慢。
2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
3.培养学生数形结合的思想以及分析推理能力 【重点难点】重点：认识指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异，体会直线上升、指数爆炸，对数增长的含义； 难点：比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异。
【预习案】1、幂函数的图像和性质： 函数 性质 y x =2y x =3y x =12y x =1y x -=定义域 值 域 单调性奇偶性 定点坐标幂函数的图像一定过 ，一定不过 。
2、指数函数与对数函数的图像和性质： 指数函数对数函数图 像性 质定义域： 定义域： 值 域： 值域： 定点坐标：定点坐标：当0x >时， ，当0x <时， 当1>x 时， ，当10<<x 时， 单调性：单调性：x y a =的图像与1()x y a=的图像关于对称log a y x =的图像与1log ay x =的图像关于 对称x y a =与log a y x =互为 ，它们的图像关于 对称。
【探究案】探究1.在左下图中画函数xy 2=、2x y =的图像。
x0 1 2 3 4 5 x y 2=3x y =探究2.在右下图中画函数xy 3=、3x y =的图像。
x0 1 2 3 4 x y 3=3x y =结合上图及课本98—99页、100—103页的内容可得下面的结论：①在同一坐标系中，指数函数x a y =与幂函数ax y =有 个交点。
第四章-§4-指数函数、幂函数、对数函数增长的比较高中数学必修第一册北师大版
C.∀ > 0, > log
D.不一定存在0 ,当 > 0 时，总有 > > log
【解析】对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，
幂指数与一次项系数不确定,增长速度不能比较.对于B，C，当0 < < 1时，显然不
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
( D
)
A. = 2 − 2
B. =
1
2
C. = log 2
D. =
1
2
2 − 1
【解析】由于一次函数 = 2 − 2是均匀增加的，因此A不对；指数函数 =
1
是
2
单调递减的，也不符合要求，因此B不对；对数函数 = log 2 的增长速度先快后慢，
当 > 2 时， > ，
∴ 2 021 > 2 021 .
又 2 021 > 6 ，
∴ 2 021 > 2 021 > 6 > 6 .
题型2 函数增长模型的应用
例7 某公司为了实现1 000万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案：
在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利
【答案】函数 = , = 和 = 在 , +∞ 上都是增函数，随着的增大，
= 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 = 和 = 的增长速度，而
= 的增长速度越来越慢, = 的增长速度介于两者之间.
第3章 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学习目标：1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性．(重点)2.会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢．(难点)[自主预习·探新知]指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读教材P98～P103有关内容，完成下列问题．1．三种函数的增长趋势当a>1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x>0，n>1时，幂函数y＝x n也是增函数，并且当x>1时，n越大，其函数值的增长就越快．思考1：在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是哪个函数？[提示]指数函数2．三种函数的增长对比对数函数y＝log a x(a>1)增长最慢，幂函数y＝x n(n>0)，指数函数y＝a x(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有a x>x n>log a x.思考2：在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有log a x<x n<a n成立？[提示]不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，log a x<x n<a x成立．[基础自测]1．思考辨析(1)y ＝x 10比y ＝1.1x 的增长速度更快些．( )(2)对于任意的x >0，都有2x >log 2x .( )(3)对于任意的x ，都有2x >x 2.( )[答案] (1)× (2)√ (3)×2．若x ∈(1,2)，则下列结论正确的是( )A ．2x >x 12>lg xB ．2x >lg x >x 12C ．x 12>2x >lg xD ．x 12>lg x >2xA3．如图3-6-1所示曲线反映的是________函数模型的增长趋势．图3-6-1对数4．当x >4时，a ＝4x ，b ＝log 4x ，c ＝x 4的大小关系是________.【导学号：60712318】a >c >b[合 作 探 究·攻 重 难]于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.图3-6-2(1)请指出示意图中曲线C 1，C 2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图像，比较f (8)，g (8)，f (2 016)，g (2 016)的大小．[思路探究]先观察图像，比较相关区域函数值的大小，最后得出结论．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，∴f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)．∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<8<x2<2 016.从图像上知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)；当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴f(2 016)>g(2 016)>g(8)>f(8)．[规律方法]三种函数模型的表达形式及其增长特点：(1)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”.(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型.[跟踪训练]1.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图3-6-3所示．图3-6-3(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).【导学号：60712319】[解](1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[思路探究]首先建立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题．[解]设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、二一样多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第30天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表．∴投资1天到6天，应选方案一，投资7天方案一、二均可，投资8天到10天应选方案二，投资11天及其以上，应选方案三．[规律方法]解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题来解决，结合函数图像有助于直观认识函数间在不同范围的大小关系.[跟踪训练]2．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)【导学号：60712320】[解]设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a.乙方案在10年后树木产量为y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.y1－y2＝4a－4.98a<0，因此，乙方案能获得更多的木材.[1．如图3-6-4给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是什么？图3-6-4提示：由题中图像可知，该函数模型为指数模型．2．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x 呈指数函数变化的变量是什么？提示：由表中的数据变化知，是指数函数变化的变量是y 2.20世纪90年代，气候变化专业委员会向各国政府提供的一项报告指出：全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中CO 2体积分数增加，据测，1990年，1991年，1992年大气中CO 2体积分数分别比1989年增加了1个可比单位，3个可比单位，6个可比单位，若用一个函数模拟20世纪90年代中每年CO 2体积分数增加的可比单位数y 与年份增加数x (即当年数与1989年的差)的关系，模拟函数可选用二次函数f (x )＝px 2＋qx ＋r (其中p ，q ，r 为常数)，或g (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数且b >0，b ≠1)．(1)根据题目中的数据，求f (x )，g(x )的解析式；(2)如果1994年大气中CO 2体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.【导学号：60712321】[思路探究] (1)列出方程组求系数，从而求解析式；(2)由x ＝5得出函数值，通过比较选择模拟函数．[解] (1)由题目中的数据得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＋r ＝1，4p ＋2q ＋r ＝3，9p ＋3q ＋r ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝12，r ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝3，ab 3＋c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝83，b ＝32，c ＝－3，所以f (x )＝12x 2＋12x, g (x )＝83·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x－3. (2)因为f (5)＝15，g (5)＝17.25，f (5)更接近16，所以选用f (x )＝12x 2＋12x 作为模拟函数好．[规律方法] 解决函数应用题时的常用方法：(1)先依据给出的数据作出散点图，大体估计函数模型，设出函数模型，列出方程组求系数，即可确定出函数模型.(2)将求出的函数通过数据比较确定出最适合的函数模型.[跟踪训练]3．某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．[解] (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的， 故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252.(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， 所以当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列函数中，自变量x 充分大时，增长速度最快的是( )【导学号：60712322】A ．y ＝6xB ．y ＝log 6xC ．y ＝x 6D ．y ＝6x A2．以下四种说法中，正确的是( )A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B ．对任意的x ＞0，x a ＞log a xC ．对任意的x ＞0，a x ＞log a xD ．一定存在x 0，使x ＞x 0，总有a x ＞x n ＞log a xD [对于A ，幂函数的增长速度受幂指数影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B 、C 都受a 的影响．]3．三个变量y 1，y 2，y 3随自变量x 的变化情况如下表：其中关于x ，呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型函数变化的变量是________.【导学号：60712323】y 3 y 2 y 1 [由表中数据可知，y 1随x 的增加成倍增加，属于幂函数型函数变化，y 2随x 的增加成“几何级数”增加，属于指数型函数变化，y 3随x 的增加增加越来越慢，属于对数函数变化．]4．某商场2016年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f (x )＝p ·q x (q >0，q ≠1)；②f (x )＝log p x ＋q (p >0，p ≠1)；③f (x )＝x 2＋px ＋q .能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x )＝________.③，x 2－8x ＋17 [①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为③由f (1)＝10，f (3)＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝109＋3p ＋q ＝2， 解得p ＝－8，q ＝17，所以，f (x )＝x 2－8x ＋17.]5．用模型f (x )＝ax ＋b 来描述某企业每季度的利润f (x )(亿元)和生产成本投入x (亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y 1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y 2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y 3＝2(亿元)．又11 定义：当f (x )使[f (1)－y 1]2＋[f (2)－y 2]2＋[f (3)－y 3]2的数值最小时为最佳模型．(1)当b ＝23时，求相应的a 使f (x )＝ax ＋b 成为最佳模型；(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y 4(亿元)的值.【导学号：60712324】[解] (1)b ＝23时 ，[f (1)－y 1]2＋[f (2)－y 2]2＋[f (3)－y 3]2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋16， ∴a ＝12时，f (x )＝12x ＋23为最佳模型．(2)f (x )＝x 2＋23，则y 4＝f (4)＝83.。
高中数学3-6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课件北师大版必修
在区间(0， ＋∞)上， 尽管函数 y＝ax(a>1)， y＝logax(a>1)， y＝xn(n>0)都是________(填“增”或“减”)函数，但它们的 增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着 x 的增大，y ＝ ax(a>1) 的增长速度越来越快，会超过并会远远大于 y ＝ xn(n>0) 的增长速度，而 y ＝ logax(a>1) 的增长速度会越来越 慢 ． 因 此 ， 总 会 存 在 一 个 x0 ， 当 x>x0 时 ， 就 有 logax________xn________ax.
同样地， 对于对数函数 y＝logax(a>1)和幂函数 y＝xn(n>0)， 在区间(0，＋∞)上，随着 x 的增大，logax 增长得越来越慢， 图像就像是渐渐地与 x 轴平行一样． 尽管在 x 的一定变化范围 内，logax 可能会大于 xn，但由于 logax 的增长慢于 xn 的增长， 因此总存在一个 x0，当 x>x0 时，就会有 logax<xn.
首先计算哪个模型的奖金总数不超过 5 万．对于模型 y ＝0.25x，它在区间[10,1000]上单调递增，当 x∈(20,1000]时， y>5，因此该模型不符合要求；对于模型 y＝1.002x，由函数 的图像，并利用计算器计算可知，在区间(805,806)内有一个 点 x0 满足 1.002x0＝5，由于它在区间[10,1000]上单调递增， 因此当 x>x0 时，y>5，因此该模型不符合要求．对于模型 y＝ log7x＋1， 它在区间[10,1000]上单调递增， 而且当 x＝1000 时， y＝log71000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过 5 万元 的要求．
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
一 指数函数、幂函数、对数函数图像回顾 二 指数函数、幂函数、对数函数增长比较
一 指数函数y=ax (a>1)图像及a对图像影响
ay
y=ax
b
y=bx
O1
x
a>1时，y=ax是增函数，
底数a越大，其函数值增长 就越快.
二 对数函数y=logax (a>1)图像及a对图像 影响
y y=logax y=logbx
4 24
函数y=2x, y=x2, y=log2x图像 增长快慢比较
对数函数 y=log2x增长最慢，幂函数 y=x2和指数函数y=2x快慢则交替进行
在(0,2)，幂函数比指数函数增长快 在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快
规律总结
(1)对数函数增长最慢 (2)当自变量x大于某一个特定值时， 指数函数比幂函数增长快
1
O
aБайду номын сангаас
bx
a>1时，y=logax是增函数，
底数a越小，其函数值增长就 越快.
三 幂函数y=xn (n>1)图像及n对图像影响
y
y=x2
y=x3
O
x
n>1时，y=xn是增函数，
且x>1时，n越大其函数值增 长就越快.
比较函数y=2x, y=x2, y=log2x图像增长快慢
y=2x
y=x2
16
y=log2x
由于指数函数增长非常快，人们 常称这种现象为“指数爆炸”
本节内容
一 指数函数、幂函数、对数函数图像回顾 二 指数函数、幂函数、对数函数增长比较
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较高中数学北师大版2019必修第一册
2.指数函数与幂函数的增长情况的比较
3
方法1：形少数时难入微，从“数”的角度 2.5
——两函数对应值表看
2
1.5
x
20
24
28
210
214
2 20
1
y 2x
2
216
2 256
21024
216384
21048576
0.5
y x100
1
2 400
2000 2
四、联系实际——感悟数学应用
1.幂指对增长快慢的生活应用 指数增长快：兔子的繁殖、病毒的传播、
“利滚利、一还三”等
四、联系实际——感悟数学应用 1.幂指对增长快慢的生活应用 指数爆炸与对数缓慢增长： ①一个城市的电话号码的位数，大致是城市人口以10为 底的对数，上百万人口的城市，要发展到上千万，才需 要把电话号码增加一位就够用了；既说明了对数增长的 缓慢，反过来也说明了指数爆炸的威力； ②在互联网上，每天的数据以指数爆炸剧增，而我们搜 索资料或查找数据，能迅速地从海量数据中找到有关的 网页和文件，也是因为，数据经过合理组织，搜索工作 量是数据量的对数函数.
1
当 x 16, + 时， x 2 log2 x;
实际上，当 b 1, c 0 时，即使 b 很接近 1， c 很接近于 0，
当 x 取值充分大时，都有 y xc 比 y logb x 增长快.几何画板探究
【数学实验】调整参数 b，c 的值，观察幂函数与对数函数
的大小情况： b 很接近 1， c 很接近于 0，看起来对数大于指数了！
是真的吗？
xc logb x(x 1) 1000xc logb 1000x. （自变量趋于正无穷）
高一数学必修教学课件第三章指数函数幂函数对数函数增长的比较
THANK YOU
感谢聆听
计算、经济增长模型等。通过比较这些函数的增长差异，可以帮助学生
更好地理解经济学中的相关概念和原理。
02
生物学
在生物学中，这些函数可用于描述生物种群的增长、疾病的传播等。例
如，指数增长模型可用于描述某些生物种群的爆炸式增长，而对数增长
模型则适用于描述种群增长逐渐趋于稳定的情况。
03
物理学
在物理学中，幂函数可用于描述物体之间的万有引力、电场强度等物理
根据平均变化率的定义，可以 计算出f(x)=x^3在区间[1,2]上 的平均变化率为(f(2)-f(1))/(21)=(2^3-1^3)/1=7。
04
对数函数增长特性
对数函数定义及图像
对数函数定义
对数函数是以幂为自变量，指数为因变量，底数为常数的函数。
对数函数图像
对数函数的图像是一条经过原点的曲线，其形状与底数有关。当底数大于1时，图像向右上方倾斜；当底数小于1 时，图像向右下方倾斜。
与其他函数的比较
与一次函数、二次函数等相比，指数 函数的增长速度更快。当x足够大时， 指数函数的值将远远超过这些函数的 值。
典型例题解析
解析
对于(1)，由于1.1<1.2且2.5>2.3，因此1.1^2.5<1.2^2.3；对于(2)，由于 0.8<0.9且-0.7<-0.6，因此0.8^-0.7>0.9^-0.6。
量的变化规律。通过比较不同函数的增长特性，可以帮助学生深入理解
物理现象的本质。
在其他学科领域的应用举例
化学
在化学动力学中，反应速率常数与温度的关系通常可以用指数函数或幂函数来描述。比较 不同函数的增长差异有助于理解化学反应速率的变化规律。
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10.2 1 ，c＝23，则( a＝log1 3 ， b ＝ 2 3
)
A．a＜b＜c C．c＜a＜b
B．c＜b＜a D．b＜a＜c
§6
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1.指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)在什么条件下是增函数？y＝2x 与 y＝3x 哪个增 长的速度更快？指数函数增长速度的快慢由什么决定呢？ 2．幂函数 y＝xn，当 x>0，n>1 时是增函数吗？当 x>1 时，其增长的快慢与 n 有什么关系？
3．对数函数y＝logax，当a>1时是增函数，那么随着a的增大，函数值的增
1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 20 30 5.907 40 6.322 50 6.644 60 6.907
y4 2 4.322 5.322
关于 x 呈指数型函数变化的变量是________．
[思路探究] 利用表格中数据增长速度的快慢来判断，指数型函数增长速度是越来越快．
3．已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系为________．
4．比较y＝4x，y＝x4与y＝log4x增长情况．
三种函数图像的比较 四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如下表： x 1 y1 2 y2 2 y3 2 5 26 32 10 10 101 15 226 20 401 25 626 30 901
[自主练习] 1．当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( A．y＝100 x C．y＝x100 B．y＝100ln x D．y＝100· 2x )
2．我国工农业总产值从 1990 年到 2010 年的 20 年间翻两番，设平均每年的 增长率为 x，则有( A．(1＋x)19＝4 C．(1＋x)20＝2 ) B．(1＋x)20＝3 D．(1＋x)20＝4
三种函数;0)，指数函数 y＝ax(a>1) 对数函数 y＝logax(a>1)增长最___ ax>xa>logax ．指数函数值增长非 增长的快慢交替出现，当 x 足够大时，一定有____________ “指数爆炸” ． 常快，这种现象被称为_______________
－x
d：y＝ x
比较大小问题 当 2＜x＜4 时，2x，x2，log2x 的大小关系是( A．2x＞x2＞log2x C．2x＞log2x＞x2 B．x2＞2x＞log2x D．x2＞log2x＞2x )
[思路探究] ―→ 在同一坐标系下画出图像 ―→ 取x∈（2，4）得结果 , 构造三个函数
2．设
长是越来越快，还是越来越慢呢？
4．通过下面的函数图像观察这三种函数增长的差异：
从函数 y＝2x，y＝x2 和 y＝log2x 的图像比较，随着自变量 x 的增大，这三个 函数的函数值增长速度怎样呢？
1．掌握常见增长函数的定义、图像、性质，并体会其增长快慢．(重点) 2．理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，及其三种函数模型的性质的 比较．(易混点) 3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．(难点)
[强化拓展] (1)指数函数 y＝ax(a>1)与幂函数 y＝xn(n>0) 在区间(0，＋∞)上，无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定范围内 ax<xn，但 随着 x 的增大 y＝ax 的增长速度远远快于 y＝xn 的增长速度，因而总存在一个 x0， 当 x>x0 时，有 ax>xn.
(2)对数函数 y＝logax(a>1)与幂函数 y＝xn(n>0) 在区间(0，＋∞)上，不论 a 与 n 值的大小如何，尽管在 x 的一定范围内，有 logax>xn，但随着 x 的增大，对数函数 y＝logax(a>1)的增长速度总会慢于 y＝xn 的 增长速度，因而在定义域内总存在一个实数 x0，使 x>x0 时有 logax<xn. (3)指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝logax(a>1) 它们的图像关于 y＝x 对称， y＝ax 的增长速度远远快于 y＝logax 的增长速度．
1．四个函数在第一象限中的图像如图所示，a、b、c、d 所表示的函数可能 是( ) A．a：y＝2x B．a：y＝x2 C．a：y＝x2 D．a：y＝2x b：y＝x2 b：y＝2x b：y＝2x b：y＝x2 c：y＝ x c：y＝2
－x
d：y＝2
－x
d：y＝ x d：y＝2
－x
c：y＝ x c：y＝2