3.2 用导数研究函数的单调性与极值

3.2 用导数研究函数的单调性与极值

一、填空题

1．若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是________．

解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，由题意知f ′(x )＝0有两个不等的实根，由Δ＝(6a )2

－4×3×3(a ＋2)＞0，即a 2

－a －2＞0，解得a ＞2或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)

2．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)＜f (3x )，则实数x 的取值范围是________．

解析 由f (x )＝ln x ＋2x

，得f ′(x )＝1

x

＋2x ln 2＞0，x ∈(0，＋∞)，

所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x 2＋2)＜f (3x )，得0＜x 2＋2＜3x ， 所以x ∈(1,2)． 答案 (1,2)

3．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是________． 解析 由题意，得y ′＝3x 2＋2x ＋m ≥0解集为R ，所以Δ＝4－12m ≤0，解得m ≥13.

答案 ⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

13，＋∞

4．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．

解析 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.由f ′(x )＞0得x ＜0或x ＞2， 由f ′(x )＜0得0＜x ＜2，所以f (x )在x ＝2处取得极小值． 答案 2

5．已知函数f (x )＝x 3

3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在实数集R 上是增函数，

则实数m 的取值范围是________．

解析 f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，依题意，知f ′(x )在R 上恒大于或等于0，所以Δ＝4(m 2－6m ＋8)≤0得2≤m ≤4. 答案 [2,4]

6．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则满足f (x 0)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π3的x 0的取

值范围为________．

解析 f (x )是偶函数，且由f ′(x )＝2x ＋sin x ≥0⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2，知f (x )在⎣⎢⎡

⎦⎥

⎤0，π2上单调递增，所以由f (x 0)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，得f (|x 0|)＞f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π3，从而π3＜|x 0|≤π2，

解得－

π2≤x 0＜－π3或π3＜x ≤π

2

. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π

2

，－π3∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π2

7．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝________. 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，又f (x )在x ＝－3时取得极值，

∴f ′(－3)＝30－6a ＝0，则a ＝5. 答案 5

8．已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，导函数为f ′(x )＝x 2＋2cos x 且f (0)＝0，则满足f (1＋x )＋f (x 2－x )＞0的实数x 的集合是________．

解析 因为当x ∈(－2,2)时，f ′(x )≥0且为偶函数，所以f (x )是奇函数且在 (－2,2)上单调增，于是由f (1＋x )＞－f (x 2

－x )＝f (x －x 2

)， 得－2＜x －x 2＜1＋x ＜2，解得－1＜x ＜1. 答案 (－1,1)

9．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________．

解析 由题意，x ＝1是f ′(x )＝12x 2－2ax －2b 的一个零点，所以12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6(a ＞0，b ＞0)，因此ab ≤⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622

＝9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立． 答案 9

10．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________．

解析 由y ′＝a e ax ＋3＝0，得x ＝1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a ，所以－3

a

＞0，a ＜0，又因为有正根，

所以必有⎩⎨⎧

a ＜0，

0＜－3

a ＜1，

得a ＜－3.

答案 (－∞，－3)

11．已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1.设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，则a 的取值范围是________．

解析 f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3＝3[(x －a )2＋1－a 2]．

当1－a 2≥0时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，故f (x )无极值点； 当1－a 2＜0时，f ′(x )＝0有两个根x 1＝a －a 2－1，x 2＝a ＋a 2－1. 由题意，知2＜a －a 2－1＜3，① 或2＜a ＋a 2－1＜3，② ①无解，②的解为54＜a ＜53，

因此a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫

54，53.

答案 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

54，53

12．函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在(a ，b )内有极小值点的个数为________．

解析 f ′(x )图象与x 轴的交点从左至右第1个与第4个是极大值点，第2个是极小值点，x ＝0不是极值点．