第3章-核反应堆临界理论

通解
f (x) C1J 0 (x) C2Y0 (x)
C1，C2是两个待定常数。J0(x)，Y0(x)分 别是零阶第一类及第二类贝塞尔函数，
它们随x的变化见图3-3。
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图3-3 零阶贝塞尔函数
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零阶贝塞尔方程解
当x＝0时，J0(0)＝1，而Y0(0)→-∞。
r＝0处堆内中子通量密度有限，所以C2
元所发出来的功率为 dP 2E f f (r, z)rdrdz 从零到R对r积分，从-H/2到H/2对z积分可得
到功率
H /2 R
P E f f 0
4r(r, z)drdz
0
代入 (r, z) 的表达式，上式可化为
无限长平板堆单位面积所对应的体积所发出的功率为
积分后得
P E f f
a
2 a
(
x)dx
Ef
f
2
a
2 a
2
A c os(x )dx
a
A P
2aE f f
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3.1.3 有限高圆柱形均匀裸堆
设一有限高圆柱形 均匀裸堆，高为H， 半径为R，如图3-2 所示，采用圆柱形 坐标，坐标原点位 于轴线的半高度上。
由边界条件(2)，式(3-20)得A2＝0，则
Z (z) A1 cosz
Z(z)
A1
c
os( H
z)
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方程（3-24）
方程
பைடு நூலகம்
d 2 f 1 df 2 f 0
及 令
dr 2 r dr
2
B2
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B2
( )2
H
r x
化为零阶贝塞尔方程
x2 d 2 f x df x2 f 0 dx2 dx
有关。因为r和z是两个彼此无关的独立变
量，要使式(3-22)保持相等关系，只有两
边都是常数才行。该常数记为 2,则得到
1 d 2 Z 2
Z dz2
d 2 f 1 df 2 f 0
dr 2 r dr
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方程（3-23）
方程
1 d 2 Z 2
Z dz2
解 Z (z) A1 cosz A2 sinz
k 1 1 L2 B 2
5
3.1.2 平板裸堆
图3-1 无限宽有限厚的平板均匀裸堆
6
3.1.2 平板裸堆
均匀平板的波动方程为
d 2 B 2 0
dx 2
边界条件 1外边界
xa 0 2
2 中心处
d 0
dx x0
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解
由于B2＞0，所以方程 可写为
d 2 B 2 0
dx 2
这些常数Bn，称为该方程的本征值，对
应的函数 n(x)＝Acos(Bnx)称为本征值Bn
对应的本征函数。
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解
对于临界的反应堆，随着时间变大，除
去第一个模态(n=1)外的所有模态(n>1)
都衰减了。渐进的（或持久的）中子通
量密度取决于n=1的模态。于是，
B
B1
a
几何曲率 Bg2
B12
( )2
a
D 2 a S 0
中子源S主要是增殖介质的裂变源 ka
D 2 (k 1)a 0
2 B 2 0
B2 k 1 , L2 D
L2
a
B2称为曲率，它等于 2 / ，后者表征 了中子通量密度空间分布的弯曲程度
4
裸堆单群临界方程
裸堆单群临界方程 材料曲率
B2 k 1 L2
L2 D a
2
什么是均匀裸堆？
均匀：燃料、慢化剂、结构材料等堆芯 内一切材料均匀混合：
裸堆：没有反射层； 中子源：有增殖介质。 在非均匀堆的研究上，从理论上给出了
均匀堆和非均匀堆的中子通量密度分布 的差别，并对非均匀堆与均匀堆的四因 子公式差别作了简要分析。
3
3.1 均匀裸堆的单群理论
3.1.1 单群扩散方程
临界系统中的中子通量密度分布为
(x)
Acos(
x)
a
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系数A
系数A由功率条件决定。一个系统只要是临界的，则中 子通量密度分布中的A可为任意常数。这个事实表明， 从理论上讲，堆功率是可任意提高的。实际上由于热 工传热条件，燃料制造工艺等工程问题的限制，堆功 率总是限止在某一数值以下。因而系数A也由功率条件 限止为某一数值。
第3章 核反应堆临界理论
研究均匀裸堆的临界问题。主要研究下 面两个问题：
（1）各种形状的反应堆达到临界状态的 条件（临界条件），临界时系统的体积 大小和燃料成分及其装载量；
（2）临界状态下系统内中子通量密度 （或功率密度）的分布。
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研究方法
首先，研究均匀裸堆。 其次，研究带反射层的反应堆。 最后，研究非均匀堆。 方法是先单群，后多群研究。
的通解
(x)＝AcosBx+CsinBx (3-8)
式中，A和C为待定系数。由边界条件(2)，则 有C＝0。因而式(3—8)可写成下列形式
(x)＝AcosBx
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由边界条件(1)
得
( a ) Acos(Ba) 0
2
2
因为A≠0，故有
因而
n
B Bn a
Ba n n=1,3,5
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在圆柱形坐标系中
拉普拉氏算符的表达式为
2 1 (r ) 1 2 2
中子通量密度分布是对称的，故r r与r 无关。 r2 2 z2
因而有限高圆柱均匀裸堆的波动方程可以写
为
1 (r ) 2 B 2 0
r r r z 2
(1)不计外推长度时，反应堆外边界上，中子
通量密度为零 (r, z) rR 0
＝0。则式(3-32)可写成 f (x) C1J0 (x)
由边界条件式(3-17)
f (r) rR C1J0 (R) 0
正如图3-3所示，在x＝x1，x2…等处，函
数J0(x)为零，即J0(xn)＝0。故
如下的本征值
n
n
xn R
必须取
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曲率
同样，当反应堆达到临界时，只有n＝1
这个本征值有物理意义。
1
x1 R
2.405 R
因为 B 2 2 2
所以 B2 ( 2.405)2 ( )2
R
H
临界时，r向的中子通量密度分布为
2.405 f (r) C1J 0 ( R r)
反应堆的中子通量密度分布为
(r, z)
2.405
AJ0 (
R
r) cos( H
z)
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常数A
取环状体积元dv＝2rdrdz，在(r,z)处该体积
(r, z) zH 0
2
(2) 中子通量密度分布对称
z z0 0
r r0 0
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二阶偏微分方程
采用分离变量法 (r, z) f (r)Z (z)
代入方程(3-16)得到
1 d 2 f 1 df B2 1 d 2Z
f dr 2 rf dr
Z dz2
上式等号左边只与r有关，等号右边只与z