2.3.4 平面与平面垂直的性质教案
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张喜林制
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2. 3.4 平面与平面垂直的性质
【教学目标】
(1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理的正确认识;
(2)能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题,进一步培养学生空间观念.
(3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系,掌握等价转化思想在解决问题中的运用.
【教学重难点】
重点:理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。
难点:运用性质定理解决实际问题。
【教学过程】
(一) 复习提问
1.线面垂直判定定理:
如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直,则这条直线垂直于这个平面.
2.面面垂直判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
(二)引入新课
已知黑板面与地面垂直,你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质?试说明理由!
(三)探求新知
已知:面α⊥面β,α∩β= a, AB α, AB⊥a于 B,
求证:AB⊥β
(让学生思考怎样证明)
分析:要证明直线垂直于平面,须证明直线垂直于平面内两条相交直线,而题中条件已有一条,故可过该直线作辅助线.
证明:在平面β内过B作BE⊥a,
又∵AB⊥a,
∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角,
又∵α⊥β,
∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE
又∵AB ⊥a, BE ∩a = B, ∴AB ⊥β
面面垂直的性质定理:
两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. (用符号语言表述) 若α⊥β,α∩β=a, AB ⊂α, AB ⊥a 于 B ,则 AB ⊥β
师:从面面垂直的性质定理可知,要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明,而前面
我们知道,面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。同学们在学习中要认真理解和体会。
(四)拓展应用
例1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.
例2.如图,已知平面α 、β,α⊥β,α∩β =AB, 直线a ⊥β, a ⊄α, 试判断直线a 与平面α的位置关系(求证:a ∥α )(引导学生思考)
分析:因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系) 解:在α内作垂直于α 、β交线AB 的直线b , ∵ α⊥β ∴b ⊥β ∵ a ⊥β ∴ a ∥b , 又∵a ⊄α ∴ a ∥α 课堂练习:
73P 练习 第1、2题
73P A 组 第1题
(四)当堂检测
1.如图,长方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中,判断下面结论的正误。
(1)平面ADD ′A ′⊥平面ABCD (2) DD ′⊥ 面ABCD (3)AD ′⊥ 面ABCD
.
:.,,,:αβαβα⊂⊥∈∈⊥a a a P P 求证已知α
β
c
P
a
β
c
2.空间四边形ABCD 中,ΔABD 与ΔB CD 都为正三角形,面ABD ⊥面BCD ,试在平面BCD 内找一点,使
AE ⊥面BCD,亲说明理由
参考答案
2解:在ΔABD 中,∵AB=AD,取BD 的中点E ,
连结AE ,则AE 为BD 的中线 ∴AE ⊥BD
又∵面BCD ∩面ABD=BD, 面ABD ⊥面BCD ∴AE ⊥面BCD
(五)课堂小结
1. 面面垂直判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直. 2. 面面垂直的性质定理:
两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. ② 利用性质定理解决问题
【板书设计】
一、平面与平面垂直的性质定理 二、三种形式表达 三、性质定理的应用
【作业布置】课后练习与提高
2.3.4 平面与平面垂直的性质
课前预习导学案
一、预习目标
(1) 明确平面与平面垂直的判定定理。 (2)
直线与平面垂直的性质定理
二、 预习内容
1、平面与平面垂直的判定定理
2、直线与平面垂直的性质定理
3、思考题:
(1)黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?
(2)在长方体''''D C B A ABCD 中,平面'
'
ADD A 与平面ABCD 垂直,直线A A '
垂直于其交线AD 。
平面''ADD A 内的直线A A '
与平面ABCD 垂直吗?
三.提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中
课内探究学案
一、学习目标
(1)探究平面与平面垂直的性质定理 (2)应用平面与平面垂直的性质定理解决问题
学习重点:理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。 学习难点:运用性质定理解决实际问题。 二、学习过程 探究一
已知:面α⊥面β,α∩β= a, AB ⊂α, AB ⊥a 于 B , 求证:AB ⊥β
(让学生思考怎样证明,小组间可以相互讨论)
由证明结果的平面与平面垂直的性质定理(三种形式的表达) 探究二、性质的应用
例1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.
证明(略)
变式73
P 练习 第1题
.
:.,,,:αβαβα⊂⊥∈∈⊥a a a P P 求证已知α
β
c
P
a
β
c