平面汇交力系合成与平衡的几何法和解析法.ppt

标轴上的投影是个代数量。
而如将力F沿正交的x、 y
y坐标轴方向分解（图b），
则所得分力Fx 、F y 的大小 与力F在相应轴上的投影Fx、
b1
Fy
Fy的绝对值相等。但是当Ox、a1
Fy b
F
a
A
Fx
B
Oy两轴不正交时，则没有这 个关系。
O
Fx
a
b
x
图b力在坐标轴上的投影
工程力学电子教案
平面汇交力系
B
。 45
20
y
。FCB 30
B
。
x
45
FAB mg
A (a)
(b)
由于求出的FAB和FCB 都是正值，所以原先假设的 方向是正确的，即BC 杆承受拉力，AB 杆承受压
力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与
原假定的方向相反。
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21
注意： 为避免解联立方程，可把一个轴放在垂直于一个
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1
第 2 章 平面汇交力系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
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2
平面汇交力系的定义： 各力的作用线在同一平面且相交于一点的力
系。如图所示。
本章研究的两个问题：
平面汇交力系的简化和平面汇交力系的平衡。
Oa
b
c
x
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平面汇交力系
3. 合成
FR FR x 2 FR y 2
tan a FRx
FR y
FRx Fx
FR y
F y
y
FR y
F2
a
Fn O
14
FR F1
FRx x
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4. 平衡
平面汇交力系
FR FR x 2 FR y 2 0
FRx Fx
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17
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两 个坐标轴中每一轴上的投影之代数和均等于零。
∑Fx=0 ， ∑Fy=0
由于提供的独立的方程有 两个，故可以求解两个未 知量。
y
FR y
F2
Fn O
FR F1
FRx x
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平面汇交力系
18
例 题 2- 3
重物质量m =10 kg,悬挂在支架铰接
12
注意: 力的投影是代数量，而力的分量是矢量；投影
无所谓作用点，而分力作用在原力的作用点。
y
F Fx2 Fy2
cosa Fx
Fx2

F
2 y
cos b Fy
Fx2 Fy2
b1 a1
Fy
Fy b a F
A
Fx
B
O
Fx
a
b
x
图b 力在坐标轴上的投影
式中cosa 和cosb 称为力F 的方向余弦。
A C
B
30º
a
a
图 (a)
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例 题 2- 2
解：1. 取梁AB作为研究对象。
2. 画出受力图。
3. 作出相应的力三角形。
4. 由力多边形解出：
FA = F cos30=17.3 kN FB = F sin30=10 kN
8
60º 30º
60º 30º
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显然，F1=F2=P 解方程得杆AB和BC所受的力:
FAB 0.366P 7.321 kN FBC 1.366P 27.32 kN
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求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤： (1)弄清题意，明确已知量和待求量； (2)恰当选取研究对象，明确所研究的物体； (3)正确画出研究对象的受力图（主动力，约束力， 二力构件，三力汇交平衡）； (4)合理选取坐标系，列平衡方程求解； (5)对结果进行必要的分析和讨论。
Fx F cosa Fy F cos b F sina
b1 a1
Fy
Fy b
F
a
A
Fx
B
O
Fx
a
b
x
图b 力在坐标轴 上的投影
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即力在某个轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的
正向间夹角的余弦。当a、b为锐角时，Fx、Fy均为 正值；当a、b为钝角时，Fx、Fy为负值。故力在坐
点B处，A、C为固定铰支座，杆件位置如图示，略
去支架杆件重量，求重物处于平衡时，AB、BC杆的
内力。
C
。 60
B
本题中取谁作为研究
对象比较方便？
。
45
A (a)
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例 题 2- 3 解：取铰B为研究对象，其上作用有
三个力：重力mg；BC杆的约束力FCB（设为拉力） 及AB杆的约束力FAB（设为压力），坐标轴如图(b) 所示，列出平衡方程
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例 题 2- 1
画图示简支梁的受力图。
F
A
B
C
2m
3m
A FRA
F
B
C
FRB
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例 题 2- 2
水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于2 kN， 方向与梁的轴线成60º角，支承情况如图(a) 所示，试 求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束力。梁的 自重不计。
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9
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
1. 力在坐标轴上的投影
y
y
B A
O
a
x b
图a 平行光线照射
下物体的影子
b1
Fy
F y
a1
A
B F F
x
O
Fx
a
b
x
图b 力在坐标轴 上的投影
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由图b知，若已知力F 的大小F 和其与x轴、y轴的夹角
为a、b，则
y
2. 平衡 平面汇交力系平衡的充要条件是合力为零，即
(1) FR=0 ;
(2) 在几何法中，合力为零即为力多边形自行 封闭。
F2
F1
F3
F4
F3 F2
F4
F1
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5
3. 三力平衡汇交定理
若刚体受三个力作用而平衡，且其中两个力 的作用线相交于一点，则三个力的作用线必汇交 于同一点，而且共面。
D
30
C
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如 图 所 示 ， 重 物 P=20 kN，用钢丝绳挂在支架的滑 B 轮B上，钢丝绳的另一端绕在 铰车D上。杆AB与BC铰接， 并以铰链A，C与墙连接。如 两杆与滑轮的自重不计并忽 P 略摩擦和滑轮的大小，试求 平衡时杆AB和BC所受的力。
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例 题 2-4
A
y
FR y
F2
FR y
F y
Fn O
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FR F1
FRx x
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由几何法知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件 是该力系的合力为零，即 FR= 0
( F )2 ( F )2 ＝ 0
x
y
y
FR y
则 ∑Fx=0 ， ∑Fy=0
F2
FR F1
Fn O
FRx x
60
D
B
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23
解：取滑轮B与销钉组成的整
体为Байду номын сангаас究对象，忽略滑轮的大小，
画受力图。
列平衡方程
30
P C
y
FAB FBC
B
F2 60 F 30
1
x
Fx 0,FAB F1 cos 60 F2 cos 30 0 Fy 0, FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
∑Fx= 0, -FCB cos30o + FABcos45o =0
y
∑Fy= 0, -mg+FCB sin30o +FABsin45o =0
。FCB 30
B
。
x
45
联立上述两方程，解得：
FAB mg
FAB=880 N， FCB=71.8 N。
(b)
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例题 2- 3
平面汇交力系
C
。
60
未知力的作用线上，这个未知力在轴上的投影为
零，这个投影方程就只有一个未知数，不必解联
立方程。如在下例中
O P
30 。
(a)
y FT
O
P
FN
(b)
这样建立坐标 系FT 和FN相互耦合
y x
FT
x
O
P FN
(c)
。
∑Fx=0, FT-P ·sin30 =0
可求得FT
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例 题 2- 4
A
60
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思考题：
匀速起吊重P的预制梁如图所示，如果要求
绳索AB、BC的拉力不超过0.6P，问a 角应在什
么范围内？
B
Aa
aC
P
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思考题：P24 2-1，P28 2-2，P33 2-3 课堂作业：2-4，2-9
2-5, 2-7, 2-10, 2-12
研究方法： 几何法和解析法。
F2
F1 o
Fn
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3
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1. 力系的合成
FR=F1+F2+F3 FR=F1+F2+…+Fn（力系合成满足交换律）
F3
F2
FR F3
o F1
F1
F2
力多边形
（注意：矢量首尾相连）
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2. 合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影
的代数和。
y
x1 ab , x2 bc ,FR x ac FR x x1 x2 FR y y1 y2
C
FR
A F1
F2 B
FR x x1 x2 xn FR y y1 y2 yn