二次函数y=a(x-h)2的图像性质练习题
22.1.3《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》练习题(含答案)
22.1.3 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质第1课时 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质01 基础题知识点1 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象1．(教材P 33练习变式)函数y ＝13x 2＋1与y ＝13x 2的图象的不同之处是(C )A ．对称轴B ．开口方向C ．顶点D ．形状 2．(自贡期中)二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是(B )3．(上海中考)如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是(C )A ．y ＝(x －1)2＋2B ．y ＝(x ＋1)2＋2C ．y ＝x 2＋1D ．y ＝x 2＋34．抛物线y ＝2x 2－1在y 轴右侧的部分是上升(填“上升”或“下降”)． 5．填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值．6.在同一平面直角坐标系中画出二次函数y ＝－2x 2，y ＝－2x 2＋3的图象． (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线y ＝－2x 2＋3与抛物线y ＝－2x 2有什么关系？ 解：如图所示：(1)抛物线y ＝－2x 2开口方向向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，0)． 抛物线y ＝－2x 2＋3开口方向向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，3)． (2)抛物线y ＝－2x 2＋3可由抛物线y ＝－2x 2向上平移3个单位长度得到．知识点2 二次函数y ＝ax 2＋k 的性质7．(河池中考)已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)均在抛物线y ＝x 2－1上，下列说法中正确的是(D )A ．若y 1＝y 2，则x 1＝x 2B ．若x 1＝－x 2，则y 1＝－y 2C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 28．下列关于抛物线y ＝－x 2＋2的说法正确的是(D )A ．抛物线开口向上B ．顶点坐标为(－1，2)C ．在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大D ．在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大9．二次函数y ＝3x 2－3的图象开口向上，顶点坐标为(0，－3)，对称轴为y 轴，当x >0时，y 随x 的增大而增大；当x <0时，y 随x 的增大而减小．因为a ＝3>0，所以y 有最小值，当x ＝0时，y 的最小值是－3．10．能否通过适当地上下平移二次函数y ＝13x 2的图象，使得到的新的函数图象经过点(3，－3)，若能，说出平移的方向和距离；若不能，说明理由． 解：设平移后的函数解析式为y ＝13x 2＋k ，把(3，－3)代入，得－3＝13×32＋k ，解得k ＝－6.∴把y ＝13x 2的图象向下平移6个单位长度，得到的新的函数图象经过点(3，－3)．02 中档题11．(山西农业大学附中月考)在同一坐标系中，一次函数y ＝ax ＋1与二次函数y ＝x 2＋a 的图象可能是(C )12．已知y ＝ax 2＋k 的图象上有三点A (－3，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)，且y 2<y 3<y 1，则a 的取值范围是(A )A ．a >0B ．a <0C ．a ≥0D ．a ≤013．(山西农业大学附中月考)已知二次函数y ＝ax 2＋c ，当x 取x 1，x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等．当x 取x 1＋x 2时，函数值为(D )A ．a ＋cB ．a －cC ．－cD ．c14．(泸州中考)已知抛物线y ＝14x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F (0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝14x 2＋1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是(C )A ．3B ．4C ．5D ．615．已知y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4－3是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则m ＝－3．16．将抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移3个单位长度，得到抛物线y ＝－2x 2－1，则a ＝－2，c ＝2．17．若抛物线y ＝ax 2＋k (a ≠0)与y ＝－2x 2＋4关于x 轴对称，则a ＝2，k ＝－4．18．把y ＝－12x 2的图象向上平移2个单位长度．(1)求新图象的函数解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出平移后的函数图象；(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x 的值．解：(1)新图象的函数解析式为y ＝－12x 2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y 轴．(2)略．(3)当x ＝0时，y 有最大值，为2.03 综合题19．(大连中考改编)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2＋14与y 轴相交于点A ，点B 在y 轴上，且在点A 的上方，AB ＝O A. (1)填空：点B 的坐标是(0，12)；(2)过点B 的直线y ＝kx ＋b (其中k ＜0)与x 轴相交于点C ，过点C 作直线l 平行于y 轴，P 是直线l 上一点，且PB ＝PC ，求线段PB 的长(用含k 的式子表示)，并判断点P 是否在抛物线上，说明理由．解：∵B 点坐标为(0，12)，∴设直线的解析式为y ＝kx ＋12.令y ＝0，得kx ＋12＝0，解得x ＝－12k .∴OC ＝－12k.∵PB ＝PC ，∴点P 只能在x 轴上方．过B 作BD ⊥l 于点D ，设PB ＝PC ＝m ，则BD ＝OC ＝－12k ，CD ＝OB ＝12，∴PD ＝PC －CD ＝m －12.在Rt △PBD 中，由勾股定理，得PB 2＝PD 2＋BD 2，即m 2＝(m －12)2＋(－12k )2，解得m ＝14＋14k 2.∴PB ＝14＋14k2.∴P 点坐标为(－12k ，14＋14k2)．当x ＝－12k 时，代入抛物线的解析式可得y ＝14＋14k 2，∴点P 在抛物线上．第2课时 二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质01 基础题知识点1 二次函数y ＝a (x －h )2的图象1．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝12(x －2)2的图象可能是(D )2．抛物线y ＝－4(x ＋3)2与x 轴的交点坐标是(－3，0)，与y 轴的交点坐标是(0，－36)． 3．将抛物线y ＝ax 2向左平移2个单位长度后，经过点(－4，－4)，则a ＝－1．4．(教材P 35练习变式)在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2，y ＝(x ＋2)2，y ＝(x －2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标．解：图象如图：抛物线y ＝x 2的对称轴是直线x ＝0，顶点坐标为(0，0)．抛物线y ＝(x ＋2)2的对称轴是直线x ＝－2，顶点坐标为(－2，0)． 抛物线y ＝(x －2)2的对称轴是直线x ＝2，顶点坐标为(2，0)．知识点2 二次函数y ＝a (x －h )2的性质5．下列对二次函数y ＝2(x ＋4)2的增减性描述正确的是(D )A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大C ．当x ＞－4时，y 随x 的增大而减小D ．当x ＜－4时，y 随x 的增大而减小6．描点法画函数图象是研究陌生函数的基本方法．对于函数y ＝(x －2)2，下列说法：①图象经过点(1，1)；②当x ＝2时，y 有最小值0；③y 随x 的增大而增大；④该函数图象关于直线x ＝2对称．其中正确的是(B )A．①②B．①②④C．①②③④D．②③④7．如果二次函数y＝a(x＋3)2有最大值，那么a<0，当x＝－3时，函数的最大值是0. 8．完成表格：9.(衡阳中考)已知函数y＝－(x－1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1＞y2(填“＜”“＞”或“＝”)．10．已知抛物线y＝a(x－h)2，当x＝2时，有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小．解：当x＝2时，有最大值，∴h＝2.又∵此抛物线过点(1，－3)，∴－3＝a(1－2)2.解得a＝－3.∴此抛物线的解析式为y＝－3(x－2)2.当x＞2时，y随x的增大而减小．易错点1 混淆二次函数图象的平移方向与h 的加减关系11．(上海中考)如果将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是(C )A ．y ＝x 2－1B ．y ＝x 2＋1C ．y ＝(x －1)2D ．y ＝(x ＋1)2 易错点2 二次函数增减性相关的易错12．已知二次函数y ＝2(x －h )2的图象上，当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，则h 的值满足h ≤3． 02 中档题13．(玉林中考)对于函数y ＝－2(x －m )2的图象，下列说法不正确的是(D )A ．开口向下B ．对称轴是x ＝mC ．最大值为0D ．与y 轴不相交14．在同一平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x －a )2与直线y ＝a ＋ax 的图象可能是(D )15．已知A (－4，y 1)，B (－3，y 2)，C (3，y 3)三点都在二次函数y ＝－2(x ＋2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为y 3<y 1<y 2．16．已知二次函数y ＝2(x －1)2的图象如图所示，则△ABO 的面积是1．17．已知某抛物线与抛物线y ＝－12x 2＋3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(－5，0)．根据以上特点，试写出该抛物线的解析式．解：∵所求抛物线与y ＝－12x 2＋3形状相同，开口方向相反，∴所求抛物线解析式的二次项系数是12.又∵顶点坐标是(－5，0)，∴所求抛物线的解析式为y ＝12(x ＋5)2.18．二次函数y ＝a (x －h )2的图象如图，已知a ＝12，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式．解：由题意，得C (h ，0)， y ＝12(x －h )2. ∵OA ＝OC ，∴A (0，h )．将点A (0，h )代入抛物线的解析式，得12h 2＝h .∴h 1＝2，h 2＝0(不合题意，舍去)． ∴该抛物线的解析式为y ＝12(x －2)2.03 综合题19．已知点P (m ，a )是抛物线y ＝a (x －1)2上的点，且点P 在第一象限内． (1)求m 的值；(2)过P 点作PQ ∥x 轴交抛物线y ＝a (x －1)2于点Q .若a 的值为3，试求P 点，Q 点及原点O 围成的三角形的面积．解：(1)∵点P (m ，a )是抛物线y ＝a (x －1)2上的点， ∴a ＝a (m －1)2，解得m ＝2或m ＝0. 又∵点P 在第一象限内，∴m ＝2. (2)∵a 的值为3，∴抛物线的解析式为y ＝3(x －1)2. ∵m ＝2，a ＝3，∴点P 的坐标为(2，3)． ∵PQ ∥x 轴交抛物线y ＝a (x －1)2于点Q ，∴Q 点纵坐标也为3.令y ＝3，即3＝3(x －1)2，解得x ＝2或x ＝0. ∴点Q 的坐标为(0，3)．∴PQ ＝2. ∴S △OPQ ＝12·PQ ·y P ＝12×2×3＝3.第3课时 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质01 基础题知识点1 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象1．(大同市期中)抛物线y ＝(x －1)2＋2的顶点坐标是(D )A ．(－1，2)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(1，2)2．(呼伦贝尔中考)二次函数y ＝(x ＋2)2－1的图象大致为(D )3．将抛物线y ＝12x 2＋1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数解析式为(D )A ．y ＝12(x －2)2＋4B ．y ＝12(x －2)2－2C ．y ＝12(x ＋2)2＋4D ．y ＝12(x ＋2)2－24．如图是二次函数y ＝a (x ＋1)2＋2图象的一部分，该图象在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是(1，0)．5．(教材P 37练习变式)说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：6.画出函数y ＝(x －1)2－1的图象． 解：列表：描点并连线：知识点2 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质7．(台州中考)设二次函数y ＝(x －3)2－4图象的对称轴为直线l .若点M 在直线l 上，则点M 的坐标可能是(B )A ．(1，0)B ．(3，0)C ．(－3，0)D ．(0，－4)8．(吕梁市文水县期中)对于抛物线y ＝－12(x ＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x ＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x ＞1时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为(C )A ．1B ．2C ．3D ．49．二次函数y ＝(x ＋4)2＋m 2，当x ＞m ＋1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜m ＋1时，y 随x 的增大而减小，则m 的值是－5．10．(河南中考)已知点A (4，y 1)，B (2，y 2)，C (－2，y 3)都在二次函数y ＝(x －2)2－1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是y 2＜y 1＜y 3． 易错点1 对抛物线的顶点理解不清11．抛物线y ＝(2x ＋1)2＋1的顶点坐标是(－12，1)．易错点2 将图象平移与坐标轴平移混淆12．在平面直角坐标系中，若抛物线y ＝3x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为y ＝3(x ＋1)2－1． 02 中档题13．与抛物线y ＝4(x －1)2－7的形状相同的抛物线是(B )A ．y ＝(4x －1)2－7B ．y ＝(2x －3)2C ．y ＝14x 2＋7D ．y ＝14(x －1)2＋914．若二次函数y ＝(x －m )2－1，当x ≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是(C )A ．m ＝1B ．m ＞1C ．m ≥1D ．m ≤115．如图，把抛物线y ＝x 2沿直线y ＝x 平移2个单位长度后，其顶点在直线上的A 处，则平移后抛物线的解析式是(C )A ．y ＝(x ＋1)2－1B ．y ＝(x ＋1)2＋1C ．y ＝(x －1)2＋1D ．y ＝(x －1)2－116．如果二次函数y ＝(x －h )2＋k 的图象经过点(－2，0)和(4，0)，那么h 的值为1． 17．将抛物线y ＝a (x －h )2＋k 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y ＝－2(x ＋3)2＋1的图象． (1)确定a 、h 、k 的值；(2)指出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大(小)值．解：(1)∵将抛物线y ＝a (x －h )2＋k 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到平移后的二次函数解析式为y＝－2(x－h＋2)2＋k＋3，∴a＝－2，－h＋2＝3，k＋3＝1.∴a＝－2，h＝－1，k＝－2.(2)∵二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k＝－2(x＋1)2－2，∴图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝－1，顶点坐标为(－1，－2)．(3)∵图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝－1，∴当x＜－1时，y随x的增大而增大；当x>－1时，y随x的增大而减小．且当x＝－1时，y有最大值，y的最大值是－2.18．(教材P36例4变式)如图是某公园一喷水池，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25.(1)求喷出的水流离地面的最大高度；(2)求喷嘴离地面的高度；(3)若把喷水池改成圆形，则水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？解：(1)∵水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25，∴喷出的水流离地面的最大高度为2.25 m.(2)当x＝0时，y＝－(0－1)2＋2.25＝1.25.∴喷嘴离地面的高度为1.25 m.(3)令y＝0，即0＝－(x－1)2＋2.25，解得x1＝－0.5，x2＝2.5.∴水池半径至少为2.5 m时，才能使喷出的水流不落在水池外．03综合题19．如图是二次函数y＝(x＋m)2＋k的图象，其顶点坐标为M(1，－4)．(1)求出图象与x轴的交点A，B的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使S△P AB＝54S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y＝(x＋m)2＋k的顶点坐标为M(1，－4)，∴y＝(x－1)2－4.令y＝0，即(x－1)2－4＝0.解得x1＝3，x2＝－1.∴A(－1，0)，B(3，0)．(2)∵△P AB与△MAB同底，且S△P AB＝54S△MAB，∴|y P|＝54|y M|＝54×4＝5，即y P＝±5.又∵点P在二次函数y＝(x－1)2－4的图象上，∴y P≥－4.∴y P＝5.∴(x－1)2－4＝5，解得x1＝4，x2＝－2.∴存在这样的点P，其坐标为(4，5)或(－2，5)．。
必刷题《22.1.3_课时2_二次函数y=a(x-h)^2的图象和性质》刷基础练习
《22.1.3 课时2 二次函数y=a(x-h)²的图像和性质》刷基础题型1 二次函数y=a(x-h)²的图像1.[2019天津蓟州区期中]抛物线y=-3（x+1）2不经过的象限是（）A.第一、二象限B.第二、四象限C.第三、四象限D.第二、三象限2.在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x-h）2（a≠0）的图象可能是（）A.B.C.D.3.在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性.（1）y=-x2；（2）y=-（x+2）2；（3）y=-（x-1）2.题型2 二次函数y=a(x-h)²的性质4.关于x的二次函数y=2（x-3）2与y=-2（x-3）2的性质中，下列说法错误的是（）A.开口方向相同B.对称轴相同C.顶点坐标相同D.当x<3时，y=2（x-3）2随x的增大而减小；y=2（x-3）2随x的增大而增大5.二次函数y=3（x-5）2的图象上有两点P（2，y1），Q（6，y2），则y1和y2的大小关系是__________.6.[2019河南洛阳模拟]已知二次函数y=2（x-h）2的图象上，当x>3时，y随x 的增大而增大，则h的取值范围是__________.7.[中]已知抛物线y=a（x-h）2，当x=2时，有最大值，且抛物线过点（1，-3）.（1）求抛物线的解析式；（2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；（3）求抛物线与y轴的交点坐标.题型3 二次函数y=a(x-h)²的图像的平移8.[2020安徽合肥瑶海区期中]抛物线y=x2+1经过平移得到抛物线y=（x+1）2，平移的方法是（）A.向左平移1个单位，再向下平移1个单位B.向右平移1个单位，再向下平移1个单位C.向左平移1个单位，再向上平移1个单位D.向右平移1个单位，再向上平移1个单位 9.[2019安徽安庆期中]把抛物线212y x =向左平移3个单位长度，就得到抛物线____________，抛物线21(3)2y x =-是由抛物线212y x =向_______平移______个单位长度得到的，抛物线21(1)2y x =-可以由抛物线21(4)2y x =-向__________平移__________个单位长度得到.参考答案 1.答案：A解析：抛物线23(1)y x =-+的开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，0），∴抛物线经过第三、四象限，不经过第一、二象限.故选A. 2.答案：D解析：由题意，得二次函数2()y a x h =-（a ≠0）的图象是由2y ax =的图象通过左右平移得到的，抛物线的顶点坐标为（h ，0）.故选D. 3.答案：见解析 解析：列表如下：画图如下：2y x =-，开口向下，对称轴是y 轴，顶点坐标为（0，0）.当x<0时，y 随x 增大而增大，当x>0时，y 随x 的增大而减小2(2)y x =-+，开口向下，对称轴是直线x=-2，顶点坐标为（-2，0），当x<-2时，y 随x 的增大而增大，当x>-2时，y 随x 的增大而减小. 2(1)y x =--，开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，0），当x<1时，y 随x 的增大而增大，当x>1时，y 随x 的增大而减小. 4.答案：A解析：22(3)y x =-的开口向上，对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3，0），当x<3时，y 随x 的增大而减小；22(3)y x =--的开口向下，对称轴是直线x=3，顶点坐标为（3，0），当x<3时，y 随x 的增大而增大. 5.答案：y 1>y 2解析：把P （2，y 1），Q （6，y 2）分别代入y=3（x -5）2得y 1=3×（2-5）2=27，y 2=3×（6-5）2=3，所以y 1>y 2. 6.答案：h ≤3解析：二次函数y=2（x -h ）2的对称轴为直线x=h ，∵当x>3时，y 随x 的增大而增大，h ≤3. 7.答案：见解析解析：（1）∵抛物线2()y a x h =-，当x=2时，有最大值， ∴抛物线的解析式为2(2)y a x =-.∵抛物线过点（1，-3），∴-3=a （1-2）2，∴a =-3. ∴此抛物线的解析式y=-3（x -2）2.（2）∵抛物线的对称轴为直线x=2，且抛物线开口向下， ∴当x<2时，y 随x 的增大而增大. ∴x 的取值范围为x<2.（3）当x=0时，y=-3×（0-2）2=-12，∴抛物线y=-3（x -2）2与y 轴的交点坐标为（0，-12）. 8.答案：A解析：∵：y=x 2+1的顶点坐标为（0，1），平移后得到抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（-1，0），∴平移的方法为向左平移1个单位，再向下平移1个单位.故选A.9.答案：21(3)2y x =+ 右 3 左 3解析：由平移规律“左加右减”可得把抛物线212y x =向左平移3个单位长度，就得到抛物线21(3)2y x =+，抛物线21(3)2y x =-是由抛物线212y x =向右平移3个单位长度得到的，抛物线21(1)2y x =-可以由抛物线21(4)2y x =-向左平移3个单位长度得到.。
26.1.4二次函数y=a(x-h)2的图像和性质
a<0,向下 X=0
(0,0)
y=ax² + k
a>0,向上 X=0
(0,k)
a<0,向下 X=0
(0,k)
y=a(xh)2
a>0,向上 X=h
(h,0)
a<0,向下 X=h
(h,0)
总结
(1) 抛物线 y a( x h) 的图象可由 y ax 的图象左右平
2
2
移得到, h 0,向右平移, h 0,向左平移,平移
3．将抛物线y＝－(x－1)x2向右平移2 个单位后，得到的抛物线解析式为 ____________． 4．写出一个顶点是（5，0），形状 、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同 的 二 次 函 数 解 析 式 ___________________________
小结
(1) 抛物线 y a( x h) 的图象可由 y ax 的图象左右平
2
2
移得到, h 0,向右平移, h 0,向左平移,平移
h 个单位.
(2)抛物线 y a( x h) 的性质：
2
① a 0 时,开口向上； 0 时，开口向下； a ②对称轴是：直线 ③顶点坐标是 ：
x h；
(h,0)
(3)对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状大小完全 相同，只是开口方向和位置不同
函数y＝a（x-h）2的图像和性质
黄梅县八角亭中学九年级数学组
复习:
在的图象,
2
比较它们与二次函数 y x 的图象之 间有怎样的关系?
2
抛物线
开口方向 a>o a<o 向下
对称轴 顶点坐标 X=0 X=0 （0，0）
人教版九年级上册数学二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质同步练习
人教版九年级上册数学22.1.3二次函数y=a （x-h ）2+k 的图象和性质同步练习一、单选题1．抛物线2(2)1y x =+-的顶点坐标是（ ）A ．（﹣2，1）B ．（﹣2，﹣1）C ．（2，1）D ．（2，﹣1） 2．已知抛物线()2235y x =--，其对称轴是（ ）A ．直线3x =-B ．直线3x =C ．直线5x =-D ．直线5x = 3．对于二次函数()2541y x =-+-的图象，下列说法正确的是（ ）A ．图象与y 轴交点的坐标是()0,1-B ．对称轴是直线4x =C ．顶点坐标为()4,1-D ．当4x <-时，y 随x 的增大而增大 4．把抛物线()2321y x =-+的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）A ．()2313y x =-+B ．()2311y x =--C ．()2333y x =-+D ．()2331y x =-- 5．已知二次函数y =-2（x +b ）2，当3x <-时，y 随x 的增大而增大，当3x >-时，y 随x 的增大而减小，则当1x =时，y 的值为（ ）A ．-12B ．12C ．32D ．-32 6．设()10,A y ，()21,B y ，()32,C y 是抛物线()21y x k =-++上的三点，则123,,y y y 的大小关系为（ ）A ．321y y y >>B ．132y y y >>C ．123y y y >>D ．312y y y >> 7．如图，二次函数y ＝a （x +2）2+k 的图象与x 轴交于A （﹣6，0），B 两点，下列说法错误的是（ ）A ．a ＜0B ．图象的对称轴为直线x ＝﹣2C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大D ．点B 的坐标为（2，0）8．已知二次函数()241y x k =--+的图象上有三点)1Ay ，()22,B y -，()35,C y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．312y y y >>D ．321y y y >> 二、填空题9．二次函数25(2)3y x =+-的顶点坐标为______． 10．已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在二次函数y ＝15（x ﹣3）2﹣2的图象上，若x 1＜x 2＜3，则y 1_____y 2（填“＞”、“＜”或“＝”）．11．抛物线21(2)32y x =--的开口______，对称轴是______，顶点坐标是______． 12．二次函数 y ＝2（x ﹣3）2+1图象的顶点坐标是______．13．二次函数y ＝（x ＋1）2﹣3最小值为_____．14．()1,A a -，()1,B b ，()4,C c 三点都在二次函数()22y x k =-+的图像上，则a ，b ，c 的大小关系为_________．（用“＜”连接）15．抛物线23252y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的顶点坐标为_____________． 16．已知点()15,A y -，()22,B y 在抛物线()212y x =-++上，则1y 和2y 的大小关系是______．（用“>”连接）.三、解答题17．指出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和变化情况（1）242y x x =--（2）21253y x x =---18．已知二次函数经过点(0,3)，且当1x =时，函数y 有最大值4．（1）求二次函数的解析式；（2）直接写出一个与该函数图象开口方向相反，形状相同，且经过点(0,3)的二次函数解析式．19．已知函数()()27322m y m x m -=-++-是二次函数．（1）求m 的值； （2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．20．如图，已知二次函数的图象顶点是(2,3)P -，且过C 点(0,5)．（1）求此二次函数的解析式；（2）已知直线1y x =+与该二次函数图像相交于点,A B ，求,A B 两点的坐标．（3）写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．参考答案：1．B2．B3．D4．A5．D6．C7．C8．A9．(-2，-3)10．＞11． 向上 直线2x = ()2,3-12．（3，1）13．-314．b c a <<15．3,52⎛⎫ ⎪⎝⎭16．21y y >17．（1）开口向上；对称轴直线x=2，顶点坐标（2，-6）；对称轴左侧部分下降，右侧部分上升；（2）开口向下；对称轴直线x= -3，顶点坐标（-3，-2）；对称轴左侧部分上升，右侧部分下降18．（1）2(1)4y x =--+；（2）2(1)2y x =-+19．（1）-3；（2）()2625y x =-+-，开口方向向下，对称轴是直线2x =-，顶点坐标是（-2，-5） 20．（1）()2223y x =--；（2）A （12，32），B （4，5）；（3）12＜x ＜4。
y=a(x-h)2性质及图像
JT 阶梯教育让你的梦想一切皆有可能！知识点四：()2y a x h =-的性质：1、总结：2、结论：左加右减典型题：1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有最 值 .2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.（1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位.3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）.4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式.5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积.6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6.（1）求出此函数关系式.（2）说明函数值y 随x 值的变化情况.7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值.a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴性质 0a > 向上 ()0h ，X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． 姓名： 成绩：2()y a x h =- 练习 姓名： 1.抛物线y ＝4 (x －2)2与y 轴的交点坐标是________，与x 轴的交点坐标为___．2.把抛物线y ＝3x 2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______ ；向上平移4个单位得到的抛物线的表达式为3.将抛物线y ＝－13(x －1)2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式 4.二次函数y=x 2-mx+1的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是 .5.抛物线y ＝2 (x ＋3)2的开口__ ____；顶点坐标为___；对称轴是_________；当x ＞－3时，y 随x 的增大而 ；当x ＝－3时，y 有最_____值是_________．6．抛物线y ＝m (x ＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y ＝－4 (x－4)2，则m ＝_______，n ＝______．7、二次函数2)2(31+=x y ，若y 恒大于0，则自变量x 的取值范围是（ ） 8、把抛物线22y x =向左平移使顶点坐标是（-1，0），则所得抛物线的函数表达式为 。
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
(2)画出(1)中平移后的图象；
23
(3)设两条抛物线相交于点B，点A关 于新抛物线对称轴的对称点为C， 试在新抛物线的对称轴上找出一 点P，使BP＋CP的值最小，并求 出点P的坐标．
24
如图，连接BC.由(1)可知平移后抛
物线对应的函数解析式为:
y＝ 1 (x－3)2，
3
易知点B的坐标为(
相同点是( A )
A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点相同 D．都有最低点
返回
14
14．(中考•丽水)将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，
所得的图象不经过点A(1，4)的方法是( D )
A．向左平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向下平移1个单位长度
返回
15
题型 1 二次函数y＝a（x－h）2的图
象和性质在求解析式中应用
15．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为直线x＝－2，且 过点(1，－3)．
(1)求此抛物线对应的函数解析式．
由题意知h＝－2，故y＝a(x＋2)2.因为此抛物线过点(1，－3)，
所以－3＝a•32.解得a＝－ 1 .
3
1
3 2
，
3 4
)，
点C的坐标为(6，3)，
25
所以此抛物线对应的函数解析式为y＝－ 3 (x＋2)2.
16
(2)画出此抛物线． (3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？
当x取何值时，函数有最大值(或最小值)?
(2)图略．
(3)当x＜－2时，y随x的增大而增大；
当x＝－2时，函数有最大值．
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17
题型
3
二次函数y＝a（x－h）2的图象 和性质在求图形面积中应用
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质》练习题
第3课时 二次函数k h x a y +-=2)(的图象与性质一、选择题：1、抛物线21)1(22+--=x y 的顶点坐标为（ ） A 、（-1，21） B 、（1，21） C 、（-1，—21） D 、（1，—21） 2、对于2)3(22+-=x y 的图象，下列叙述正确的是（ ）A 、顶点坐标为（-3,2）B 、对称轴是直线3-=yC 、当3≥x 时，y 随x 的增大而增大D 、当3≥x 时，y 随x 的增大而减小3、将抛物线2x y =向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ）A 、3)1(2++=x yB 、3)1(2+-=x yC 、3)1(2-+=x yD 、3)1(2--=x y4、抛物线2)1(22-+-=x y 可由抛物线22x y -=平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）A 、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B 、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位C 、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位D 、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位5、如图，把抛物线y=x 2沿直线y=x 平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是（ ）A 、y=（x+1）2-1B ．y=（x+1）2+1C ．y=（x-1）2+1D ．y=（x-1）2-16、设A （-1，1y ）、B （1，2y ）、C （3，3y ）是抛物线k x y +--=2)21(21上的三个点，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A 、1y <2y <3yB 、2y <1y <3yC 、3y <1y <2yD 、2y <3y <1y7、若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）A ．m =lB ．m >lC ．m ≥lD ．m ≤l8、二次函数n m x a y ++=2)(的图象如图所示，则一次函数n mx y +=的图象经过（ ）A 、第一、二、三象限B 、第一、二、四象限C 、第二、三、四象限D 、第一、三、四象限二、填空题：1、抛物线1)3(22-+-=x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，y 取最 值为 。
32.二次函数y=a(x-h)2的图象和性质(一)
问题1：二次函数y=ax2+k的图象与二次函数y=ax2的图象有何关系？ 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到（或向下平移|k|个单位长度得到）. 思考：二次函数y =a﹙x-h﹚² 的图象和性质. 二次函数y =a﹙x-h﹚² 的图象与二次函数y=ax2的图象有何关系？
直线x=-1
直线x=0 直线x=1
想一想
1 2 1 2 1 2 y x 1 y x 1 y x 有什么关系？ 抛物线 ， 与抛物线 2 2 2
y
-4
-2 -2 -4 -6O2Fra bibliotek4 x
1 2 y x 1 2
向左平移
1个单位
1 2 y x 2
向右平移
1个单位
1 2 y x 1 2
知识梳理
二次函数y=a（x-h）2 的图象和性质
二次函数y=a（x-h）2 的图象是抛物线 a＞0时，开口 a＜0时，开口 对称轴是 顶点坐标是 向上 , 最 ____ 低 点是顶点; 向下 , 最 ____ 高 点是顶点; ， .
直线x = h ( h,0 )
-4.5 y O
0 1 2 1 2
1
2
3
· · · · · · · · ·
-2 0
-4.5
1 2
-8 -2
-4
-2 -2 -4 -6
4 x
y -4 -2 -2 -4 -6 抛物线 开口方向 向下 向下 向下
O
2
4 x
对称轴
顶点坐标 ( -1 , 0 ) (0,0) ( 1, 0 )
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 华东师大版九年级数学下册课时练习(含答案)
26.2.2 第2课时 二次函数y =a (x -h )2的图象与性质【基础练习】知识点 1 二次函数y =a (x -h )2的图象与y =ax 2的图象的关系1.将抛物线y=x 2向 平移 个单位得到抛物线y=(x+5)2;将抛物线y=x 2向 平移 个单位得到抛物线y=(x -5)2.2.要得到函数y=x 2的图象,只要把函数y=(x -3)2的图象 ( )A .向左平移3个单位B .向右平移3个单位C .向上平移3个单位D .向下平移3个单位3.顶点是(-2,0),开口方向、形状与抛物线y=12x 2相同的抛物线是 ( )A .y=12(x -2)2B .y=12(x+2)2C .y=-12(x -2)2D .y=-12(x+2)2知识点 2 二次函数y =a (x -h )2的图象与性质4.二次函数y=13(x -3)2的图象开口 ,对称轴是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大;当x 时,y 随x 的增大而减小.当x= 时,y 有最 值,是 .5.下列抛物线中,对称轴是直线x=3的是 ( ) A .y=-3x 2-3B .y=3x 2-3C .y=-12(x+3)2 D .y=3(x -3)26.抛物线y=x 2-4x+4的顶点坐标为 ( ) A .(-4,4)B .(-2,0)C .(2,0)D .(-4,0) 7.比较抛物线y=x 2,y=2x 2-1,y=12(x -1)2的共同点,其中说法正确的是 ( )A .顶点都是原点B .对称轴都是y 轴C .开口方向都向上D .开口大小相同8.二次函数y=-(x -2)2的图象不经过第 象限.9.已知函数y=-(x -1)2的图象上的两点A (2,y 1),B (a ,y 2),其中a>2,则y 1与y 2的大小关系是 y 1 y 2.(填“<”“>”或“=”)10. 在平面直角坐标系中画出函数y=-12(x -3)2的图象. (1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2)说明该函数图象与二次函数y=-12x 2的图象的关系; (3)根据图象说明,何时y 随x 的增大而减小.【提升训练】11.同一坐标系中,抛物线y=(x-a)2与直线y=a+ax的位置可能是()图1312.将抛物线y=a(x+2)2平移后与抛物线y=a(x-1)2重合,抛物线y=a(x+2)2上的点A(2,3)同时平移到点A'的位置,那么点A'的坐标为()A.(5,3)B.(-1,3)C.(2,0)D.(3,4)13.已知二次函数y=-(x-h)2,当x<-3时,y随x的增大而增大;当x>-3时,y随x的增大而减小,则当x=0时,y的值为()A.-1B.-9C.1D.914.已知抛物线y=a(x-h)2的形状及开口方向与抛物线y=-2x2相同,且顶点坐标为(-2,0),则a+h=.15.二次函数y=a(x-h)2的图象如图14所示,若A(-2,y1),B(-4,y2)是该图象上的两点,则y1y2.(填“>”“<”或“=”)图14x2+3的顶点A和抛物线y=3(x-2)2的顶点B,求该直线的16.已知直线y=kx+b经过抛物线y=-12函数关系式.17.已知二次函数y=(x-3)2.(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值.(2)若点A(x1,y1),B(x2,y2)位于对称轴右侧的抛物线上,且x1<x2,试比较y1与y2的大小关系.(3)抛物线y=(x+7)2可以由抛物线y=(x-3)2平移得到吗?如果可以,请写出平移的方法;如果不可以,请说明理由.第2课时 二次函数y =a (x -h )2的图象与性质1.左 5 右 52.A3.B4.向上 直线x=3 >3 <3 3 小 05.D6.C [解析] 因为y=x 2-4x+4=(x -2)2, 所以抛物线的顶点坐标为(2,0). 故选C .7.C [解析] 抛物线y=x 2的顶点为原点,对称轴是y 轴,开口向上;抛物线y=2x 2-1的顶点坐标为(0,-1),对称轴是y 轴,开口向上;抛物线y=12(x -1)2的顶点坐标为(1,0),对称轴是直线x=1,开口向上.综合判断开口方向都向上,故选C . 8.一、二9.> [解析] 因为二次项系数为-1,小于0,所以在对称轴直线x=1的左侧,y 随x 的增大而增大;在对称轴直线x=1的右侧,y 随x 的增大而减小.因为a>2>1,所以y 1>y 2.故答案为>. 10.解:图略.(1)该函数图象的开口向下,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0).(2)二次函数y=-12(x -3)2的图象是由二次函数y=-12x 2的图象向右平移3个单位得到的.(3)当x>3时,y 随x 的增大而减小. 11.D 12.A13.B [解析] 由题意知二次函数y=-(x -h )2的图象的对称轴为直线x=-3,故h=-3.把h=-3代入二次函数y=-(x -h )2可得y=-(x+3)2,当x=0时,y=-9.故选B . 14.-415.= [解析] 由图象可知抛物线的对称轴为直线x=-3,所以点A 和点B 关于对称轴对称,所以y 1=y 2.16.解:抛物线y=-12x 2+3的顶点A 的坐标为(0,3),抛物线y=3(x -2)2的顶点B 的坐标为(2,0). 因为直线y=kx+b 经过点A ,B , 所以{b =3,2k +b =0,解得{k =-32,b =3, 所以该直线的函数关系式为y=-32x+3.17.解:(1)因为a=1>0,所以该二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0);当x=3时,y 最小值=0,没有最大值.(2)因为当x>3时,y 随x 的增大而增大, 又因为3<x 1<x 2,所以y 1<y 2.(3)可以.将抛物线y=(x -3)2向左平移10个单位可以得到抛物线y=(x+7)2.。
二次函数的图像与性质 解答题(基础+重点,三大模块)(原卷版)—24-25学年九年级数学上学期期中
二次函数的图像与性质 解答题（基础+重点，三大模块）目录：模块一、二次函数y=ax 2、y=ax 2+k 图像与性质模块二、二次函数y=a （x-h ）2、y=a （x-h ）2+k 图像与性质模块三、二次函数y=ax 2+bx+c 图像与性质模块一、二次函数y=ax 2、y=ax 2+k 图像与性质1．在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数24y x =，214y x =，24y x =-与214y x =-的图象并回答下列问题：x…1-01…24y x =……214y x =……24y x =-……214y x =-……（1）抛物线24y x =的开口方向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．抛物线24y x =-的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______；（2）抛物线24y x =与抛物线24y x =-的图象关于______轴对称；（3）抛物线214y x =，当x ______0时，抛物线上的点都在x 轴上方；当x ______0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最_______点．抛物线214y x =-，当x _______0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最_______点．2．已知抛物线2y ax =经过点()2,8A --．(1)说出这个二次函数图象的开口方向和图象的位置；(2)判断点()1,4B --是否在此抛物线上．3．根据下列条件求a 的取值范围：（1）函数y ＝(a -2)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；（2）函数y ＝(3a -2)x 2有最大值；（3）抛物线y ＝(a +2)x 2与抛物线212y x =-的形状相同；（4）函数2a a y ax +=的图象是开口向上的抛物线．4．如图，已知一次函数y kx b =+的图象与二次函数2y ax =的图象交于点()1,A m 和()2,4B -．(1)求两个函数的解析式；(2)求AOB V 的面积．5．已知二次函数y ＝ax 2与y ＝﹣2x 2+c ．（1）随着系数a 和c 的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；（2）若这两个函数图象的形状相同，则a ＝ ；若抛物线y ＝ax 2沿y 轴向下平移2个单位就能与y ＝﹣2x 2+c的图象完全重合，则c ＝ ；（3）二次函数y ＝﹣2x 2+c 中x 、y 的几组对应值如表：x﹣215y m n p表中m 、n 、p 的大小关系为 （用“＜”连接）．6．如图，直线12y x b =-+与抛物线2y ax =交于A ，B 两点，与y 轴于点C ，其中点A 的坐标为()4,8-．(1)求a ，b 的值；(2)若CD AB ^于点C ，CD CA =．试说明点D 在抛物线上．模块二、二次函数y=a （x-h ）2、y=a （x-h ）2+k 图像与性质7．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=―4(x+3)2+5()2=+-y x312y=(x―5)2―7y=―2(x―2)2+68．已知抛物线()2=-++．y x2211(1)确定抛物线开口方向及对称轴；(2)当x为何值时，二次函数取得最大值或最小值，并求出这个最大值或最小值？9．在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性．x…4-3-2-1-01234…2=-……y x2=-+……y x(2)2=--……(1)y x(1)2=-；y x(2)2=-+；y x(2)(3)2=--．(1)y x10．已知抛物线y=a（x-h）2+k的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出抛物线的解析式；（2）写出y随x的增大而增大的自变量x的取值范围；（3）当自变量x取何值时，函数y有最大值？最大值为多少？11．如图，已知经过原点的抛物线y=2x2+mx与x轴交于另一点A(2，0)．（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；（2）求直线AM的解析式．12．二次函数y＝x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移4个单位．（1）请直接写出经过两次平移后的函数解析式；（2）请求出经过两次平移后的图象与x 轴的交点坐标，并指出当x 满足什么条件时，函数值小于0？（3）若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x 1＜x 2＜0，请比较y 1、y 2的大小关系．（直接写结果）13．在平面直角坐标系中，设二次函数()21212y x m m =--+-（m 是实数）．(1)当2m =时，若点()6,A n 在该函数图象上，求n 的值．(2)若二次函数图象的顶点在某条______（A ．直线 B ．抛物线）上，且表达式为______；(3)已知点()1,P a c +，()47,Q m a c -+都在该二次函数图象上，求证：78c £-．模块三、二次函数y=ax 2+bx+c 图像与性质14．求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．（1）2245y x x =-+（2）223y x x =-+-（3）232y x x=+（4）22y x x=--（5）2288y x x =-+-15．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数225y x mx m =-+的图象经过点()1,2-．（1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数图象的对称轴．16．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经A ，B ，C 三点．(1)观察图象，写出A，B，C三点的坐标，并求出此二次函数的解析式；(2)求出此抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)x为何值时，y随x的增大而增大？x为何值时，y随x的增大而减小？17．二次函数2=++x与变量y的部分对应值如下表：y ax bx cx…3-2-1-015…y…705-8-9-7…(1)求此二次函数的解析式；(2)写出抛物线顶点坐标和对称轴．18．已知抛物线C：243y x x=-+．(1)直接写出该抛物线关于x轴对称的抛物线C1的解析式．(2)将抛物线C 平移至2C ，使其经过点()25，，且顶点在y 轴上，求2C 的解析式．19．已知抛物线22231y x mx m m =-+-++（m 为常数）．(1)当抛物线的顶点在第二象限时，求m 的取值范围．(2)当21x -££时，y 先随x 的增大而增大，后随x 的增大而减小，且当1x =时y 有最小值，求整数m 的值．20．已知二次函数2y x bx c =-++的图象过点()3,0A ，()1,0C -．(1)求此二次函数的解析式；(2)如图，二次函数的图象与y 轴交于点B ，二次函数图象的对称轴与直线AB 交于点P ，求P 点的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A ，B 两点，B 点的坐标为()3,0，与y 轴交于点C (0,―3)，点D 为抛物线的顶点(1)求这个二次函数的解析式；(2)求ABD △的面积22．如图，在平面直角坐标系中，直线13y kx =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．抛物线221342y x x =-+经过点A 且交线段AB 于点C ．(1)求k 的值．(2)求点C 的坐标．(3)直接写出当x 在何范围时，12y y >．23．在平面直角坐标系xOy 中，直线128y x =+与抛物线22y x =的相交于点A 和点B （点A 的横坐标小于点B 的横坐标）(1)求交点A 和点B 的坐标；(2)求当13x -££时，2y 的最大值；(3)直接写出228x x +>的解集．24．已知抛物线21y ax bx =+-（a ，b 为常数，0a ¹）经过()2,3，()1,0两个点．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为______；(3)将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线______．25．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -和()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为抛物线上一动点，直线AD 交y 轴于点E ，直线BD 交y 轴于点F ，求CE CF 的值．26．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2112y x bx =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且线段OA OB =．（注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2b x a =-）(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M ，使AM CM -的值最大，求点M 的坐标．27．已知y 关于x 的函数关系式中，自变量x 的取值范围为2a x a -££．(1)当函数为9y x =--时，y 的最大值为5，则a 的值为______，y 的最小值为______；(2)当函数为243y x x =-+时．①若y 的最大值为15，则a 的值为______；②若y 的最小值为15，则a 的值为；③若y 的最小值为1-，则a 的取值范围为______．28．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点．(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点C 和点D 的坐标；(3)若点P 在第一象限内的抛物线上，且4ABP COE S S =△△，求P 点坐标．。
最新版九年级数学下册 第二章 二次函数 2.2 二次函数的图像与性质 2.2.3 二次函数y=a(x-h)2,y=a(x-h)2
课时作业(十一)[第二章 2 第3课时二次函数y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象与性质]一、选择题1．2018·临安区抛物线y＝3(x－1)2＋1的顶点坐标是( )A．(1，1) B．(－1，1)C．(－1，－1) D．(1，－1)2．如图K－11－1，在平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是( )图K－11－1A．h>0，k>0B．h<0，k>0C．h<0，k<0D．h>0，k<03．2018·虹口区一模如果将抛物线y＝－x2－2向右平移3个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是链接听课例3归纳总结( )A．y＝－x2－5 B．y＝－x2＋1C．y＝－(x－3)2－2 D．y＝－(x＋3)2－24．2018·徐汇区一模对于二次函数y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的个数为( ) 链接听课例2归纳总结①其图象开口向下；②其图象的对称轴是直线x＝－2；③其图象不经过第一象限；④当x ＞2时，y随x的增大而减小．A．4 B．3 C．2 D．15．2018·枣庄如图K－11－2是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，且过点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x＝1，则下列结论正确的是( )图K－11－2A．b2＜4ac B．ac＞0C．2a－b＝0 D．a－b＋c＝06．下列抛物线中，以直线x＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－37．2017·宜宾如图K －11－3，抛物线y 1＝12(x ＋1)2＋1与y 2＝a(x －4)2－3交于点A(1，3)，过点A 作x 轴的平行线，与两条抛物线分别交于B ，C 两点，且D ，E 分别为顶点．则下列结论：①a ＝23；②AC ＝AE ；③△ABD 是等腰直角三角形；④当x ＞1时，y 1＞y 2.其中正确结论的个数是( )图K －11－3A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题8．已知二次函数y ＝(x －2)2＋3，当x________时，y 随x 的增大而减小．9．如果二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的对称轴为直线x ＝－1，那么h ＝________；如果它的顶点坐标为(－1，－3)，那么k ＝________．10．2018·江西模拟把抛物线y ＝3x 2先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得抛物线的表达式是________.链接听课例3归纳总结11．如图K －11－4是二次函数y ＝a(x ＋1)2＋2的图象的一部分，该图象在y 轴右侧与x 轴的交点坐标是________．图K －11－412．二次函数y ＝a(x ＋m)2＋n 的图象的顶点在第四象限，则一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过第________象限．13．如图K －11－5，将函数y ＝12(x －2)2＋1的图象沿y 轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B ′.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是________．图K －11－5三、解答题14．二次函数y ＝a(x －3)2＋4的图象是由二次函数y ＝－12x 2的图象经过平移得到的．(1)请指出a 的值，并说明平移的方法；(2)说出二次函数y ＝a(x －3)2＋4的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．链接听课例3归纳总结15．已知抛物线y ＝a(x ＋2)2过点(1，－3)． (1)求抛物线的函数表达式；(2)指出抛物线的对称轴、顶点坐标； (3)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？16．如图K －11－6，已知二次函数y ＝a(x －h)2＋3的图象经过原点O(0，0)，A(2，0)． (1)写出该函数图象的对称轴；(2)若将线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是不是该函数图象的顶点．图K －11－617．2017·金华甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图K －11－7，甲在O 点正上方1 m 的点P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m )与水平距离x(m )之间满足函数表达式y ＝a(x －4)2＋h.已知点O 与球网的水平距离为5 m ，球网的高度为1.55 m .(1)当a ＝－124时，①求h 的值；②通过计算判断此球能否过网．(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7 m ，离地面的高度为125 m 的点Q处，在此处乙扣球成功，求a 的值．图K －11－7分类讨论已知二次函数y ＝－(x －1)2＋5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，求m ＋n 的值．详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] A ∵y ＝3(x －1)2＋1是顶点式，∴抛物线的顶点坐标是(1，1)．故选A. 2．[解析] A 根据题意可得抛物线的顶点坐标为(h ，k )，而从图象中可看出顶点在第一象限，根据第一象限内点的坐标特征，可得h >0，k >0.故选A.3．[解析] C y ＝－x 2－2的顶点坐标为(0，－2)，∵向右平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3，－2)，∴所得到的新抛物线的表达式是y ＝－(x －3)2－2.故选C.4．[解析] A ∵y ＝－(x ＋2)2＋3，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝－2，顶点坐标为(－2，3)，故①②都正确；在y ＝－(x ＋2)2＋3中，令y ＝0可求得x ＝－2＋3＜0，或x ＝－2－3＜0，∴抛物线不经过第一象限，故③正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x ＝－2，∴当x ＞－2时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，故④正确．综上可知正确的结论有4个，故选A.5．[解析] D ∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac ，∴A 选项错误； ∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0， ∴ac ＜0，∴B 选项错误；∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，∴－b2a＝1，∴2a ＋b ＝0，∴C 选项错误；∵抛物线过点A (3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－1，0)， ∴a －b ＋c ＝0，∴D 选项正确．故选D. 6．[答案] C7．[解析] B 把点A 的坐标代入y 2，求出a 的值，即可得到函数的表达式；令y ＝3，求出B ，C 两点的横坐标，然后求出BD ，AD 的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案．∵抛物线y 1＝12(x ＋1)2＋1与y 2＝a (x －4)2－3交于点A (1，3)，∴3＝a (1－4)2－3，解得a ＝23，故①正确；∵E 是抛物线y 2的顶点，∴E (4，－3)． 当y 2＝3时，即23(x －4)2－3＝3，解得x 1＝1，x 2＝7.故C (7，3)．则AC ＝6，AE ＝（3＋3）2＋（1－4）2＝3 5， ∴AC ≠AE .故②错误；当y 1＝3时，即3＝12(x ＋1)2＋1，解得x 1＝1，x 2＝－3，故B (－3，3)，D (－1，1)，则AB ＝4，AD ＝BD ＝22，∴AD 2＋BD 2＝AB 2，∴△ABD 是等腰直角三角形，故③正确； 令12(x ＋1)2＋1＝23(x －4)2－3， 解得x 1＝1，x 2＝37，∴当1<x <37时，y 1＞y 2，故④错误．故选B. 8．[答案] ＜2[解析] 对于二次函数y ＝(x －2)2＋3，其中二次项系数a ＝1＞0，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，即当x ＜2时满足要求．9．[答案] －1 －310．[答案] y ＝3(x －3)2＋2[解析] 把y ＝3x 2先向上平移2个单位长度，得到y ＝3x 2＋2，再向右平移3个单位长度，得到y ＝3(x －3)2＋2.故所得抛物线的表达式为y ＝3(x －3)2＋2.11．[答案] (1，0) 12．[答案] 二、三、四[解析] 二次函数y ＝a (x ＋m )2＋n 的图象的顶点坐标为(－m ，n )，因为该点在第四象限，所以－m >0，n <0，即m <0，n <0，所以一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过第二、三、四象限．故填二、三、四．13．[答案] y ＝12(x －2)2＋4[解析] 连接AB ，A ′B ′，则S 阴影＝S 四边形ABB ′A ′.由平移可知，AA ′＝BB ′，AA ′∥BB ′，所以四边形ABB ′A ′是平行四边形．分别延长A ′A ，B ′B 交x 轴于点M ，N .因为A (1，m )，B (4，n )，所以MN ＝4－1＝3.因为S ▱ABB ′A ′＝AA ′·MN ，所以9＝3AA ′，解得AA ′＝3，即原抛物线沿y 轴向上平移了3个单位长度，所以新图象的函数表达式为y ＝12(x －2)2＋4.14．解：(1)a ＝－12，将二次函数y ＝－12x 2的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到二次函数y ＝－12(x －3)2＋4的图象(平移方法不唯一)．(2)开口向下，对称轴为直线x ＝3，顶点坐标为(3，4)． 15．解：(1)∵抛物线经过点(1，－3)， ∴－3＝9a ，a ＝－13，∴抛物线的函数表达式为y ＝－13(x ＋2)2.(2)对称轴是直线x ＝－2，顶点坐标为(－2，0)． (3)∵a ＝－13<0，∴当x <－2时，y 随x 的增大而增大．16．解：(1)∵二次函数y ＝a (x －h )2＋3的图象经过原点O (0，0)，A (2，0)，∴该函数图象的对称轴是直线x ＝0＋22＝1.(2)点A ′是该函数图象的顶点．理由如下： 如图，作A ′B ⊥x 轴于点B .∵线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA ′， ∴OA ′＝OA ＝2， ∠A ′OA ＝60°，∴在Rt △A ′OB 中，∠OA ′B ＝30°， ∴OB ＝12OA ′＝1，A ′B ＝3OB ＝3，∴点A ′的坐标为(1，3)，由(1)知函数的表达式为y ＝a (x －1)2＋3， ∴点A ′为该函数图象的顶点．17．[解析] (1)①把(0，1)，a ＝－124代入y ＝a (x －4)2＋h 即可求得h 的值；②把x ＝5代入y ＝a (x －4)2＋h 可求得网球的高度，与1.55 m 比较大小，做出正确的判断．(2)由题意，把点(0，1)，(7，125)代入y ＝a (x －4)2＋h 即可求得a 的值．解：(1)①把(0，1)，a ＝－124代入y ＝a (x －4)2＋h ，得1＝－124×16＋h ，解得h ＝53. ②把x ＝5代入y ＝－124(x －4)2＋53，得y ＝－124×(5－4)2＋53＝1.625.∵1.625>1.55，∴此球能过网．(2)把点(0，1)，(7，125)代入y ＝a (x －4)2＋h ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋h ＝1，9a ＋h ＝125，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，h ＝215.∴a 的值为－15.[素养提升]解：二次函数y ＝－(x －1)2＋5的大致图象如图． ①若m ＜0＜n ＜1， ∵m ≤x ≤n ，∴当x ＝m 时y 取得最小值，即2m ＝－(m －1)2＋5， 解得m ＝－2或m ＝2(不合题意，舍去)；当x ＝n 时y 取得最大值，即2n ＝－(n －1)2＋5，解得n ＝2或n ＝－2(均不合题意，舍去)． ②若m ＜0＜1≤n ， ∵m ≤x ≤n ，∴当x ＝1时y 取得最大值，即2n ＝－(1－1)2＋5，解得n ＝52.此时，若函数在x ＝m 时取得最小值，则由①可知m ＝－2；若函数在x ＝n 时取得最小值，则2m ＝－(n －1)2＋5，由n ＝52解得m ＝118(不合题意，舍去)．综上，m ＋n ＝－2＋52＝12.。
5.6(2)二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质
向上
向下 向下
直线x=-3
直线x=1 直线x=3Fra bibliotek( -3 , 0 )
(1,0) ( 3, 0)
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2 的形状完全相同,开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向上. 2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移 |k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.) 抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平 移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.) 3.抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k). 抛物线y=a(x－h)2有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上; (2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0).
y 2( x 3)
2
y 2( x 3)
2
如何平移：
3 2 y x 4
3 2 y ( x 1) 4
3 2 y ( x 1) 4
3 y ( x 5) 2 4
抛物线 y = 2(x+3)2 y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2
开口方向
对称轴
顶点坐标
y
x
3、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上 ，
对称轴是 直线x=3，顶点坐标 是 （3，0） ，抛物线是最 低 点， 当x= 抛物线与x轴交点坐标 （3，0） ，与y轴交
3 时，y有最 小 值，其值为 0 。
二次函数y=a(x-h)的图象和性质
(2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求b的值；
解：把点C(－3，b)的坐标代入y＝－(x＋1)2 中，得b＝－4，∴b的值是－4.
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二 次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是( B )
5．关于二次函数y＝－2(x＋3)2，下列说法正确的 是( D ) A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴是直线x＝3 C．其图象的顶点坐标是(0，3) D．当x＞－3时，y随x的增大而减小
6．已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 如果x1＜x2＜－，那么下列结论成立的是( A ) A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2 C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜0
类型
解：画树状图如图所示． 共有 12 种等可能的结果，其中和为奇数的结果有 8 种， ∴P(小明参加)＝182＝23， P(小亮参加)＝1－23＝13. ∵23≠13，∴这个游戏规则不公平．
类型
【2020·德阳】为了加强学生垃圾分类意识，某校对学 1
生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次 宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了 一次测试，测试结果共分为四个等级：A.优秀；B.良 好；C.及格；D.不及格．根据 调查统计结果，绘制了如下 所示的不完整的统计表．
类型
共有 9 种等可能的结果，其中“和为 3 的倍数”的有 3 种， “和为 7 的倍数”的有 3 种，∴P(小杰赢)＝39＝13，P(小玉 赢)＝39＝13.因此游戏是公平的．
二次函数y=a(x-h)2知识点及练习
二次函数y=a(x-h)2（a≠0）知识点及练习一、y=a(x-h)2（a≠0）的性质左加右减：形如y=a(x-h)2（a≠0）的二次函数，它的图像的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，0），h的符号决定抛物线由y=ax2左右平移，简单的说，就是“左加右减”。
尤其要注意与形如y=ax2+c（a ≠0）的区别，c前是加号，h前是减号。
h＞0，顶点在y轴右侧；h＜0，顶点在y轴右左侧。
a的符号开口方向顶点坐标对称轴增减性最值a>0向上(h，0)X=h x>h时，y随x的增大而增大；x=h时，x<h时，y随x的增大而减小；y最小值=0．a<0向下(h，0)X=h x>h时，y随x的增大而减小；x=h时，x<h时，y随x的增大而增大；y最大值=0．二、解读二次函数y=a(x-h)2（a≠0）（1）函数y=a(x-h)2（a，h是常数，a≠0）图像仍是一条抛物线，它的对称轴不再是y轴，而是直线x=h，顶点坐标是（h，0）（2）抛物线y=a(x-h)2（a，h是常数，a≠0）可看作是由抛物线y=ax2(a≠0)向左或向右平移∣h∣个单位而得到的。
当h＞0时，将抛物线y=ax2（a≠0）向右平移h个单位；当h＜0时，，将抛物线y=ax2（a≠0）向左平移∣h∣个单位；（3）实际上在a相等的情况下，二次函数y=a(x-h)2（a，h是常数，a≠0）的图像与二次函数y=ax2（a ≠0）的图像的形状、开口方向等完全相同，只不过位置发生了变化，顶点坐标由（0,0）变成了（h，0）；（4）将抛物线y=ax2（a≠0）平移到抛物线y=a(x-h)2（a，h是常数，a≠0），当h＞0,时，向右平移h个单位；当h＜0时，向左平移∣h∣个单位；（5）求抛物线y=a(x-h)2（a，h是常数，a≠0）的对称轴时，只需让括号中的x-h=0，得出x=h即可。
练习一、填空题1、抛物线y＝4(x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．2、把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________．随意编辑113、将抛物线y＝－(x－4)2向______平移______个单位得到y＝－x2334、写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式___________________．5、二次函数y=x2-mx+1的图象的顶点在x轴上，则m的值是________．6、抛物线y＝m(x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4(x－4)2，则m＝_____，n＝_____．原抛物线的对称轴是________，顶点坐标为________。
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2
y a(x h) 练习姓名：
1. 抛物线y = 4 (x —2)2与y轴的交点坐标是_______ ，与x轴的交点坐标为___.
2. 把抛物线y二3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为_______ ;
向上平移4个单位得到的抛物线的表达式为
3. 将抛物线y二—3 (x —1)2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式
4. 二次函数y=x2-mx+1的图象的顶点在x轴上，则m的值是
5. 抛物线y = 2 (x + 3)2的开口_______ ;顶点坐标为 _;对称轴是_______________ ;当x> —3时，y随x的增大而 _____ ;当x二一3时,y有最 ____ 是___________ .
6. 抛物线y = m (x + n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y= — 4 (x —4)2，贝卩m= ____ ，n = ______ .
1
7. 二次函数y -(x 2)2，若y恒大于0，则自变量x的取值范围是( )
3
8. 把抛物线y 2x2向左平移使顶点坐标是(-1，0)，则所得抛物线的函数表达式为。
9. 一条抛物线的对称轴是x 1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，
则这条抛物线的解析式是。
(任写一个。
)
10. 函数y 3(x 1)2，当x 时，函数值y随x的增大而减小.当x
时，函数取得最值，最值y 。
11. 已知二次函数y 8x2 (k 1)x k 7，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？写
12、二次函数y 解析式。
2
a x h的图象如图：已知a
出其函数关系式。
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13、将抛物线y ax2向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为2，且新抛物线经过点1,3，求a的值。
14、如图所示，抛物线y (x m)2的顶点为A,直线L: y x m与y轴的交点为B,其中m>0。
(1) 写出抛物线的对称轴和顶点坐标；(用含m的式子表示)；
(2) 若点A在直线L上，求/ ABO勺大小。
15、如图，河上有一座抛物线桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽AB为6m，当水位上升0.5m时：
(1 ) 求抛物线的解析式。
(2 ) 求水面的宽度
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为多少米？
(3) 有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正
对着桥洞在上述河流中航行。
若游船宽(指船的最大宽度)为顶的高度为1.8m，问这艘游船能否从桥洞下通过? 2m，从水面到棚
V *。