七年级数学下册第2章整式的乘法乘法公式.1平方差公式习题课件
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整式的乘法第课件
《整式的乘法第课件ppt》2023-10-26•课程介绍•整式乘法基本概念•整式乘法基本运算规则目录•整式乘法的技巧和特殊情况•整式乘法的实际应用•练习与巩固01课程介绍整式的乘法是数学中的重要概念，是后续学习多项式、方程等知识的基础。
对于初中生而言，掌握整式的乘法能够为他们的数学学习打下坚实的基础。
课程背景理解整式的乘法的概念和运算法则。
能够熟练进行整式的乘法运算。
掌握整式的乘法在生活中的应用。
课程目标课程大纲•整式的乘法的概念及运算法则•单项式与单项式相乘的运算法则•单项式与多项式相乘的运算法则•多项式与多项式相乘的运算法则•整式的乘法运算示例及注意事项•示例：$(a+b)(m+n)$的计算过程及结果•注意事项：如何避免计算错误及如何提高计算速度•整式的乘法在生活中的应用•面积计算：如矩形、正方形、三角形等面积的计算公式中都包含整式的乘法•体积计算：如长方体、正方体、圆柱体等体积的计算公式中也都包含整式的乘法•课后练习及自我评估•练习题：提供不同难度等级的题目，让学生根据自身情况进行选择练习•自我评估：让学生对自己的学习成果进行自我评价，找出不足之处及时改进。
02整式乘法基本概念总结词单项式是一种特殊的代数式，它只包含一个字母和一个数字，并且这个数字必须是整数。
详细描述单项式是由一个字母和一个数字组成的代数式，例如：3x、4y等。
其中，字母表示未知数，数字表示该未知数的具体数值。
在单项式中，字母的次数为1，数字的次数为0。
单项式总结词多项式是由多个单项式组成的代数式，每个单项式之间用加号或减号连接。
详细描述多项式是由多个单项式组成的代数式，每个单项式之间用加号或减号连接。
例如：3x + 4y就是一个多项式，其中包含两个单项式3x和4y，并且它们之间用加号连接。
多项式整式乘法是一种特殊的乘法运算，它只适用于整式之间相乘。
总结词整式乘法是一种特殊的乘法运算，它只适用于整式之间相乘。
整式乘法的运算规则包括：交换律、结合律和分配律。
《14.2.1平方差公式》课件(3套)
(4)(－3x＋2y)(－3x－2y)＝_9_x_2_－__4_y_2_.
4．填空：(－12x＋2y)(__－__12_x_－__2_y__)＝14x2－4y2； (－4a－1)(_－_1_＋__4_a__)＝1－16a2.
5．运用平方差公式计算： (1)(9s＋11t)(11t－9s)； 解：121t2－81s2
14．2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
1．经历探索平方差公式的过程． 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运 算．
重点 平方差公式的推导和应用． 难点 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
一、设问引入 探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与 结果有什么规律吗？ (1)(x＋1)(x－1)； (2)(m＋2)(m－2)； (3)(2x＋1)(2x－1)． 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间 互相补充，教师不急于概括． 二、举例分析 再举几个这样的运算例子． 让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)， 然后由其中一个小组的代表来汇报．
项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列
多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（x+1）（x-1）=
x2 -1 ；
（2）（m+2）（m-2）= m2-4 ；
（3）（2x+1）（2x-1）= 4x2 -1 ．
你能将发现的规律用式子表示出来吗？ （a+b）（a-b）=a 2 -b2
探究平方差公式
你能对发现的规律进行推导吗？
（a+b）（a-b） =a2 -ab+ab-b2 =a2 -b2
理解平方差公式
前面探究所得的式子（a+b）（a-b）=a2-b2 为乘法 的平方差公式，你能用文字语言表述平方差公式吗？
4．填空：(－12x＋2y)(__－__12_x_－__2_y__)＝14x2－4y2； (－4a－1)(_－_1_＋__4_a__)＝1－16a2.
5．运用平方差公式计算： (1)(9s＋11t)(11t－9s)； 解：121t2－81s2
14．2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
1．经历探索平方差公式的过程． 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运 算．
重点 平方差公式的推导和应用． 难点 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
一、设问引入 探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与 结果有什么规律吗？ (1)(x＋1)(x－1)； (2)(m＋2)(m－2)； (3)(2x＋1)(2x－1)． 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间 互相补充，教师不急于概括． 二、举例分析 再举几个这样的运算例子． 让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)， 然后由其中一个小组的代表来汇报．
项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列
多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（x+1）（x-1）=
x2 -1 ；
（2）（m+2）（m-2）= m2-4 ；
（3）（2x+1）（2x-1）= 4x2 -1 ．
你能将发现的规律用式子表示出来吗？ （a+b）（a-b）=a 2 -b2
探究平方差公式
你能对发现的规律进行推导吗？
（a+b）（a-b） =a2 -ab+ab-b2 =a2 -b2
理解平方差公式
前面探究所得的式子（a+b）（a-b）=a2-b2 为乘法 的平方差公式，你能用文字语言表述平方差公式吗？
《整式的乘法》课件
整式乘法的基本运算法则是单 项式与单项式的相乘，即系数 相乘、同类项的字母部分相加 。
整式乘法的结果是一个新的多 项式，其项数等于两个整式项 数的乘积。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
整式乘法的运算规则
单项式乘单项式
总结词
直接相乘，系数相乘，同类项的字母 和指数分别相加。
在整式乘法中，应正确使用乘法 公式，如平方差公式、完全平方
公式等。
掌握公式的形式和特点，理解公 式的推导过程和应用条件，以便
在解题时灵活运用。
注意公式的正误和适用范围，避 免使用错误或超出适用范围的公
式。
避免运算错误
在整式乘法中，应注意避免运算错误 ，如符号错误、计算错误等。
在进行复杂计算时，应仔细核对每一 步骤的计算结果，确保整个过程的正 确性。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
《整式的乘法》ppt 课件
目录
CONTENTS
• 整式乘法的定义与性质 • 整式乘法的运算规则 • 整式乘法的应用 • 整式乘法的注意事项 • 练习与巩固
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
01
整式乘法的定义与性质
详细描述
单项式乘单项式是指两个单项式相乘 ，将它们的系数相乘，并将同类项的 字母和指数分别相加。例如，$2x^3y times 3x^2y = 6x^{3+2}y^{1+1} = 6x^5y^2$。
单项式乘多项式
总结词
逐项相乘，合并同类项。
整式的乘法和乘法公式复习课课件
整式的乘法和乘法公式复 习课课件
• 整式的乘法复习 • 乘法公式复习 • 整式的乘法与乘法公式的应用 • 整式的乘法和乘法公式的注意事项 • 练习与巩固
01
整式的乘法复习
单项式乘单项式
总结词
直接相乘，系数相乘，同底数幂 相乘。
详细描述
单项式与单项式相乘时，只需将 它们的系数相乘，并将相同的字 母的幂相加。例如，$2x^3y$与 $3xy^2$相乘得到$6x^4y^3$。
提高练习题
提高练习题1
计算 (x + y)^2(x - y)^2。
提高练习题2
化简 (a^2 - b^2) / (a^2 + ab + b^2)。
提高练习题3
求 (a^2 + 2ab + b^2) / (a^2 - b^2) 的值。
综合练习题
1 2
综合练习题1
计算 ((x + y)(x - y))^2。
VS
公式范围
整式的乘法公式有一定的适用范围，如完 全平方公式适用于任意实数a、b的情况； 平方差公式适用于任意实数a、b（a≠b） 的情况等。
公式推导和证明方法
推导方法
整式的乘法公式可以通过基本的运算法则进 行推导，如通过同底数幂的乘法法则推导出 幂的乘方公式；通过单项式乘以多项式的法 则推导出分配律等。
02
乘法公式复习
平方差公式
总结词
理解平方差公式的结构特点
总结词
掌握平方差公式的应用
详细描述
平方差公式是整式乘法中的重要公式之一，表示 两个平方数的差等于它们的线性组合的平方。这 个公式在代数和几何中都有广泛的应用，是解决 数学问题的关键工具。
详细描述
• 整式的乘法复习 • 乘法公式复习 • 整式的乘法与乘法公式的应用 • 整式的乘法和乘法公式的注意事项 • 练习与巩固
01
整式的乘法复习
单项式乘单项式
总结词
直接相乘，系数相乘，同底数幂 相乘。
详细描述
单项式与单项式相乘时，只需将 它们的系数相乘，并将相同的字 母的幂相加。例如，$2x^3y$与 $3xy^2$相乘得到$6x^4y^3$。
提高练习题
提高练习题1
计算 (x + y)^2(x - y)^2。
提高练习题2
化简 (a^2 - b^2) / (a^2 + ab + b^2)。
提高练习题3
求 (a^2 + 2ab + b^2) / (a^2 - b^2) 的值。
综合练习题
1 2
综合练习题1
计算 ((x + y)(x - y))^2。
VS
公式范围
整式的乘法公式有一定的适用范围，如完 全平方公式适用于任意实数a、b的情况； 平方差公式适用于任意实数a、b（a≠b） 的情况等。
公式推导和证明方法
推导方法
整式的乘法公式可以通过基本的运算法则进 行推导，如通过同底数幂的乘法法则推导出 幂的乘方公式；通过单项式乘以多项式的法 则推导出分配律等。
02
乘法公式复习
平方差公式
总结词
理解平方差公式的结构特点
总结词
掌握平方差公式的应用
详细描述
平方差公式是整式乘法中的重要公式之一，表示 两个平方数的差等于它们的线性组合的平方。这 个公式在代数和几何中都有广泛的应用，是解决 数学问题的关键工具。
详细描述
中山市七中七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式2.2.3运用乘法公式进行计算课件新版湘教版3
学习目标
（1）会利用合并同类项的方法解一元一次方程，体 会等式变形中的化归思想.
（2）能够从实际问题中列出一元一次方程，进一步 体会方程模型思想的作用及应用价值.
推进新课 知识点1 合并同类项
数学小资料
约公元820年 , 中亚细亚数学家阿尔-花拉子米 写了一本代数书 , 重点论述怎样解方程.这本书的 拉丁文译本取名为【対消与还原]. 〞対消”与〞 还原”是什么意思呢 ？
探究新知
〔1〕(x+1)(x2+1)(x-1); 〔2〕(x+y+1)(x+y-1).
你能用简单的方法计算上面的式子吗？
(x + y + 1)(x + y-1) =[(x + y) + 1][(x + y)-1] = (x + y)2-1 = x2 + 2xy + y2-1
把 x+y 看做一个整体
运用乘法公式计算 : ( a + b + c )2 . 解: ( a + b + c )2
= [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2c(a + b) + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 遇到多项式的乘法时 , 我们要先观察式子的特征 , 看 能否运用乘法公式 , 以到达简化运算的目的.
第一个数为x , 第二个数为 x
9
方程 x xx1701
3
93
七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式2.2.3运用乘法公式进行计算习题课件新版湘教版
2.2.3 运用乘法公式进行计算
一、平方差公式 1.公式表示：(a+b)(a-b)=_a_2_-_b_2 . 2.说明：字母a,b不仅可以代表单个的数或字母，也可代表一个 单项式或一个_多__项__式__. 3.特征：左边两个多项式相乘，在这两个多项式中，一部分项 _完__全__相__同__，另一部分项互为相反数.右边等于_完__全__相__同__的__项__的 平方减去_互__为__相__反__数__的__项__的平方.
4.计算：(1)592=_____.(2)712=_____. 【解析】(1)592=(60-1)2=3 600-120+1=3 481. (2)712=(70+1)2=4 900+140+1=5 041. 答案：(1)3 481 (2)5 041
乘法公式的综合运用 【例2】(6分)计算:(m-2n+3t)(m+2n-3t). 【规范解答】原式=［m-(2n-3t)］［m+(2n-3t)］ ……………………………………………………………………1分 =m2-(2n-3t)2 ……………………………………………………4 分 =m2-(4n212nt+9t2) ……………………………………………5分 =m2-4n2+12nt-9t2. ……………………………………………6
【规律总结】 完全平方公式适用的前提是两项式的平方，故在利用完全平
方公式时，有时需把一项拆成两项的和或差，有时需把某几项 结合在一起，当作一项，只有把题目变形，具备完全平方公式 的特征时，才可使用.
【跟踪训练】 1.(2012·白银中考)如图，边长为(m+3)的正方形纸片，剪出一 个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形(不重 叠无缝隙)，若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是( )
一、平方差公式 1.公式表示：(a+b)(a-b)=_a_2_-_b_2 . 2.说明：字母a,b不仅可以代表单个的数或字母，也可代表一个 单项式或一个_多__项__式__. 3.特征：左边两个多项式相乘，在这两个多项式中，一部分项 _完__全__相__同__，另一部分项互为相反数.右边等于_完__全__相__同__的__项__的 平方减去_互__为__相__反__数__的__项__的平方.
4.计算：(1)592=_____.(2)712=_____. 【解析】(1)592=(60-1)2=3 600-120+1=3 481. (2)712=(70+1)2=4 900+140+1=5 041. 答案：(1)3 481 (2)5 041
乘法公式的综合运用 【例2】(6分)计算:(m-2n+3t)(m+2n-3t). 【规范解答】原式=［m-(2n-3t)］［m+(2n-3t)］ ……………………………………………………………………1分 =m2-(2n-3t)2 ……………………………………………………4 分 =m2-(4n212nt+9t2) ……………………………………………5分 =m2-4n2+12nt-9t2. ……………………………………………6
【规律总结】 完全平方公式适用的前提是两项式的平方，故在利用完全平
方公式时，有时需把一项拆成两项的和或差，有时需把某几项 结合在一起，当作一项，只有把题目变形，具备完全平方公式 的特征时，才可使用.
【跟踪训练】 1.(2012·白银中考)如图，边长为(m+3)的正方形纸片，剪出一 个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形(不重 叠无缝隙)，若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是( )
北师大版《平方差公式》ppt精美课件2
解：原式＝(2 000－1)×(2 000＋1)＝2 0002－1 ＝3 999 999．
(2)992－1;
解：原式＝(99＋1)×(99－1)＝100×98＝4 000 000－1 ＝9 800．
数学·北师大版·七年级下册
(3)1.03×0.97;
解：原式＝(1＋0.03)×(1－0.03)＝1－0.032＝1－0.000 9＝0.999 1．
7．小明利用如图所示的图形验证平方差公式，如图1，在边长为a的大正方形上剪去一个边长为b的小正方形，然后拼成如图2所示的梯形，请你帮助小明完成下列问题：
C．(－m－n)(m－n)
D．(m－n)(－m＋n)
C．(－m－n)(m－n) 知识点2 平方差公式的应用
A．4c2－1 B．1－4c2
D．(m－n)(－m＋n)
B．－a2－12b2
C．－a2－14b2
D．a2－14b2
3．计算：(a＋5b)(a－5b)＝__a_2_－__2_5_b_2___.
(D)
数学·北师大版·七年级下册
【第二关】 4．(2020年遵义红花岗区期中)如图1，边长为m的正方形剪去边长 为n的正方形得到①②两部分，再把①②两部分拼接成图2所示的长方 形，根据阴影部分面积不变，
于还能继续计算的算式要继续计算)”．
解：原式＝(2 000－1)×(2 000＋1)＝2 0002－1 ＝3 999 999．
A．x3＋x3＝2x6
B．x3＋x3＝x3
方法点拨：当a或b表示一个数字与字母乘积的形式时，容易出现的错误是，只对字母平方而忘记对数字平方．
(4)136×138－1372．
数学·北师大版·七年级下册
解：(1)原式＝(2m)2－(3n)2＝4m2－9n2．
(2)992－1;
解：原式＝(99＋1)×(99－1)＝100×98＝4 000 000－1 ＝9 800．
数学·北师大版·七年级下册
(3)1.03×0.97;
解：原式＝(1＋0.03)×(1－0.03)＝1－0.032＝1－0.000 9＝0.999 1．
7．小明利用如图所示的图形验证平方差公式，如图1，在边长为a的大正方形上剪去一个边长为b的小正方形，然后拼成如图2所示的梯形，请你帮助小明完成下列问题：
C．(－m－n)(m－n)
D．(m－n)(－m＋n)
C．(－m－n)(m－n) 知识点2 平方差公式的应用
A．4c2－1 B．1－4c2
D．(m－n)(－m＋n)
B．－a2－12b2
C．－a2－14b2
D．a2－14b2
3．计算：(a＋5b)(a－5b)＝__a_2_－__2_5_b_2___.
(D)
数学·北师大版·七年级下册
【第二关】 4．(2020年遵义红花岗区期中)如图1，边长为m的正方形剪去边长 为n的正方形得到①②两部分，再把①②两部分拼接成图2所示的长方 形，根据阴影部分面积不变，
于还能继续计算的算式要继续计算)”．
解：原式＝(2 000－1)×(2 000＋1)＝2 0002－1 ＝3 999 999．
A．x3＋x3＝2x6
B．x3＋x3＝x3
方法点拨：当a或b表示一个数字与字母乘积的形式时，容易出现的错误是，只对字母平方而忘记对数字平方．
(4)136×138－1372．
数学·北师大版·七年级下册
解：(1)原式＝(2m)2－(3n)2＝4m2－9n2．
平方差公式ppt课件
1. 计算 (+)(−) 的结果是(
A. −
B. −
)
A
C. −
D. −
2. 下列多项式相乘中，不能用平方差公式计算的是( A )
A. ( − )( − )
B. (− + )(− − )
C. ( − )( + )
D. ( + )( − )
3．(1)(2021德阳)已知a＋b＝2，a－b＝3，则a 2－b2 的值
为
6
；
(2)计算：(x＋2)(x－2)(x 2＋4)＝
x 4－16 ．
知识点三：巧用平方差公式计算
技巧：当出现多个因式相乘时，要仔细观察式子的特点，
看是不是符合平方差公式的结构特征或根据题意“凑”出
符合平方差公式结构的形式，然后依次运用公式，一直到
小结：正确列式表示图①和图②中的阴影面积是关键.
例1 判断下列各式是否满足平方差公式的结构特征，若满足，则运用平方差公式计算.
【点拨】先观察题中的式子是否符合“ ( + )( − ) ”的结构特征，若符合，进
而确定式子中的“ ”与“ ”，然后依据公式可得出运算结果.
例3 计算：
【点拨】 （1） (−) 与 (+) 符合平方差公式的形式,其结果再与 ( +) 结合．（2）
观察式子的特点， (+) 可以理解为 × (+) = (−)(+) = − ,这样可借助平方差公
式计算．
（1） (−)( +)(+) ；
【解】原式 = (−)(+)( +)
《平方差公式》教学课件
14.2 乘法公式
（第1课时）
• 内容分析： 本课是在学生学习了多项式乘法与合并同类项知识 的基础上，对特殊形式的乘法运算概括出了乘法公 式——平方差公式，平方差公式也是因式分解中公 式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用．
• 学习目标： 1．理解平方差公式，能运用公式进行计算． 2．在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象 地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中， 感知数形结合思想． • 学习重点： 平方差公式．
【思路点拨】 先观察式子，是否符合平方差的结构特征．
探究三：平方差公式的应用
活动2 针对练习 (b+2a)(2a－b) 【解题过程】 解：（b+2a）（2a-b）=（2a）²-b²=4a²-b² 【思路点拨】
先观察式子，是否符合平方差的结构特征，需要用加法
交换律对式子进行变形，然后运用平方差公式计算．
2 2
2
2
总结经验 从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？ （1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式 的结构特征； （2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个 数或式相当于公式中的b； （3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同， “第二个数”b 的符号相反；
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 平方差．
理解平方差公式
你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
Ａ
a
Ｆ Ｇ
a- b
a M B D C bb
E H
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
（ 1） ； （3 x+ 2） （3 x- 2）
（ 2） ． （-x+ 2 y） （-x- 2 y）
变形，巩固平方差公式的运用.
（第1课时）
• 内容分析： 本课是在学生学习了多项式乘法与合并同类项知识 的基础上，对特殊形式的乘法运算概括出了乘法公 式——平方差公式，平方差公式也是因式分解中公 式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用．
• 学习目标： 1．理解平方差公式，能运用公式进行计算． 2．在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象 地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中， 感知数形结合思想． • 学习重点： 平方差公式．
【思路点拨】 先观察式子，是否符合平方差的结构特征．
探究三：平方差公式的应用
活动2 针对练习 (b+2a)(2a－b) 【解题过程】 解：（b+2a）（2a-b）=（2a）²-b²=4a²-b² 【思路点拨】
先观察式子，是否符合平方差的结构特征，需要用加法
交换律对式子进行变形，然后运用平方差公式计算．
2 2
2
2
总结经验 从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？ （1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式 的结构特征； （2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个 数或式相当于公式中的b； （3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同， “第二个数”b 的符号相反；
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 平方差．
理解平方差公式
你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
Ａ
a
Ｆ Ｇ
a- b
a M B D C bb
E H
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
（ 1） ； （3 x+ 2） （3 x- 2）
（ 2） ． （-x+ 2 y） （-x- 2 y）
变形，巩固平方差公式的运用.
七下数学课件： 乘法公式(第2课时 平方差公式)(课件)
解：=y2-22-(y2+4y-5)
=y2-4-y2-4y+5
=- 4y + 1
【名师点拨】不符合平方差公式运算条件的，则需按照乘法法则进行运算。
运用平方差公式进行计算
利用平方差公式计算：
1）(a+3b)(a-3b)
2）(3+a)(-3+a)
3）(-2x2-3y)(-2x2+3y)
4）20182 － 2015×2021
1)对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：
(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式。
2)公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，
当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把
字母平方，而系数忘了平方的错误。
运用平方差公式进行计算
平方差公式运用
=5050．故答案为D.
平方差公式与几何面积-提高
4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a＋b）的正方形，图
中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝S2，则a，b满足的关系式是（
A．a＝1.5b
B．a＝2b
C．a＝2.5b
D．a＝3b
1
【详解】解：由题意可得：S2＝4×2b（a＋b）＝2b（a＋b）；
1）(x+1)(x-1)
相加和为0
2 − + −1 = 2 -1
=
2）(m+2)(m-2)
2+2 −2 −4 =2 -4
=
相加和为0
3）(2x+1)(2x-1) =
4）(a+b)(a-b) =
七年级下数学课件2
10/3/2012 7
x, a h,
2
b
2
• 问题2，像 ，它们是什么样的式子， 它们和单项式有什么关系？试举例说明。
x y 2 y 1,
2
1
1
ab
1
mn , ab
b
2
3
2
2
16
结论：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项
2
式叫做这个多项式的项；多项式中次数最高的单项式 的次数叫做这个多项式的次数，如多 1 x y 2y 1 3 1 1 项式 中，有三项，分别是 ，其 x y x y ,2 y , 1 3 3 这个多项式中 次数最高，次数为3，因此这个多项式的次数为3，所以这个 是三次三项式
2 2
10/3/2012
8
• 问题3，单项式和多项式统称为整式；结合单项式和 多项式的概念讨论 是整式吗？
x 2 , 2 x
结论：在研究单项式和多项式的概念时，我们注意到 字母与数字之间只出现乘法、加法、减法的运算 1 1 x ， 2 x 表示 2 与x的乘积， 2 而 2x 是数字2与字母x的商，所以不是单项式， 也不是多项式，更不是整式。整式最显著的特点是字母 不能做分母
2
2
2
2
2
5
§1・1整式
• 做一做: • 1,一个三角尺如图1示，阴影部分所占的面积是—— ——
3 5
• 2，某校学生总数为x，其中男生人数占总数的 ， 男生人数为—————— • 3一个长方体的底面是边长为a的正方形，
•
高为h，体积是————
b n
m10/3/2012a图 1610/3/2012
3
• 2教材的地位及作用 • 本章内容是对七年级上册第二章《有理数及其运算》及第 三章《用字母表示数》的后续与延伸，又是后期学习分解 因式、分式、根式、函数、方程、不等式中有关运算的基 础，同时也是学习物理、化学等学科必不可缺少的解题工 具。通过对前面所学知识的归纳，使学生能够深刻地认识 到代数式是数学表示的工具，代数式运算是解决问题、进 行推理的需要，通过对本章的学习，不仅可以发展学生的 运算能力，还可以发展学生的数感，并为学生感受类比的 数学思想、数形结合的思想、整体代换的思想以及“特殊 →一般→特殊”的认识规律提供了极好的素材，使学生体 会到“数式通性”。
x, a h,
2
b
2
• 问题2，像 ，它们是什么样的式子， 它们和单项式有什么关系？试举例说明。
x y 2 y 1,
2
1
1
ab
1
mn , ab
b
2
3
2
2
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结论：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项
2
式叫做这个多项式的项；多项式中次数最高的单项式 的次数叫做这个多项式的次数，如多 1 x y 2y 1 3 1 1 项式 中，有三项，分别是 ，其 x y x y ,2 y , 1 3 3 这个多项式中 次数最高，次数为3，因此这个多项式的次数为3，所以这个 是三次三项式
2 2
10/3/2012
8
• 问题3，单项式和多项式统称为整式；结合单项式和 多项式的概念讨论 是整式吗？
x 2 , 2 x
结论：在研究单项式和多项式的概念时，我们注意到 字母与数字之间只出现乘法、加法、减法的运算 1 1 x ， 2 x 表示 2 与x的乘积， 2 而 2x 是数字2与字母x的商，所以不是单项式， 也不是多项式，更不是整式。整式最显著的特点是字母 不能做分母
2
2
2
2
2
5
§1・1整式
• 做一做: • 1,一个三角尺如图1示，阴影部分所占的面积是—— ——
3 5
• 2，某校学生总数为x，其中男生人数占总数的 ， 男生人数为—————— • 3一个长方体的底面是边长为a的正方形，
•
高为h，体积是————
b n
m10/3/2012a图 1610/3/2012
3
• 2教材的地位及作用 • 本章内容是对七年级上册第二章《有理数及其运算》及第 三章《用字母表示数》的后续与延伸，又是后期学习分解 因式、分式、根式、函数、方程、不等式中有关运算的基 础，同时也是学习物理、化学等学科必不可缺少的解题工 具。通过对前面所学知识的归纳，使学生能够深刻地认识 到代数式是数学表示的工具，代数式运算是解决问题、进 行推理的需要，通过对本章的学习，不仅可以发展学生的 运算能力，还可以发展学生的数感，并为学生感受类比的 数学思想、数形结合的思想、整体代换的思想以及“特殊 →一般→特殊”的认识规律提供了极好的素材，使学生体 会到“数式通性”。
湘教版七年级数学下册第二章《运用乘法公式进行计算》公开课课件
2ab
a2+ ab+
ab+ b2.
a
b
公式: (a+b)2= a2 + 2 ab + b2.
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它们成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式:
(a−b)2= [a+(−b)]2
她是怎么想的?
＝(4a-1)，
所以 (4a-1)(1-4a)＝(4a-1)·[(4a-1)]
＝(4a-1)(4a-1)＝(4a-1)2.
(4) 右边应为:
(4a-1)(4a+1).
一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待 他们.如果来1个孩子，老人就给这个孩子1块糖果，如果来2个孩子，老人就 给每个孩子2块糖果.如果来3个孩子，老人就给每个孩子3块糖果……
•1、使教育过程成为一种艺术的事业。 •2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2021/10/252021/10/252021/10/2510/25/2021 6:47:28 PM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/252021/10/252021/10/2510/25/2021
减去 第一个数 与第二个数
乘积 的2倍,
加上 第二个数 的平方.
计算：
(1) ( x1− 2y)2 . 2
湘教版数学七年级下册2.2.1平方差公式(新课件)
[选自教材P44 练习]
2. 运用平方差公式计算：
（1）(m+2n)(m-2n)；
= m2-4n2
（3）
1 2
x
-
y
1 2
x+
y
；
（2）(3a+b)(3a-b)； = 9a2-b2
（4）(-1+5a)(-1-5a).
= x2-y2
= 1-25a2.
[选自教材P44 练习]
3. 计算： （1）202×198；
如图（a），将边长为 a 的 大正方形剪去一个边长为 b 的小 正方形，并将剩余部分沿虚线剪 开，得到两个长方形，再将这两 个长方形拼成如图（b）. 你能用 这两个图来解释平方差公式吗？
（a）的面积：a2-b2 （b）的面积：(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b) = a2-b2
运用平方差公式计算：
第2章 整式的乘法 2.2.1平方差公式
湘教版·七年级数学下册
复习导入
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
符号表示：(m+b)(n+a) = mn + ma + bn + ba. 两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明.
探究新知
计算下列各式，你能发现什么规律： (a + 1 )( a - 1) = a2 - a + a - 12= a2- 12 ， (a + 2 )( a – 2) = a2 - 2a + 2a - 22= a2- 22 ， (a + 3 )( a - 3) = a2 - 3a + 3a -32= a2- 32 ， (a + 4 )( a - 4 ) = a2 - 4a + 4a -42= a2-42 . (a + b )( a - b ) = a2 - ab + ab -b2= a2-b2 .
2. 运用平方差公式计算：
（1）(m+2n)(m-2n)；
= m2-4n2
（3）
1 2
x
-
y
1 2
x+
y
；
（2）(3a+b)(3a-b)； = 9a2-b2
（4）(-1+5a)(-1-5a).
= x2-y2
= 1-25a2.
[选自教材P44 练习]
3. 计算： （1）202×198；
如图（a），将边长为 a 的 大正方形剪去一个边长为 b 的小 正方形，并将剩余部分沿虚线剪 开，得到两个长方形，再将这两 个长方形拼成如图（b）. 你能用 这两个图来解释平方差公式吗？
（a）的面积：a2-b2 （b）的面积：(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b) = a2-b2
运用平方差公式计算：
第2章 整式的乘法 2.2.1平方差公式
湘教版·七年级数学下册
复习导入
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
符号表示：(m+b)(n+a) = mn + ma + bn + ba. 两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明.
探究新知
计算下列各式，你能发现什么规律： (a + 1 )( a - 1) = a2 - a + a - 12= a2- 12 ， (a + 2 )( a – 2) = a2 - 2a + 2a - 22= a2- 22 ， (a + 3 )( a - 3) = a2 - 3a + 3a -32= a2- 32 ， (a + 4 )( a - 4 ) = a2 - 4a + 4a -42= a2-42 . (a + b )( a - b ) = a2 - ab + ab -b2= a2-b2 .
《整式的乘法复习》课件
学习建议与展望
深入理解概念
建议学生深入理解整式乘法的 概念和性质，掌握其本质，以
便更好地应用所学知识。
提高运算能力
强调学生应通过多做练习题提 高整式乘法的运算能力，掌握 常用的运算技巧。
拓展应用领域
建议学生将整式乘法的应用拓 展到其他学科领域，如物理、 化学等，以增强跨学科应用能 力。
展望未来发展
$(x+y)(x^2+y^2) = (x^2+y^2)(x+y)$，可用于交换多项式相乘的顺序。
整式乘法的综合练
04
习
基础练习题
总结词
掌握基本概念和规则
详细描述
包括单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与 多项式相乘等基础题型，旨在帮助学生掌握整式乘法的基本 概念和规则。
提高练习题
总结词
学习方法总结
主动参与
强调在学习整式乘法过程中，学 生应积极参与课堂讨论，主动思
考问题，提高自主学习能力。
实践应用
建议学生在课后多做练习题，通过 实践应用加深对整式乘法的理解， 提高运算能力和解决问题的能力。
归纳总结
鼓励学生对所学知识进行归纳总结 ，形成知识体系，以便更好地掌握 整式乘法的核心概念和运算规则。
小。
整式乘法的技巧与
03
注意事项
乘法公式的运用
01
02
03
平方差公式
$(a+b)(a-b) = a^2 b^2$，可用于简化整式 乘法。
完全平方公式
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，可用于展开整 式和简化整式乘法。
平方差公式
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，可用于展开整式 和简化整式乘法。
《整式的乘法》课件
同类项相加
如果两个整式含有同类项，则将它们 的同类项的字母和字母的指数分别相 加，例如：$x^2y cdot xy^2 = x^{2+1}y^{1+2} = x^3y^3$。
整式乘法的应用
01
02
03
解决实际问题
整式乘法在实际问题中有 着广泛的应用，例如计算 面积、体积、路程等。
代数运算
整式乘法是代数运算中的 基本运算之一，它可以用 于解决代数方程、不等式 等问题。
掌握好单项式乘多项式和多项式乘多 项式的计算方法，是学好整式乘法的 基础。
合并同类项时，要注意不要遗漏任何 一项，特别是系数和字母因式部分。
多项式乘多项式的实例解析
例如
$(x+1)(x^2+2x+3)$，先分别用$(x+1)$去乘$(x^2+2x+3)$的每一项，得到 $x^3+2x^2+3x$，$x^2+2x+3$，再将同类项合并，得到 $x^3+3x^2+5x+3$。
整式乘法的符号表示
用“·”表示整式相乘，例如：$a^2 cdot b^3 = a^{2+3} cdot b^{3+1} = a^5 cdot b^4$。
整式乘法的规则
系数相乘
合并同类项
整式相乘时，首先将它们的系数相乘 ，例如：$2x cdot 3y = 6xy$。
在整式乘法中，如果两个整式含有相 同的字母和字母的指数，则可以将它 们合并为一个项，例如：$2x^2y + 3x^2y = 5x^2y$。
再如
$(-2x+3y)(-2x-3y)$，利用平方差公式得到$4x^2-9y^2$。
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(1)
请
借
鉴
该
同
学
的
经
验
，
计
算
(1
＋
1 2
)(1
＋
1 22
)(1
＋
214)(1＋218)＋2115＝_2_；
(2)请逆用平方差公式计算：
(1－212)(1－312)(1－412)…(1－1102)．
2019年8月15日
遇上你是我们的缘分，愿您生活愉快， 身体健康，学业有成！
18
解
：
原
式
＝
(1
－
12 )(1 ＋
21
解：(1)(a＋b－2c)(a＋b＋2c)＝(a＋b)2－4c2＝a2＋ 2ab＋b2－4c2.
(2)因为 4x2－9y2＝10，所以(2x＋3y)(2x－3y)＝10. 因为 4x＋6y＝4，所以 2x＋3y＝2，所以 2x－3y＝5.
2019年8月15日
遇上你是我们的缘分，愿您生活愉快， 身体健康，学业有成！
15
18. 利用平方差公式计算： (1)104×96； 解：原式＝(100＋4)(100－4) ＝1002－42 ＝9984；
2019年8月15日
遇上你是我们的缘分，愿您生活愉快， 身体健康，学业有成！
16
21 (2)143×153. 解：原式＝15－1315＋13 ＝152－132 ＝22489.
A．①②
B．①③
C．①③④
2019年8月15日
D．①②③④ 遇上你是我们的缘分，愿您生活愉快，
身体健康，学业有成！
3
3. 下列运用公式计算错误的是( D )
A．－13x＋11＋13x＝1－19x2 B．－a－12ba－12b＝14b2－a2 C．23m＋110n110n－23m＝1010n2－49m2 D．(3m2＋1)(3m2－1)＝9m2－1
14. 已知 a2－b2＝4，那么(a－b)2(a＋b)2 的值是_1_6__. 【 解 析 】 a2 － b2 ＝ (a － b)(a ＋ b) ＝ 4 ， 则 （a－b）（a＋b）2＝(a－b)2(a＋b)2＝16.
2019年8月15日
遇上你是我们的缘分，愿您生活愉快， 身体健康，学业有成！
2
知识点 运用平方差公式进行计算
1. 计算(2a＋b)(2a－b)的结果是( A )
A．4a2－b2
B．b2－4a2
C．2a2－b2
D．b2－2a2
2. 下列各式：①(7ab＋3b)(7ab－3b)；②398×402；
③(－8－a)(a＋8)；④(a＋b)(c－b)，其中能用平方差公式
运算的是( A )
第二章 整式的乘法 2．2 乘法公式
2．2.1 平方差公式
2019年8月15日
遇上你是我们的缘分，愿您生活愉快， 身体健康，学业有成！
1
两数和与这两数差的积，等于它们的_平__方__差_，用公 式表示：(a＋b)(a－b)＝ a2－b2 ．
2019年8月15日
遇上你是我们的缘分，愿您生活愉快， 身体健康，学业有成！
解：原式＝a4－81.
2019年8月15日
遇上你是我们的缘分，愿您生活愉快， 身体健康，学业有成！
14
17. (2018·济宁)化简：(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)．
解：原式＝y2－4－y2－5y＋y＋5 ＝－4y＋1.
2019年8月15日
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D．2
2019年8月15日
遇上你是我们的缘分，愿您生活愉快， 身体健康，学业有成！
5
6. (2018·宁夏)已知 m＋n＝12，m－n＝2，则 m2－ n2＝_2_4__．
7. 已知 a－b＝10，b－c＝15，c＋a＝20，则 a2－c2 的值是__5_0_0__．
2019年8月15日
遇上你是我们的缘分，愿您生活愉快， 身体健康，学业有成！
2019年8月15日
遇上你是我们的缘分，愿您生活愉快， 身体健康，学业有成！
7
解：原式＝a2＋2ab－(a2－b2) ＝a2＋2ab－a2＋b2 ＝2ab＋b2.
2019年8月15日
遇上你是我们的缘分，愿您生活愉快， 身体健康，学业有成！
8
9. 下列计算能运用平方差公式的是( D ) A．(m＋n)(－m－n) B．(2x＋3)(3x－2) C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2) D．23m2－34n2－23m2－34n2
D．(x－1)8
2019年8月15日
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11
13. 根据平方差公式填空： (1)(－3a＋2)(－3a－2)＝(－3a)2－22＝_9_a_2_－__4__； (2)(2x－3)(_2_x_＋__3___)＝4x2－9； (3)(_1_－__5_a___)(5a＋1)＝1－25a2.
6
8. (2018·吉林)某同学化简 a(a＋2b)－(a＋b)(a－b)出 现了错误，解答过程如下：
原式＝a2＋2ab－(a2－b2) (第一步) ＝a2＋2ab－a2－b2(第二步) ＝2ab－b2 (第三步) (1)该同学解答过程从第_二_步开始出错，错误原因是 去__括__号__时__没__有__变__号__； (2)写出此题正确的解答过程．
遇上你是我们的缘分，愿您生活愉快， 身体健康，学业有成！
10
11. 等式(－a－1)( )＝1－a2 中，括号内应填入
(A ) A．a－1
B．1－a
C．a＋1
D．－1－a
12. 计 算 (x4 ＋ 1)(x2 ＋ 1)(x ＋ 1)(x － 1) 的 结 果 是
(B ) A．x8＋1
B．x8－1
C．(x＋1)8
1 2
)(1
－
1 3
)(1
＋
1 3
)(1－1 4)(1＋14)…(1－110)(1＋110)＝12×32×23×43×34×54…×190×1110＝2110.
2019年8月15日
遇上你是我们的缘分，愿您生活愉快， 身体健康，学业有成！
19
20. 探究活动：
(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是_a_2－__b_2_；(写
12
15. 观察下列各式有什么规律：3×5＝42－1，5×7＝
62－1；11×13＝122－1，…，请你将发现的规律用 n 的
表达式表示出来 (2n－1)(2n＋1)＝4n2－1
．
2019年8月15日
遇上你是我们的缘分，愿您生活愉快， 身体健康，学业有成！
13
16. 计算： (1)－3a－21b3a－12b； 解：原式＝－9a2＋14b2； (2)(a－3)(a＋3)(a2＋9)．
22
2019年8月15日
遇上你是我们的缘分，愿您生活愉快， 身体健康，学业有成！
20
知识应用： 运用你所得到的公式解决以下问题： (1)计算：(a＋b－2c)(a＋b＋2c)； (2)若 4x2－9y2＝10，4x＋6y＝4，求 2x－3y 的值．
2019年8月15日
遇上你是我们的缘分，愿您生活愉快， 身体健康，学业有成！
成两数平方差的形式)
(2)如图②，若将阴影部分剪下来，重新拼成一个长
方形，面积是___(_a_＋__b_)_(a_－__b_)_______；(写成多项式乘法
的形式)
(3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到公式
____(_a_＋__b_)(_a_－__b_)_＝__a_2－__b_2_______．
2019年8月15日
遇上你是我们的缘分，愿您生活愉快， 身体健康，学业有成！
17
19. 阅读下列材料：
某同学计算 3×(4＋1)(42＋1)时，把 3 写成(4－1)后，
发现能连续运用平方差公式计算：3×(4＋1)(42＋1)＝(4
－1)(4＋1)(42＋1)＝(42－1)(42＋1)＝162－1.
2019年8月15日
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4
知识点 平方差公式的简单应用
4. 20172－2016×2018 的计算结果为( A )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
5. 对于任意整数 n，能整除式子(n＋2)(n－2)－(n＋
3)(n－3)的是( A )
A．5
B．4
C．3
2019年8月15日
遇上你是我们的缘分，愿您生活愉快， 身体健康，学业有成！
9
10. 在运算：①(x＋1)(x－3)＝x2－3；②(3a2＋1)(3a2
－1)＝9a2－1；③(1－2x)(1＋2x)＝1－4x2 中，错误的个
数为( B )
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
2019年8月15日