微专题_圆锥曲线中的最值问题(解析版)
圆锥曲线的最值问题常见类型及解法ppt课件
另解：设平行于直线L且与圆相切的直线方程：3x-2y+m=0 代入圆x2+y2=4整理得：13x2+6mx+m2-16=0 ∵直线与圆相切 ∴△=36 m2-52(m2-16)=0
∴m2=52， m=±2 13
∴圆上的点到直线的最短距离即为两平行直线间的距离
162 13 1613
dmin
2
13
13
3(y1)2 7 （－1≤y≤1） 2
的最大值为 7 此时， y1，x 3
2
即此时Q的坐标为：（3， 1） 、（ 3， 1）
2
2
思考题：
求： P(0点 ,m)使 , 其到 x2椭 y2圆 1上的 4
最 大 距7。 离 是
变式训练：
已知双曲线C：x 2 y 2 1 ，P为C
4
上任一点，点A（3，0），则|PA|的最小 值为________.
解：由已知：
|AB|= (41)2(42)2 直线AB： 2x-y-4=0
要使△AB y ) 4
问题：本题解题到此结束了吗？
最小值为 10 26
变式训练：
已知P点为抛物线 y 2 4 x 上的点，那么
P点到点Q（2，-1）的距离与P点到抛物线焦点
的距离之和的最小值为 _ __，此时P点坐标
为
_.
y
x Q
类型二：圆锥曲线上点到某条直线的距离
的最值
切线法
当所求的最值是圆锥曲线上点到某条 直线的距离的最值时，可以通过作与这条 直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线 间的距离就是所求的最值，切点就是曲线 上去的最值时的点。
例3
求点 P ( 0，3 )到椭圆
2
x2 y2 1 4
(完整版)圆锥曲线的最大值、定问题
圆锥曲线最值、定值、范围一、圆锥曲线的最值问题方法1：定义转化法①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．例1、已知点F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|P A|的最小值为________．方法2：数形结合（切线法）当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．例2、求椭圆x22＋y2＝1上的点到直线y＝x＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．方法3：参数法（函数法）①选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值例3、在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆x23＋y2＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．方法4：基本不等式法①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．例4、求椭圆x23＋y2＝1内接矩形ABCD面积的最大值．二、圆锥曲线的范围问题方法1：曲线几何性质法①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．例1、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线中ac 的取值范围是________．方法2：判别式法当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零① 联立曲线方程，消元后求判别式；②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解．例2、在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数m ，使得向量OP→＋OQ→与AB →共线？如果存在，求m 值；如果不存在，请说明理由．三、圆锥曲线的定值、定点问题方法1：特殊到一般法根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题① 根据特殊情况确定出定值或定点；②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明．。
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题试题及答案
例7．
7．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
最值问题不仅解答题中分量较大，而且客观题中也时常出现．
一、常用方法
解决圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有：
（1）函数法：一般需要找出所求几量的函数解析式，要注意自变量的取值范围．求函数的最值时，一般会用到配方法、均值不等式或者函数单调性．
（2）方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量的最值．
题型三、与向量有关的最值问题
例6．
6．如图，已知椭圆C1： ＋ ＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－ 的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1)求椭圆C1的离心率；
(2)若椭圆C1的短轴长为8，求 · 的最大值．
题型二、与角度有关的最值问题
例5．
5．在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）如图，动直线 ： 交椭圆 于 两点， 是椭圆 上一点，直线 的斜率为 ，且 ， 是线段 延长线上一点，且 ， 的半径为 ， 是 的两条切线，切点分别为 .求 的最大值，并求取得最大值时直线 的斜率.
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题
专题23圆锥曲线中的最值、范围问题
2025高考数学一轮复习-圆锥曲线中的最值、范围问题-专项训练【含解析】
课时过关检测(五十四)圆锥曲线中的最值、范围问题【原卷版】1．在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2．以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设经过点(－2,0)的直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，求△F 2MN 面积的最大值．2．已知抛物线C ：y 2＝4x ，点F 是C 的焦点，O 为坐标原点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)求向量OA ―→与OB ―→的数量积；(2)设FB ―→＝λAF ―→，若λ∈[9,16]，求l 在y 轴上的截距的取值范围．3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，E 的左顶点为A ，上顶点为B ，点P 在椭圆上，且△PF 1F 2的周长为4＋23．(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过定点G (1,0)，求k 的取值范围．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 21(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆E 的离心率为32，且通径长为1．(1)求E 的方程；(2)直线l 与E 交于M ，N 两点(M ，N 在x 轴的同侧)，当F 1M ∥F 2N 时，求四边形F 1F 2NM 面积的最大值．课时过关检测(五十四)圆锥曲线中的最值、范围问题【解析版】1．在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2．以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设经过点(－2,0)的直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，求△F 2MN 面积的最大值．解：(1)由已知可得，椭圆E 的焦点在x 轴上．设椭圆E的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2b2，∴椭圆E的标准方程为x22b2＋y2b2＝1．又椭圆E，∴12b2＋12b2＝1，解得b2＝1．∴椭圆E的标准方程为x22＋y2＝1．(2)由于点(－2,0)在椭圆E外，所以直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．k(x＋2)，y2＝1，消去y得，(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0．由Δ＞0得0≤k2＜12，从而x1＋x2＝－8k21＋2k2，x1x2＝8k2－21＋2k2，∴|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝21＋k22－4k2(1＋2k2)2．∵点F2(1,0)到直线l的距离d＝3|k|1＋k2，∴△F2MN的面积为S＝12|MN|·d＝3k2(2－4k2)(1＋2k2)2．令1＋2k2＝t，则t∈[1,2)，∴S＝3(t－1)(2－t)t2＝3－t2＋3t－2t2＝3－1＋3t－2t2＝3当1t＝34即t[1，S有最大值，S max＝324，此时k＝±66．∴当直线l的斜率为±66时，可使△F2MN的面积最大，其最大值324．2．已知抛物线C：y2＝4x，点F是C的焦点，O为坐标原点，过点F的直线l与C相交于A，B两点．(1)求向量OA―→与OB―→的数量积；(2)设FB―→＝λAF―→，若λ∈[9,16]，求l在y轴上的截距的取值范围．解：(1)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由题意知直线l的斜率不可能为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝my＋1．＝my＋1，2＝4x，得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16＞0，1＋y2＝4m，1y2＝－4.∴OA―→·OB―→＝x1x2＋y1y2＝y21y2216＋y1y2＝1616－4＝－3．∴向量OA―→与OB―→的数量积为－3．(2)由(1)1＋y2＝4m，1y2＝－4.∵FB―→＝λAF―→，∴y2＝－λy1．将y2＝－λy11＋y2＝4m，1y2＝－4，1－λ)y1＝4m，λy21＝－4，－λ)2y21＝16m2，λy21＝－4，∴(1－λ)2－λ＝－4m2，∴4m2＝(1－λ)2λ＝λ＋1λ－2．令f(λ)＝λ＋1λ－2，易知f(λ)在[9,16]上单调递增，∴4m2∈649，22516，∴m2∈169，22564，∴m∈－158，－43∪43，158．∴l在y轴上的截距－1m的取值范围为－34，－815∪815，34．3．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，E的左顶点为A，上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为4＋23．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G(1,0)，求k的取值范围．解：(1)a＋2c＝4＋23，＝ca＝32，＝2，＝3，则b2＝a2－c2＝1，∴椭圆E的方程为x24＋y2＝1．(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，弦MN的中点D(x0，y0)，kx＋m，y2＝1，消去y整理得，(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，∵直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点，∴Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)＞0，即m2＜1＋4k2，1＋x2＝－8km1＋4k2，1·x2＝4m2－41＋4k2，则x0＝x1＋x22＝－4km1＋4k2，y0＝kx0＋m＝m1＋4k2，所以直线DG的斜率为k DG＝y0x0－1＝－m4km＋1＋4k2，又由直线DG和直线MN垂直可得－m4km＋1＋4k2·k＝－1，则m＝－1＋4k23k，代入m2＜1＋4k2可得＜1＋4k2，即k2＞15，解得k＞55或k＜－55．故所求k∞4．已知椭圆E：x2a2＋y2b21(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆E的离心率为32，且通径长为1．(1)求E的方程；(2)直线l与E交于M，N两点(M，N在x轴的同侧)，当F1M∥F2N时，求四边形F1F2NM 面积的最大值．解：(1)c2，＝2，＝1，＝3，故椭圆的方程为x24＋y2＝1．(2)假设M，N两点在x轴上侧，如图所示，延长MF1交E于点M0，由F1M∥F2N知M0与N关于原点对称，从而有|F1M0|＝|F2N|，由(1)可知F1(－3，0)，F2(3，0)，设M(x1，y1)，M0(x2，y2)，设MF1的方程为x＝my－3，由my－3，y2＝1得(m2＋4)y2－23my－1＝0，Δ＝12m2＋4(m2＋4)>0，故1＋y2＝23mm2＋4，1y2＝－1m2＋4.设F1M与F2N的距离为d，四边形F1F2NM的面积为S，则S＝12(|F1M|＋|F2N|)d＝12(|F1M|＋|F1M0|)d＝12|MM0|d＝S△MF2M0，又因为S△MF2M0＝12·|F1F2|·|y1－y2|＝12×23×|y1－y2|＝3(y1＋y2)2－4y1y2＝3·12m2(m2＋4)2＋4m2＋4＝43m2＋1m2＋4＝43m2＋1＋3m2＋1≤4323＝2，当且仅当m2＋1＝3m2＋1，即m＝±2时，等号成立，故四边形F1F2NM面积的最大值为2．。
高中数学高考17第一部分 板块二 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)
设M(x1，y1)，M′(x2，y2)， 设 MF1 的方程为 x＝my－ 3，
x＝my－ 3，
由x42＋y2＝1
得(m2＋4)y2－2 3my－1＝0，
故yy11＋y2＝y2＝－mm2 221＋＋3m44.，
设F1M与F2N的距离为d，四边形F1F2NM的面积为S，
则 S＝12(|F1M|＋|F2N|)d＝12(|F1M′|＋|F1M|)d＝12|MM′|d＝ S△MF2M′,
2
PART TWO
真题体验 押题预测
真题体验 (2018·全国Ⅰ，文，20)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与 C交于M，N两点. (1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
解 当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2， 可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2). 所以直线 BM 的方程为 y＝12x＋1 或 y＝－12x－1. 即x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0.
所以 y1＋y2＝2k，y1y2＝－4.
直线 BM，BN 的斜率之和 kBM＋kBN＝x1y＋1 2＋x2y＋2 2＝x2y1＋x1x＋1y22＋x22＋y12＋ y2.
①
将 x1＝yk1＋2，x2＝yk2＋2 及 y1＋y2，y1y2 的表达式代入①式分子，
可得 x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝2y1y2＋4kky1＋y2＝－8k＋8＝0.
当且仅当 t2＝92，即 t＝±322时取等号.
故△BPQ
的面积的最大值为
2 2.
热点二 范围问题
圆锥曲线的范围问题的常见解法 (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形 性质来解决； (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系或不等关系或已知 参数与新参数之间的等量关系等，则可利用这些关系去求参数的范围.
圆锥曲线中的最值问题
面积最值问题
总结词
面积最值问题主要研究圆锥曲线与其 内部区域的面积的最小或最大值。
详细描述
求解面积最值问题通常需要利用曲线 的参数方程或极坐标方程，转化为关 于角度或参数的定积分，通过求积分 得到面积表达式，再求最值。
周长最值问题
总结词
周长最值问题主要研究圆锥曲线 上的点的轨迹形成的曲线的周长 的最小或最大值。
圆锥曲线中的最值问
• 引言 • 圆锥曲线中的最值问题类型 • 解决圆锥曲线中最大值最线中的最值问题的实例分析
01
引言
圆锥曲线的定义与性质
圆锥曲线是由平面与圆锥的侧面或顶 点相交形成的几何图形，包括椭圆、 抛物线和双曲线等。
圆锥曲线具有多种性质，如对称性、 焦点、准线等，这些性质在解决最值 问题时具有重要作用。
详细描述
解决周长最值问题通常需要利用 曲线的参数方程，通过求导数找 到曲线的拐点，从而确定周长的 最大或最小值。
角度最值问题
总结词
角度最值问题主要研究圆锥曲线上的点与坐标轴形成的角度 的最小或最大值。
详细描述
解决角度最值问题通常需要利用曲线的极坐标方程，通过求 导数找到曲线的极值点，从而确定角度的最小或最大值。
在实际生活中的应用
航天器轨道设计
在航天领域，卫星和行星的轨道通常呈现为某种圆锥曲线 的形状，通过研究这些轨道的最值问题，可以优化航天器 的发射和运行轨迹。
物流运输
在物流和运输行业中，货物的运输路径通常受到多种因素 的限制，呈现出某种圆锥曲线的轨迹，通过求解最值问题， 可以找到最优的运输路径和最低的成本。
03
解决圆锥曲线中最大值最小值问题的
方法
利用导数求最值
导数可以帮助我们找到函数的极值点 ，通过求导并令导数为零，我们可以 找到可能的极值点。
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法(解析版)
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、最值问题的一般解题步骤三、参数取值范围问题1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．题型一距离与长度型最值范围问题【例1】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，点E 在椭圆上．当线段2EF 的中垂线经过1F 时，恰有21cos EF F ∠．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且||2AB =，P 是以AB 为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，求||OP 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）max ||OP 【解析】（1）由焦距为2知1c =，连结1EF ，取2EF 的中点N ，线段2EF 的中垂线经过1F 时，1||22EF c ∴==，221212cos ,.1,F N EF F F N F F ∠∴∴-2122,2EF a EF EF a ∴=-∴=+=∴由所以椭圆方程为2212x y +=；（2）①当l 的斜率不存在时，AB 恰为短轴，此时||1OP =；②当l 的斜率存在时，设:l y kx m =+．联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到222(21)4220k x kmx m +++-=，∴△2216880k m =-+>，122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+．21AB x x =-=2==，化简得2222122k m k +=+．又设M 是弦AB 的中点，121222()221my y k x x m k +=++=+∴()2222222241,,||212121km m k M OM k k k m -+⎛⎫= ⎪⎝⎭+⋅++,∴()()()222222222412141||22212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++,令2411k t += ，则244||43(1)(3)4t OM t t t t===-++++∴||1OM =- （仅当t =，又||||||||1OP OM MP OM +=+2k =时取等号）．综上：max ||OP =【变式1-1】已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为3．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，过点P 做垂直于AB 的直线交x 轴于点D ，试求||||DP AB 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】（1）抛物线21:4C y x =的焦点F 为(1,0)，由题意可得2221c a b =-=①由1C 与2C 关于x 轴对称，可得1C 与2C 的公共点为2,33⎛± ⎝⎭，可得2248193a b +=②由①②解得2a =，b ，即有椭圆2C 的方程为22143x y+=；（2）设:(1)l y k x =-，0k ≠，代入椭圆方程，可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k -=+，即有()312122286223434k ky y k x x k k k k -+=+-=-=++，由P 为中点，可得22243()3434k kP k k -++，，又PD 的斜率为1k -，即有222314:3434k k PD y x k k k ⎛⎫--=-- ++⎝⎭，令0y =，可得2234k x k=+，即有22034k D k ⎛⎫⎪+⎝⎭可得2334PD k ==+又AB ==2212(1)34k k +=+，即有DP AB =，由211k +>，可得21011k <<+，即有104<，则有||||DP AB 的取值范围为1(0,)4．【变式1-2】已知曲线C 上任意一点(),P x y2=，（1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 在y 轴左､右两侧的交点分别是,Q P ，且0OP OQ ⋅=，求22||OP OQ +的最小值.【答案】（1）2212y x -=；（2）8【解析】（1）设())12,F F ，2=，等价于12122PF PF F F -=<，∴曲线C 为以12,F F 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为故曲线C 的方程为：2212y x -=；（2）由题意可得直线OP 的斜率存在且不为0，可设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k ，由2212y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得222222222x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以()2222221||2k OP x y k+=+=-，同理可得，()2222212121||1212k k OQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--，所以()()()22222222211111||||22121k k k OP OQ k k -+-++===++()()22222222112222228||||OQ OP OP OQ OP OQOP OQ OP OQ ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当2OP OQ ==时取等号，所以当2OP OQ ==时，22||OP OQ +取得最小值8.【变式1-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线被E 所截得的弦长为16.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 为抛物线上的任意一点，以C 为圆心的圆过点F ，且与直线12y =-相交于,A B两点，求FA FB FC ⋅⋅的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）[)3,+∞【解析】（1）由抛物线方程得：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可设过点F 且倾斜角为3π的直线为：2py =+，由222p y x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：220x p --=，由抛物线焦点弦长公式可得：)12122816y y p x x p p ++=++==，解得：2p =，∴抛物线E 的方程为：24x y =.（2）由（1）知：()0,1F ，准线方程为：1y =-；设AFB θ∠=，圆C 的半径为r ，则2ACB θ∠=，FC CA CB r ===，1133sin 2224AFBSFA FB AB AB θ∴=⋅=⋅=，又2sin AB r θ=，3FA FB r ∴⋅=；由抛物线定义可知：11c CF y =+≥，即1r ≥，333FA FB FC r ∴⋅⋅=≥，即FA FB FC ⋅⋅的取值范围为[)3,+∞.题型二面积型最值范围问题20y -=与圆O 相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的上顶点为B ，EF 是圆O 的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE 、BF 与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q ，求BPQ 的面积的最大值及此时PQ 所在的直线方程．【答案】（1）2219x y +=；（2）()max278BPQ S=，PQ 所在的直线方程为115y x =±+【解析】20y -=与圆O相切，则1b =，由椭圆的离心率223c e a ==，解得：29a =，椭圆的标准方程：2219x y +=；（2）由题意知直线BP ，BQ 的斜率存在且不为0，BP BQ ⊥，不妨设直线BP 的斜率为(0)k k >，则直线:1BP y kx =+．由22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22218911991k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，所以2221819,9191k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.用1k -代替k ，2229189,9k k Q k k ⎛⎫-+ ⎝+⎪⎭则21891k PB k ==+2189BQ k==+，22222111818162(1)22919(9)(19)BPQ k k k S PB BQ k k k k +=⋅=⋅=++++△342221162()162()99829982k k k k k k k k ++==++++，设1k k μ+=，则21621622764829(2)89BPQ S μμμμ∆==≤+-+．当且仅当649μμ=即183k k μ+==时取等号，所以()max278BPQ S=.即21128(()49k k kk-=+-=，1k k -=直线PQ的斜率222222291911191918181010919PQk k k k k k k k k k k k k ---+-⎛⎫++===-= ⎪⎝⎭--++PQ所在的直线方程：1y =+.【变式2-1】在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的周长为12，AB ，AC 边的中点分别为()11,0F -和()21,0F ，点M 为BC 边的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线Γ，直线1MF 与曲线Γ的另一个交点为N ，线段2MF 的中点为E ，记11NF O MF E S S S =+△△，求S 的最大值.【答案】（1）()221043x y y +=≠；（2）max 32S =【解析】（1）依题意有：112F F =，且211211262MF MF F F ++=⨯=，∴121242MF MF F F +=>=，故点M 的轨迹C 是以()11,0F -和()21,0F 为焦点，长轴长为4的椭圆，考虑到三个中点不可共线，故点M 不落在x 上，综上，所求轨迹方程：()221043x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线1MF 不与x 轴重合，不妨设直线1MF 的方程为：1x ty =-,与椭圆()221043x y y +=≠方程联立整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>，112634t y y t +=+，1129034y y t =-<+,11111122NF O S F y y O ==△，112122211112222MF E MF F S S F F y y ==⋅=△△,∴()()1112122111Δ22234NF O MF E S S S y y y y t =+=+=-=⋅=+△△令()2344u t u =+≥，则()S u ϕ====∵4u ≥，∴1104u <≤，当114u =，即0=t 时，∴max 32S =,∴当直线MN x ⊥轴时，∴max 32S =.【变式2-2】已知双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，过右焦点F 作斜率为正的直线l ，直线l 交双曲线的右支于P ，Q 两点，分别交两条渐近线于,A B 两点，点,A P 在第一象限，O 为原点．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）设OAP △，OBP ，OPQ △的面积分别是OAP S △，OBP S △，OPQS ，求OPQ OAP OBPS S S ⋅△△△的范围．【答案】（1）()1,+∞；（2）).【解析】（1）因为双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，故2c =，由222c a a =+得22a =，所以双曲线的方程为，22122x y -=，设直线l 的方程为2x ty =+，联立双曲线方程得，()222222121021420Δ0120t x y t y ty t x ty y y ⎧⎧-≠⎪-=⎪⇒-++=⇒>⇒<⎨⎨=+⎪⎪⋅<⎩⎩，解得01t <<，即直线l 的斜率范围为()11,k t=∈+∞；（2）设()11,P x y ，渐近线方程为y x =±，则P 到两条渐近线的距离1d ，2d 满足，22111212x yd d-⋅==而21221AAxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪-⎩⎩，OA==21221BBxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=-⎪⎪+⇒⎨⎨=+-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，OB==所以12122112221OAP OBPS S OA d OB d d dt⋅=⋅⋅⋅=-△△由()2222214202x y t y tyx ty⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，12OPQ OFP OFQ P QS S S OF y y=+=-△△△所以，OPQOAP OBPSS S=⋅△△△，∵01t<<，∴)2OPQOAP OBPSS S∈⋅△△△.【变式2-3】已知抛物线()2:20E y px p=>的焦点为F，P为E上的一个动点，11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，且PF PQ+的最小值为54.（1）求E的方程；（2）若A点在y轴正半轴上，点B、C为E上的另外两个不同点，B点在第四象限，且AB，OC互相垂直、平分，求四边形AOBC的面积.（人教A版专题）【答案】（1）2y x=；（2）【解析】（1）作出E的准线l，方程为2px=-，作PR l⊥于R，所以PR PF=，即PR PQ+的最小值为54，因为11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，所以当且仅当P，Q，R三点共线时PR PQ+取得最小值，所以5124p+=，解得0.5p=，所以E的方程为2y x=；（2）因为AB，OC互相垂直、平分，所以四边形AOBC是菱形，所以BC x⊥轴，设点()0,2A a，所以2BC a=，由抛物线对称性知()2,B a a-，()2,C a a，由AO OB =，得2a=a =所以菱形AOBC 的边AO =23h a ==，其面积为3S AO h =⋅==题型三坐标与截距型最值范围问题【例3】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．【答案】（1）2214x y -=；（2）2【解析】（1）由题设可知2281112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩则C ：2214x y -=．（2）设点M 的横坐标为0M x >当直线l 斜率不存在时，则直线l ：2x =易知点M 到y 轴的距离为2M x =﹔当直线l 斜率存在时，设l ：12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222418440k x kmx m -+++=，()()222264164110k m k m ∆=--+=，整理得2241k m =+联立2204x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()22241840k x kmx m -++=，则122288841km km k x x k m m+=-=-=--，则12402Mx x kx m +==->，即0km <则222216444Mk x m m==+>，即2M x >∴此时点M 到y 轴的距离大于2；综上所述，点M 到y 轴的最小距离为2．【变式3-1】若直线:l y =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B (0，b )且与x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ，N ，MN 的垂直平分线为m ，求直线m 与y 轴上的截距的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）(4,)+∞.【解析】（1）直线323:33l y =-过x 轴上一点(2,0)，由题意可得2c =，即224a b +=，双曲线的渐近线方程为b y x a=±，由两直线平行的条件可得b a =1a b ==，即有双曲线的方程为2213x y -=.（2）设直线1(0)y kx k =+≠，代入2213x y -=，可得22(13)660k x kx ---=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122266,1313k x x x x k k +==--，MN 中点为2231,1313kk k ⎛⎫ --⎝⎭，可得MN 的垂直平分线方程为221131313k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，令0x =，可得2413y k =-，由223624(13)0k k ∆=+->，解得232k <，又26031k <-，解得231k <，综上可得，2031k <<，即有2413k -的范围是(4,)+∞，可得直线m 与y 轴上的截距的取值范围为(4,)+∞.【变式3-2】已知动圆C 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心C 的轨迹为曲线Γ.（1）求Γ的方程：（2）过点(1,0)P 的直线l 与F 相交于,M N 两点.设PN MP λ=，若[]2,3λ∈，求l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）⎡-⎣【解析】（1）设(,)C x y ，圆C 的半径为R ，则()()22222220R x x y =+=-+-整理，得24y x=所以Γ的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，又(1,0)P ，由PN MP λ=，得()()22111,1,x y x y λ-=--21211(1)x x y y λλ-=-⎧∴⎨=-⎩①②由②，得12222y y λ=，∵2211224,4y x y x ==∴221x x λ=③联立①､③解得2x λ=，依题意有0λ>(2,N N ∴-或，又(1,0)P ，∴直线l 的方程为())11y x λ-=-，或())11y x λ-=--，当[2,3]k ∈时，l 在y轴上的截距为21λ-或21λ--，21=[2,3]上是递减的，21λ≤≤-，21λ-≤-≤-∴直线l 在y轴上截距的取值范围为⎡--⎣.【变式3-3】已知两个定点A 、B 的坐标分别为()1,0-和()1,0，动点P 满足AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(),0C a 为x 轴上一定点，求点C 与轨迹E 上点之间距离的最小值()d a ；(3)过点()0,1F 的直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于D 点，求D 点横坐标的取值范围．【答案】（1）24y x =；（2）(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩；（3）()3,+∞【解析】（1）设(),P x y ，()1,AP x y =+，()1,0OB =，()1,PB x y =--，()1101AP OB x y x ⋅=+⨯+⨯=+，B P =AP OB PB ⋅=，则1x +，所以2222121x x x x y ++=-++，即24y x =．（2）设轨迹E ：24y x =上任一点为()00,Q x y ，所以2004y x =，所以()()222200004CQ x a y x a x =-+=-+()()20200220x a x a x =--+≥，令()()()220000220g x x a x a x =--+≥，对称轴为：2a -，当20a -<，即2a <时，()0g x 在区间[)0,∞+单调递增，所以00x =时，()0g x 取得最小值，即2min 2CQ a =，所以min CQ a =，当20a -≥，即2a ≥时，()0g x 在区间[)0,2a -单调递减，在区间[)2,a -+∞单调递增，所以02x a =-时，()0g x 取得最小值，即()22min 2244CQ a a a =--+=-，所以minCQ =，所以(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（3）当直线l 的斜率不存在时，此时l ：0x =与轨迹E 不会有两个交点，故不满足题意；当直线l 的斜率存在时，设l ：1y kx =+，()11,M x y 、()22,N x y ，代入24y x =，得2+14y y k =⨯，即2440ky y -+=，所以124y y k +=，124y y k =，121212211242y y y y x x k k k k k--+-+=+==-，因为直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，所以0∆>，得16160k ->，即1k <；又M 、N 两点在x 轴上方，所以120y y +>，120y y >，即40k>，所以0k >，又1k <，所以01k <<，所以MN 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即2212,kk k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以垂直平分线为22121y x k k k k ⎛⎫-=--+ ⎝⎭，令0y =，得222111152248x k k k ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为01k <<，所以11k >，所以21115248x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在11k >时单调递增，所以22111511522134848k ⎛⎫⎛⎫-+>-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3x >，所以D 点横坐标的取值范围为：()3,+∞.题型四斜率与倾斜角最值范围问题【例4】设12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求125=4PF PF ⋅-，求点P 的坐标；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）⎛ ⎝⎭；（2）2,2⎛⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）由题意知，2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(,)(0,0)P m n m n >>，则22125(,),)34PF PF m n m n m n ⋅=-⋅-=+-=-，又2214m n +=，有222214534m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩，解得1m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以P ；（2）显然0x =不满足题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,A x y B x y ，，22221(14)1612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，解得234k >，①1212221612,4141k x x x x k k +=-=++，则212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，则cos 0AOB ∠>，即0OA OB ⋅>，12120x x y y +>，所以21212121212(1)2()4x x y y y y k x x k x x +==++++2222212(1)1624(4)40414141k k k k k k k +⋅-=-+=>+++，解得204k <<，②由①②，解得322k -<<或322k <<，所以实数k的取值范围为(2,-.【变式4-1】已知椭圆:Γ22221(0x y a b a b +=>>）的左焦点为F ，其离心率22e =，过点F垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q两点，PQ （1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆的下顶点为B ，过点D （2，0）的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）()1211,,2222k k ⎛⎫⎛+∈-∞⋃-⋃+∞⎪ ⎝⎭⎝【解析】（1）由题可知2222222c e a bPQ a a b c⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆Γ的方程为：2212x y +=.（2）由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为(2)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .由题可知2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222(21)8820k x k x k +-+-=22222(8)4(21)(81)8(21)0k k k k ∆=--+-=-->，解得22k ⎛∈- ⎝⎭.由韦达定理可得2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+.由（1）知，点(0,1)B -设椭圆上顶点为A ，(0,1)A ∴，12DA k k ≠=-且12DB k k ≠=，∴()()1212121212211111k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+()()()221221228121212228212k k k x x k k k k x x k -⋅-++=+=+-+()242111212,,221212122k k k k k k ⎛⎫⎛=-==-∈+∞⋃-∞⋃ ⎪ +++⎝⎭⎝∴12k k +的取值范围为()11,,2222⎛⎫⎛-∞⋃-⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎝．【变式4-2】）已知椭圆1C 的方程为22143x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且1OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）(()1,1-【解析】（1）由题,在椭圆1C 中,焦点坐标为()1,0-和()1,0；左右顶点为()2,0-和()2,0,因为双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点,所以在双曲线2C 中,设双曲线方程为22221x ya b-=,则221,4a c ==,所以2223b c a =-=,所以双曲线2C 的方程为2213y x -=（2）由（1）联立22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y ,得()223470k x kx -++=①；消去x ,得()2223121230k y y k -+-+=②设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 为方程①的两根,12,y y 为方程②的两根；21212227123,33k x x y y k k -+⋅=⋅=--，21212227123133k OA OB x x y y k k -+⋅=⋅+⋅=+>--，得23k >或21k <③,又因为方程①中,()22216384k k k ∆=-4⨯7-=-12+>0,得27k <④,③④联立得k的取值范围(()1,1⋃-⋃【变式4-3】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【解析】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ．设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．题型五向量型最值范围问题【例5】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:142x y C -=与椭圆222:142x y C +=，A ，B分别为1C 的左､右顶点，点P 在双曲线1C 上，且位于第一象限.（1）直线OP 与椭圆2C 相交于第一象限内的点M ，设直线PA ，PB ，MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求1234k k k k +++的值；（2）直线AP 与椭圆2C 相交于点N （异于点A ），求AP AN ⋅的取值范围.【答案】（1）0；（2）()16,+∞【解析】（1）方法1：设直线():0OP y kx k =>，联立22142y kxx y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y ，得()22124k x -=，所以20120k k >⎧⎨->⎩，解得202k <<，设()()1111,0,0P x y x y >>，则11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P ⎛⎫.联立22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y ，得()22124k x +=，设()()2222,0,0M x y x y >>，则22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M ⎛⎫.因为()2,0A -，()2,0B ，所以211111221112821124224412k y y x y k k k x x x k k-+=+===-+---，222223422222821124224412ky y x y k k k x x x k k ++=+==--+--+，所以1234110k k k k k k ⎛⎫+++=+-= ⎪⎝⎭.方法2设()()1111,0,0P x y x y >>，()()2222,0,0M x y x y >>，因为()2,0A -，()2,0B ，所以11111221112224y y x yk k x x x +=+=-+-，22223422222224y y x yk k x x x +=+=-+-.因为点P 在双曲线1C 上，所以2211142x y -=，所以221142x y -=，所以1121x k k y +=.因为点Q 在椭圆线2C 上，所以2222142x y +=，所以222242x y -=-，所以2342x k k y +=-.因为O ，P ，M 三点共线，所以1212y y x x =，所以121234120x x k k k k y y +++=-=.（2）设直线AP 的方程为2y kx k =+，联立22224y kx k x y =+⎧⎨-=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k -+++=，解得12x =-，2224212k x k +=-，所以点P 的坐标为222424,1212k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，因为点P 位于第一象限，所以222420124012k k k k ⎧+>⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩，解得202k <<，联立22224y kx k x y =+⎧⎨+=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k +++-=，解得32x =-，2422412kx k -=+，所以点N 的坐标为222244,1212k k k k ⎛⎫- ++⎝⎭，所以()22222224161422444221212121214k k k k kAP AN AP AN k k k k k +⎛⎫⎛⎫+-⋅=⋅=--+⋅= ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭，设21t k =+，则312t <<，所以22161616314(1)48384t tAP AN t t t t t ⋅===---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.因为函数3()4f x x x=+在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当312t <<时，3748t t <+<，所以30841t t ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭，所以1616384t t >⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即16AP AN ⋅>，故AP AN ⋅的取值范围为()16,+∞.【变式5-1】已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且经过点P．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为1k，直线OB的斜率为2k，且1213k k=-，求OA OB⋅的取值范围．【答案】（1）22193x y+=；（2）[3,0)(0,3]-.【解析】（1）由题意，223611caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c=+，解得3,a b==所以椭圆C为22193x y+=.（2）设()()1122,,,A x yB x y，若直线l的斜率存在，设l为y kx t=+，联立22193y kx tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得：()222136390+++-=k x ktx t，22Δ390k t=+->，则12221226133913ktx xktx xk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又12k k=121213y yx x=-，故121213=-y y x x且120x x≠，即2390-≠t，则23≠t，又1122,y kx t y kx t=+=+，所以()()()222222222121212221212122691133939313-+++++-+==+=+==---+k t tkx t kx t kt x x ty y t kkk ktx x x x x x tk，整理得222933=+≥t k，则232≥t且Δ0>恒成立．221212121212222122393333133313--⎛⎫⋅=+=-==⋅=⋅=-⎪+⎝⎭t tOA OB x x y y x x x x x xk t t，又232≥t，且23≠t，故2331[3,0)(0,3)⎛⎫-∈-⎪⎝⎭t.当直线l的斜率不存在时，2121,x x y y==-，又12k k=212113-=-yx，又2211193x y+=，解得2192x=则222111233⋅=-==OA OB x y x．综上，OA OB ⋅的取值范围为[3,0)(0,3]-．【变式5-2】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =；（1）求双曲线的方程；（2）过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．【答案】（1）2213y x -=；（2）(],12-∞-【解析】（1）依题意，2c a =，当l 垂直于x 轴时，226b PQ a==，即23b a =，即223c a a -=，解得1a =，b =2213y x -=；（2）设:2PQ l x my =+，联立双曲线方程2213y x -=，得：()22311290m y my -++=，当0m =时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1P Q M N --，12MP NQ MQ NP ⋅+⋅=-，当0m ≠时，设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此1229031y y m =<-，即m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得234293m y y m =-，依题意()()MP NQ MF FP NF FQ MF NF FP FQ =+⋅+=⋅+⋅⋅，同理可得，()()MQ NP MF FQ NF FP MF NF FP FQ =+⋅+⋅=⋅+⋅，而()212342111FP FQ MF NF m y y y y m ⎛⎫⋅+⋅=+++ ⎪⎝⎭，代入122931y y m =-，234293m y y m =-，()()()()()()222242224222919118163633133103133m m m m m FP FQ MF NF m m m m m m ++-+++⋅+⋅=+==----+--，分离参数得，2429663103m FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=---+，因为3333m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当210,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由22110,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，()22966,61310FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=-∈-∞-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()()2,12MP NQ MQ N FP FQ MF NF P ⋅=⋅+⋅∈∞-⋅-+，综上可知，MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围为(],12-∞-.【变式5-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，直线4x =分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =.（1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点,,A B C 都在抛物线E 上，若ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，求AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）32【解析】（1）设点()04,Q y ，由已知000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，则8102p p p +=，即24p =.因为0p >，则2p =，所以抛物线E 的方程是24x y =.（2）设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线AB 的斜率为()0k k >，因为AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为1k-.因为AB BC =，则1223x x x x -=-，得()2312x x k x x -=-，①因为22121212444x x x x k x x -+==-，则124x x k +=，即124x k x =-，②因为223223231444x x x x k x x -+-==-，则234x x k +=-，即324x x k =--③将②③代入①，得()2242420x k k x k+--=，即()()322212120k k x k kk-+---=，则()()32211k xk k -=+，所以()()()()22222122··cos 451421AB AC AB AC AB x x k k x k ︒===-+=-+()()()()()2332222411614111k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-+=++⎢⎥⎣⎦因为212k k +≥，则()22214k k +≥，又()22112k k++≥，则()()3222121k k k +≥+，从而()()3222121kk k +≥+当且仅当1k =时取等号，所以AB AC 的最小值为32.题型六参数型最值范围问题【例6】已知点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆222:1(1)xC y a a+=>上，直线,OM ON 的斜率之积是13-，且22212x x a +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()0,2Q 的直线与椭圆C 交于点,A B ，且(1)QB t QA t =>，求t 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）(]1,3【解析】（1）椭圆方程改写为:2222x a y a +=，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，有222211a y a x =-，222222a y a x =-，两式相乘，得：()()()222222222241142122122a a a y y a x a x x x x x --==-++，由22212x x a +=，得222212241a y y x x =，由直线,OM ON 的斜率之积是13-，得121213y y x x =-，即222212129y y x x =，∴49a =，23a =，椭圆C 的方程为：2213x y +=.（2）过点()0,2Q 的直线若斜率不存在，则有()0,1A ，()0,1B -，此时3t =；当过点()0,2Q 的直线斜率存在，设直线方程为2y kx =+，由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()22131290k x kx +++=，直线与椭圆C 交于点,A B 两点，∴()2221249(13)36360k k k ∆=-⨯⨯+=->，得21k >设()()1122,,,A x y B x y ''''，(1)QB t QA t =>，21x x t '='由韦达定理12122121212(1)13913k x x t x k x x tx k ''''-⎧+==+⎪⎪+⎨⎪⋅+'='=⎪⎩，消去1x '，得()229131441t k t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，由21k >，2101k<<，∴()2311641t t <<+，由1t >，解得13t <<，综上，有13t <≤，∴t 的取值范围为(]1,3【变式6-1】已知A 、B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，O 为坐标原点，=6AB ，点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5在椭圆C 上．过点()0,3P -，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线的斜率k 的取值范围；（3）当直线的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围．【答案】（1）22195x y +=；（2）227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为=6AB ，所以=3a ；又点2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5在图像C 上即()22252319b⎛⎫⎪⎝⎭+=，所以b 所以椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）由（1）可得()3,0B ，设直线3l y kx =-：，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由22=-3=195y kx x y ⎧⎪⎨+⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>解得23k >或23k <-①∵点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，则0BM BN ⋅>，又12212254+=5+936=5+9k x x k x x k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②211221212(3,)(3,)(1)3(1)()180BM BN x y x y k x x k x x ⋅=--=+-+++>，解得1k <或72k >由①②得227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设直线3l y kx =-：，又直线的倾斜角θ为锐角，由（2）可知23k >，记11(,)M x y 、22(,)N x y ，所以直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，直线AN 的方程是：()2233y y x x =++.令=0x ，解得113+3y y x =，所以点S 坐标为1130,+3y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理点T 为2230,+3y x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以1130,3+3y PS x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2230,3+3y PT x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0,3PO =.由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：11333+3y x λ+=，22333+3y x μ+=，所以1212233y yx x λμ+=++++，由（2）得1225495k x x k +=+，1223695x k x =+，所以()()()1212121212122311333338229kx x k x x kx kx x x x x x x λμ--++-+-+=++=+++++()222254231189595254936369595k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭21012921k k k +=-⨯+++()()2110291k k +=-⨯++101291k =-⨯++，因为23k >，所以5131,0315k k +><<+，10142,2913k ⎛⎫-⨯+∈ ⎪+⎝⎭，故λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【变式6-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知4AB =，若直线AM ，AN 分别交直线1x =于P ，Q 两点，若()0D t ，为x 轴上一动点，当直线l 的倾斜角变化时，若PDQ ∠为锐角，求t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{2t t <-或}4t >【解析】（1）由双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，可得：右焦点(),0F c ，将x c =代入2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，2by a=±，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，此时AF FM =，即2b ac a+=，整理得：220a ac b +-=，因为222b c a =-，所以2220a ac c +-=，方程两边同除以2a 得：220e e +-=，解得：2e =或1-（舍去），所以双曲线C 的离心率为2；（2）因为24AB a ==，所以2a =，因为2c e a ==，解得4c =，故22212b c a =-=，所以双曲线的方程为221412x y -=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()4y k x =-，与双曲线联立得：()22223816120kxk x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212283k x x k +=-，212216123k x x k +=-，则()()()221212121244416y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦222221612321633k k k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭22363k k -=-，因为直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于,M N 两点，所以22121222816124,433k k x x x x k k ++=>=>--，解得：23k >，直线()11:22y AM y x x =++，则1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可求得：2231,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以11,213y D x P t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，22,213y D x Q t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，因为PDQ ∠为锐角，所以()()12221192202D y y x Q t x P D t ⋅=+-+>++，即()1122122109224y y x x x t x t +-+++>+，所以22222221203693161216433k k k k t k t k -⨯-++--+++>-所以21290t t +-->即()219t ->，解得2t <-或4t >；当直线l 的斜率不存在时，将4x =代入双曲线可得6y =±，此时不妨设()()4,6,4,6M N -，此时直线:2AM y x =+，点P 坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q -，所以()1,3DP t =-，()1,3DQ t =--，因为PDQ ∠为锐角，所以2280DP DQ t t ⋅=-->，解得2t <-或4t >；综上所述，t 的取值范围{2t t <-或}4t >【变式6-3】22122:1y x C a b-=上的动点P 到两焦点的距离之和的最小值为22:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线1C 的上顶点重合．（1）求抛物线2C 的方程；（2）过直线:(l y a a =为负常数）上任意一点M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为AB ，坐标原点O 恒在以AB 为直径的圆内，求实数a 的取值范围．【答案】（1）24x y =；（2）40a -<<.【解析】（1）由已知：双曲线焦距为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，即为抛物线焦点.∴抛物线2C 的方程为24x y =；（2）设(,)M m a ，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，故直线MA 的方程为211111()42y x x x x -=-，即21142y x x x =-，所以21142a x m x =-，同理可得：22242a x m x =-，∴1x ，2x 是方程242a xm x =-的两个不同的根，则124x x a =，2212121()416OA OB x x x x a a ∴⋅=+=+，由O 恒在以AB 为直径的圆内，240a a ∴+<，即40a -<<．。
微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)
专题30 圆锥曲线中的最值问题【考情分析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。
圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展【备考策略】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】1．已知双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,)+∞2． P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为73．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是434．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 32 .5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22x y 122－＝ （x >0）（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A （x 0，2x 2－），B （x 0，－20x 2－），OAO B ⋅ ＝2当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122－＝中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2－2＝0 依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2222122212244(1)(2)0201201k b k b kb x x k b x x k ⎧⎪∆=--∙--≥⎪⎪+=>⎨-⎪⎪+=>⎪-⎩解得|k |>1， 又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2＝2222k 242k 1k 1＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ⋅的最小值为2【典型示例】求抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值? 分析一：设抛物线上任一点坐标为P(0x ,-x20)，由点到直线的距离公式得P 到直线的距离d(0x )=5|834|200--x x =5320)32(320+-x 34≥， 当0x =32时，d(0x )取得最大值34,分析二：设抛物线上点P(0x ,-x20)到直线4x+3y-8=0距离最小，则过P 且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行，故y '( 0x )=-2 0x =-34,∴0x =32,∴P(32,-94), 此时d=5|8943324|--⨯+⨯）（=34，. 分析三：设直线方程为4x+3y+C=0则当l 与抛物线相切时l 与4x+3y-8=0间的距离为所求最小，由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=0342C y x y x 得4x-3x 2+C=0，∴△=16+12C=0, ∴c=-34,此时d=345|348|=---）（【分类解析】例1:已知椭圆221259x y +=，A （4，0），B （2，2）是椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，求：（1）求5||||4PA PB +的最小值；（2）求||||PA PB +的最小值和最大值 分析：（1）A 为椭圆的右焦点。
圆锥曲线中的最值问题
1 AB (d P AB d Q AB ) 2
设P (2 cos , sin ), 则Q(2 cos , sin )
5 2 cos 2 sin 2 2 cos 2 sin 2 S ( ) 2 5 5 0 0 45 ) 2 2 2 sin( 45 ) 2 5 2 2 sin( ( ) 2 5 5 5 4 2 2 2 S Max 2 2 2 5
所以设与AB平行的直线方程为:x+2y+m=0 (m 2)
x 2y m 0 联立: x 2 4 y 2 4 2 x 2
2mx m 4 0
2
4m 2 8(m 2 4) 由 0 m 2 2 所以与AB平行且和椭圆相切的两直线方程分别为:
课堂演练 形成技能
x y 练习 1.如 图A( 3,2)、F1 ( 4,0), P是 椭圆 1 25 9 上 一点 ， 则 PA PF1 的 最大 值为 ____
y
P
2
2
A
10 5
x
F1
O
F2
策略:几何法
x 2 例2.如 图 直 线y kx( k 0)与 椭 圆 y 1交 于 4 P，Q 两 点, A、B分 别 是 椭 圆 的 右 ,上 顶 点 ， 则 四边形 APBQ 面 积 的 最 大 值 为 _____
2
24k 32 x1 x2 2 (1); x1 x2 2 ( 2) 4k 1 4k 1
如图，过P、Q分别作PF、QE垂直于y轴， 则 x 1 x2 (3)
联立(1)、(2)、(3)得：
(1 )2
y
M
圆锥曲线的最值问题
圆锥曲线的最值问题例1、给定点A (-2,2)，已知B 是椭圆2212516x y +=上的动点，F 是右焦点，当53AB BF +取得最小值时，试求B 点的坐标。
解析：因为椭圆的35e =，所以513AB BF AB BF e +=+，而1BF e 为动点B 到左准线的距离。
故本题可化为，在椭圆上求一点B ，使得它到A 点和左准线的距离之和最小，过点B 作l 的垂线，垂点为N ，过A 作此准线的垂线，垂点为M ，由椭圆定义||35||||||||BF e BF BN e BN BF ==⇒= 于是 5||||||3AB BF AB BN AN AM +=+≥≥为定值 其中，当且仅当B 点AM 与椭圆的定点时等点成立，此时B为(2) 所以，当53AB BF +取得最小值时，B点坐标为(2)例2、已知椭圆的焦点1(3,0)F -、2(3,0)F ，且与直线90x y -+=有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程．解：（法一）设椭圆方程为222219x y a a +=-（29a >），由22221990x y a a x y ⎧+=⎪-⎨⎪-+=⎩得22224(29)18900a x a x a a -++-=， 由题意，a 有解，∴22224(18)4(29)(90)0a a a a ∆=---≥， ∴42544050a a -+≥，∴245a ≥或29a ≤（舍），∴2min 45a =，此时椭圆方程是2214536x y +=． （法二）先求点1(3,0)F -关于直线90x y -+=的对称点(9,6)F -，直线2FF 与椭圆的交点为M，则12222||||||||||a MF MF MF MF FF =+=+≥=，∴mina =2214536x y +=． 例3、已知动点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，且满足|AB|=2，点P 在线段AB 上，且).(是不为零的常数t t =设点P 的轨迹方程为C（1）求点P 的轨迹方程C ；（2）若t=2，点M 、N 是C 上关于原点对称的两个动点（M 、N 不在坐标轴上），点Q坐标为),3,23(求△QMN 的面积S 的最大值。
圆锥曲线—最值、范围问题-高考数学复习
第八章 平面解析几何
高考一轮总复习 • 数学
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2．(2023·广东佛山市二模)双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的左顶点 为 A，焦距为 4，过右焦点 F 作垂直于实轴的直线交 C 于 B、D 两点， 且△ABD 是直角三角形．
(1)求双曲线 C 的方程； (2)M、N 是 C 右支上的两动点，设直线 AM、AN 的斜率分别为 k1、 k2，若 k1k2＝－2，求点 A 到直线 MN 的距离 d 的取值范围．
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圆锥曲线最值问题答题模板.
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【变式训练】 (2024·湖南三湘创新发展联合体联考)在直角坐标系xOy中，动点P到 直线x＝4的距离是它到点M(1,0)的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线
C．
(1)求曲线C的方程； (2)直线l：x＝my－1与曲线C交于A，B两点，求△MAB面积的最大 值．
则 y1＋y2＝－3m6m2－n 1，y1y2＝33mn22－－11(*)
第八章 平面解析几何
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由 k1k2＝－2，得 y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0， 即 y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0， 整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0， 将(*)式代入得 3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝ 0. 化简可消去所有的含 m 项，解得 n＝5 或 n＝－1(舍去)． 则直线 MN 的方程为 x－my－5＝0，则 d＝ m62＋1，
高中数学圆锥曲线与最值及取值范围问题(附经典例题与解析)
圆锥曲线与最值问题【知识点分析】方法一、圆锥曲线的的定义转化法借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．（1）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（2）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （3）抛物线：到定点与定直线距离相等。
【相似题练习】1．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 是圆C ：x 2+y 2+2x ﹣8y +13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x ＝﹣2的距离为d ，则|PQ |+d 的最小值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 1．已知双曲线C ：的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M （0，2），则△PFM 周长最小值为 ．【知识点分析】 方法二、函数法二次函数2y ax bx c =++顶点坐标为24b ac b ⎛⎫-- ⎪，1．已知F 1，F 2为椭圆C ：+＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，1•2的最大值、最小值分别为（ ） A ．9，7 B ．8，7 C ．9，8 D ．17，8【知识点分析】方法三、利用最短路径【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． P A +PB 最小值为A B ＇．【问题2】 作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． PM +MN +PN 的最小值为 线段P ＇P ＇＇的长．【问题3】 作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． 四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】 作法图形原理作点P 关于1l 的对称点P ＇，作P ＇B ⊥2l 于B ，交l 于A ．点到直线，垂线段最短． P A +AB 的最小值为线段P ＇B 的长．l B A lPB'AB l 1l 2Pl 1l 2NMP''P'P l 1l 2N MP'Q'Q P l 1l 2P Q l 1A P'Pl 1l 2P小．【问题5】 作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短． AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【相似题练习】1．已知双曲线x 2﹣y 2＝1的右焦点为F ，右顶点A ，P 为渐近线上一点，则|PA |+|PF |的最小值为（ ）A ．B ．C ．2D ．【知识点分析】方法四、利用圆的性质【相似题练习】1．已知椭圆，圆A ：x 2+y 2﹣3x ﹣y +2＝0，P ，Q 分別为椭圆C 和圆A 上的点，F （﹣2，0），则|PQ |+|PF |的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．l 2l 1ABNMl 2l 1M N A'B'AB【知识点分析】 方法五、切线法【相似题练习】1．如图，设椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，上顶点为A ，点B ，F 2关于F 1对称，且AB⊥AF 2（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知P 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，若△AF 1F 2的面积为，求点P 到直线l ：x ﹣y ﹣3＝0距离的最大值．【知识点分析】 方法六、参数法1．圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .2. 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .3． 抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y px x ⎩⎨⎧==.【相似题练习】已知点A （2，1），点B 为椭圆+y 2＝1上的动点，求线段AB 的中点M 到直线l 的距离的最大值．并求此时点B 的坐标．【知识点分析】方法七、基本不等式1、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，2、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．【相似题练习】1．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且∠AFB ＝，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为M ′，则的最大值为 ．方法七、利用三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
数学：圆锥曲线中的最值问题》课件
• 引言 • 圆锥曲线中的最值问题类型 • 解决圆锥曲线最值问题的方法 • 经典例题解析 • 圆锥曲线最值问题的应用 • 总结与展望
01
引言
圆锥曲线简介
01
圆锥曲线是平面几何中一个重要 内容，包括椭圆、双曲线和抛物 线等。
02
圆锥曲线在日常生活和科学研究 中有着广泛的应用，如行星轨道 、光学、工程学等。
详细描述
解决这类问题需要利用导数和切线的性质，通过求导和转化，将斜率表示为易于 处理的形式，再利用基本不等式或求导方法求解。
03
解决圆锥曲线最值问题的方法
利用基本不等式求解
总结词
利用基本不等式求解圆锥曲线中的最值问题是一种常见的方法，通过将问题转化为不等式形式，可以简化计算过 程。
详细描述
基本不等式是数学中常用的工具，如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等。这些不等式能够提供一些关 于变量之间关系的约束条件，从而帮助我们找到最值。在圆锥曲线问题中，我们通常将曲线的方程与基本不等式 结合，通过代数运算和变换，找到满足条件的解。
通过参数方程求解
总结词
参数方程是解决圆锥曲线最值问题的另一种有效方法，通过引入参数来表示曲线上点的坐标，可以将 问题转化为参数的取值范围和变化规律。
详细描述
参数方程通常用于表示曲线上点的坐标，通过引入参数来表示这些坐标。这种方法可以将复杂的几何 问题转化为参数的代数问题，从而简化计算过程。在求解最值问题时，我们可以通过分析参数的变化 规律和取值范围，找到满足条件的解。
解决圆锥曲线最值问题需要综合运用多种数学方法和技巧，如配方法、判别式法、 参数法等。
最值问题的发展趋势和未来研究展望
随着数学理论和方法的不断发展，圆 锥曲线最值问题将不断涌现出新的问 题和挑战。
2025年高考数学总复习课件71第八章第八节第3课时圆锥曲线中的范围、最值问题
第3课时
圆锥曲线中的范围、最值问题
核心考点
提升“四能”
课时质量评价
x2 y2
(2024·临沂模拟)已知椭圆C： 2 + 2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离
a b
6
2 3
，直线x＝ 2被C截得的线段长为
.
3
3
(1)求C的方程；
心率为
c
6
c2 2
2
2
1
利用基本不等式求最值
x2 y2
【例4】如图，椭圆 2 + 2 ＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别
a b
为A，B，过左焦点F(－1，0)的直线与椭圆交于C，D两点
(其中C点位于x轴上方)，当CD垂直于x轴时，|CD|＝3.
(1)求椭圆的方程；
x2 y2
解：因为椭圆 2 + 2 ＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1，0)，所以a2－b2＝1.
解：因为e＝ ＝ ，所以 2 ＝ ，所以c2＝ a2.又b2＝a2－c2＝a2－ a2 ＝ a2，
a
3
a
3
3
3
3
2
2
2
2 －2
x
+3
y
＝
a
，
a
所以椭圆的标准方程为x2＋3y2＝a2.由൝
解得y＝±
，
3
x＝ 2，
由题可知2
a2－2
3
2 3
x2 2
2
＝
，解得a ＝3，所以椭圆C的方程为 ＋y ＝1.
3
3
第3课时
圆锥曲线中的范围、最值问题
核心考点
2025高考数学圆锥曲线中的最值、范围问题课件练习题
训练1
例2
训练2
返回目录
突破2
圆锥曲线中的最值、范围问题
方法技巧
圆锥曲线中最值(范围)问题的求解方法
几何法
若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来
解决.
若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再
代数法 求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不
第八章
平面解析几何
突破2 圆锥曲线中的最值、范围问题
目录
Contents
01
练习 练透好题 精准分层
突破2
圆锥曲线中的最值、范围问题
命题点1 最值问题
例1 [2023全国卷甲]已知直线 x －2 y ＋1＝0与抛物线 C ： y 2＝2 px ( p ＞0)交于 A ， B
两点，｜ AB ｜＝4 15 .
.
例1
训练1
例2
训练2
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突破2
圆锥曲线中的最值、范围问题
又 · ＝( x 3 －1， y 3 )·( x 4 －1， y 4 )＝ x 3 x 4 －( x 3 ＋ x 4 )＋1＋ y 3 y 4 ＝0，
所以
2
2
－
4−2
2
＋1＋
4
＝0，化简得 m 2 ＋ k 2 ＋6 km ＝4.
(2)若动点 P 与双曲线 C 的两个焦点 F 1， F 2的距离之和为定值(大于｜ F 1 F 2｜)，且
cos
1
∠ F 1 PF 2的最小值为－ ，求动点 P 的轨迹方程.
9
[解析]
2
2
由椭圆定义得 P 点轨迹为椭圆，可设其轨迹方程为 2 ＋ 2 ＝1( a ＞ b ＞0)，
高考数学 圆锥曲线中的最值与定值问题例题分析(老师用)
圆锥曲线中的最值与定值问题圆锥曲线中的最值问题【考点透视】圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；函数值域求解法：当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值. 利用代数基本不等式，结合参数方程，利用三角函数的有界性。
【题型分析】1.已知P 是椭圆2214x y +=在第一象限内的点，A （2，0），B （0，1），O 为原点，求四边形OAPB 的面积的最大值分析：设P （2cos θ,sin θ），(0)2πθ <<,点P 到直线AB ：x+2y=2的距离|)2|d πθ+-==≤（椭圆参数方程，三角函数，最值问题的结合）2.已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W .（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22x y 122－＝ （x >0）（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0， 此时A （x 0，B （x 0），OA OB ⋅＝2 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122－＝中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2－2＝0依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2222122212244(1)(2)0201201k b k b kb x x k b x x k ⎧⎪∆=--•--≥⎪⎪+=>⎨-⎪⎪+=>⎪-⎩解得|k |>1， 又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2＝2222k 242k 1k 1＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ⋅的最小值为23.给定点A (-2,2)，已知B 是椭圆2212516x y +=上的动点，F 是右焦点，当53AB BF +取得最小值时，试求B 点的坐标。
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专题30 圆锥曲线中的最值问题【考情分析】与圆锥曲线有关的最值和围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他容的交汇。
圆锥曲线中的最值问题，围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展 【备考策略】与圆锥曲线有关的最值和围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化围。
（4）利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】1．已知双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值围是[2,)+∞2． P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为73．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是434．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 32 .5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅u u u r u u u r的最小值.解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22x y 122－＝ （x >0）（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A （x 0），B （x 0，OA OB ⋅u u u r u u u r＝2当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122－＝中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2－2＝0依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2222122212244(1)(2)0201201k b k b kb x x k b x x k ⎧⎪∆=--•--≥⎪⎪+=>⎨-⎪⎪+=>⎪-⎩解得|k |>1， 又OA OB ⋅u u u r u u u r＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2＝2222k 242k 1k 1＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ⋅u u u r u u u r的最小值为2【典型示例】求抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值? 分析一：设抛物线上任一点坐标为P(0x ,-x 2)，由点到直线的距离公式得P 到直线的距离d(0x )=5|834|200--x x =5320)32(320+-x 34≥，当0x =32时，d(0x )取得最大值34,分析二：设抛物线上点P(0x ,-x 2)到直线4x+3y-8=0距离最小，则过P 且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行，故y '( 0x )=-2 0x =-34,∴0x =32,∴P(32,-94), 此时d=5|8943324|--⨯+⨯）（=34，. 分析三：设直线方程为4x+3y+C=0则当l 与抛物线相切时l 与4x+3y-8=0间的距离为所求最小，由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=0342C y x y x 得4x-3x 2+C=0，∴△=16+12C=0, ∴c=-34,此时d=345|348|=---）（ 【分类解析】例1:已知椭圆221259x y +=，A （4，0），B （2，2）是椭圆的两点，P 是椭圆上任一点，求：（1）求5||||4PA PB +的最小值；（2）求||||PA PB +的最小值和最大值 分析：（1）A 为椭圆的右焦点。
作PQ ⊥右准线于点Q ， 则由椭圆的第二定义||4||5PA e PQ ==， ∴5||||||||4PA PB PQ PB +=+， 显然点P 应是过B 向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为174。
（2）由椭圆的第一定义，设C 为椭圆的左焦点，则||2||PA a PC =-∴||||||2||10(||||)PA PB PA a PC PB PC +==-=+-，根据三角形中两边之差小于第三边，当P 运动到与B 、C 成一条直线时，便可取得最大和最小值。
当P 到P"位置时，||||||PB PC BC -=，||||PA PB +有最大值，最大值为10||10BC +=+当P 到'P 位置时，||||||PB PC BC -=-，||||PA PB +有最小值，最小值为10||10BC -=-（数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合）变式: 点A （3，2）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|PA|+|PF| 取得最小值，求点P 的坐标。
解：抛物线y 2=4x 的准线方程为x=-1，设P 到准线的距离为d ，则|PA|+|PF|=|PA |+d 。
要使|PA|+|PF|取得最小值，由图3可知过A 点的直线与准线垂直时，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2代入y 2=4x ，得P （1，2）。
例2: 已知椭圆的中心在O,右焦点为F ，右准线为L ，若在L 上存在点M ，使线段OM 的垂直平分线经过点F ，求椭圆的离心率e 的取值围?解：如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化，由于线段OM 的垂直平分线经过点F ，则,c OF MF ==利用平面几何折线段大于或等于直线段（中心到准线之间的距离），则有 2c ≥ca 2e ∴≥22，∴椭圆的离心率e 的取值围椭圆的离心率e 的取值围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 变式1: 已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,求此双曲线的离心率e 的最大值? 解：双曲线的离心率e 的最大值为53变式2: 已知椭圆方程为 12222=+by a x ，（b a <<0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在为椭圆上的任意一点，且|PF 1|=4|PF 2|,求此椭圆的离心率e 的最小值? 解：椭圆的离心率e 的最小值为53例3: 已知P 点在圆x 2+(y -2)2=1上移动，Q 点在椭圆2219x y +=上移动,试求|PQ|的最大值。
解：故先让Q 点在椭圆上固定，显然当PQ 通过圆心O 1时|PQ|最大，因此要求|PQ |的最大值，只要求|O 1Q |的最大值.设Q (x ，y )，则|O 1Q |2= x 2+(y -4)2①因Q 在椭圆上,则x 2=9(1-y 2) ②将②代入①得|O 1Q |2= 9(1-y 2)+(y -4)2218272y ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭因为Q 在椭圆上移动，所以-1≤y ≤1，故当12y =时，1maxOQ =此时max 1PQ =【点晴】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值围的考察不能被忽视．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
变式1: 设P 是椭圆22x a+2y = 1 ( a > 1 ) 短轴的一个端点, Q 为椭圆上的一个动点,求| PQ | 的最大值.解法1: 依题意可设 P (0, 1 ), Q (x , y ), 则| PQ 又因为Q 在椭圆上, 所以 2x = 2a (12y -) .2||PQ = 2a (12y -) + 2y －2y + 1= (12a -)2y －2y + 1 + 2a= (12a -) 221()1y a --211a-- + 1 + 2a . 因为 | y | ≤ 1, a > 1,若a 2, 则211a -≤1, 当y = 211a -时, | PQ | 221a a - 若1< a 2, 则当y = －1时, | PQ | 取最大值2 . 解法2:设P (0, 1 ), Q (cos a θ, sin θ), 则 2||PQ = 2a 2cos θ + 2(sin 1)θ- = (12a -)2sin θ－2sin θ+2a + 1 = (12a -)221(sin )1aθ--－211a -+2a + 1. 注意到 |sin θ| ≤ 1, a > 1. 以下的讨论与解法1相同.变式2:已知△OFQ 的面积为6OF FQ m ⋅=u u u r u u u r（1646m ≤≤，求∠OFQ 正切值的取值围；（2）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），26||,1)OF c m c ==-u u u r 当 ||OQ uuu r 取得最小值时，求此双曲线的方程。
解析：（1）设∠OFQ =θ||||cos()1||||sin 262OF FQ mOF FQ πθθ⎧⋅-=⎪⎨⋅⋅=⎪⎩u u u r u u u ru u u r u u u r 6tan m θ⇒=- 646m ≤≤ Q 4tan 1θ-≤≤-（2）设所求的双曲线方程为221111221(0,0),(,),(,)x y a b Q x y FQ x c y a b -= >> =-u u u r 则 ∴11||||262OFQ S OF y ∆=⋅=u u ur 146y c =±又∵OF FQ m ⋅=u u u r u u u r ，∴21116(,0)(,)()(14OF FQ c x c y x c c c ⋅=⋅-=-⋅=- )u u u r u u u r 22211126963,||12.48c x c OQ x y c ∴= ∴=+=+≥u u u r当且仅当c=4时，||OQ uuu r最小，此时Q 的坐标是6,6)或6,6)22222266141216a ab b a b ⎧⎧-==⎪⎪∴ ⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎩，所求方程为22 1.412x y -= 【精要归纳】圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：（1）当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；（2）围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？例2中可以利用方程和垂直平分线性质构建。