1 第一型曲线积分的概念
第一类曲线积分的计算
第一类曲线积分的计算第一类曲线积分的计算1、定义定义1 ：设L 为平面上可求长度的曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段)n ,,2,1i (L i ，i L 的弧长记为i s ，分割T 的细度为i ni 1s max T ，在i L 上任取一点(i ,).n ,,2,1i )(i 若存在极限J s ),(f lim i i n1i i 0T且J 的值与分割T 及点),(i i 的取法无关，则称此极限为)y ,x (f 在L 上的第一型曲线积分，记作 .ds )y ,x (f L （1） 定义2： 若L 为空间可求长曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数，则可类似地定义)z ,y ,x (f 在空间曲线L 上的第一型曲线积分为J s ),,(f lim i i i n1i i 0T ，(此处i s 为i L 的弧长,i n i 1s max T ,J 为一常数),并且记作 L .ds )z ,y ,x (f （2） 2、物理意义（1）设某物体的密度函数f （P ）是定义在 上的连续函数．当 是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。
现在研究当 是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对 作分割,把 分成n 个可求长度的小曲线段i （i=1，2，…，n)，并在每一个i 上任取一点P i由于f （P ）为 上的连续函数,故当i 的弧长都很小时，每一小段i 的质量可近似地等于f （P i）i ,其中 i 为小曲线段i 的长度.于是在整个 上的质量就近似地等于和式i n1i i )P (f 当对 的分割越来越细密时,上述和式的极限就应是该物体的质量。
（2）空间曲线L 的重心坐标为(,,)(,,)yz LLx x y z dlM x Mx y z dl,(,,)(,,)zx LLy x y z dlM y Mx y z dl,(,,)(,,)xy LLz x y z dlM z Mx y z dl（3） 曲线L 的绕z 轴(x, y 轴)的转动惯量是22()(,,)z LJ x y x y z dl3、几何意义1） 当被积函数为1时, 积分的值恰为曲线的长度。
第一型曲线积分 第一型曲线积分的定义
n
i
f ( ( i), ( i)) 2 ( i) 2 ( i )t i . (4)
令 t max{t1 , t 2 ,
t 0
, t n }, 则当 T 0 时, 必有
t 0. 现在证明 lim 0.
这里 t i 1 i, i ti . 设
f ( ( i), ( i))[ 2 ( i ) 2 ( i ) 2 ( i) 2 ( i)]ti ,
i 1 n
则有
f ( , )s
i 1 i i n i 1
n ||T || 0
, n). 若有极限
i i i
lim
f ( , )s
i 1
J,
且 J 的值与分割 T 与点 ( i , i ) 的取法无关, 则称此 极限为 f ( x , y ) 在 L 上的第一型曲线积分, 记作
L
f ( x , y )ds .
若 L 为空间可求长曲线段 , f ( x , y , z ) 为定义在 L上 的函数, 则可类似地定义 f ( x , y , z )在空间曲线 L 上
, k ) 都存在, 则 L f ( x , y )ds
也存在, 且
L
L
f ( x , y )ds f ( x , y )ds .
i 1 Li
k
3． 若 f ( x , y )ds 与 g ( x , y )ds都存在, 且在 L 上
L
f ( x , y ) g( x , y ), 则
且
L
f ( x , y )ds g ( x , y )ds .
L
第一型曲线积分
L xyds
2 0
a cos t b sin t ( a sin t )2 (b cos t )2 dt
ab02 sin t cos t a 2 sin 2 t b 2 cos2 t dt
ab 02 (a 2 b 2 ) sin 2 t b 2 d (sin 2 t ) 2
( x ) 0.
L ( x y )ds
2 ( x 0 ) 1 0 dx 0
2
0 x dx
2
2.
(2) L： x ( y ) 2, 0 y 3.
( x ) 0.
L ( x y )ds
2 ( 2 y ) 1 0 dy 0
x2 y2
x2 y2
ds. 其中曲线 x 2 y 2 a 2 , 直
线 x 0, y x 在第一象限中所围的图 形边界。
解
Le
ds ds AB e
x2 y2
oA e
x2 y2
ds oB e
x2 y2
ds
oA : x 0, 0 y a .
I xyz ds
0 a 2 cos sin k ( a sin )2 (a cos )2 k 2 d
2 2 2 a k a k 2
2Байду номын сангаас
0 sin 2 d
2
1 ka 2 a 2 k 2 . 2
例5
计算
Le
0
ab(a 2 ab b 2 ) . 3(a b )
y
例2
计算
L ( x y ) ds.
第一型曲线积分
Li
L
k
也存在，且 f ( x, y)ds
f ( x, y)ds
L
i 1 Li
3 保号性若L f ( x, y)ds与L g( x, y)ds都存在，
且在 L上 f ( x, y) g( x, y)，
则L f ( x, y)ds L g( x, y)ds
4 积分绝对值 若L f ( x, y)ds存在，则 L f ( x, y)ds也存在，且| L f ( x, y)ds | L f ( x, y)ds
2(t) 2(t) 2(t)dt;
例1. 计算L yds. 其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2)
的一段弧. 解1:
y 2
y2=2x
ds
1
dy dxyds 2 2x 1 1 dx
L
0
2x
0
2x
2 2x＋1dx 1 (5 5 1)
0
3
解2： L : x y2 , 0≤y≤2 2
f ( (t ), (t ))关于t 连续， 则
M>0, 使得 f ( (t ), (t )) M .
又 2(t) 2(t)在[, ]上一致连续
。
即 0, 0,使当t<时有
2( ) 2( ) 2( ) 2( ) ,
从而
n
M ti M (b a) 0. i 1
由定积分的定义
5 平均值公式 若L f ( x, y) d存s在，L的弧长为s，
则存在常数c，使得L f ( x, y)ds cs。
其中inf f ( x, y) c sup f ( x, y)
L
L
二 第一型曲线积分的计算
定理 20.1
第一型曲线积分的定义
第一型曲线积分的定义第一型曲线积分，是微积分中的一种重要概念与计算方法，它涉及曲线和向量场之间的积分。
本文将介绍第一型曲线积分的定义、性质和计算方法。
一、第一型曲线积分的定义第一型曲线积分，也称为曲线的线积分，是指在曲线上某个有向长度元素$\mathrm{d}s$上的函数值与该长度元素的乘积$d\boldsymbol{s}$在整个曲线上的积分。
设$C$是曲线，其参数方程为$\boldsymbol{r}(t)=(x(t), y(t), z(t)), t\in[a,b]$，则$C$的长度由公式：$$ L(C)=\int_{C}\mathrm{d}s=\int_{a}^{b}\left[\ left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\r ight)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\f rac{1}{2}} \mathrm{d}t $$计算曲线$C$上的一个标量函数$f(x,y,z)$在曲线上的第一型曲线积分，即为：$$ \int_{C} f(x, y, z) \mathrm{d}s=\int_{a}^{b}f\left(\boldsymbol{r}(t)\right)\left[\left(x^{\prim e}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}t $$若积分路径可以看成向量值函数$\boldsymbol{r}(t)$的积分，第一型曲线积分就可以写作：$$ \int_{\boldsymbol{r}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_{a}^{b}\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{r}(t)\right) \cdot \boldsymbol{r}^{\prime}(t) \mathrm{d}t=\int_{a}^{b} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} $$其中$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$是向量场，$\mathrm{d}\boldsymbol{r}$表示一个有向长度元素，$\cdot$表示向量内积运算，$\mathrm{d}\boldsymbol{s}=\boldsymbol{r}^{\prime}(t ) \mathrm{d} t$表示线元素。
第一型曲线积分的计算
L
2
4
2 2 求圆柱面 x y 1位于平面z 0上方与z y 例 6 下方那部分的侧面积 A.
当f ( x, y ) 0 时, f ( x, y ) ds 表示以 L 为准线,
L
母线平行于z轴, 高为z f ( x, y )的柱面面积。
s i (i 1, 2, , n ) ，同时也以 si
表示第 i 小段弧长。
（2）近似
(i , i )si ，
则 mi f (i ,i )si 。
y
M1 M2
M i1
（3）求和
m f ( i , i )si 。
n i 1
(i ,i )
Mi
L
M n1
2 y 2 R 2 , y 0.
例2
( x y)ds, L : 连接三点 O(0,0), A(1,0), B(0,1)的折线.
L
9 2 2 2 x y z 例 3 计算 ( x 2 y 2 z 2 )ds, 其中L : . 2 L x z 1
§6.4
第一型曲线积分的计算
一、第一型曲线积分的概念
曲线形物体的质量
设曲线形物体在xoy 平面上占有可求长曲线 L， 其线密度为连续函数 f ( x, y) ，求该物体的质量 m。
y
M1
M2
M i1
(i ,i )
Mi
L
M n1
A
B
o
x
（1）分割 在 L上 任取点列 M 1 , M 2 , M n 1 ，把 L 分为 n 小 段
2 2 2 2 x y z R 例 4 计算 （y 2 z )ds, 其中L : . L x yz 0
第一类第二类曲线积分区别
第一类第二类曲线积分区别曲线积分是微积分中的一个重要概念，用于描述沿曲线上某个向量场的积分。
曲线积分分为第一类和第二类曲线积分，它们在定义和计算方法上有所不同。
本文将详细介绍第一类和第二类曲线积分的区别，并分析两者的应用。
首先，我们来看第一类曲线积分。
第一类曲线积分是沿曲线对标量值函数的积分，也称为曲线对标量函数的积分。
设C是一条光滑曲线，参数方程为r(t)，a≤t≤b，其中r(t)=(x(t),y(t))表示C上的点的坐标。
给定定义在C上的标量函数f(x,y)，第一类曲线积分的定义为：∫[C]f(x,y)ds = ∫[a,b]f(x(t),y(t))||r'(t)||dt其中ds表示路径的微元长度，也就是沿曲线的弧长微元，可以表示为||r'(t)||dt，||r'(t)||表示r(t)的导数的模。
从第一类曲线积分的定义可以看出，它计算的是标量函数沿曲线的积分。
在计算过程中，我们需要将曲线参数方程的导数进行求导，并计算函数在曲线上的函数值，再将其乘以弧长微元进行累加。
因为第一类曲线积分是对标量函数进行积分，所以结果也是一个标量。
而第二类曲线积分是沿曲线对向量值函数的积分，也称为曲线对向量函数的积分。
设C是一条光滑曲线，参数方程为r(t)，a≤t≤b，其中r(t)=(x(t),y(t))表示C上的点的坐标。
给定定义在C上的向量函数F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))，第二类曲线积分的定义为：∫[C]F(x,y)·dr = ∫[a,b]F(x(t),y(t))·r'(t)dt其中·表示向量的点乘运算，dr表示路径的微元切线向量，可以表示为r'(t)dt。
从第二类曲线积分的定义可以看出，它计算的是向量函数沿曲线的积分。
在计算过程中，我们需要将曲线参数方程的导数进行求导，并计算向量函数在曲线上的向量值，再将其与切线向量做点乘运算进行累加。
数学分析20.1第一型曲线积分(含习题及参考答案)
第二十章 曲线积分 1第一型曲线积分一、第一型曲线积分的定义引例：设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数. 当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量.当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时，可以对Ω作分割，把Ω分成n 个可求长度的小曲线段Ωi (i=1,2,…,n)，并在每一个Ωi 上任取一点P i . 由f(P)为Ω上的连续函数知，当Ωi 的弧长都很小时，每一小段Ωi 的质量可近似地等于f(P i )△Ωi , 其中△Ωi 为小曲线段Ωi 的长度. 于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式i ni i P f ∆Ω∑=1)(.当对Ω有分割越来越细密(即d=i ni ∆Ω≤≤1max →0)时，上述和式的极限就是该物体的质量.定义1：设L 为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i (i=1,2,…,n)，L i 的弧长记为△s i ，分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max ，在L i 上任取一点(ξi ,ηi ),( i=1,2,…,n). 若有极限i ni i i T s f ∆∑=→1),(lim ηξ=J ，且J 的值与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L 上的第一型曲线积分，记作：⎰L ds y x f ),(.注：若L 为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义在L 上的函数，则可类似地定义f(x,y,z)在空间曲线L 上的第一型曲线积分⎰L ds z y x f ),,(.性质：1、若⎰L i ds y x f ),((i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则⎰∑=L ki i ids y x f c1),(=∑⎰=ki Li i ds y x f c 1),(.2、若曲线L 由曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且⎰iL ds y x f ),((i=1,2,…,k)都存在，则⎰L ds y x f ),(也存在，且⎰L ds y x f ),(=∑⎰=ki L i ids y x f 1),(.3、若⎰L ds y x f ),(与⎰L ds y x g ),(都存在，且f(x,y)≤g(x,y)，则⎰Lds y x f ),(≤⎰Lds y x g ),(.4、若⎰L ds y x f ),(存在，则⎰L ds y x f ),(也存在，且⎰L ds y x f ),(≤⎰L ds y x f ),(.5、若⎰L ds y x f ),(存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得⎰L ds y x f ),(=cs, 这里),(inf y x f L≤c ≤),(sup y x f L.6、第一型曲线积分的几何意义：(如图)若L 为平面Oxy 上分段光滑曲线，f(x,y)为定义在L 上非负连续函数. 由第一型曲面积分的定义，以L 为准线，母线平行于z 轴的柱面上截取0≤z ≤f(x,y)的部分面积就是⎰Lds y x f ),(.二、第一型曲线积分的计算 定理20.1：设有光滑曲线L:⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ, t ∈[α,β]，函数f(x,y)为定义在L上的连续函数，则⎰L ds y x f ),(=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22. 证：由弧长公式知，L 上由t=t i-1到t=t i 的弧长为△s i =⎰='+'ii t t dt t t 1)()(22ψϕ.由)()(22t t ψϕ'+'的连续性与积分中值定理，有△s i =)()(22i i τψτϕ''+''△t i (t i-1<i τ'<t=t i )，∴i ni i i s f ∆∑=1),(ηξ=i i i ni i i t f ∆''+''''''∑=)()())(),((221τψτϕτψτϕ (t i-1<i τ',i τ''<t=t i ). 设σ=[]i i i i i n i i i t f ∆'''+'''-''+''''''∑=)()()()())(),((22221τψτϕτψτϕτψτϕ，则有in i iis f ∆∑=1),(ηξ=i i i ni iit f ∆'''+'''''''∑=)()())(),((221τψτϕτψτϕ+σ.令△t=max{△t 1,△t 2,…,△t n }，则当T →0时，必有△t →0. 又复合函数f(φ(t),ψ(t))关于t 连续，∴在[α,β]上有界，即 存在常数M ，使对一切t ∈[α,β]，都有|f(φ(t),ψ(t))|≤M. 再由)()(22t t ψϕ'+'在[α,β]上连续，从而在[α,β]上一致连续，即 ∀ε>0, ∃δ>0，使当△t<δ时有)()()()(2222i i i i τψτϕτψτϕ'''+'''-''+''<ε, 从而|σ|≤εM ∑=∆ni i t 1=εM(β-α)， 即σlim 0→∆t =0. 又由定积分的定义，得i i i ni i i t t f ∆'''+'''''''∑=→∆)()())(),((lim221τψτϕτψτϕ=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22. 故⎰Lds y x f ),(=in i iit s f ∆∑=→∆1),(limηξ=i i i ni iit t f ∆'''+'''''''∑=→∆)()())(),((lim 221τψτϕτψτϕ+0lim →∆t σ=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22.注：1、若曲线L 由方程y=ψ(x), x ∈[a,b]表示，且ψ(x)在[a,b]上有连续的导函数时，则有⎰L ds y x f ),(=⎰'+ba dx x x x f )(1))(,(2ψψ.2、当曲线L 由方程x=φ(y), y ∈[c,d]表示，且φ(y)在[c,d]上有连续的导函数时，则有⎰L ds y x f ),(=⎰'+dc dy y y y f )(1)),((2ϕϕ. 3、对空间曲线积分⎰L ds z y x f ),,(，当曲线L 由参量方程x=φ(t),y=ψ(t),z=χ(t), t ∈[α,β]表示时，有⎰Lds z y x f ),,(=⎰'+'+'βαχψϕχψϕdt t t t t t t f )()()())(),(),((222. 4、由第一型曲线积分的定义，在Oxy 平面上，线密度为ρ(x,y)的曲线状物体对x,y 轴的转动惯量分别为：J x =⎰L ds y x y ),(2ρ和J x =⎰L ds y x x ),(2ρ.例1：设L 是半圆周⎩⎨⎧==t a y ta x sin cos , t ∈[0,π]，试计算第一型曲线积分⎰+Lds y x )(22.解：⎰+L ds y x )(22=⎰++π022222222cos sin )sin cos (dt t a t a t a t a =⎰π03dt a =a 3π.例2：设L 是y 2=4x 从O(0,0)到A(1,2)的一段，试求第一型曲线积分⎰L yds . 解：⎰L yds =⎰+20241dy yy =⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++202241412y d y =202324134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y =)122(34-.例3：计算⎰L ds x 2，其中L 为球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面x+y+z=0所截得的圆周.解：由对称性知，⎰L ds x 2=⎰L ds y 2=⎰L ds z 2，∴⎰L ds x 2=⎰++L ds z y x )(31222=⎰L ds a 32=33πa .例4：求线密度ρ(x,y)=21xy +的曲线段y=lnx, x ∈[1,2]对于y 轴的转动惯量.解：J x =⎰L ds y x x ),(2ρ=⎰+Lds x y x 221=⎰++21222111ln dx xx x x =⎰21ln xdx x =ln4-43.习题1、计算下列第一型曲线积分：(1)⎰+L ds y x )(, 其中L 是以O(0,0), A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形； (2)⎰+L ds y x 22, 其中L 是以原点为中心，R 为半径的右半圆周；(3)⎰L xyds , 其中L 为椭圆22a x +22by =1在第一象限中的部分；(4)⎰L ds y ||, 其中L 为单位圆周x 2+y 2=1；(5)⎰++L ds z y x )(222, 其中L 为螺旋线x=acost, y=asint, z=bt(0≤t ≤2π)的一段；(6)⎰L xyzds , 其中L 是曲线x=t, y=3232t , z=21t 2(0≤t ≤1)的一段； (7)⎰+L ds z y 222, 其中L 为x 2+y 2+z 2=a 2与x=y 相交的圆周. 解：(1) ⎰+L ds y x )(=⎰+OA ds y x )(+⎰+AB ds y x )(+⎰+BO dsy x )( =⎰10xdx +⎰102dx +⎰10ydy =1+2.(2)右半圆的参数方程为：x=Rcos θ, y=Rsin θ, -2π≤θ≤2π. ∴⎰+L ds y x 22=⎰-222ππθd R =πR 2.(3)方法一：∵y=22x a a b-, y ’=22xa a bx -, ∴⎰L xyds =⎰-+-adx x a a x b x a x a b 02222222)(1=⎰--adx x b a a a b 0222242)(2=)(3)(22b a b ab a ab +++.方法二：L 的参数方程为：x=acos θ, y=bsin θ,0≤θ≤2π.∴⎰L xyds =⎰+202222cos sin sin cos πθθθθθd b a ab=⎰-++-2022222cos 2cos 2)(224πθθd a b b a ab =)(3)(22b a b ab a ab +++. (4)方法一：圆的参数方程为：x=cos θ, y=sin θ,0≤θ≤2π， ∴⎰L ds y ||=⎰πθθ0sin d -⎰ππθθ2sin d =4. 方法二：∵|y|=21x -, (|y|)’=21xx --,∴⎰L ds y ||=2⎰--+-11222111dx x x x=2⎰-11dx =4. (5)⎰++L ds z y x )(222=⎰++π2022222)(dt b a t b a =2232b a +π(3a 2+4π2b 2).(6)x ’=1, y ’=t 2, z ’=t,∴⎰L xyzds =⎰++⋅⋅102232121232dt t t t t t =⎰+129)1(32dt t t =143216. (7)依题意，L 的参数方程可表示为：x=y=2a cos θ, z=asin θ, 0≤θ≤2π，∴⎰+L ds z y 222=⎰πθ202d a =2a 2π.2、求曲线x=a, y=at, z=21at 2(0≤t ≤1, a>0)的质量，设线密度为ρ=az 2. 解：⎰L ds a z 2=⎰+10222dt t a a t =⎰+102212dt t a =)122(3-a.3、求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (0≤t ≤π)的质心，设其质量分布均匀.解：∵dx=dt t a t a 2222sin )cos 1(+-=2asin 2t dt ，m=2a ρ0⎰π02sin dt t=4a ρ0.∴质心坐标为x=⎰-πρ002sin 2)sin (1dt t a t t a m =⎰-π0)2sin sin 2sin (2dt t t t t a =34a;y=⎰-πρ002sin 2)cos 1(1dt t a t a m =34a .4、若曲线以极坐标ρ=ρ(θ) (θ1≤θ≤θ2)表示，试给出计算⎰L ds y x f ),(的公式，并用此公式计算下列曲线的积分： (1)⎰+L y x ds e22, 其中L 为曲线ρ=a (0≤θ≤4π)的一段； (2)⎰L xds , 其中L 为对数螺线ρ=ae k θ (k>0)在圆r=a 内的部分. 解：L 的参数方程为x=ρ(θ)cos θ, y=ρ(θ)sin θ, (θ1≤θ≤θ2)，ds=θθθd d dy d dx 22⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθρθρd )()(22'+，∴⎰L ds y x f ),(=⎰'+21)()()sin ,cos (22θθθθρθρθρθρd f .(1)⎰+L y x ds e22=⎰40πθd ae a =4πae a . (2)⎰L xds =a ⎰∞-+022222cos θθθθθd e k a e a e k k k=a 2⎰∞-+022cos 1θθθd ekk =1412222++k k ka .注：∵⎰∞-02cos θθθd e k =⎰∞-02cos 21θθk de k =⎰∞-∞-+202sin 21cos 21d e ke kk k θθθθ=θθk e d k k 202sin 4121⎰∞-+=⎰∞--022cos 4121θθθd e kk k ； ∴⎰∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛+022cos 411θθθd e k k =k 21，即⎰∞-02cos θθθd e k =1422+k k .5、证明：若函数f(x,y)在光滑曲线L: x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]上连续，则存在点(x 0,y 0)∈L ，使得⎰L ds y x f ),(=f(x 0,y 0)△L ，其中△L 为L 的弧长. 证：∵f 在光滑曲线L 上连续，∴⎰L ds y x f ),(存在，且⎰Lds y x f ),(=⎰'+'βαdt t y t x t y t x f )()())(),((22.又f(x(t),y(t))与)()(22t y t x '+'在[α,β]上连续，由积分中值定理知， ∃t 0∈[α,β]，使⎰L ds y x f ),(=f(x(t 0),y(t 0))⎰'+'βαdt t y t x )()(22= f(x(t 0),y(t 0))△L. 令x 0=x(t 0), y 0=y(t 0), 则(x 0,y 0)∈L, 且⎰L ds y x f ),(=f(x 0,y 0)△L.。
高数9-1(第一型曲线积分)
(3) L : r r( ),
L f ( x, y)ds
f [r ) cos, r( )sin ]
r2 ( ) r2 ( )d
推广 : x (t), y (t), z (t) ( t )
f ( x, y, z)ds
f [(t), (t),(t)] 2(t) 2(t) 2(t)dt ( )
2 f ( x, y)ds,当f ( x, y) 是L上关于x (或y)的偶函数 L1
L1是曲线L落在y (或x)轴一侧的部分.
运用对称性简化对弧长的曲线积分 计算时, 应同时考虑被积函数 f ( x, y)与积 分曲线L的对称性.
6/19
例 计算 ( x y3 )ds. 其中L是圆周 x2 y2 R2. L
(对路径具有可加性)
4/19
5．性质
(1) [ f ( x, y, z) g( x, y, z)]ds
f ( x, y, z)ds g( x, y, z)ds
(2) kf ( x, y, z)ds k f ( x, y, z)ds (k为常数)
(3) 与积分路径的方向无关, 即
(
⌒ f
f ( x, y)ds
b
f [ x, ( x)]
1 2( x)dx (a b)
L
a
ds 1 2( x)dx
(2) L : x ( y), c y d
f ( x, y)ds
d
f [( y), y]
1 2( y)dy (c d )
L
c
ds 1 2( y)dy
10/19
解 对称性,得
y x2 y2 R2
( x y3 )ds xds y3ds 0
L
第一型曲线积分和第二型曲线积分的联系
第一型曲线积分和第二型曲线积分的联系区别：方法不同；积分对象不同；应用场合不同。
第一型曲线积分：在平面曲线或空间曲线上的函数关于该曲线的积分。
第一型曲线积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲线，计算该曲线的质量。
第二型曲线积分亦称关于坐标的曲线积分，是一种与曲线定向有关的曲线积分。
1、第一型曲面分数最基本的计算方法就是同第二型曲面分数一样, 也就是化成二重积分。
第二型曲面最基本的方法就是通过找投影化为二重积分. 想要提醒一点的是: 如果曲面是 x=c 的一部分, 这时候x'=0, 即 dx=0, 所以曲面积分中包含 dxdy 与 dzdx 的两项直接为零,。
而关于 p(x,y,z)dzdx 的分数, 也变成了 p(c,y,z)dydz 的分数, 然后融合方向就可以化成二重积分.。
同理, 对于 y 或者 z 为常数的情况亦就是如此。
2、第一类曲线积分是对弧长积分，对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素；第二类曲线积分是对坐标（有向弧长在坐标轴的投影）积分，对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素。
3、第一类曲线分数求非密度光滑的线状物体质量等问题，第二类曲线分数化解作功类等问题。
6.6.1第一型曲线积分
∫L
( 3 x 2 + 4 y 2 + 2 xy )ds 的值 .
x2 y2 + = 1 3 x 2 + 4 y 2 = 12 ， 解： 由 4 3
∫L = ∫ (12 + 2 xy )d s L = 12 ∫ d s + 2 ∫ xy d s L L
( 3 x 2 + 4 y 2 + 2 xy )ds （代入 的方程） 代入L的方程 的方程）
L
9 x2 + y2 + z2 = 与平面 x + z = 1 的交点 . 2
1 2 9 2 2 2 ( x 2) y2 x + y + z = + = 1, 解： L : 2 2 4 x+z=1 z = 1 x.
1 x = 2 + 2 cos t , 其参数方程为 y = 2 sin t , 1 z = 2 2 cos t .
(0 ≤ t ≤ 2π ).
ds = ( 2 sin t ) 2 + (2 cos t ) 2 + ( 2 sin t ) 2 dt = 2dt ,
2π 9 9 2dt =18π . ds = ∫ 故 ∫ ( x + y + z )ds = ∫ 0 2 L L 2 2 2 2
x2 y2 例4. 设 L 为椭圆 + = 1, 其周长为 a , 求 4 3
例 7．设有一半圆形的金属丝，质量均匀分布，求它的质心 ． 有一半圆形的金属丝，质量均匀分布， 和对直径的转动惯量. 和对直径的转动惯量
解：设圆半径为 R ，金属丝线密度为 ，由对称性可知质心的 横坐标为 x = 0 ，弧微元 ds 所对应的对 x 轴的静矩微元为 dM x = ydm = yds ，
第一型曲线积分t的范围
第一型曲线积分t的范围一、第一型曲线积分的概念与意义1.定义及性质第一型曲线积分，又称为线积分，是对曲线上的一个标量场进行积分。
设函数f(x,y,z)在空间曲线C上连续，C的参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，t在[a,b]上变化，则第一型曲线积分的定义为：∫(C)f(x,y,z)ds = ∫[a,b]f(x(t), y(t), z(t))|r"(t)|dt其中，|r"(t)|表示速度矢量的模，表示曲线C上各点的微元弧长ds。
2.在几何与物理中的应用第一型曲线积分在几何中常用于计算曲线长度、曲线围绕某轴旋转的体积等。
在物理中，它可以用于求解力、速度、加速度等物理量沿曲线的分布。
二、t的范围的确定方法1.参数方程对于给定的曲线C，我们可以通过求解其参数方程来确定t的范围。
设曲线C的参数方程为：x = x(t)y = y(t)z = z(t)则t的范围可以通过求解曲线C的端点对应的参数值得到。
2.弧长参数弧长参数是一种用于表示曲线长度的参数，它将曲线上的每个点与起点相连的线段长度进行度量。
通过求解弧长参数，我们可以得到t的范围。
3.参数范围与曲线性质的关系在求解t的范围时，我们需要关注曲线的性质，如曲线的凸性、拐点等。
这些性质会影响到积分的求解过程，甚至可能导致积分不存在。
三、第一型曲线积分求解实例1.简单曲线对于简单的曲线，如直线、圆弧等，我们可以直接利用积分公式进行求解。
例如，求解直线y = x上的点到原点的距离平方的积分：∫(y = x) (x^2 + y^2) dx2.复杂曲线对于复杂曲线，我们可以将其分解为简单曲线的和，然后分别求解各简单曲线的积分。
例如，求解椭圆上的积分：∫(椭圆) f(x,y) dxdy = ∫(x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1) f(x,y) dxdy3.应用数学软件求解在实际求解过程中，我们可以利用数学软件（如Mathematica、MATLAB 等）进行计算。
第一型曲线积分
第一型曲线积分第一型曲线积分是微积分中一个重要的概念，用于计算曲线上的函数与曲线弧长之间的关系。
它在物理学、工程学以及数学等领域中都有广泛的应用。
本文将为您详细介绍第一型曲线积分的相关内容。
首先，我们需要明确什么是第一型曲线积分。
第一型曲线积分也被称为曲线上的函数积分，是将一个函数沿着曲线路径进行积分的过程。
其数学表示为∫f(x,y)ds，其中f(x,y)为函数，ds表示曲线上的微小弧长。
在计算第一型曲线积分时，我们需要确定积分路径的参数方程。
常见的参数方程有参数方程表示法、极坐标方程和向量值函数方程。
通过确定参数方程，我们可以将曲线上的函数与弧长联系起来，并进行积分运算。
接下来，我们将详细介绍第一型曲线积分的计算方法。
计算第一型曲线积分的一般步骤如下：1. 确定积分路径的参数方程。
根据题目给出的信息，选择合适的参数方程描述曲线路径。
2. 计算弧长微元ds。
根据参数方程求得弧长微元ds的表达式。
3. 将函数f(x,y)表示为参数的形式。
将参数方程中的x和y表示为参数的函数形式。
4. 将函数f(x,y)与弧长微元ds进行乘积运算。
将步骤3中的函数形式代入弧长微元表达式中，得到被积函数与弧长微元的乘积。
5. 对被积函数与弧长微元的乘积进行积分。
将步骤4中得到的乘积函数进行积分运算，得到第一型曲线积分的结果。
除了以上计算步骤，我们还需要注意以下几点：1. 曲线的方向：在计算第一型曲线积分时，需要注意曲线的定向。
如果曲线是定向的，则与定向相反的方向计算的积分结果会有所不同。
2. 曲线的参数变换：有时候在计算第一型曲线积分时，可能需要对参数进行变换，以便更方便地进行积分计算。
3. 曲线的分段计算：如果曲线是由多个路径组成的，可以将整个曲线分成若干个路径进行计算，然后将每个路径的积分结果相加得到整个曲线的积分结果。
总之，第一型曲线积分是计算曲线上函数与弧长之间关系的重要工具。
通过确定积分路径的参数方程，计算弧长微元，将函数与弧长微元进行乘积运算，并进行积分，我们可以得到曲线上函数的积分结果。
考研数学-第一型曲线曲面积分
3 2 C在xoy面上投影D xy {( x , y ) x y 1} 4
2
2x 2 y z z z 1 1 x y y 2z y 2z
2
2
2
2
4 y 2 z 2 4 yz y 2z
2 2
8 16 8 5 5 R R R 5 15 5 3
例14
练习十二/五
设有一个由曲线y ln x, y 0, x e所围成的 均匀薄片, 其面密度为 1, 若此薄片关于直线 x t的转动惯量为I (t ), 求使I (t )取得最小值的t. y 2 解：I (t ) ( x t ) d
dx 2 2 解 : ds 1 ( ) dy dy 2 dy 4 y
( x y 1)ds
L
2
2
( 4 y y 1)
2
2 4 y
2
dy
8 2
例2 练习十三/二(2)
x2 y 2 设L为椭圆 1,已知其周长为a, 2 3 则 (3x 2 5 xy 2 y 2 )ds _______ .
λ 0
i 1
n
2. 计算:
: z z( x , y ) , ( x , y ) D x y , 则
f ( x , y, z )dS
Dxy
f [ x, y, z( x , y )]
1 zx zy dxdy;
2 2
方法：一投、二代、三换．
3. 对称性
对面积的曲面积分 f ( x , y , z ) d S，
第十节 第一型曲线曲面积分 积分应用
第一型曲线积分几何意义
第一型曲线积分几何意义摘要：一、引言二、第一型曲线积分的基本概念1.定义2.性质三、第一型曲线积分的几何意义1.面积分2.线积分四、应用实例1.求解曲面的面积2.求解空间曲线的长度五、结论与展望正文：一、引言在数学领域，曲线积分是一种重要的积分形式，它具有广泛的应用。
根据积分的形式和性质，曲线积分可分为第一型和第二型。
本文将主要探讨第一型曲线积分的几何意义及其应用。
二、第一型曲线积分的基本概念1.定义第一型曲线积分是对曲线上的点进行积分，它的一般形式如下：∫(C)f(x,y,z)ds，其中C为空间曲线，f(x,y,z)为空间函数，ds为曲线C上的微小元。
2.性质第一型曲线积分具有以下性质：（1）线性性：对于任意两个函数f(x,y,z)和g(x,y,z)，有∫(C)f(x,y,z)ds + ∫(C)g(x,y,z)ds = ∫(C)(f(x,y,z) + g(x,y,z))ds。
（2）可积性：若f(x,y,z)在曲线C上连续，则∫(C)f(x,y,z)ds存在。
（3）参数不变性：对于曲线C上的参数变换，积分结果不变。
三、第一型曲线积分的几何意义1.面积分第一型曲线积分可以表示为曲面上的面积分。
例如，设曲面S由参数方程表示：x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)，其中(u, v)为参数。
则曲面S的面积为：A = ∫(S)ds = ∫(∫(S_udu)d v)dv，其中ds = dxdu + dydv + dzdv，S_udu表示曲面S上微小元在u方向上的微分。
2.线积分第一型曲线积分还可以表示为空间曲线的长度。
例如，设空间曲线C由参数方程表示：x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)，其中t为参数。
则曲线C的长度为：L = ∫(C)ds = ∫(√(dx + dy + dz)dt)，其中ds = dxdt + dydt + dzdt。
四、应用实例1.求解曲面的面积假设一个曲面S由参数方程表示：x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
1 第一型曲线积分的概念
则
n A P d lim Aj Pk k ej 0 j 1 k 1
m
A1 P d , A2 P d , , Am P d
二、第一型积分的性质
1 x 2 例 : 设A( x ) { x , sin x , }, 计算积分 2 1 x 1 A( x ) dx.
0
二、第一型积分的性质
例 : 设D : ( x 2)2 ( y 1)2 2, 则
2 3
( x y ) d
D
( , )
( x y ) d
D
例 : 若f ( x , y )在D ( x , y ) | x 2 y 2 t 2 上连续,求 1 lim 2 t 0 t
上的函数，将 任意细分成可测的小块： 1， 2， ， n， ( k )表示 k的测度， 记 max diam k
任取 Pk k，若和式极限 lim f Pk k 0 k 1 存在切与Ω的分割方式及 Pk k无关，则称之 为函数u= f（p）沿Ω的第一型积分或第一类积分， 记为 d f ,P即
§1 第一型积分的概念和性质
一、质量分布模型和第一型积分 二、第一型积分的性质
三、矢量函数的第一型积分
一、质量分布模型和第一型积分
1 测度: 把直线段和曲线段的长度、平面区域 和曲面区域面积、空间区域的体积。
2 问题的提出: 设Ω是有可测度的的有界几何 体分布在Ω的密度为f(P) [P∈Ω],
diamk diam( k )表示 k的直径, max 1 k n 表示这些大几何体的最大直径.
1 第一型曲线积分解析
y
R cos R sin
( )
O
L Rx
R2 sin 2 (R sin )2 (R cos )2d
R3 sin 2
d
2
R3
2
sin 2
4
0
R3( sin cos )
例8. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为
解
I y L
x2 y 1 x2
ds
2 1
x2 ln x 1 x2
1 1 x2 dx
2
1
x
ln
xdx
ln
4
3 4
.
例7. 计算半径为R ,中心角为
的圆弧 L 对于它的对
称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1).
解: 建立坐标系如图, 则
y
I y2 ds L
L
:
x
2π
cos t d t 0
0
a
a2 k2
2π
sin t d t
0
0
k
a2 k2
2π
tdt
2π2k
0
a2 k2
故质心坐标为 ( 0, 0, k π )
内容小结
1. 定义 f (x, y) ds L
f (x, y, z)ds
2. 性质
(1) f (x, y, z) g(x, y, z) ds g(x, y, z)ds (, 为常数)
2 (
i)
2 (
i
)ti
.
第11讲-第一和第二型曲线积分
∫
p AB
f ( x, y , z )dl = ∫p f ( x, y , z )dl
BA
此性质表示第一类曲线积分与积分路径的走向无关。 (2) 如果若曲线 L = L1 ∪ L2 组成，则
∫
L
f ( x, y, z )dl = ∫ f ( x, y, z )dl + ∫ f ( x, y, z )dl
∫
p AB
( x 2 + y 2 )dl ，其中, x 2 + y 2 = r 2
dl = (dx) 2 + (dy ) 2 + (dz ) 2 = r 2ω 2 + v 2 dt .
J z = ∫ r 2 r 2ω 2 + v 2 dt = 2πr 2 r 2ω 2 + v 2 .
0 2π
例5
已知半圆圈 C： x + y = r , y ≥ 0 的质量分布不均匀，
2 2 2
其线密度 ρ ( x, y ) = x + y ，试求其重心 ( x , y ) 。
2
解: 将 C 的方程表示为参数方程 ⎨
⎧ x = R cos θ , ⎩ y = R sin θ ,
θ ∈ [0, π ],
C 的质量 M 为 M = ( x + y )dl =
2 C
∫
∫
π
0
(r 2 cos 2 θ + r sin θ )rdθ
f ( x, y, z )dl = ∫ f ( x, y, z )dl + ∫
L1
L2
f ( x, y, z )dl
保号性： ∀P ∈ L, f ≥ 0, 特别有
∫
第一类第二类曲线积分区别
第一类第二类曲线积分区别第一类和第二类曲线积分是微积分中重要的概念，用于描述曲线上的各种物理量。
它们在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
在本文中，我们将详细介绍第一类和第二类曲线积分的定义、性质和区别，并且举例说明它们的具体应用。
首先，我们来看第一类曲线积分。
第一类曲线积分是对曲线上的标量场进行积分。
标量场是指在每个点上都有一个标量值的函数。
用数学符号表示，第一类曲线积分可以写成如下形式：∮f(x,y)ds其中，f(x,y)是一个标量场函数，s表示曲线上的弧长。
对于第一类曲线积分，我们可以将曲线分成一系列小的线段，然后计算每个小线段上函数f(x,y)和弧长ds的乘积，最后对所有小线段的乘积求和。
这个积分结果表示了曲线上标量场函数f(x,y)的总体积。
第一类曲线积分具有以下性质：那么∮(af+bg)ds = a∮fds + b∮gds。
2.路径无关性：如果起点和终点相同，那么∮fds的值与路径的选择无关，只与起点和终点的位置相关。
3.有向性：第一类曲线积分的结果是一个有向量，表示积分方向沿曲线的方向。
接下来，我们来看第二类曲线积分。
第二类曲线积分是对曲线上的矢量场进行积分。
矢量场是指在每个点上都有一个矢量值的函数。
用数学符号表示，第二类曲线积分可以写成如下形式：∮F(x,y)·dr其中，F(x,y)是一个矢量场函数，r表示曲线上的向量位移。
对于第二类曲线积分，我们可以将曲线分成一系列小的线段，然后计算每个小线段上矢量场函数F(x,y)和向量位移dr的点积，最后对所有小线段的点积求和。
这个积分结果表示了曲线上矢量场函数F(x,y)的总体通量。
第二类曲线积分具有以下性质：那么∮(aF+bG)·dr = a∮F·dr + b∮G·dr。
2.路径无关性：如果起点和终点相同，那么∮F·dr的值与路径的选择无关，只与起点和终点的位置相关。
3.有向性：第二类曲线积分的结果是一个标量，表示积分方向与曲线的方向有关。
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二、第一型积分的性质
I e sin x sin y d 例:估计二重积分
D
2 2 其中D为圆形域 x y 4.
解：（x, y） R2 ,因 1 sin x sin y 1, 故有 1 e sin x sin y e 又（D） 4，所以 e 4 sin x sin y e dxdy 4e e D
n A( P )d lim A( P ) k
0
k 1
以为向量函数求极限相当于它的各个分量 求极限，若
三、矢量函数的第一型积分
A P A1 P , A2 P , , Am P
A1 P e1 A2 P e 2 Am P em
3 第一型积分的概念： 定义1 设 是可测几何体， f ( P )是定义在 u 上的函数，将 任意细分成可测的小块： 1， 2， ， n， ( k )表示 k的测度， 记 maxdiam k
任取 Pk k，若和式极限 lim f Pk k 0 k 1 存在切与Ω的分割方式及 Pk k无关，则称之 为函数u= f（p）沿Ω的第一型积分或第一类积分， 记为 d f ,P即
MK f PK K
n n
物质分布在几何体上的质量:
M MK f PK K
k 1 k 1
n
分割无限细则 lim f Pk k
0
k 1
就可以描述Ω的质量,记成
f Pd
一、质量分布模型和第一型积分
二、第一型积分的性质
1 x 2 例 : 设A( x ) { x , sin x , }, 计算积分 2 1 x 1 A( x ) dx.
0
三、矢量函数的第一型积分
1 x 2 设A( x ) { x , sin x , }, 计算积分 2 1 x
例
1
0
A( x ) dx .
V
（4）当Ω是平面或空间曲线L，其体积 微元是弧长微元，这时称为第一型曲线 积分，记为
f ( P )d f ( P )dS
L
一、质量分布模型和第一型积分
（5）当Ω是有界空间曲面，测度理解为 面积，此时称为第一型曲面积分，记为
f ( P)d f P dS
s
第一型积分的定义可以推广到Ω是n 维 欧氏空间Rn的区域的情况。可以证明，若 Ω是Rn的有界闭区域，f（p）在Ω连续，则 ∫Ωf（p）dμ存在，即f（p）在Ω可积。
§1 第一型曲线积分的概念和性质
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一、质量分布模型和第一型积分 二、第一型积分的性质
三、矢量函数的第一型积分
一、质量分布模型和第一型积分
1 测度: 把直线段和曲线段的长度、平面区域 和曲面区域面积、空间区域的体积。
2 问题的提出: 设Ω是有可测度的的有界几何 体分布在Ω的密度为f(P) [P∈Ω],
2
二、第一型积分的性质
积分不等式：
若f ( p ) 和g ( p ) 在 可积且f ( p ) g ( p ), 则
f ( p)d g( p)d
积分中值定理：
若 f ( p )在闭区域 连续，则 上至少存在一点Q，使得
f pd
f ( Q ) ( )
f P gP d f P d gP d
积分可加性：设f P 在 可积，将 分为 两个可测的部分 1和 2 ， 1 2
则f P 1 和 2 都可积,且 在
1
f ( p)d f ( p)d f ( p)d
1 k n
n
f P d lim f ( P ) ( )
n 0 k 1 k k
一、质量分布模型和第一型积分
其中f(p)为被积函数，Ω为积分区域，dμ为积 分微元。
（1）当 = a , b , f P f x , 则dμ= dx。则
则
n A P d lim Aj Pk k ej 0 j 1 k 1
m
A1 P d , A2 P d , , Am P d
f ( x, y )d .
D
设 f ( x，y，z )在点(0，， 的某邻域内连续， 0 0) Dr : x 2 y 2 z 2 r 2 , 求 1 lim 3 f ( x , y , z )dV . r 0 r Dr
三、矢量函数的第一型积分
设 是可测集，若A( P )是定义在 的向量 函数，我们定义A( P )沿 的第一型积分为
f P d f x dx
b a
（2）当Ω为平面区域D，测度理解为面积，此时 dμ=dσ，这时称为二重积分，记成
f P d f P d
D
一、质量分布模型和第一型积分
（3）当Ω是空间区域V，测度理解为体积， 这时称为三重积分或体积分，记成
f P d f P dv
一、质量分布模型和第一型积分
例1.
记
若 f P 1, p ,则
n k
d 1d lim
0 k 1
这就是说，积分
d
等于Ω的测度。
二、第一型积分的性质
线性性质 : 设Ω是可测的几何体，函数f（p） 和g(p)在Ω可积,α,β是实常数，则
diam( k )表示 k的直径, max diamk 1 k n 表示这些大几何体的最大直径.
将Ω分割成可测的小几何体 1 , 2 , , n ,
一、质量分布模型和第一型积分
) 当λ够小,就可使分割无限细, ( k 表示 k的测度, 任取 Pk k ( k 1, , n ),则分布在 k的质量:
二、第一型积分的性质
例 : 设D : ( x 2)2 ( y 1)2 2, 则
( x y ) d
2 D
(, )
( x y) d
3 D
例 : 若f ( x , y )在D ( x , y ) | x 2 y 2 t 2 上连续,求 1 lim 2 t 0 t