08结构动力学-数值分析方法
结构数值分析
1 2
F1 F 2 F F3 F4
l/2 1 3
2
4
F2
1
l/2 F1 F3
F4
单元上节点位移总数称单元的自由度数，等于单元节点 数乘节点自由度数。 研究单元时{F}是外力，但就整个结构而论，它是内力。
y
P
①
1 2
②
3
F2
1
①
（1-7）
{P}=[K]{⊿}
从方程（1-7）可解出节点位移{⊿}。 由此可见，用有限单元法计算结构的力学状态是以节 点位移{⊿}为未知量的。
1.4 计算结构内力和应力 返回每个单元逐一分析
1、根据变形协调条件，从{⊿}中找出相应的单元位移，
并把它换算成单元坐标的单元位移{}。
○
1
悬臂平面应力板剖分为 4个单元后，只在节点1、 2有约束。
图1-1
x
1
○ ○
○
2 P1
①
2
P2
②
3
③
○
○ ○
4
y
简支梁节点自由度为2，
图1-13 简支梁
1、4点的竖向位移受约
受约束位移的位置：节点1、 束，但角位移不受约束。 4的竖向位移受约束的自由度 数（ nr ）： nr =2
4、计算结构自由度总数 （1）不计入约束时
协调条件
2、系统分析内容 （1）确定受约束自由度的位置、数量； （2）确定结构自由度总数； （3）组集结构刚度矩阵； （4）求解系统节点综合方程获得节点位移解答。 3、确认受约束自由度的位置、数量 约束指结构中那些使节点位移为零的刚性约束，如刚 性支座约束等。约束一定发生在节点上（不考虑非节点约 束），但不一定约束节点的全部位移。
结构动力学分析方法在工程设计中的应用研究
结构动力学分析方法在工程设计中的应用研究在工程设计中，结构的稳定性和安全性是至关重要的考虑因素。
为了确保工程结构的可靠性，结构动力学分析方法被广泛应用于各种工程项目中。
本文将探讨结构动力学分析方法在工程设计中的应用研究。
一、结构动力学分析方法的概述结构动力学分析方法是一种通过数学模型和计算方法来研究结构在外力作用下的响应和振动特性的技术。
它可以帮助工程师预测结构在不同工况下的受力情况，从而优化设计方案，提高结构的稳定性和安全性。
二、结构动力学分析方法的基本原理结构动力学分析方法基于牛顿第二定律和弹性理论，通过建立结构的数学模型，利用有限元方法或其他数值计算方法求解结构的响应和振动特性。
其中，有限元方法是最常用的分析方法之一，它将结构划分为许多小的单元，通过计算每个单元的力学特性和相互作用，得出整个结构的响应。
三、结构动力学分析方法在桥梁设计中的应用研究桥梁作为一种重要的交通设施，其结构的稳定性和安全性对交通运输的正常进行至关重要。
结构动力学分析方法在桥梁设计中的应用研究主要包括以下几个方面：1. 振动特性分析：通过结构动力学分析方法，可以研究桥梁在不同荷载下的振动特性，包括自振频率、振型和振幅等。
这些信息可以帮助工程师评估桥梁的稳定性和抗震性能，从而优化设计方案。
2. 动力响应分析：结构动力学分析方法可以模拟桥梁在外力作用下的动力响应，包括位移、应力和变形等。
通过分析结构的动力响应，可以评估桥梁的受力情况，从而指导工程师进行结构优化设计。
3. 抗震性能评估：结构动力学分析方法可以用于评估桥梁的抗震性能。
通过模拟地震荷载下的结构响应，可以评估桥梁的破坏概率和安全系数，从而确定桥梁的抗震设计要求。
四、结构动力学分析方法在建筑设计中的应用研究除了桥梁设计，结构动力学分析方法在建筑设计中也有广泛的应用研究。
建筑结构的稳定性和安全性对人们的生活和工作环境至关重要，因此结构动力学分析方法在建筑设计中的应用研究也备受关注。
结构动力学-4节.ppt
fs ky (t) fd c y ( t) m y c y ky m u g
u g (t )
二、隔振设计 基底振动的隔离（对象是m，如地震） 力的传递与隔振（对象是地基，如 轻轨影响地基） 1.基底振动的隔离 设质量相对于地面的位移为yr
y ( t ) y ( t ) u ( t ) r g
y P i i y y cos t sin t ( 1 cos t ) i 1 i k
i 1 / y i sin t y i y cos t
P (t )
Pi
Pi 1
P i sin t k
2 2
3 2 tan 1 2 4 22
A 1 4 22 B ( 1 2)2 4 22
传导比
m y c y ky kB sin t cB cos t
A/ B
0
1/ 5
2
m
k
y (t )
c
1/ 4
1/ 3 1/ 3
k
y y d y yy k 1 k 1 y k 1 k 1 y ( ) k t d tk t t t 2 t k 1 k 1
t k 的加速度为： y y y y k 1 k 1 k k y 2 y y t t k 1 k k 1 y k 2 t ( t )
0
1 t y ( t ) p () s i n( t ) d 0 m
t
1 t ( p r ) s i n( t ) d 0 0 m
结构动力学-习题解答
7-1（a)试求图示体系的自振频率与周期。
解
11
5 48
l3 EI
;
3.098
EI ml 3
;
l/2
T 2.027
ml 3 ;
7-6 某结构在自振10个周期后，振幅降为原来初始位移的10% （初位移为零），试求其阻尼比。
解： 1 ln10 0.0366 2 10
8-1试求图示梁的自振频率和振型。 m
y1(t)
解
EI 2m
a
a
y2
(t
)
a
12
21
1 4
a3 EI
a
I 2 m 0
11m1 1/ 2
m212
0
m1 21
22m2 1/ 2
1 1.153
a/2
2 0.181
令
1
11m1
2
1 1/ 2
0
1/ 4 1/3 2 4 / 3 5 / 24 0
x11 / x21 3.277; x12 / x22 0.61
;
9l / 64 (a)
5l / 32
11.817
EI ml 3 ;
l/2
T 0.531
ml3 ;
(b)
EI
7-1（c)试求图示体系的自振频率与周期。
m 刚性杆
解 由右面竖杆的平衡可求出铰处约束力。
EI
由水平杆的平衡：
08结构动力学数值分析方法.pdf
1/87结构动力学教师：刘晶波助教：宝鑫清华大学土木工程系2016年秋2/87结构动力学第5章动力反应数值分析方法3/87主要内容：❑数值算法中的基本问题❑分段解析法❑中心差分法❑一般时域逐步积分法的构造❑Newmark —β法❑Wilson —θ法❑时域逐步积分算法的新发展❑结构非线性反应分析4/875.1数值算法中的基本问题5/875.1数值算法中的基本问题前面介绍了二种结构动力反应分析方法：时域分析方法—Duhamel 积分法，频域分析方法—Fourier 变换法。
●这两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问题。
当外荷载为解析函数时，采用这两种方法一般可以得到体系动力反应的解析解，当荷载变化复杂时无法得到解析解, 通过数值计算可以得到动力反应的数值解。
●这两种分析方法的特点是均基于叠加原理，要求结构体系是线弹性的，当外荷载较大时，结构反应可能进入物理非线性(弹塑性)，或结构位移较大时，结构可能进入几何非线性，这时叠加原理将不再适用。
此时可以采用时域逐步积分法求解运动微分方程。
6/875.1 数值算法中的基本问题时域逐步积分法——Step-by-step methods 结构动力反应分析的时域直接数值计算方法：（1）分段解析法；（2）中心差分法；（3）平均加速度法；（4）线性加速度法；（5）Newmark －β法；（6）Wilson －θ法；（7）Houbolt 法；（8）广义α法；•••••••••时域逐步积分法是结构动力分析问题中一个得到广泛研究的课题，也是得到广泛应用的计算方法。
7/875.1 数值算法中的基本问题采用叠加原理的时域和频域分析方法（Duhamel 积分，Fourier 变换），假设结构在全部反应过程中都是线性的，而时域逐步积分法，只假设在一个时间步距内是线性的，相当于用分段直线来逼近实际的曲线。
时域逐步积分法研究的是离散时间点上的值，例如位移和速度为：而这种离散化正符合计算机存贮的特点。
机械设计基础学习如何进行机械结构的动力学分析
机械设计基础学习如何进行机械结构的动力学分析机械结构的动力学分析是机械设计中至关重要的一部分。
它涉及到了机械结构的运动、力学性能以及系统的稳定性等方面。
本文将介绍机械设计基础学习如何进行机械结构的动力学分析的方法和步骤。
一、选择适当的分析方法在进行机械结构的动力学分析之前，首先需选择适当的分析方法。
一般来说，常用的分析方法有理论分析方法和数值分析方法。
理论分析方法适用于简单的机械结构，通过建立运动方程、力学方程等来进行分析。
数值分析方法适用于复杂的机械结构，通过计算机模拟和数值计算来进行分析。
二、建立机械结构的动力学模型在进行机械结构的动力学分析之前，需建立机械结构的动力学模型。
动力学模型可分为几自由度模型和多自由度模型。
几自由度模型适用于简单的机械结构，例如单杆机构、摆线机构等。
多自由度模型适用于复杂的机械结构，例如汽车悬挂系统、飞机机翼系统等。
三、确定外部载荷和边界条件在进行机械结构的动力学分析之前，需确定外部载荷和边界条件。
外部载荷包括静载荷和动载荷，例如重力、惯性力等。
边界条件包括支承条件和约束条件，例如支撑点、约束点等。
四、求解机械结构的运动学和动力学方程在确定了机械结构的动力学模型、外部载荷和边界条件之后，可求解机械结构的运动学和动力学方程。
运动学方程描述机械结构各点的运动状态，动力学方程描述机械结构的运动和受力情况。
根据机械结构的运动学和动力学方程，可求解出机械结构的位移、速度、加速度等运动参数，以及受力、力矩等力学参数。
五、分析和评估机械结构的动力学性能在求解了机械结构的运动学和动力学方程之后，可对机械结构的动力学性能进行分析和评估。
动力学性能包括机械结构的稳定性、振动特性等。
通过分析和评估机械结构的动力学性能，可进行结构的优化设计和改进，以提高机械结构的性能和可靠性。
六、验证和验证分析结果在进行机械结构的动力学分析之后，需对分析结果进行验证和验证。
验证结果的方法有解析解和数值解的对比、实验数据的对比等。
结构动力学数值算法
K xn1 Qn1
参数不同选取包含着三个经典算法
1）
1 2
，
1 4
Newmark 平均加速度法， 梯形公式
2）
1 2
，
1 6
Newmark 线加速度法
3）
1 2
，
0
中心差分法
纽马克法的解题步骤
初始值计算
（1）形成系统矩阵 K，M 和 C
（2）定初始值
x0
，
.
x0
，
..
x0
。
（3）选择时间步长 t ，参数 、 （按上页选）。
其中 A1，A2，A3 为该矩阵的三个特征向量，分 别为矩阵的迹的一半、各阶主子式的和以及矩阵的 行列式，分别表达如下：
A1
18
6
32 2
3 2
(2 2
32
6)
2
32
A2
42
32 3 62 2 18 (2 2 6)
12
A3
6
6
2 32 (2 2
2 2
6)
3
32
此外，在几个不同时刻应用数值算法，然后将
（2）求解 t t 时刻的位移
(LDLT )xtt Qtt
（3）计算 t t 时刻的加速度和速度
..
.
..
xtt a0 (xtt xt ) a2 xt a3 xt
.
.
..
..
xtt xt a6 xt a7 xtt
5.1.2 威尔逊- 法的解题步骤 1. 初始值计算 （1）形成系统矩阵 K，M 和 C
如果算法的稳定性要求对步长的选取有限制，称 算法是有条件稳定的，反之为无条件稳定的。
判断方法：放大矩阵的谱半径小于等于 1 成立的 充分条件是
结构动力学简答(考试用)
1）动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间 16.振幅的物理意义：体系运动速度为 0，弹性恢复力最大。 （曲线达到的最大值）相位角
5.有限元法与广义坐标法相似，有限元法采用了型函数的概念，但不同于广义坐标法在 反应，最后叠加每一个脉冲作用下的反应得到总反应，给出了计算线性单自由度体系在 全部体系结构上插值，而是采用分片插值，因此型函数表达式形状可相对简单。与集中 任意荷载作用下的动力反应的一般解，一般适用于线弹性体系（此法将外荷载离散成一 质量法相比，有限元中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点，这 系列脉冲荷载） 。缺点：效率不高，需要由 0 积分到 t。适用范围：线弹性体系在任意何 与集中质量法相同。 使解题方便。 在作用下体系动力反应的理论研究，当外荷载为解析函数时，采用 Duhamel 积分更容易 18.结构地震反应分析的反应谱法的基本原理是：对于一个给定的地震动 6.广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量，称为该体系广义坐标；选择原则： 获得解析解。t 为结构体系动力反应的时间， 则表示单位脉冲作用的时刻。
结构动力学方程常用数值解法
结构动力学方程常用数值解法对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，动力学方程可写为：...++=()M x C x Kx F t从数学角度看，这是一个常系数的二阶线性常微分方程组，计算数学领域，常微分数值算法常用的有两大类：－、针对一阶微分方程数值积分法发展的欧拉法，中点法，Rugge-kutta（龙格—库塔）方法。
二、直接基于二阶动力学方程发展的方法。
对结构动力学问题的数值求解，常用的有两大类：一是坐标变换法，它是对结构动力方程式，在求解之前，进行模态坐标变换，实际上就是一种Rize变换，即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。
现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法。
二是直接积分法，它是对结构动力方程式在求解之前不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。
这种方法的特点是对时域进行离散，然后将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成。
通常又称为逐步积分法。
模态迭加方法，比较常用，但如下情况通常使用直接积分方法（即求解之前不进行模态分析）一、非比例阻尼，非线性情况。
二、有冲击作用，激起高频模态，力作用持续时间较短，模态迭加计算量太大。
一振型迭加法与Duhamel积分数值解按照有限单元法的一般规则, 经过边界条件的约束处理, 结构在强迫振动时多自由度体系的运动平衡方程可以表示为:++= (1)MU CU KU R其中, M是体系的质量矩阵, C 是体系的阻尼矩阵, 而K 则是刚度矩阵. R 为外荷载向量. U、U和U则分别是体系单元节点的位移、速度和加速度向量. 上述动力平衡方程实质上是与加速度有关的惯性力MU和与速度有关的阻尼力CU及与位移有关的弹性力KU在时刻t与荷载的静力平衡。
振型叠加法是把多自由度体系的结构的整体振动分解为与振型次数相对应的单自由度体系, 求得各个单自由度体系的动力响应后, 再进行叠加得出结构整体响应. 振型叠加法原理是利用结构无阻尼自由振动的振型矩阵作为变换矩阵, 将结构动力方程式(1)式变换成一组非耦合的微分方程. 逐个地求解这些方程后, 将解叠加即可得到动力方程的解。
08结构动力学-数值分析方法
用两步法进行计算时存在起步问题，因为仅根据已知的 初始位移和速度，并不能自动进行运算，而必需给出 两个相邻时刻的位移值，方可开始逐步计算。 在初始时刻需要建立两个起步时刻 ( 即 i＝0, -1) 的位移 值，这即是逐步积分的起步问题。
22/87
中心差分法在计算ti+1时刻的运动ui+1时，需要已知ti和ti-1 两个时刻的运动 ui 和 ui-1，因此，中心差分法属于两步 法；
分段解析法 计算公式中 的系数
i ui 1 Aui Bu Cpi Dpi 1 i 1 Aui B u i u C pi D pi 1
D
2 2 1 1 2 2 e n t 1 t sin D t t cos D t k n n t D
5/87
5.1 数值算法中的基本问题 时域逐步积分法——Step-by-step methods 结构动力反应分析的时域直接数值计算方法： （1）分段解析法； （2）中心差分法； （3）平均加速度法； （4）线性加速度法； （5）Newmark－ 法； （6）Wilson－ 法； （7）Houbolt 法； （8）广义 法；
11/87
△ti
ti
ti+1
t
τ
分段解析法对外荷载的离散
12/87
3
5.2 分段解析法
p
实际荷载 pi+1 pi 插值荷载：p(τ)
5.2 分段解析法 将全解
△ ti
(同济大学)结构动力学教程 第六章 结构动力学中常用的数值方法
（2） 求解位移向量： [K ]{x}t+θ∆t = {R}t+∆t
{x}t+∆t = a4 ({x}t+θ∆t − {x}t ) + a5{x}t + a6{
（3） 求解加速度、速度、位移向量：{x}t+∆t = {x}t + a7 ({x}t+∆t + {x}t ) {x}t+∆t = {x}t + ∆t{x}t + a8 ({x}t+∆t + 2{x}
（{Q}t+θ∆t = {Q}t +θ ({Q}t+∆t −{Q}t )） 以位移 {x}t+θ∆t 为未知量建立求解方程，即：
[K ]{x}t+θ∆t = {R}t+θ∆t
式中，
[K ] = [K ] + 1 [M ] + 3 [C]
(θ∆t ) 2
θ∆t
{R }t +θ∆t
= {Q}t
+ θ ({Q}t+∆t
x
xt+∆
t + ∆t
用同样方法处理位移
泰勒展开：{x}t+∆t
= {x}t
+ {x}t ∆t +
1 {~x}∆t 2 2
类似地设 t → t + ∆t 时间间隔内：{x} = {x}t + 2δ ({x}t+∆t − {x}t )
(0 ≤ δ ≤ 0.5)
{x}t+∆t = {x}t + {x}t ∆t + (0.5 − δ ){x}t ∆t 2 + δ {x}t+∆t ∆t 2
与原矩阵a相关联的矩阵设矩阵a的特征值为对应的特征向量为的特征值为对应的特征向量为的特征值为对应的特征向量为的特征值为对应的特征向量仍为非奇异则的逆矩阵存在为其特征值相似即有可逆矩阵存在使的特征值也为特征向量为特征值的和与积设矩阵的特征值为则有供校核用特征向量规范化设矩阵的特征向量为的特征向量
第五章 结构动力学中常用的数值解法1
第五章结构动力学中常用的数值解法§5.1概述数值分析技术为结构的动态分析提供了有力的保障，为工程结构在各种复杂的动力学环境下的模拟和仿真提供了有效工具。
工程结构的动态分析主要包括两个方面：结构的动态特性分析和结构动态响应分析标准特征值问题和广义特征值问题1 雅可比方法（Jacobi）、2.Rayleigh-Ritz3.子空间迭代法4. 行列式搜索法行列式搜索法是求解大型特征值问题的另一种方法。
它的特点是综合运用多项式加速割线迭代，移轴向量逆迭代，Sturm序列的性质以及Gram－Schmidt正交化过程，直接计算所需要的任意特征对，通常是计算最小的部分特征值及相应的特征向量。
因此，它是一种计算部分特征对的特殊求解方法。
此方法具有计算速度快，精度高，灵活等优点。
nczos法Lanczos方法目前被认为是求解大型矩阵特征值问题的最有效方法，与子空间迭代法相比，其计算量要少得多。
响应数值分析：1.中心差分法2.Wilson -θ法3.Newmark 法响应求解方法的选择取决的因素有：载荷、结构、精度要求、非线性影响程度、方法的稳定性等。
综合各方面的因素，比较、权衡，才能判定所应采取的方法；有时为了互相验证，也可以同时采取两种以上的方法来处理动响应分析对于载荷，一般分为波传导载荷与惯性载荷。
对结构过于复杂的情况，宜采用直接积分法，结构较简单的情况可采用模态迭加法。
对精度要求较低的初步设计阶段，可采用取少数模态的模态迭加法。
对精度要求较高的最后设计阶段，宜采用直接积分法§ 5.2 求解系统固有频率主振型的近似解法1.邓柯利法：是邓柯利首先通过实验方法建立起来的一个计算公式，后来才得到完整的数学证明。
[]M []δ设质量矩阵，柔度矩阵为则有{}[][]{}0x M x δ+=1894年邓柯利：提出一种近似计算多圆盘轴横向振动基频的实用方法（偏小）设系统作j 阶主振动,则有：2()2{}{}sin {}j j j j x A t x ωωω=-=-代入得特征方程：21([][][]){}0jM I x δω-=有111112*********2222222112221101n njn njn n n n nn nn jm m m m m m m m m δδδωδδδωδδδω--=-假设质量矩阵为对角阵，展开得：1111222222(1)11()nn nn n n jjm m m δδδωω--++++=根据多项式的根与系数之间的关系21jω211ω22211nωω的n 个根，之和为1111222222212111nn nnnm m m δδδωωω+++=+++由于二阶频率往往比基频高得多22221111n ωωω111122222111nnn nn ii ii i m m m m δδδδω==+++=∑22211n ωω得忽略111nii iii mωδ==∑ii ii m ω表示仅有质量单独存在时（原多自由度系统变成单自由度系统）的固有频率1ii ii ii ii iik m m ωδ==设2222111221111nnωωωω=+++如例题1m 2m 3m 3331122339169768768768l l l EI EI EI δδδ===22113331117689EI m l m ωωδ===⨯222322176816EI m l m ωδ==⨯333211921634768768768l m l m l mEI EI EIω⨯=+=134.752EImlω=134.933EImlω=精确解2.雅可比（Jacobi ）法求特征方程[]A 设为对称阵，[]{}{}A x x λ=12[][][][](,,)Tn S A S D diag d d d ==即可断定[D]的n 个对角元素就是[A]的n 个特征值，而[S]的第i 列就是[D]中第i 个对角元素所对应的特征向量，[S]为坐标变换矩阵。
结构动力学方程常用数值解法教学文案
结构动力学方程常用数值解法结构动力学方程常用数值解法对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，动力学方程可写为：...M x C x Kx F t++=()从数学角度看，这是一个常系数的二阶线性常微分方程组，计算数学领域，常微分数值算法常用的有两大类：－、针对一阶微分方程数值积分法发展的欧拉法，中点法，Rugge-kutta（龙格—库塔）方法。
二、直接基于二阶动力学方程发展的方法。
对结构动力学问题的数值求解，常用的有两大类：一是坐标变换法，它是对结构动力方程式，在求解之前，进行模态坐标变换，实际上就是一种Rize变换，即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。
现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法。
二是直接积分法，它是对结构动力方程式在求解之前不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。
这种方法的特点是对时域进行离散，然后将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成。
通常又称为逐步积分法。
模态迭加方法，比较常用，但如下情况通常使用直接积分方法（即求解之前不进行模态分析）一、非比例阻尼，非线性情况。
二、有冲击作用，激起高频模态，力作用持续时间较短，模态迭加计算量太大。
一振型迭加法与Duhamel积分数值解按照有限单元法的一般规则, 经过边界条件的约束处理, 结构在强迫振动时多自由度体系的运动平衡方程可以表示为:&&& (1)++=MU CU KU R其中, M 是体系的质量矩阵, C 是体系的阻尼矩阵, 而K 则是刚度矩阵. R 为外荷载向量. U 、U &和U &&则分别是体系单元节点的位移、速度和加速度向量. 上述动力平衡方程实质上是与加速度有关的惯性力MU &&和与速度有关的阻尼力CU &及与位移有关的弹性力KU 在时刻t 与荷载的静力平衡。
振型叠加法是把多自由度体系的结构的整体振动分解为与振型次数相对应的单自由度体系, 求得各个单自由度体系的动力响应后, 再进行叠加得出结构整体响应. 振型叠加法原理是利用结构无阻尼自由振动的振型矩阵作为变换矩阵, 将结构动力方程式(1)式变换成一组非耦合的微分方程. 逐个地求解这些方程后, 将解叠加即可得到动力方程的解。
结构动力学中的常用数值方法
第五章 结构动力学中的常用数值方法5．1．结构动力响应的数值算法....0()(0)(0)M x c x kx F t x a x v ⎧++=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩当c 为比例阻尼、线性问题→模态叠加最常用。
但当C 无法解耦，有非线性存在，有冲击作用（激起高阶模态，此时模态叠加法中的高阶模态不可以忽略）。
此时就要借助数值积分方法，在结构动力学问题中，有一类方法称为直接积分方法最为常用。
所识直接是为模态叠加法相对照来说，模态叠加法在求解之前，需要对原方程进行解耦处理，而本节的方法不用作解耦的处理，直接求解。
（由以力学，工程中的力学问题为主要研究对象的学者发展出来的）中心差分法的解题步骤1. 初始值计算（1） 形成刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C 。
（2） 定初始值0x ，.0x ，..0x 。
（3） 选择时间步长t ∆，使它满足cr t t ∆<∆，并计算 021()a t =∆，112a t=∆，202a a =（4） 计算...0011122t x x x x a a -∆=-+（5） 形成等效质量阵01M a M a C -=+ （6） 对M -阵进行三角分解T M LDL -= 2．对每一时间步长（1） 计算时刻t 的等效载荷21()()t t t tt Q Q K a M x a Ma C x --∆=---- （2） 求解t t +∆时刻的位移 ()Tt t t L D L x Q -+∆=（3） 如需要计算时刻t 的速度和加速度值，则.1()t t t t t x a x x +∆-∆=-..0(2)t t t t t t x a x x x +∆-∆=-+若系统的质量矩阵和阻尼矩阵为对角阵时，则计算可进一步简化。
纽马克法的解题步骤1.初始值计算（1）形成系统刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C（2）定初始值0x ，.0x ，..0x 。
（3）选择时间步长t ∆，参数γ、σ。
结构动力学复习重点整理笔记
1.结构动力分析的目的：确定动力荷载作用下结构的内力和变形，并通过动力分析确定结构的动力特性。
2.动力荷载的类型：是否随时间变化：静荷载、动荷载；是否已预先确定：确定性荷载（非随机）、非确定性荷载（随机）；随时间的变化规律：周期荷载：简谐荷载、非简谐周期荷载；非周期荷载：冲击荷载、一般任意荷载3.结构动力计算的特点（与静力计算的差异）：1）动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间2）考虑惯性力的影响，是结构动力学和静力学的一个本质的，重要的区别。
4.结构离散化方法实质：把无限自由度问题转化为有限自由度的过程种类：集中质量法、广义坐标法、有限元法5.有限元法与广义坐标法相似，有限元法采用了型函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系结构上插值，而是采用分片插值，因此型函数表达式形状可相对简单。
与集中质量法相比，有限元中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点，这与集中质量法相同。
6.广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量，称为该体系广义坐标；选择原则：使解题方便。
7.动力自由度：结构体系在任意瞬时的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目。
数目与结构体系约束情况有关。
静力自由度是使结构体系静定所需要的独立约束数目。
前者是由于系统的弹性变形而引起各质点的位移分量；后者指结构中的刚体由于约束不够而产生的刚体运动。
8.有势力又称保守力：每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置，体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点的始末位置，而与路径无关。
有势力F沿任何封闭路线所做的功为零。
运动微分方程中：弹性反力是保守力，阻尼力与外荷载是非保守力。
拉格朗日方程中广义力计算包括的主动力：外力和阻尼力9.实位移：满足约束方程且满足运动方程和初始条件的位移。
可能位移：满足所有约束方程的位移。
虚位移：在某一固定时刻，体系在约束许可的情况下，可能产生的任意组微小位移。
结构动力学-第五章 数值分析方法 (Part 2)
§5.5 Wilson-θ 法
ti +1 时刻的解
}i +1 = {u }i +1 {u 6 θ 3 Δt 2
({u}
i +θ
{u}i +1
Δt }i + ({u }i +1 + {u }i ) = {u 2 Δt 2 }i + }i +1 + 2 {u }i ) = {u}i + Δt {u {u ( 6
结构动力学
第五章 动力反应数值分析方法
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华南理工大学
土木与交通学院
土木工程系
§5.5 Wilson-θ 法
不同数值积分法计算精度的比较
(0) = 0 考虑无阻尼自由振动问题： mu + ku = 0 u (0) = 1, u
步长： Δt = 0.1 × Tn
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i +θ i
i +1
− {P}i ) +
⎡ 6 ⎤ 6 }i + 2 {u }i ⎥ + u + {u [M ] ⎢ 2 { }i θ Δt ⎢ ⎥ ⎣ (θ Δt ) ⎦ ⎛ 3 ⎞ θ Δt }i + }i ⎟ {u [C ] ⎜ {u}i + 2 {u 2 ⎝ θ Δt ⎠
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§5.5 Wilson-θ 法
加速度变化规律
( ti ) + ατ a ( ti + τ ) = u (0 ≤ τ ≤ θ Δt )
结构动力学
5.2 频域分析方法—Fourier变换法 离散Fourier（DFT）变换 对连续变化的函数用等步长离散（数值采样） 时域离散化：
5.1 时域分析方法—Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数
无阻尼体系的单位脉冲反应函数为：
u (t ) u(0) cos n t ( 0) u sin nt n
h (t ) u (t )
1 sin[ n (t )] t m n t
0
有阻尼体系的单位脉冲反应函数为：
2U ( ) i 2 nU ( ) n 2U ( )
F F U ( ) u (t ) , P ( ) p(t )
1 P ( ) m
2
5.2 频域分析方法—Fourier变换法
2U ( ) i 2nU ( ) n 2U ( )
— 正变换 — 逆变换
(t )e u (t )e u
dt iU ( )
it
dt 2U ( )
速度和加速度的Fourier变换为：
对时域运动方程两边同时进行Fourier正变换，得 单自由度体系频域运动方程：
(t )e it dt iU ( ) u (t )e it dt 2U ( ) u
F U ( ) 逆 u (t )
结构动力学
一、 结构动力学是研究什么的？包含什么内容？结构离散化有什么方法、特点？结构动力学：是研究结构体系的动力特性及其在动力荷载作用下的动力反应分析原理和方法的一门理论和技术学科。
目的：在于为改善工程结构体系在动力环境中的安全性和可靠性提供坚实的理论基础。
结构动力分析的目的：确定动力荷载作用下结构的内力和变形；通过动力分析确定结构的动力特性。
离散化方法：把无限自由度问题转化为有限自由度的过程。
1、 集中质量法：是结构动力分析最常见的处理方法，它把连续分布的质量集中为几个质量，这样就把一个原为无限（动力）自由度的问题转化为有限自由度。
特点：采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点。
2、 广义坐标法：能决定体系几何位置的彼此独立的量。
特点：采用形函数的概念，在全部体系上插值。
虽然广义坐标表示了形函数的大小，如果形函数是位移量，则广义坐标具有位移的量纲，但只有n 项叠加后才是真实的位移物理量。
因而广义坐标实际上并不是真实的物理量。
3、 有限元法：将整个结构离散化为有限个单元，它们在有限个节点上连接，通过选用适当的形函数，对各个单元进行近似的力学分析处理，建立起单元的节点位移和相应节点之间的关系，然后按照在连接点上的力平衡条件与变形连续条件，把单元拼接成原结构。
特点：综合了集中质量法和广义坐标法的特点：1与广义坐标法相似，采用了形函数的概念，但为分片的插值，形函数的表达式相对简单；2与集中质量法相同，也采用了真实的物理量，具有直观、直接的优点。
3.每一分段所选择的位移函数可以是相同的，故计算得以简化。
4、每个节点位移仅影响其邻近的单元，所以这个方法所导得的方程大部分是非藕合的，因此解方程式的过程大大地简化。
（不作要求，仅供参考）动力荷载的类型：简谐荷载、非荷载周期荷载、冲击荷载、一般任意荷载。
（不作要求，仅供参考）结构动力计算的特点：1动力反应要计算全部时间点上的一系列的解，比静力问题复杂要消耗更多的计算时间。
结构动力响应数值计算方法简介
结构 动 力 响应 数 值 计 算 方法 简 介
孥传 人
摘
芦 磊
要： 简单介绍 了线性加速度法、 龙格一 库塔法、 尔逊一 法和 纽马 克一卢法这几种 常用 的结构 动力响应数 值计算 威
方法 ， 出了这 四种方法 的优缺点和适用 范围， 指 为求解地震反应提供 了参考依据。 关键 词 ： 线性加速度 法， 龙格一 库塔法 ， 尔逊一 法 ， 威 纽马克一卢法 ， 地震 波
、
阶 值 法 通常 数 方 。 写成： ＝“＋ｈ ｃ 是＝ｆｔ“ ， “ １ ∑ ， ＋ １ （， ）
丑
亟 ） （１ ｉ± 二
Ａｔ
ｋ ＝，ｔ＝口， ， （ ｋ ｒ ｋ＝ ｈ ６ ｒ＝ ２３…， 。再利用 Ｕ ∑ ） （ ， ， 优）
Ｔ ｙ ｒ 开式对 ａ ， ， 这些参 数适当选 择就 可以构造 高 阶方 ａｌ 展 ｏ ｂ 可以看 出， （） 式 ５ 大致 相 当于取 到 Ｔ ｙ ｒ 开式 的三次 项 。 法 了。 ａｌ 展 ｏ 它的物理意义 的假定 是从 时刻 ｔ到时刻 ｔ ｔ加速度 成直 线变 ＋Ａ
在地震 反应方程 （ ） ， １ 中 地面振 动加速度是 复杂 的随机函数。
将 以上两式代人式 （） 理得 ： ２整
＋Ａ Ｉ ＋ ｃ＋。 Ｎ Ｍ ［ Ｉｉ（ Ｍ ２ ｉ ㈤ ＋
６ ￡＋ Ｉｉ） ｕ） ￡＋（ △］ ） （｝ ． （＋ （ ） ，＋￡ （ ） ｃ ￡ ２￡ ｝ ￡ ）６ ￣ － （
数值方法。
（） ２
再逐步积分求解 ， 即将时间转化 分成一 系列微 小时 间段 △￡ ， 在 △￡ 问内可采取一些 假设 ， 而能 对增 量方程 （ ） 接积分 ， 时 从 ２直
得出地震反应增量。以该步 ｔ Ａ 的终态值， ＋ｔ 作为下一时问段的
动力学分析方法
1 动力学分析方法结构动力学的研究方法可分为分析方法(结构动力分析）和试验方法（结构动力试验)两大类.[7—10］分析方法的主要任务是建模（modeling）,建模的过程是对问题的去粗取精、去伪存真的过程.在结构动力学中，着重研究力学模型（物理模型)和数学模型。
建模方法很多，一般可分为正问题建模方法和反问题建模方法。
正问题建模方法所建立的模型称为分析模型（或机理模型)。
因为在正问题中，对所研究的结构（系统）有足够的了解，这种系统成为白箱系统。
我们可以把一个实际系统分为若干个元素或元件（element），对每个元素或元件直接应用力学原理建立方程(如平衡方程、本构方程、汉密尔顿原理等）,再考虑几何约束条件综合建立系统的数学模型。
如果所取的元素是一无限小的单元，则建立的是连续模型；如果是有限的单元或元件，则建立的是离散模型.这是传统的建模方法，也称为理论建模方法.反问题建模方法适用于对系统了解（称黑箱系统—-black box system）或不完全了解（称灰箱系统——grey box system）的情况，它必须对系统进行动力学实验，利用系统的输入(载荷）和输出(响应——response）数据，然后根据一定的准则建立系统的数学模型，这种方法称为试验建模方法,所建立的模型称为统计模型。
在动力平衡方程中，为了方便起见一般将惯性力一项隔离出来，单独列出，因此通常表达式为：+PM (2)uI-=其中M为质量矩阵，通常是一个不随时间改变的产量；I和P是与位移和速度有关的向量,而与对时间的更高阶导数无关.因此系统是一个关于时间二级导数的平衡系统,而阻尼和耗能的影响将在I和P中体现。
可以定义:+= (3)IKuCu如果其中的刚度矩阵K和阻尼矩阵C为常数，系统的求解将是一个线性的问题；否则将需要求解非线性系统。
可见线性动力问题的前提是假设I是与节点位移和速度是线性相关的。
将公式(2)代入(1)中，则有 (4)+M=+uPKuCu上述平衡方程是动力学中最一般的通用表达式，它适合与描述任何力学系统的特征,并且包含了所有可能的非线性影响。
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时域逐步积分法是结构动力分析问题中一个得到广泛研 究的课题，也是得到广泛应用的计算方法。 6/87
5.1 数值算法中的基本问题 采用叠加原理的时域和频域分析方法（ Duhamel 积分， Fourier 变换），假设结构在全部反应过程中都是性的，相当于用分段直线来逼近实际的曲线。 时域逐步积分法研究的是离散时间点上的值，例如位移 和速度为：
11/87
△ti
ti
ti+1
t
τ
分段解析法对外荷载的离散
12/87
3
5.2 分段解析法
p
实际荷载 pi+1 pi 插值荷载：p(τ)
5.2 分段解析法 将全解
△ ti
u( ) u p ( ) uc ( )
ti+1
在ti≤t≤ti+1时段内体系的运动方程： 初值条件：
ti
t
τ
代入边界(初始)条件确定系数A、B，最后得：
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5.1 数值算法中的基本问题 时域逐步积分法——Step-by-step methods 结构动力反应分析的时域直接数值计算方法： （1）分段解析法； （2）中心差分法； （3）平均加速度法； （4）线性加速度法； （5）Newmark－ 法； （6）Wilson－ 法； （7）Houbolt 法； （8）广义 法；
分段解析法的误差仅来自对外荷载的假设，而在 连续时间轴上严格满足运动微分方程。 一般的时域逐步积分法将进一步放松要求，仅要 求在离散的时间点上满足运动方程，即放松了 对运动的约束。
5.3 中心差分法
(Central Difference Method)
17/87
18/87
5.3 中心差分法 中心差分方法用有限差分代替位移对时间的求导(即速度 和加速度)。如果采用等步长，ti=t，则i时刻速度和 加速度的中心差分近似为：
1 ui 1 ui 1 2 t 1 i 2 ui 1 2 ui ui 1 u t i u
ui 1 ui 1 2t
i u
u i 1 2ui ui 1 t 2
(t i ) cu (ti ) ku (t i ) p (ti ) mu
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5.2 分段解析法 当=ti时，得到
p
实际荷载 pi+1 pi 插值荷载：p(τ)
5.2 分段解析法
A e n t sin D t cos D t 2 1
1 B e nt sin D t D
c 2m c m m 2 ui 1 pi k 2 ui 2 ui 1 t t 2t t 2t
5.3 中心差分法 时域逐步积分法计算中起步的概念
c 2m c m m 2 ui 1 pi k 2 ui 2 ui 1 t t 2t t 2t
5.2 分段解析法
(Piecewise Exact Method)
5.2 分段解析法 分段解析算法假设 在ti≤t≤ti+1时段内
p
实际荷载 pi+1 pi 插值荷载：p(τ)
p( ) pi i
i ( pi 1 pi ) / ti
如果荷载 p(t) 采用 计算机采样，即 离散数值采样， 则以上定义可认 为是“精确”的。
结构动力学
教师：刘晶波 助教：宝鑫
结构动力学
第5章 动力反应数值分析方法
清华大学土木工程系 2016年秋
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主要内容：
数值算法中的基本问题 分段解析法 中心差分法 一般时域逐步积分法的构造 Newmark — 法 Wilson — 法 时域逐步积分算法的新发展 结构非线性反应分析
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2
5.1 数值算法中的基本问题 一种逐步积分法的优劣，主要由以下四个方面判断：
5.1 数值算法中的基本问题 根据是否需要联立求解 耦联 方程组，逐步积分法可分为 两大类： 隐式方法 ：逐步积分计算公式是耦联的方程组，需联立 求解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的 平方成正比，例如Newmark-β法、Wilson-θ法。 显式方法 ：逐步积分计算公式是解耦的方程组，无需联 立求解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线 性关系，如中心差分方法(无阻尼时)。 下面先介绍分段解析算法，然后重点介绍两种常用的时 域逐步积分法—中心差分法和Newmark-β法，同时也 介绍Wilson-θ法，最后介绍非线性问题分析方法。
分段解析法 计算公式中 的系数
i ui 1 Aui Bu Cpi Dpi 1 i 1 Aui B u i u C pi D pi 1
D
2 2 1 1 2 2 e n t 1 t sin D t t cos D t k n n t D
其中，
A0
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( ) ui , u
0
i u
运动方程的特解:
u p ( )
运动方程的通解:
i 1 ( pi i ) 2 c k k
n
uc ( ) e
( A cos D B sin D )
pi 2i 1 n A2 A1 ] , A1 i , A2 ui A0 , A3 [u D i k kn k
i Cp i Dpi 1 u i 1 Au i Bu i 1 Au i B u i C pi D pi 1 u
△t i
ti
ti+1
t
τ
其中系数 A—D 是结构刚度 k，自振频率 n ，阻尼比 和 时间步长t的函数。 上式给出了分段解析法根据i时刻运动及外力计算i+1时刻 运动的递推计算公式。 如果结构是线性的，并采用等时间步长，则 A—D 均 为常数，其计算效率非常高，在p(t)为离散采样的定义 下是精确解。 如果是非线性问题，则 A—D 均为变量，计算效率会 大为降低。 15/87
( ) cu ( ) ku ( ) p ( ) pi i mu
u ( )
0
u ( ) A0 A1 A2 e n cos D A3e n sin D ( ) A1 ( D A3 n A2 )e n cos D u ( D A2 n A3 )e n sin D
用两步法进行计算时存在起步问题，因为仅根据已知的 初始位移和速度，并不能自动进行运算，而必需给出 两个相邻时刻的位移值，方可开始逐步计算。 在初始时刻需要建立两个起步时刻 ( 即 i＝0, -1) 的位移 值，这即是逐步积分的起步问题。
22/87
中心差分法在计算ti+1时刻的运动ui+1时，需要已知ti和ti-1 两个时刻的运动 ui 和 ui-1，因此，中心差分法属于两步 法；
5.1 数值算法中的基本问题
离散的定义？
采用等时间步长离散时，ti=it，i=1, 2, 3,…。
ui u(ti ) ,
i u (ti ) , i 1, 2, u
体系的运动微分方程仅要求 在离散时间点 上满 足。 t——离散时间步长
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而这种离散化正符合计算机存贮的特点。 与运动变量的离散化相对应，体系的运动微分方程也不 一定要求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时间 点上满足，这相当于放松了对运动变量的约束。
sin t 1 cos t D D t
D
1 1 e nt sin D t cos D t 2 kt 1
16/87
4
5.2 分段解析法
i u
5.3 中心差分法
c 2m c m m 2 ui 1 pi k 2 ui 2 ui 1 t 2 t 2 t t t 多自由度体系的中心差分法逐步计算公式为：
1 1 C 2 M ui 1 2t t 2 1 1 pi K 2 M ui 2 M C ui 1 t 2t t
19/87
ui i u i u pi
u ( ti ) ( ti ) u ( ti ) u p ( ti )
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5
5.3 中心差分法 单步法和多步法的概念 单步法： 采用时域逐步积分法计算某一时刻的运动时， 仅需已知前一时刻的运动。 多步法：需要前两个或两个以上时刻的运动。
m u i 1 2u i u i 1 t
2
ui u (t i ) i u (t i ) u i u (t i ) u pi p (t i )
c
u i 1 u i 1 ku i pi 2t
c 2m c m m 2 ui 1 pi k 2 ui 2 ui 1 2 t 2 t t t t
C 1 2 1 2 2 e nt D t k n t 1 2 2 sin t 1 cos D t D n t
n A e nt sin D t 2 1 B e n t cos D t sin D t 1 2
C
n 1 1 e n t 1 2 t 1 2 k t
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5.1 数值算法中的基本问题
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1
5.1 数值算法中的基本问题 前面介绍了二种结构动力反应分析方法： 时域分析方法—Duhamel积分法， 频域分析方法—Fourier变换法。 这两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问题。 当外荷载为解析函数时，采用这两种方法一般可以得 到体系动力反应的解析解，当荷载变化复杂时无法得 到解析解, 通过数值计算可以得到动力反应的数值解。 这两种分析方法的特点是均基于叠加原理，要求结构 体系是线弹性的，当外荷载较大时，结构反应可能进 入 物理非线性 ( 弹塑性 ) ，或结构位移较大时，结构可 能进入 几何非线性 ，这时叠加原理将不再适用。此时 可以采用时域逐步积分法求解运动微分方程。