高中数学参数方程知识点大全

cosθ= ，得ρcosθ=2，
∴应选B.
例104ρsin2 =5 表示的曲线是( )
A.圆 B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线
解：4ρsin2 =5 4ρ·
把ρ= ρcosθ=x，代入上式，得
2 =2x-5.
平方整理得y2=-5x+ .它表示抛物线.
∴应选D.
例11极坐标方程4sin2θ=3表示曲线是( )
解：普通方程x2-y中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.
C.中y= =ctg2t= =，即x2y=1，故排除C.
∴应选D.
例7曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化 成直角坐标方程为( )
A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4
(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则
t=
中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜ ｜
(4)若P0为线段P1P2的中点，则
t1+t2=0.
2.圆锥曲线的参数方程
(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是 (φ是参数)
φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)
故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2).
(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化
说明这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.
例2极坐标方程ρ= 所确定的图形是（ ）
(2)椭圆 椭圆 (a＞b＞0)的参数方程是
(φ为参数)
椭圆 (a＞b＞0)的参数方程是
(φ为参数)
3.极坐标
极坐标系 在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫 做极轴.
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.
｜t｜.
直线参数方程的应用 设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是
（t为参数）
若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则
(1)P1、P2两点的坐标分别是
(x0+t1cosα,y0+t1sinα)
(x0+t2cosα,y0+t2sinα)；
(2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜;
应选D.
例9在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是( )
A.ρsinθ=2 B.ρcosθ=2
C.ρcosθ=-2 D.ρcosθ=-4例9图
Biblioteka Baidu解：如图.
⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA为直径，｜OA｜=4,l和圆相切，
l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l上任意一点，则有
∴在xOy坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).
应选B.
例4参数方程
A.双曲线的一支，这支过点(1， )B.抛物线的一部分，这部分过(1， )
C.双曲线的一支，这支过(-1， )D.抛物线的一部分，这部分过(-1， )
解：由参数式得x2=1+sinθ=2y(x＞0)
即y= x2(x＞0).
A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线
解：由4sin2θ=3,得4· ＝3,即y2=3 x2，y=± ,它表示两相交直线.
∴应选B.
A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线
解： ρ=
(三)综合例题赏析
例3椭圆 （ ）
A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)
C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)
解：化为普通方程得
∴a2=25,b2=9,得c2＝１６,c=4.
∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)
二、知识结构
1.直线的参数方程
(1)标准式 过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是
(t为参数)
(2)一般式 过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα= 的直线的参数方程是
(t不参数) ②
在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a2+b2=1,②即为标准式，此时， ｜ t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是
点的极坐标 设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度 ，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)
极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；
②极轴与x轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
三、知识点、能力点提示
(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化
例1在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.
解： 将圆的方程化为参数方程：
（ 为参数）
则圆上点P坐标为(2+5cos ，1+5sin )，它到所给直线之距离d=
解：将ρ= ，sinθ= 代入ρ=4sinθ，得x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4.
∴应选B.
例8极坐标ρ=cos( )表示的曲线是( )
A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆
解：原极坐标方程化为ρ= (cosθ+sinθ) =ρcosθ+ρsinθ，
∴普通方程为 (x2+y2)=x+y，表示圆.
高考复习之参数方程
一、考纲要求
1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.
2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.
∴应选B.
例5在方程 (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )
A.(2,-7)B.（ ， ）C.( ， )D.(1，0)
解：y=cos2 =1-2sin2 =1-2x2
将x= 代入，得y=
∴应选C.
例6下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是( )
A. B. C. D.