5.2矩阵级数

zk
的收敛半径为2，再求A的特
征值为 1 1.1, 2 0.4 ，则谱半径 ( A) r ，
由此可得此矩阵级数绝对收敛。
5.2 矩阵级数 定义5.4 设矩阵序列
，则无穷和
称为矩阵级数，记为
，即有
A(k ) A(0) A(1) A(k )
k 0
定义5.5
设
N
S(N)
A(k )
，称其为矩阵级
k 0
数的部分和. 如果矩阵序列 S (N ) 收敛，且有
则称矩阵级数
收敛，且和是S ，记为
，不收敛的矩阵级数称为是发散的.
1
例5.2
已知 A(k )
2k 0
3 4k
1 k
(k
1)
研究矩阵级数
的收敛性.
解 因为
S N
N
A(k )
N k 1
1 2k
k 1
0
N
k 1 3 4k
N
k 1
1
k
(k
1)
故有 显然
S
lim S (N )
N
1 0
9 1
所以，级数收敛.
定义5.6 如果 绝对收敛的，则称
中的mn个数项级数都是 是绝对收敛的.
都绝对收敛，其和分别为A与B . 则级数 与
级数 按项相乘所得的矩阵级数
S3：A(1) B(1) ( A(1) B(2) A(2) B(1) ) ( A(1) B(3) A(2) B(2) A(3) B(1) )
( A(1) B(k ) A(2) B(k 1) A(k ) B(1) )
的收敛半径为r ，如果方阵A 的特征值为
1, 2 , , n ，当 i 0 r i 1,2, , n
时，则方阵级数
绝对收敛；若
存在j，使得 j 0 r ，则方阵级数
是发散的。
例 设 A 0.5
0.3
0.2 ，问矩阵级数 1
k 2k
k 0
Ak
是否收敛？
解：f
(
z)
k 0
k 2k
k
A(i) B(k 1i)
k 1 i1
绝对收敛，且和为AB.
定理5.4 方阵A 的幂级数（Neuman级数）
收敛 A 为收敛矩阵，且在收敛时，其和为 .
证 必要性. 由于该矩阵幂级数的第i 行第 j 列的元素是数项级数
因为
收敛，所以
从而
即 A 为收敛矩阵.
充分性. 由于 可逆，又因为
，所以
从而
所以
证毕
定理5.6 设幂级数 f (z) ck zk 的收敛半 k 0
径为r ，如果方阵A 满足 ( A) r ，则方阵A
的幂级数
是绝对收敛的；如果
，则
是发散的.
推论 如果
在整个复平面上收敛, 那
么不论A 是任何矩阵，
总是绝对收敛的.
定理5.7 设幂级数 f (z) ck z 0 k k 0
ห้องสมุดไป่ตู้
性质1 若
绝对收敛，则必收敛 .
性质2
为绝对收敛的 正项级
数
收敛（此为任意矩阵范数）.
性质3 如果 A(k) 是收敛（或绝对收敛）的
k 0
, 那么 PA(k)Q 也是收敛（或绝对收敛）的，
k 0
并且有
PA(k )Q P A(k ) Q
k 0
k0
性质4 设
中的两个矩阵级数
S2 : B(1) B(2) B(k)