立体几何公理定理推论汇总
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立体几何公理、定理推论汇总
一、公理及其推论
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；
② 用来说明平面是无限延展的。
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）
符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈且
作用：① 用来证明两个平面是相交关系；
②
用来证明多点共线，多线共点。
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线
确定一个平面
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面
，使，
经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使
，
经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，
公理3
及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭
图形语言：
作用：用来证明线线平行。
二、平行关系
平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）
符号语言：
//
// //
a b
a c c b
⎫
⇒
⎬
⎭
图形语言：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）
符号语言：
/
//
/
a b
a
a
bαα
α
⊄⎫
⎪
⊂⇒
⎬
⎪
⎭
图形语言：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3）
符号语言：/
//
/
a
b
a
a b
β
αβ
α⎫
⎪
⊂⇒
⎬
⎪
=⎭
图形语言：
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//
(
/
,
/
//
),
a
b
b b O
a
a
β
β
α
αα
β
⊂⊂=⎫
⎪
⇒
⎬
⎪
⎭
图形语言：
如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5）
符号语言：
,
,
//
oo
oo
α
α
β
β
⎫
⇒
⎬
⎭
⊥
⊥
图形语言：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（6）
符号语言：//
//
a
a b
b
αγ
βγ
αβ⎫
⎪
=⇒
⎬
⎪
=⎭
图形语言：
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。（
7）
符号语言：////a a βααβ⎫⇒⎬⊂⎭
图形语言：
如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。（8）
符号语言：//a a ββαα⎫⇒⎬⎭⊥⊥ 图形语言：
平行于同一个平面的两个平面平行。（9）
符号语言：//////αβαγγβ⎫⇒⎬⎭
图形语言：
三、垂直关系
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（10）
符号语言：PA a PO O a PA A a O ααα⊥⊥⎫⎪=⇒⎬⎪⊂⎭⊥且
图形语言：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.（11）
符号语言：PA a PO O a AO P a O ααα
⊥⊥⎫⎪=⇒⎬⎪⊂⎭
⊥且
图形语言：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（12） 符号语言：
(,),m n m n l m l B n l ααα⎫⎪⇒⎬⎪⊂⊂=⎭⊥⊥
⊥ 图形语言：
如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（13）
符号语言：//b a b a αα⎫⇒⎬⎭⊥⊥
图形语言：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（14）
符号语言：//a b b a αα⎫⇒⎬⎭⊥⊥
图形语言：
如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.（15）
符号语言：a a b b αα⎫⇒⎬⊂⎭⊥⊥
图形语言：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（16）
符号语言：A AB B βααβ⎫⇒⎬⊂⎭⊥⊥
图形语言：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
（17） 符号语言：AB CD AB AB CD αββααβ⊥⎫⎪=⇒⎬⎪⊥
⊂
⎭
⊥且
图形语言：
斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，且有