集合的运算交和并
1.3.1集合的基本运算(并集与交集)
定义
一般地,由既属于集合A又属于集合 B的所有元素组成的集合叫做A与 B的交集.
记作 A∩B 读作 A交 B
即 A∩B={x x∈A,且x∈B}
A
B
A∩B
性质
⑴ A∩A = A A∩φ = φ A∩B =B∩A
⑵ A∪A = A A∪φ = A A∪B = B∪A
例6 设A={x x2+4x=0}, bbbbbcB={x x2+2(a+1)x+a2－1=0},
(1) 若A∩B=B,求a的值．
(2) 若A∪B=B,求a的值．
探究
(A∩B)∩C = A∩( B∩C ) A∩B∩C
(A∪B)∪C= A∪( B∪C ) A∪B∪C
课堂小结
1. 理解两个集合交集与并集的概念 bb和性质. 2. 求两个集合的交集与并集,常用 bbb数轴法和图示法． 3．注意灵活、准确地运用性质解题;
观察集合A,B,C元素间的关系: A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}， C={3，4，5，6，7，8}
定义
一般地,由属于集合A或属于集合B 的所有元素组成的集合叫做A与B
的并集,
记作 A∪B 读作 A并 B
即A∪B={x x∈A,或x∈B}
A
B
A∪B
观察集合A,B,C元素间的关系:
则A∩B= Φ
A∪B= {斜三角形}
例3 设A={x x＞－2},B={x x＜3}, 求A∩B, A∪B．
例4 已知A={2,－1,x2－x+1}, B={2y,－4,x+4}, C={－1,7}
且A∩B=C 求x,y的值及A∪B．
1.3集合的基本运算第1课时并集、交集课件(人教版)
答案:{1,2,5}
.
5.已知A={x|x<-2,或x>4},B={x|5-2x≤3},求A∪B,A∩B.
解:化简集合B得B={x|x≥1},用数轴表示集合A,B,如图所示,
所以A∪B={x|x<-2,或x≥1},A∩B={x|x>4}.
理能力与数学运算能力的培养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
思 想 方 法
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
一、并集
【问题思考】
1.视察下列各个集合.
①A={-1,0},B={1,3},C={-1,0,1,3};
②A={x|x是偶数},B={x|x是奇数},C={x|x是整数};
③A={1,2},B={1,3,4},C={1,2,3,4}.
2.填表:
自然语言
符号语言
一般地,由所有属于集合
A 或属于集合 B 的元素
A∪B=
组成的集合,称为集合 A {x|x∈A,或 x∈B}
与 B 的并集
图形语言
3.做一做:若集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N等于(
)
A.{0,1}
B.{-1,0,1}
C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}
且A∪B=A,求实数m的取值范围.
解:∵A∪B=A,∴B⊆A.
∵A={x|0≤x≤4}≠⌀,∴B=⌀或B≠⌀.
当B=⌀时,有m+1>1-m,解得m>0.
当B≠⌀时,用数轴表示集合A和B,如图所示,
+ ≤ -,
∵B⊆A,∴ ≤ + ,
- ≤ ,
集合中的运算和关系
集合中的运算和关系集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。
集合中的运算和关系是研究集合性质和结构的重要内容。
一、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。
1.并集：设A、B是两个集合，它们的并集记为A∪B，表示A和B中所有元素的集合。
2.交集：设A、B是两个集合，它们的交集记为A∩B，表示同时属于A和B的元素的集合。
3.差集：设A、B是两个集合，它们的差集记为A-B，表示属于A但不属于B的元素的集合。
4.补集：设U是一个全集，A是U的一个子集，A的补集记为A’，表示U中不属于A的元素的集合。
二、集合的关系集合之间的关系主要包括包含关系、相等关系和不相交关系等。
1.包含关系：设A、B是两个集合，如果A中的所有元素都属于B，则称A包含于B，记为A⊆B。
如果A包含于B且B包含于A，则称A等于B，记为A=B。
2.相等关系：设A、B是两个集合，如果A包含于B且B包含于A，则称A等于B，记为A=B。
3.不相交关系：设A、B是两个集合，如果A和B没有共同的元素，则称A和B不相交，记为A∩B=∅。
三、集合的性质1.确定性：集合中的元素是确定的，不含有不确定性。
2.互异性：集合中的元素是互不相同的。
3.无序性：集合中的元素没有顺序。
四、集合运算的性质1.结合律：对于集合的并集、交集和差集运算，都满足结合律。
2.交换律：对于集合的并集、交集和差集运算，都满足交换律。
3.分配律：对于集合的并集和交集运算，满足分配律。
五、集合的关系的性质1.自反性：对于任意集合A，A包含于A。
2.对称性：对于任意集合A、B，如果A包含于B，则B包含于A。
3.传递性：对于任意集合A、B、C，如果A包含于B且B包含于C，则A包含于C。
以上是集合中的运算和关系的基本知识点，希望对你有所帮助。
习题及方法：1.习题：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∪B、A∩B、A-B、A’。
集合的基本运算(交集与并集)(叶小兵)
反之,亦然.
思考 (A∩B)∩C = A∩( B∩C ) A∩B∩C (A∪B)∪C = A∪( B∪C ) A∪B∪C
课堂练习
教材P12 1、2、3.
课堂小结
1. 理解两个集合交集与并集的概念 和性质. 2. 求两个集合的交集与并集,常用 数轴法和图示法．
作业布置
C { x | x是 实 数 }
一、并集 —般地，由所有属于集合A或属于集 合B的元素所组成的集合，称为集合A与B 的并集. 记作：A∪B. 读作：A并B. A 其含义用符号表示为： B { x | x A, 或 x B}
A
B
A∪B
思考
集合A.B与集合C之间有什么 关系？
（1）A {2, 4, 6, 8,10}, B {3, 5, 8,12}, C {8};
教材P13
A组 6、7、8
B组 3
A B { x | x A , 且 x B }.
A
B
A∩B
性质
⑴ A∩A = A A∩φ = A∩B = B∩A ⑵ A∪A = A A∪φ = A A∪B = B∪A φ Nhomakorabea⑶
A∩B A A∩B B
⑷
A A∪B B A∪B
⑸ 若A∩B=A,则A B．
反之,亦然.
交集与并集
教学目标:
1.理解并集、交集的概念 2.会用并集、交集的集合表示 3.会区分什么情况下用什么集合
观察
你能说出集合C与集合A、 B之间的关系吗?
A 3 5}, 4 6} 2 3 4 5 6} （1） {1，， ， B {2，， ， C {1，，，，， ；
A （2） { x | x是 理 数}, B { x | x是 无 理 数},
集合论中的交集并集运算与应用案例
集合论中的交集并集运算与应用案例集合论是数学中的一个重要分支，研究集合的结构、性质和运算规律。
其中，交集和并集是集合论中最基本的运算之一，它们在数学和现实生活中都有着广泛的应用。
本文将介绍交集和并集的定义、性质以及几个典型的应用案例。
一、交集的定义和性质在集合论中，交集是指给定若干个集合A、B、C……，由所有同时属于这些集合的元素所组成的集合。
用符号∩表示交集运算。
交集的定义可以表示为：A∩B={x|x∈A且x∈B}。
交集运算具有以下几个性质：1. 交换律：对于任意的集合A和B，有A∩B=B∩A。
2. 结合律：对于任意的集合A、B和C，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
3. 分配律：对于任意的集合A、B和C，有A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
二、并集的定义和性质在集合论中，并集是指给定若干个集合A、B、C……，由所有属于这些集合的元素所组成的集合。
用符号∪表示并集运算。
并集的定义可以表示为：A∪B={x|x∈A或x∈B}。
并集运算具有以下几个性质：1. 交换律：对于任意的集合A和B，有A∪B=B∪A。
2. 结合律：对于任意的集合A、B和C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
3. 分配律：对于任意的集合A、B和C，有A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
三、交集和并集的应用案例1. 数学中的集合运算：在数学中，交集和并集的概念被广泛应用于集合的运算。
例如，在解方程或不等式的过程中，常常需要用到集合的交集和并集来求解。
2. 数据库查询：在数据库中，交集和并集运算可以用来进行数据查询和筛选。
例如，可以通过对两个表进行交集运算，获取其中共有的数据；或者通过对两个表进行并集运算，合并两个表中的数据。
3. 网络安全：在网络安全领域，交集和并集运算可以用来进行IP地址过滤和访问控制。
通过对已知的恶意IP地址集合取交集，可以快速判断网络流量中是否存在威胁；通过对不同的访问控制策略取并集，可以实现更加灵活的网络安全防护。
数学交集和并集
数学交集和并集一、交集与并集的概念（一）交集1. 定义- 对于给定的两个集合A和B，由所有既属于A又属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩ B，即A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。
- 例如，设A={1,2,3,4}，B = {3,4,5,6}，那么A∩ B={3,4}。
2. 性质- A∩ A = A。
因为集合中的元素本身既属于自己又属于自己，例如A={1,2,3}，A∩ A={1,2,3}。
- A∩varnothing=varnothing。
空集没有元素，所以与任何集合的交集都为空集，比如A = {1,2}，A∩varnothing=varnothing。
- A∩ B = B∩ A。
交集运算满足交换律，例如A={1,2}，B={2,3}，A∩ B={2}，B∩ A={2}。
（二）并集1. 定义- 给定两个集合A和B，把它们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪ B，即A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。
- 例如，设A = {1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪ B={1,2,3,4,5}。
2. 性质- A∪ A = A。
集合与自身取并集还是自身，例如A={1,2}，A∪ A={1,2}。
- A∪varnothing = A。
空集与任何集合取并集都等于那个集合，比如A={1,2}，A∪varnothing={1,2}。
- A∪ B = B∪ A。
并集运算满足交换律，例如A={1,2}，B = {2,3}，A∪B={1,2,3}，B∪ A={1,2,3}。
二、交集与并集的运算（一）列举法下的运算1. 交集运算- 当集合是用列举法表示时，直接找出既属于集合A又属于集合B的元素组成交集。
- 例如，A={a,b,c,d}，B={c,d,e,f}，则A∩ B = {c,d}。
2. 并集运算- 同样对于列举法表示的集合，把两个集合中的所有元素合并起来，相同元素只写一次组成并集。
集合的交集与并集运算
集合的交集与并集运算集合是数学中的一种基本概念，用于表示一组具有共同特征的对象的结合体。
在集合的运算中，交集与并集是两个重要的操作。
本文将围绕集合的交集与并集运算展开讨论。
1. 交集运算交集运算是指将多个集合中共同拥有的元素提取出来形成一个新的集合。
记作A∩B，表示集合A与集合B的交集。
例如，设有集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A∩B={3,4}。
这意味着集合A与集合B中，只有元素3和元素4同时存在于两个集合中。
交集运算的特点：（1）交换律：A∩B = B∩A。
即，两个集合的交集不受集合的顺序影响。
（2）结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
即，多个集合的交集按任意顺序进行运算，结果不变。
（3）分配律：A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)。
即，集合的交集与并集的运算可以相互分配。
2. 并集运算并集运算是指将多个集合中的所有元素合并到一个新的集合中。
记作A∪B，表示集合A与集合B的并集。
例如，设有集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
这意味着集合A与集合B中的所有元素组成了一个新的集合。
并集运算的特点：（1）交换律：A∪B = B∪A。
即，两个集合的并集不受集合的顺序影响。
（2）结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。
即，多个集合的并集按任意顺序进行运算，结果不变。
（3）分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)。
即，集合的并集与交集的运算可以相互分配。
需要注意的是，交集与并集运算的结果仍然是一个集合，并且不重复计算元素。
例如，在集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}的交集运算中，元素2和元素3只会计算一次。
综上所述，交集与并集运算是集合运算中的两个重要操作。
它们在解决实际问题中具有广泛的应用，能够帮助我们准确描述集合中的共同元素或合并多个集合的元素。
在数学推理和逻辑推演中，交集与并集的概念也是不可或缺的。
集合的性质与运算知识点总结
集合的性质与运算知识点总结在数学中，集合是由一些确定的对象组成的聚集体。
集合理论是数学的重要分支之一，它研究了集合的性质、运算和关系。
本文将对集合的性质和运算进行总结，帮助读者更好地理解和应用集合的知识。
一、集合的性质1. 包含关系：对于两个集合A和B，若A中的每个元素都是B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。
如果A是B的子集且B是A的子集，则称A和B相等，记作A=B。
2. 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅或{}。
对于任意集合A，有∅⊆A。
3. 并集：给定两个集合A和B，所有属于A或属于B的元素的集合称为A和B的并集，记作A∪B。
4. 交集：给定两个集合A和B，所有既属于A又属于B的元素的集合称为A和B的交集，记作A∩B。
5. 差集：给定两个集合A和B，所有属于A但不属于B的元素的集合称为A和B的差集，记作A-B或者A\B。
6. 补集：对于给定的集合U和A，U中属于而A中不属于的元素组成的集合称为A关于U的补集，记作A'。
7. 幂集：对于给定的集合A，所有A的子集所构成的集合称为A的幂集，记作P(A)。
二、集合的运算1. 并运算：对于给定的集合A和B，A与B的并集是包含A和B 中所有元素的集合，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。
2. 交运算：对于给定的集合A和B，A与B的交集是同时属于A和B的元素组成的集合，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。
3. 差运算：对于给定的集合A和B，A与B的差集是属于A但不属于B的元素组成的集合，即A-B={x|x∈A且x∉B}。
4. 对称差运算：对于给定的集合A和B，A与B的对称差集是属于A或属于B但不同时属于A和B的元素组成的集合，即A△B=(A-B)∪(B-A)。
5. 补运算：对于给定的集合U和A，A的补集是在全集U中属于而A中不属于的元素组成的集合，即A'={x|x∈U且x∉A}。
三、集合的性质定理1. 交换律：对于任意两个集合A和B，有A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
交集与并集的符号
交集与并集的符号摘要：1.交集与并集的定义2.交集与并集的符号表示3.交集与并集的运算规则4.交集与并集的实际应用正文：一、交集与并集的定义在数学中，交集和并集是集合论的基本概念。
交集是指两个或多个集合中共同拥有的元素组成的集合，用符号"∩" 表示。
而并集是指两个或多个集合中所有元素组成的集合，用符号"∪" 表示。
二、交集与并集的符号表示1.交集符号：∩交集符号是一个三角形，其中包含一个水平线段和一个垂直线段。
水平线段表示集合的元素，垂直线段表示交集运算。
例如，A ∩ B 表示集合A 和集合B 的交集。
2.并集符号：∪并集符号是一个开口向左的圆圈，表示所有集合元素的总体。
例如，A ∪B 表示集合A 和集合B 的并集。
三、交集与并集的运算规则1.交集运算规则交集运算满足交换律、结合律和分配律。
具体如下：（1）交换律：A ∩ B = B ∩ A（2）结合律：(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)（3）分配律：A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)2.并集运算规则并集运算满足交换律、结合律，但不满足分配律。
具体如下：（1）交换律：A ∪ B = B ∪ A（2）结合律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)（3）分配律：A ∪ (B ∩ C) ≠ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)四、交集与并集的实际应用交集与并集在实际问题中有广泛应用，例如在计算机科学中的集合算法、数据处理、编程语言等。
通过运用交集与并集的概念，可以有效地解决许多实际问题。
综上所述，交集与并集是集合论的基本概念，它们在数学和实际问题中具有重要意义。
集合运算中的交集与并集
交集的应用
数据库查询
查询共有数据
逻辑判断
判断是否共有元 素
交集运算
求解交集结果
并集的性质
集合合并
包含所有元素
概率统计统计所有可能情 况来自数据整合整合多个数据集
集合运算总结
交集
求解共有元素 集合交集运算 数据筛选
并集
整合所有元素 并集运算规则 数据汇总
差集
去除重复元素 集合差集运算 数据清洗
交集表示
$A \cap B$
并集表示
$A \cup B$
交集与并集的应用
数据库查询
常用交集与并集 操作
数学运算
常用集合运算解 决问题
交集与并集的性质
交换律
$A \cap B B \cap A$
结合律
$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
分配律
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
● 02
第2章 交集的性质
交集的空集
01 空集定义
任何集合与空集的交集都是空集
02 示例
$A \cap \emptyset \emptyset$
03
交集的恒等元素
恒等元素性质
任何集合与自己的交集等 于自己
数学公式
$A \cap A = A$
交集的补集
补集关系
两个集合的交集 与其中一个集合
集合运算中的交集与并集
汇报人：大文豪
2024年X月
第1章 简介 第2章 交集的性质 第3章 交集运算的实际应用 第4章 并集的性质 第5章 并集运算的实际应用 第6章 总结
集合的运算---交、并
A
B
A
B
A
B
B A
A B
（ 2） （ 1） 说出上面4个图表示的含义。
（ 3）
（ 4）
1、并集：一般地，由所有属于集合A，或属于集合B的元素所组成的
集合，叫做集合A与集合B的并集。 记作：A B 读作：“A并B” 即 A B {x | x A, 或x B}
1
4
2
6，
8
7，
B
解：将集合A，集合B用上图表示 A∪B ={4，5，6，8} ∪{3，5，7，8} ={3，4，5，6，7，8} 注意：本题两个集合中都有元素5，8，但在求两个集合的并集的时候 只能出现一次，不能写成{3，4，5，5，6，7，8，8}
例2：设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∪B 解：A∪B ={x|x是锐角三角形} ∪{x|x是钝角三角形} ={x|x是斜三角形} 例3：设 A {x | 1 x 2}，B {x | 1 x 3}, 求A B 分析：此题与例1类似，与实数大小有关系，利用数轴处理
1
4
2
3
(1)
① A B A A B, A B B A B
B
A
A B B A B A ②如果集合A是集合B的子集：则有 A B
（ 2）
A, A B B
即： A B A B A
?
A B A B B
?
例1：设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B 分析：此题是求两个集合的并集，如果用文氏出表示各个集合， 可能会方便我们的理解 A 4， 5， 3，
3
注意：定义中的“或”字，它说明A∪B中的元素有下列三种情况： x A, x B 或 x A, x B 或 x A, x B 2、交集：一般地，由所有属于集合A，且属于集合B的元素所组成的 集合，叫做集合A与集合B的交集。 记作：A B 读作：“A交B” 即 A B {x | x A, 且x B} 注意：定义中的“且”字，它说明A∩B中的任一元素x都是A与B的 公共元素。由此可知， A∩B必是A和B的公共子集。 即： A B A, A B B 所以 A B A A B, A B B A B
集合的交并差补与代数的加减乘除
集合的交并差补与代数的加减乘除wsyAugust13,2015我们都知道，集合的运算和代数的运算是独立的，一般没有太大的关联。
集合的基本的运算法则有：•交集：A B;•并集：A B;•补集：A;•差集：A−B.但是，我们通过如下的定义，可以建立一个集合的代数运算关系：令全集Ω表示为1,空集∅表示为0•交集：A∩B=ab;•并集：A∪B=a+b−ab;•补集：A=1−a;•差集：A−B=A−A∩B=a−ab=a(1−b).其中，集合A,B在代数运算中，用相应的小写字母a,b表示。
注意到，因为A∩A=A,所以根据定义可以推导出，我们的定义满足幂等律a·a=a2=a.除了，这一点有差异之外，其它运算与代数运算都相同。
接下来，我们可以看到，集合的对偶律和结合律，使用上述定义之后，也是吻合的。
下列代数式子在化简后是显然成立的，我们减去了化简的步骤。
1.对偶律:1•对于A∩B=A∪B,代入上述定义，有1−ab=(1−a)+(1−b)−(1−a)(1−b).•对于A∪B=A∩B,代入上述定义，有1−(a+b−ab)=(1−a)(1−b).2.结合律：•对于(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C),代入上述定义，有ab+c−abc=(a+c−ac)(b+c−bc).•对于(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),代入上述定义，有(a+b−ab)c=ac+bc−ac·bc.综上可知，我们的定义是满足集合运算的要求的。
之所以要把集合的运算，转化为代数的运算，是因为一般的人，对于代数运算的熟悉程度远远高于集合运算。
这为我们验证，求解，推断复杂的集合运算的式子提供了另外的一种新的更加简便快速的方式。
2。
集合的运算交与并习题课件
三角形
钝角三角形 直角三角形
斜三角形
解：A∩B = {x | x 是锐角三角形}∩{x | x 是钝角三角形}
= ； A∪B = {x | x 是锐角三角形}∪{x | x 是钝角三角形}
= {x | x 是斜三角形}．
练习2 已知 A = {x | x 是平行四边形}， B = {x | x 是菱形}， 求 A∩B； A∪B． 解：A∩B = {x | x 是平行四边形}∩{x | x 是菱形} = {x | x 是菱形} = B； A∪B = {x | x 是平行四边形}∪{x | x 是菱形} = {x | x 是平行四边形} = A．
A B
B
集合的交集
交集：给定两个集合 A，B，由既属于 A 又属 于B 的所 有公共元素构成的集合，叫做 A，B 的交集． 记作 A ∩ B ， 读作 “ A 交 B ”． 请用阴影表示出 “ A∩B ” A (B) A B
A
B
B A
集合的交
根据交集的定义和图示，填写交集的性质.
(1) A ∩ B ＝ B∩A；
2 2
练习：
则A B=
3
2. A x 2 x 1 3 , B x 1 x 5 , 则 A B x 1 x 5
3. A x x 3 , B x 1 x 5 , 则 x 3 x 5 A B
(2) ( A ∩ B )∩ C (3) A ∩ A =
＝ A ∩( B ∩ C )；
A ； ；
(4) A ∩ = ∩ A =
想一想： 如果 A B ，那么 A ∩ B =
A ．
2.并集的定义 : 一般地, 对于两个给定的集合A、B，由 两个集合的所有元素构成的集合, 叫 做A与B的并集.记作A B (读作 " A并B "). 即A B {x | x A或x B}.
集合运算-交集并集
若A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A∩B={3,4}。
交集的性质
空集是任何集合的交集
对于任意集合A，A∩∅=∅。
交集的对称性
若A∩B=B∩A，则A=B。
并集与交集的互异性
对于任意集合A、B、C，若A∩B=A∩C，则B=C。
交集的运算规则
交换律
01
A∩B=B∩A。
结合律
02
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
分配律
03
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
03
CATALOLeabharlann UE并集运算并集的定义
01
并集是由两个或多个集合中所有 元素组成的集合。
02
并集中的元素来自所有参与并集 运算的集合。
并集的性质
并集中的元素不重复
在并集中，相同的元素只会出现一次。
并集的元素来自所有参与运算的集合
并集中的元素必须至少出现在一个参与并集运算的集合中。
任何集合与空集的并集
表示为(A cup emptyset)，结果是集合A本 身，因为空集中没有任何元素。
04
CATALOGUE
集合运算的应用
在数学中的应用
交集的应用
在数学中，交集用于研究两个或多个 集合中共有的元素。例如，在几何学 中，求两个圆的交集可以找到同时属 于两个圆的点。
并集的应用
并集用于研究一个集合中所有元素， 包括那些来自不同集合的元素。在几 何学中，求两个圆的并集可以找到属 于至少一个圆的点。
并集的运算规则
两个集合的并集
表示为(A cup B)，它包含集合A和B中所有 的元素，不考虑重复。
空集与任何集合的并集
表示为(emptyset cup A)，结果是集合A本 身，因为空集中没有任何元素。
交集和并集的运算符
交集和并集的运算符交集和并集是集合运算中常用的两个概念。
它们是集合运算的基础，用于确定集合之间的共同元素和合并元素。
首先，我们从交集开始讨论。
交集指的是两个或多个集合共同拥有的元素。
用符号表示为"∩"。
例如，我们有两个集合A和B，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}。
则A和B的交集为A ∩ B = {2, 3}。
交集运算可以让我们找出两个集合之间的共同元素，并将这些元素组成一个新的集合。
接下来，我们来探讨并集。
并集指的是将两个或多个集合中的所有元素合并在一起形成一个新的集合。
用符号表示为"∪"。
例如，我们有两个集合C和D，C = {1, 2, 3}，D = {3, 4, 5}。
则C和D的并集为C ∪ D = {1, 2, 3, 4, 5}。
并集运算可以让我们找出两个集合之间所有的元素，并将它们组成一个新的集合。
交集和并集的运算可以用数学公式表示。
对于给定的两个集合A和B：交集运算：A ∩ B = {x | x ∈ A且x ∈ B}其中符号"|"表示"使得"或"满足"。
并集运算：A ∪ B = {x | x ∈ A或x ∈ B}可以看出，交集和并集的运算符号都是集合运算中的常用符号。
接下来，我们来讨论交集和并集的一些性质和应用。
1.交换律：交集和并集满足交换律，即A ∩ B = B ∩ A，A ∪ B = B ∪ A。
这意味着交集和并集的结果与操作数的顺序无关。
2.结合律：交集和并集满足结合律，即(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)，(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)。
这意味着对于多个集合的交集和并集，可以任意改变括号的位置，结果是相同的。
3.分配律：交集和并集满足分配律，即A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)，A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)。
集合的运算(交集、并集、补集)
AB
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
解： A∪B ={x|0<x ≤2} ∩ {x|1<x ≤ 3} = {x|0 < x ≤ 3}
【新知识】 由并集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
– (1)A∪B= B∪ A – (2)A∪ A = A, A ∪ ∅ = ������ – (3)A⊆ A∪B,B⊆ A∪B
x-y=4
解:解方程组 x+y=0，得 x=2，所以A∩B={（2，-2）}。
x-y=4
y=-2
【想一想】能否把 {（2，-2）} 写作 {2，-1} ？
例3 设A={x|-1<x ≤2}，B={x|0<x ≤ 3},求A∩B。 分析：这两个集合都是用描述法表示的集合，并且元素无法一一列举出来。 这两个集合都可以在数轴上表示出来，观察数轴上表示的两个集合，可以得 到这两个集合的交集。
A A∩B B
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
解： A∩B ={x|-1<x ≤2} ∩ {x|0<x ≤ 3} = {x|0 < x ≤ 2}
【新知识】
由交集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
– （1） A ∩ B= B ∩ A – （2） A ∩ A=A， A ∩ ∅= ∅ – （3） A ∩ B⊆ ������, A ∩ B ⊆ ������
A
B
A∩B=∅
B AA B
、 【知识巩固】
例1 设A={2，3，5}，B={-1,0,1,2},求A∩B。 解： A∩B={2，3，5} ∩ {-1,0,1,2}={2}
例2 设A={(x,y)|x+y=0},B= {(x,y)|x-y=4},求A∩B。
离散数学---集合的基本运算
E
A
B
广义的并集
集合的并(union)：集合A和B的并AB定义 为：AB = {x | xA或者xB}，集合的并可 推广到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合， 它们的并定义为：
A1A2∪…An = {x | 存在某个i，使得xAi}
广义的交集
集合的交(intersection)：集合A和B的并AB定义 为：AB = {x | xA而且xB}，集合的交也可推广 到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合，它们的交 定义为：
集合的化简
化简((ABC)(AB))-((A(B-C))A) 证明:原集合=(AB)-A(吸收律)
=(AB)A =(AA)(BA)(分配律)
=(BA) =BA
(互补律) (同一律)
集合包含的性质
• AE •如果ABC，则AC •ABAA∪B •AB A∪B=B AB=A ~B ~A
利用集合等式证明
求证：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
(A-B)∩(A-C)＝A∩~B∩A∩~C =A∩~B∩~C =A∩~(B∪C) =A-(B∪C)
证明吸收律A（AB）=A
证明：A（AB） =（A）（AB） =A（B） =A =A
已知AB=AC,AB=AC,求证B=C
6、零一律 A∩=，A∪E=E
（A∩B）=A∪B
7、补余律 A∩A=，A∪A=E
10、双重否定律（A）=A
8、吸收律 A∪（A∩B）=A
注：A-B=A∩B
A∩（A∪B）=A
集合相等的证明的方法
一、利用集合的定义证明； 二、利用集合等式证明；（常用） 三、利用谓词公式证明； 四、用集合成员表。（略）
即AB={xxA且x BxB且x A}
集合交并补公式
集合交并补公式一、集合的交操作集合的交操作表示的是两个或多个集合中共有的元素的集合。
假设A和B是两个集合，它们的交集记作A∩B，表示由同时属于A和B 的元素所组成的集合。
例如，假设A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。
可以看出，A和B的交集中只包含了同时属于A和B的元素。
集合的交操作具有以下性质：1. 交集满足交换律，即A∩B=B∩A。
无论A和B的顺序如何，它们的交集是相同的。
2. 交集满足结合律，即(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
无论交集操作的顺序如何，最终的结果是相同的。
3. 如果A∩B=∅，即A和B的交集为空集，那么A和B是互斥的，也就是说A和B没有共同的元素。
二、集合的并操作集合的并操作表示的是两个或多个集合中所有元素的集合。
假设A 和B是两个集合，它们的并集记作A∪B，表示由属于A或B的元素所组成的集合。
例如，假设A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。
可以看出，A和B的并集中包含了A和B的所有元素。
集合的并操作具有以下性质：1. 并集满足交换律，即A∪B=B∪A。
无论A和B的顺序如何，它们的并集是相同的。
2. 并集满足结合律，即(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
无论并集操作的顺序如何，最终的结果是相同的。
3. 如果A∪B=全集U，即A和B的并集等于全集，那么A和B是互补的，也就是说A和B的元素之间没有重叠。
三、集合的补操作集合的补操作表示的是集合中不属于另一个集合的元素的集合。
假设A是一个集合，B是A的一个子集，那么A对B的补记作A-B，表示由属于A但不属于B的元素所组成的集合。
例如，假设A={1, 2, 3}，B={2, 3}，则A-B={1}。
可以看出，A对B的补中只包含了属于A但不属于B的元素。
集合的补操作具有以下性质：1. 补操作满足非交换律，即A-B≠B-A。
A对B的补不等于B对A 的补。
2. 补操作满足非结合律，即(A-B)-C≠A-(B-C)。
集合的并与交的计算与性质
集合的并与交的计算与性质在数学中，集合是由一组特定元素组成的对象。
集合的并与交是常用的集合运算符号，它们具有不同的计算方式和性质。
本文将详细介绍集合的并与交的计算方法以及它们的性质。
一、集合的并运算集合的并运算，常用符号为∪（读作“并”），表示将多个集合中的所有元素合并为一个集合。
计算集合A和集合B的并，记作A∪B，其结果是一个包含A和B 中所有元素的新集合。
例如，假设有集合A = {1, 2, 3}和集合B = {3, 4, 5}，那么A∪B的结果为{1, 2, 3, 4, 5}。
并集的性质如下：1. 交换律：A∪B = B∪A，即并集的顺序不影响最终结果。
2. 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，即并集的计算顺序不影响最终结果。
3. 幂等律：A∪A = A，即对同一个集合进行并运算两次，结果与原集合相同。
二、集合的交运算集合的交运算，常用符号为∩（读作“交”），表示求多个集合中公共元素所构成的新集合。
计算集合A和集合B的交，记作A∩B，其结果是一个包含A和B中公共元素的新集合。
例如，假设有集合A = {1, 2, 3}和集合B = {3, 4, 5}，那么A∩B的结果为{3}。
交集的性质如下：1. 交换律：A∩B = B∩A，即交集的顺序不影响最终结果。
2. 结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)，即交集的计算顺序不影响最终结果。
3. 幂等律：A∩A = A，即对同一个集合进行交运算两次，结果与原集合相同。
三、集合的并与交的关系集合的并与交运算之间存在一定的关系。
1. 吸收律：A∩(A∪B) = A，即交集与并集的运算结果再进行交运算，结果与原集合A相同。
2. 分配律：A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)，即交集对并集的运算可进行分配。
例如，假设有集合A = {1, 2, 3}，集合B = {3, 4, 5}，集合C = {2, 3}，那么根据分配律可得到如下结果：A∩(B∪C) = {1, 2, 3}∩{2, 3, 4, 5} = {2, 3}(A∩B)∪(A∩C) = ({1, 2, 3}∩{3, 4, 5})∪({1, 2, 3}∩{2, 3}) = {3}∪{2, 3} = {2, 3}从上述计算结果可以看出，交集运算和并集运算在满足分配律的情况下结果相等。
集合间交并补的运算集合与集合之间的运算关系
一、集合的特性1、确定性给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。
2、互异性一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。
有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。
3、无序性一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。
集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。
但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。
集合的基本运算：交集、并集、补集、子集。
集合交换律：A∩B=B∩A、A∪B=B∪A集合结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C) 、(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)、A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A ∪C)二、交集概念：（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为。
2、并集概念：（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为。
3、全集、补集概念：（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作C U A，读作U中A的补集，表达式为C U A={x|x∈U，且x A}。
（2）韦恩图表示为。
1、交集：（1）定义：一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x ∈A且x∈B｝。
（2）性质：（3）韦恩图表示为。
2、并集：（1）定义：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x ∈A或x∈B｝。
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冬瓜 鲫鱼 黄瓜
茄子
虾
黄瓜 猪肉 毛豆 虾 土豆 芹菜
问1 两天所买相同菜的品种为集合 C ， 则集合 C 由哪些元素组成？
请观察：集合 C 中的元素与集合 A，集合 B 中的元素 有什么关系？ C
冬瓜 鲫鱼 黄瓜 猪肉 毛豆
A
茄子 虾 土豆 芹菜
B
观察得出：集合 C 是由既属于集合 A，又属于集合 B 的所有 公 共 元素组成的．
想一想： 如果 A B ，那么 A ∪ B ＝ B ．
集合的并
例 1 (2) 已知： A = { 1，2，3 }，B = { 3，4，5 }，
C = { 5，3 }．
则 A ∪ B = { 1，2，3，4，5 } ；
B∪C=
{ 3，4，5 }
；
（ A ∪ B ）∪ C = { 1，2，3，4，5 } ．
求 A∩B； A∪B． 解：A∩B = {x | x 是平行四边形}∩{x | x 是菱形}
= {x | x 是菱形} = B； A∪B = {x | x 是平行四边形}∪{x | x 是菱形}
= {x | x 是平行四边形} = A．
平
行
四
菱形
边
形
练习3 已知 A = {x | x2+2x-3=0}， B = {x | x2+4x+3=0}，
记作 A∪B , 读作 “ A 并 B ”． 2．并集的图示 请用阴影表示出 “ A ∪ B ”．
AB
AB
A
A(B)
3．并集的性质
集合的并
(1) A ∪ B ＝ B ∪ A ；
(2) ( A ∪ B ) ∪ C ＝ A ∪( B ∪ C )；
(3) A ∪ A = A ；
(4) A ∪ = ∪ A = A ．
= {(1，2)}．
(1，2)
O
x
3 x＋2 y = 7
4 x＋y = 6
1. 学生读书、反思． 2. 教师点评，学生填表：
交集
定义
记法
图示
并集
性质
教材 P 16 ，练习A 组第 1~4 题．
求 A∩B； A∪B．
例4 已知 A ={ (x，y) | 4 x＋y = 6 }， B ={ (x，y) | 3 x＋2 y = 7 }． y
求 A ∩ B．
解：A∩B = {(x，y) | 4 x＋y = 6 }
∩{(x，y) | 3 x＋2 y = 7 }
= (x，y)
4 x＋y = 6 3 x＋2 y = 7
我校食堂买菜的品种 第一天买菜品种为集合 A
第二天买菜品种为集合 B
冬瓜 鲫鱼 黄瓜
茄子
虾
黄瓜 猪肉 毛豆 虾 土豆 芹菜
问2 两天买过的所有菜的品种为集合 D ， 则集合 D 由哪些元素组成？
D ={冬瓜, 鲫鱼, 黄瓜, 茄子, 虾,猪肉,毛豆,土豆, 芹菜 }
集合的并
1．并集的定义 给定两个集合 A ，B ，由两个集合的所有元 素构成的集合，叫做 A，B 的并集．
集合的交
交集：给定两个集合 A，B，由既属于 A 又属 于B 的所 有公共元素构成的集合，叫做 A，B 的交集．
记作 A ∩ B ， 读作 “ A 交 B ”．
请用阴影表示出 “ A∩B ”
AB
BA
A (B)
AB
集合的交
根据交集的定义和图示，填写交集的性质. (1) A ∩ B ＝ B ∩ A ； (2) ( A ∩ B )∩ C ＝ A ∩( B ∩ C )； (3) A ∩ A = A ； (4) A ∩ = ∩ A = ；
求 A ∩ Z， B ∩ Z， A ∩ B ．
奇数
偶数
整数
解： A∩Z = {x | x 是奇数}∩{x | x 是整数} = {x | x 是奇数} = A； B∩Z = {x | x 是偶数}∩{x | x 是整数} = {x | x 是偶数} = B； A∩B = {x | x 是奇数}∩{x | x 是偶数} = ．
例2 (2) 已知 A = {x | x 是奇数}， B = {x | x 是偶数}， Z = {x | x 是整数}，
求 A ∪ Z， B ∪ Z， A ∪ B ．
奇数
偶数
整数
解： A ∪ Z = {x | x 是奇数} ∪ {x | x 是整数} = {x | x 是整数} = Z ； B ∪ Z = {x | x 是偶数} ∪ {x | x 是整数} = {x | x 是整数} = Z ； A ∪ B = {x | x 是奇数} ∪ {x | x 是偶数} = {x | x 是整数} = Z ．
想一想： 如果 A B ，那么 A ∩ B = A ．
集合的交
例1 (1) 已知：A = { 1，2，3 }，B = { 3，4，5 }，
C = { 5，3 }．
则： A ∩ B =
{3}
；
B ∩ C = { 3，5 } ；
（ A ∩ B ）∩ C =
{3} ．
例2 (1) 已知 A = {x | x 是奇数}， B = {x | x 是偶数}， Z = {x | x 是整数}，
集合
集
集合
合
集合
1.1.4 集合的运算（一）
1．子集与真子集的区别和联系是什么？ 真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中 至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集．
2．什么Hale Waihona Puke 空集？ 不含任何元素的集合叫做空集．
我校食堂买菜的品种 第一天买菜品种为集合 A
第二天买菜品种为集合 B
例3 已知 C = { x | x≥1 }，D = { x | x＜5 }， 求 C ∩ D； C ∪ D．
x
1
5
解： C ∩ D = { x︱1 ≤x＜ 5 } ； C ∪ D = R．
练习1 已知 A = {x | x 是锐角三角形}，
B = {x | x 是钝角三角形}．
求 A∩B ，A∪B． 锐角三角形
三角形 钝角三角形
斜三角形
直角三角形
解：A∩B = {x | x 是锐角三角形}∩{x | x 是钝角三角形} = ；
A∪B = {x | x 是锐角三角形}∪{x | x 是钝角三角形} = {x | x 是斜三角形}．
练习2 已知 A = {x | x 是平行四边形}， B = {x | x 是菱形}，