浅谈空间距离的几种计算方法

空间距离

常见问题：

（1）点到平面的距离；（2）两条异面直线的距离；（3）与平面平行的直线到平面的距离；（4）两平行平面间的距离。

一、点到平面的距离

求解点到平面的距离常用的方法有以下几种：

1、由已知的或可以证明垂直的关系，则垂线段的长度就是点到平面的距离。

2、过点作已知平面的垂线，可以找到垂足的位置，从而得到点到平面的距离。例如在正三棱锥中，求顶点到底面的距离，可以过正三棱锥的顶点作底面的垂线，垂足为底面正三角形的中心，然后通过计算求得距离。又例如若已知所在的平面与已知平面垂直，可以过点作两平面交线的垂线，此点与垂足间的距离即为点到平面的距离。

3、用等体积法求解点面距离。

例1、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，,22,2,51===AA BC AB E 在AD 上，且AE=1，F 在AB 上，且AF=3，（1）求点1C 到直线EF 的距离；（2）求点C 到平面EF C 1的距离。

解：（1）连接FC,EC, 由已知FC=22，

41=∴FC ,3482511=++=EC ,

1091=+=EF 10

104

1023416102cos 1212121-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FC EF EC FC EF EFC 10

1031011sin 1=-=∠∴EFC 610

10341021sin 21111=⨯⨯=∠⋅=∴∆EFC FC EF S EFC 设1C 到EF 的距离为d ，则510610

1212,621===∴=⋅EF d d EF （2）设C 到平面EF C 1的距离为h

EFC C EF C C V V --=11 131311CC S h S EFC EF C ⋅=

⋅∴∆∆ 又451212221132125=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=∆EFC

S 3

246224111

=⨯=⋅=∴∆∆EF C EF C S CC S h 二、两条异面直线的距离

1、对于特殊的图形，可以作出异面直线的公垂线段并证明，然后算出公垂线段的长度。

2、转化为两个平行平面的距离，再转化为点面的距离进行计算。

例3、三角形ABC 是边长为2的正三角形， ∉P 平面ABC ，P 点在平面ABC 内的射影为

O ，并且PA = PB = PC =3

。求异面直线PO 与BC 间的距离。 分析：过点P 作平面ABC 的垂线段PO ，但是必须了解垂足O 的性质，否则计算无法进行。为此连结OA ，OB ，OC （如图）．

则由PA ＝PB ＝PC 可得OA ＝OB ＝OC ，即O 是正三角形ABC 的中心．于是可以在直角三角

形PAO 中由PA =2 6 3 ,OA = 2 3 3 ，得PO =2 3 3

。有了以上基础，只要延长AO ，交BC 于D ，则可证明OD 即为异面直线PO 与BC 间的距离，为 3 3

。 三、直线到平面的距离

直线到平面的距离是过直线上任意一点向平面作垂线所得垂线段的长度，一般求解都是转化为求点到平面的距离。

例4、已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点。求11C B 到平

面ADE 的距离。

解：AD C B AD BC BC C B ||,||,||1111∴ ADE C B ADE AD 平面平面⊄⊆11, ADE C B 平面||11∴

11C B 到平面ADE 的距离即为点1C 到平面ADE 的距离

设点1C 到平面ADE 的距离为d ，可以用等体积法求出d 的值。

ADE

DEC DEC ADE DEC A ADE C S AD

S d AD S d S V V ∆∆∆∆--⋅=∴⋅=⋅∴=111

131

31

以下解略。

六、两个平行平面的距离

通常是把两个平行平面的距离转化为求解点面距离。