第3章 正截面受弯承载力计算

¾承载力极限状态基本公式
等效为矩形应力图形后，可在受弯构件的 正截面上建立以下两个方程：
α1 fcbx = f y As
Mu
=
α 1
fcbx(h0
−
x) = 2
f y As (ho
−
x) 2
可得受弯构件正截面极限承载力公式为：
α 1
fcbx
=
f y As
M
≤
Mu
=
α 1
f
c
bx(h0
−
x) = 2
−
⎜⎜⎝⎛1
−
ε ε
c 0
⎟⎟⎠⎞
n
⎤ ⎥ ⎥⎦
o
ε0
ε0 = 0.002 + 0.5( fcu − 50)×10−5
ε0 < 0.002时，取ε0 = 0.002
εc εu
εu = 0.0033 − ( fcu − 50)×10−5
εu > 0.0033时，取εu = 0.0033
¾钢筋本构关系 钢筋应力-应变关系模型
纵向钢筋的极限拉应变取0.01
¾不考虑混凝土的抗拉强度
σs fy
σs=Esεs εy
εs εsu
x1 xcb x2
2）适筋破坏与超筋破坏的界限条件
¾ 根据平截面假定，由截面应变分布图 形，按比例关系，可求出梁产生界限 破坏时的受压区高度为：
ε cu h0
xcb
=
ε cu ε cu + ε y
h0
=
¾经济配筋率
梁：0.6~1.5% 板：0.3~0.8%
造价
总造价
混凝土
钢
ρ
经济配筋率
4、设计计算方法
基本平衡方程
直接计算法
⎪⎧α1 fcbx = f y As
⎨ ⎪⎩M u
= α1 fcbx(h0
−
x) = 2
f y As (h0
−
x) 2
还可用相对受压区高度表示为
间接计算法
α1 fcbξh0 = f y As
配筋较少压 区混凝土为 线性分布
xn/3 C
xn
h0
fyAs
Mu
≈
f y As (h0
−
xn ) ≈ 3
f y As × 0.9h0
具体应用时，应根据 不同情况，进行调整
ρ s min
=
As bh0
= 0.36
ft fy
偏于安全地
ρ s min
=
0.45
ft fy
同时不应小于0.2% ；对于现浇板和基础底板沿每个方向受拉钢筋的最小配筋率不应小于0.15%。
未裂阶段
带裂缝工作阶段
破坏阶段
当受拉边缘的拉应变达到混凝土极限拉应变时（εt=εtu），
为截面即将开裂的临界状态，此时的弯矩值称为开裂弯矩 Mcr（ cracking moment）
未裂阶段
带裂缝工作阶段
破坏阶段
在开裂瞬间，开裂截面受拉区混凝土退出工作，其 开裂前承担的拉力将转移给钢筋承担，导致钢筋应 力有一突然增加（应力重分布），这使中和轴比开 裂前有较大上移。
梁板的破坏形态及相应的承载力计算
（1）正截面破坏－由M作用下，发生垂直裂缝。正截面承载力 计算，由M→As，b ，h。
（2）斜截面破坏－由V作用下，发生斜裂缝。斜截面承载力计
算，由V → Asv，Asb。
在M，V共同作用下，为防止发生正截面及斜截面破坏，应分 别进行正截面承载力、斜截面承载力计算。本章主要讲述受 弯构件正截面承载力计算。
M u = α1 fcbh02ξ (1− 0.5ξ ) = f y Asho (1− 0.5ξ ) = f y Asγ sh0
1、截面设计类
已知：弯矩设计值M，b，h，fc , fy。
求：截面配筋As.
注：此类问题中可假设钢筋为单排布置，并令M=Mu，再根据公式 求解。
基本平衡方程
α1 fcbx = fy As
平衡破坏（界限破坏，界 限配筋率）
结论三
•在适筋和少筋破坏之间也存在一种“界限”破坏。其破坏特征是 屈服弯矩和开裂弯矩相等，是区分适筋破坏和少筋破坏的定量指标
最小配筋率
2、正截面受弯承载力的计算假定和破坏界限条件
1）四个基本假定
¾ 平均应变的平截面假定(开裂前符合，开裂后其平均符合)
截面应变保持为平面。截面上任一点的应变与该点到中和轴 的距离成正比。
变形与裂缝宽度验算的依据
第三阶段：承载力极限状态计算的依据
适筋破坏
3、超筋梁
百度文库
当受力钢筋配置很多时----超筋梁的破坏过程
σct
σct
σct
(εct=εcu) σct
MI
Mcr
MII
Mu
σtb<ft
σsAs
σsAs σtb=ft(εtb=εtu)
εs<εy
σsAs
σsAs
εs <εy
超筋破坏的第一阶段与适筋梁相似。不同之处在于，超筋梁中 受力钢筋过多，截面的中和轴偏下，导致破坏时钢筋不屈服， 混凝土先压碎，属于脆性破坏，具有突然性。
3、正截面受弯承载力计算
xc
xc
在极限弯矩的计算 中，仅需知道 C 的大 小和作用位置yc即可。 可取等效矩形应力图 形来代换受压区混凝 土应力图，以方便计 算。
等效原则： 等效矩形应力图形与实际抛物线应力图形
的面积相等，即合力大小相等； 等效矩形应力图形与实际抛物线应力图形
的形心位置相同，即合力作用点不变,可依 混凝土对下部受力筋位置的弯矩相等判断。
超筋破坏
4、少筋梁
当受力钢筋配置过少时会发生少筋破坏
σcb
σcb
Mcr=
MI
My
σtb<ft
σsAs
σsAs σtb=ft(εt b=εtu)
少筋梁破坏是由下部受力钢筋配置过少引起的。受力过程中， 当下部混凝土出现裂缝时，钢筋所承受的力突然增大，由于钢 筋配置不足会立即屈服并破坏，导致整个构件失效，其破坏也 具有突然性。
第三章 受弯构件正截面承载力计算
工程实例
梁板结构
挡土墙板 梁式桥
结构中常用的梁、板是典型的受弯构件
在荷载作用下，其截面上承受内力Ｍ、V
受弯构件的配筋形式
P
P
剪力引起的 斜裂缝
架立
箍筋
弯矩引起的 垂直裂缝
弯筋
梁上部无受压钢筋时，需配置2根架立筋，以便与箍筋和梁底部纵筋形 成钢筋骨架，直径一般不小于10mm。
f y As (ho
−
x) 2
保证适筋破坏的条件
¾界限相对受压区高度 xcb
定义相对受压区高度为：
ξ= x
h0
将界限破坏时的相对受压区高度定义为 界限相对受压区高度，其表达式为：
εcu
xb0
ξb
=
xb h0
h0
εy
ξb
= xb h0
= β1 xcb
h0
= β1ε cu ε cu + ε y
=
1
β1 ε
εcu =0.0033 ，假定受压区
高度为xc， 距中和轴y处
εc=εcu× y/xc
受拉钢筋εs： εs=εcu× (h0-xc)/xc
εcu
xc
xc
εy
单筋截面应力应变分布
h0 εs
受压区混凝土的合力C与对下部受力筋处的力矩分别为：
∫ ⎧⎪C
⎨
∫ ⎪⎩M
=b =b
xc σ dx =
0
xc σ xdx
¾ 混凝土的受压应力-应变关系
σc
=
⎡ fc ⎢1 − (1 −
⎣
εc ε0
)
n
⎤ ⎥
⎦
σc = fc
⎫
εc ≤ε0
⎪ ⎬
ε0
<
εc
≤
ε cu
⎪ ⎭
n
=
2
−
1 60
(
f cu
−
50),当n
≥
2时，取n
=
2
σc fc
当应力较小时，如σ c
<
0.3
f
时，可取
c
σ c = Ecεc
σc
=
f
c
⎡ ⎢1 ⎢⎣
少筋破坏
5、正截面受弯破坏形式比较
配当筋截合较面适少尺的时寸钢，，筋钢材混筋料凝屈 强土服 度梁先 一钢于 定筋混 时屈凝 ，服土 破和压 坏混碎 模凝。 式土有 与压可 配碎能 筋几在 率ρ乎梁有同一关时开。，裂根在时据屈就试服进验阶入，强 超段化受筋这段弯梁种最构的承终件破载被正坏力拉截取基断面决本 ，的于保破梁混持坏的凝不模破土变式坏的，可与压变分素坏形为混，可三凝M以种土u持：与梁续适钢类很筋筋似长梁强，，、度属表超无于明筋关受在梁，拉完、且脆全少钢性破筋筋破坏梁受坏以。拉特 不前征能。具达少有到筋很屈梁好服的，这变强种形度受能未拉力得脆，到性破充坏破分前坏发可比挥吸超，收筋破较梁坏大受又的压没应脆有变性明能破显，坏的有更预明为兆显突，的然因预，此兆很不 ，，安在这全工种，程破而中坏且应称也避为很免“不延采经性用济破。，坏因”此在建筑结构中不容许采用。
该阶段钢筋的拉应变和受压区混凝土的压应变都发展很 快，截面受压区边缘纤维应变增大到混凝土极限压应变 时，构件即开始破坏，对应极限承载力MU 。其后，再进 行试验时虽然仍可以继续变形，但所承受的弯矩将开始降 低，最后受压区混凝土被压碎而导致构件完全破坏。
未裂阶段
带裂缝工作阶段
破坏阶段
第一阶段：抗裂计算的依据 第二阶段：构件在正常使用极限状态中
Mu
=
fy As (h0
−
x) 2
Mu
=
α1 fcbx(h0
−
x) 2
(3-20) (3-21) (3-22)
α1fc x/2 x
C
Mu
h0
fyAs
1、直接法
混凝土强度等级
α1 , h0
（3-20） （3-21）
ξ= x
As , x
h0
环境类别和混凝土强度等级
ξ >ξb ξ ≤ξb
a、加大截面 b、提高混凝土强度 c、改用双排筋
一、受弯构件正截面受力的全过程及破坏特征
1、实验装置
试验梁
荷载分配梁
P
外加荷载 应变计
位移计
L/3
L/3
L
数据采集系统
h0
h
As b
ρ = As
bh 0
2、适筋梁 适筋梁的三个工作阶段
未裂阶段
带裂缝工作阶段
破坏阶段
从开始加荷到受拉区混凝土开裂，梁的整个截面均参加受力。 虽然受拉区混凝土在开裂以前有一定的塑性变形，但整个截面 的受力基本接近线弹性。截面抗弯刚度较大，挠度和截面曲率 很小，钢筋的应力也很小，且都与弯矩近似成正比。
ρ
=
As bh0
≤
ρ max
= ξb
αfc
fy
M ≤ M u,max = α s,max ⋅αfcbh02
或 α s ≤ α s,max
¾防止少筋破坏条件
适筋梁的最小配筋率
钢筋混凝土梁的Mu=素混凝土梁的受弯承载力Mcr
Mu
M cr = 0.292 ftbh2 = 0.292 ftb(1.05h0 )2 = 0.322 ftbh02
M ≤ M u,max = α s,maxαf cbh02
ξ 本质为： ≤ ξb
达到界限破坏时的受弯承载力为：
M u,max = α1 fcbh02ξb (1− 0.5ξb )
截面抵抗矩系数：
αs,max =ξb(1−0.5ξb)
相对界限受压区高度ξ b 和α s,max
混凝土强度等级
HRB335 钢筋
未裂阶段
带裂缝工作阶段
破坏阶段
荷载继续增加，钢筋拉应力、挠度变形不断增大， 裂缝宽度也不断开展，但中和轴位置没有显著变化。 由于受压区混凝土压应力不断增大，其弹塑性特性 表现得越来越显著，受压区应力图形逐渐呈曲线分 布；当荷载达到某一数值时，纵向受拉钢筋将开始 屈服。
未裂阶段
带裂缝工作阶段
破坏阶段
As = ρminbh
< ρ min
As
ρ = As
bh0
ρmin ≤ρ ≤ ρb OK！
> ρb
加大截面尺寸重新进行
1
+
1
ε
y
h0 = 1+
h0 fy
ε cu
0.0033E s
εs < εy εs = εy
εs > εy
破坏时截面 应变分布
¾ 可根据梁破坏时的受压区高度来判断梁的破坏类型。当xc<xcb时，适筋 破坏；当xc>xcb时，超筋破坏。
适筋破坏与少筋破坏的界限条件
为防止因受力钢筋过少而产生的少筋破坏，受弯构件的配筋率应 大于最小配筋率 。 最小配筋率除作为少筋破坏和适筋破坏界限配筋率外，还须考虑 温度应力、收缩应力的影响以及工程实践经验。
0
0.798 fcbxc = 0.469 fcbxc2
等效为矩形应力后受压混凝土的
合力C与对下部受力筋处的力矩
M分别为：
xc
C = α1 fcbx M = α1 fcbx(h0 − 0.5x) x = β xc
建立等效平衡方程可得：
β = 0.823, α1 = 0.969
为简化计算，规范中取：
β = 0.8, α1 = 1.0 x = 0 .8 xc
结论一
•适筋梁具有较好的变形能力，超筋梁和少筋梁的破坏具有突然性， 设计时应予避免
M
II 少筋 I O
超筋 平衡
III
适筋
最小配筋率 φ
P
II 少筋 I O
超筋 平衡
III
适筋
最小配筋率 δ
结论二
•在适筋和超筋破坏之间存在一种平衡破坏。其破坏特征是钢筋屈服 的同时，混凝土压碎，是区分适筋破坏和超筋破坏的定量指标.
+
y
ε cu
将
β1 = 0.8,
εy
=
fy Es
,
ε cu = 0.0033 代入上式中得到：
ξb
=
xb h0
=
0.8xcb h0
=
1
0.8
ε
+
y
= 1+
0.8 fy
ε cu
0.0033Es
上式指出：界限相对受压区高度仅与材料性能有关，而与截面尺寸无关！
¾防止超筋破坏条件
ρ ≤ ρ max
ξ ≤ ξb
HRB400 钢筋
ξb αs,max
ξb αs,max
≤C50 0.550 0.399 0.518 0.384
C60 0.531 0.390 0.499 0.375
C70 0.512 0.381 0.481 0.365
C80 0.493 0.372 0.462 0.356
总结如下：
x ≤ ξbh0 或 ξ ≤ ξb