12 最大公因数与最小公倍数(一)
12的最大公因数
12的最大公因数
12的最大公因数 1
24和12的最大公约数是12，而24和12的最小公倍数是24。
公因数亦称“公约数”，是一个能同时整除若干整数的整数。
如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”。
最大公因数叫做最大公因数。
对于任意数量的正整数，1总是它们的公因数。
给定几个整数，如果一个数是它们的公因数，那么这个数叫做它们的公因数。
所有整数中的最大公因数称为这些整数的最大公因数。
公约数与公倍数相反，就是既是A的约数同时也是B的约数的数，12和15的公约数有1、3，最大公约数就是3。
举个例子，30和40的公约数有1、2、5、10，最大公约数是10。
公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数
公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数1、掌握最大公因数和最小公倍数的求法；2、会解有关最大公因数和最小公倍数的应用题；【知识点1】最大公因数几个数公有的因数叫这些数的公因数。
其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
【知识点2】最大公因数求法1、列举法先找出两个数的（因数），再找出两个数的（公因数），最后找出二个数的（最大公因数）找8和6的最大公因数8的因数有1、2、4、86的因数有1、2、3、68和6的最大因数数是2。
2、观察法(特殊情况)1）两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数就是其中较小的数。
2）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。
3）两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法案件分解：●两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数是其中较小的数。
8和16的最大公因数（8 ）4和8的最大公因数（4 ）9和3的最大公因数（3 ）28和7的最大公因数（7 ）●两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。
✧相邻两个自然数(0除外)2和3的最大公因数是（1 ）8和9的最大公因数是（1 ）99和98的最大公因数是（1 ）✧两个不同的质数5和7的最大公因数是（1 ）17和29的最大公因数是（1 ）11和19的最大公因数是（1 ）✧两个互质的合数4和9的最大公因数是（1 ）20和49的最大公因数（1 ）25和69的最大公因数是（1 ）●两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法把较小的数缩小（除以2、3、4……）每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。
18和48的最大公因数先用小数 18÷2=9，9不是48的因数，18÷3=6，6是48的因数，那么18和48的最大公因数6。
16和36的最大公因数16÷2=8，8不是36的因数，16÷4=4，4是36的因数，那么16和36的最大公因数4。
最大公因数和最小公倍数
课后作业：
课堂反馈：
○非常满意○满意○一般○差
学生签字：
主管签字：___________
（2）指导学生填集合图，引导：12是6和9的公倍数吗？为什么？27呢？哪几个数是6和9的公倍数？
练一练：
1、在2的倍数上面画上“”，在5的倍数上面画上“”
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
2和5的公倍数有，最小公倍数是
2、把50以内6和8的倍数、公倍数分别填在下面的圈里，再找出他最小公倍数。
课题
公因数和公倍数
教学目标
1、两个数的公倍数、最小公倍数的意义，求最小公倍数的方法。
2、两个数的公因数、最大公因数的意义，求最大公因数的方法。
3、最小公倍数与最大公因数的应用
4、用“短除法”求两个数的最大公因数和最小公倍数。
重难点透视
了解最小公倍数、最大公因数的含义并会应用他们解决实际问题。
为以后进行通分、约分和分数四则计算作准备
最小公倍数和最大公因数在我们生活中能解决许多很有意义的实际问题，你们想掌握这项技能吗？
例1、用长4厘米、宽3厘米的长方形，照下图的样子拼成正方形。拼成正方形的边长最小是多少厘米？
(1)观察拼成的正方形，边长各是多少，是怎样得来的。
(2)正方形的每条边长分别是（）和（）的倍数，(3)要使正方形的边长要最小，也就是求（）和（）的最小公倍数。
(完整版)公倍数和公因数
第三单元：公倍数和公因数目标导航1、 认识公倍数和最小公倍数、公因数和最大公因数，会在集合图中分别表示两个数的倍数和它们的公倍数、因数和它们的公因数。
2、 学会用列举的方法找到10以内两个数的最小公倍数和100以内两个数的最大公因数，并能在解决问题的过程中主动探索简捷的方法，发现求两个数的最大公因数和最小公倍数的一些简捷的方法，并能根据两个数的关系选择用合理的方法求两个数的最大公因数和最小公倍数。
3、 自主探索求三个数的最小公倍数的方法，在解决实际问题的过程中提高学习数学的能力. 基础巩固题1、2、6的倍数有：（ ）；8的倍数有：（ )；6和8的公倍数有：（ ）；6和8的最小公倍数是:（ ）.3、填空(1)48既能被8整除，又能被6整除,所以48是8和6的最小公倍数。
（ )（2）先将18和24分解质因数，再求出它们的最小公倍数. 18＝（ ） 24＝（ ) 18和24的最小公倍数（ ).（分解质因数只针对于合数，质数指除了1和它本身之外的数，如:2、3、5、7等）（3）4和5的最小公倍数是（ ），16和24的最小公倍数是（ ).（4)下面这些图形,如果这样排列下去，在第（ ）个时都是有颜色的图形呢。
4、求下列各组数的最小公倍数。
7和9 15和45 12和1824和16 11和6 4、5和65、1路和2路公共汽车早上6时同时从起始站发车，1路车每5分钟发一辆车,2路车第4分钟发一辆车。
完4的倍数 5的倍数4和5的公倍数（1)(2）解决这个问题就是求（）.6、一个汽车总站有甲、乙两路车。
甲路车每3分钟发一次车；乙路车每5分钟发一次车。
甲、乙两路车第二次同时发车的时间与第一次同时发车的时间至少间隔多少分钟？8、18的因数有：( ）;24的因数有:（ )；18和24的公因数有：（）；18和24的最大公因数有:（）。
9、填空（1）60的因数有( ），能整除45的数有（）,既是60的因数，又能整除45的数有（ )，60和45的最大公因数是( ）。
最大公因数和最小公倍数练习题
最大公因数与最小公倍数考点分析最大公因数和最小公倍数的性质。
（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。
（2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
典型例题例1、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。
现在要把它们截成同样长的小段。
每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？例2、一长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，形的边长可以是多少厘米？能截多少个形？例3、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。
若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？例4、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。
第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。
三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？例5、某厂加工一种零件要经过三道工序。
第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。
要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？例6、有一批机器零件。
每12个放一盒，就多出11个；每18个放一盒，就少1个；每15个放一盒，就有7盒各多2个。
这些零件总数在300至400之间。
这批零件共有多少个？例7、公路上一排电线杆，共25根。
每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？例8、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？【模拟试题】1、24的因数共有多少个？36的因数共有多少个？24和36的公因数是哪几个？其中最大的一个是？2、一个长方形的面积是323平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）3、两个自然数的乘积是420，它们的最大公因数是12，求它们的最小公倍数。
最小最大公倍数和公因数
几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数可以记作[a,b],自然数a、b的最大公因数可以记作(a、b)，当(a、b)=1时,[a、b]= a×b。
如果两个数是倍数关系，则它们的最小公倍数就是较大的数，相邻的两个自然数的最小公倍数是它们的乘积。
最小公倍数=两数的乘积/最大公约（因）数, 解题时要避免和最大公约（因）数问题混淆。
[1]最小公倍数的适用范围：分数的加减法，中国剩余定理(正确的题在最小公倍数内有解，有唯一的解)．因为，素数是不能被1和自身数以外的其它数整除的数；素数X的N次方，是只能被X的N-1以下次方，1和自身数整除．所以，在求A，B，C，D，E，…，Z的最小公倍数时，只需要把这些数分解为素数的N次方之间的乘积后，取各素因子的最高次方的乘积，就是这些数的最小公倍数．举例说明：求756，4400，19845，9000的最小公倍数？因756=2*2*3*3*3*7，4400=2*2*2*2*5*5*11，19845=3*3*3*3*5*7*7，9000=2*2*2*3*3*5*5*5，这里有素数2，3，5，7，11．2最高为4次方16，3最高为4次方81，5最高为3次方125，7最高为2次方49，还有素数11．得最小公倍数为16*81*125*49*11=87318000．例题1两个数的最大公因数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少？15×1=15,15×6=90；当a1b1分别是2和3时,a、b分别为15×2=30,15×3=45。
所以，这两个数是15和90或者30和45。
练习一1,两个数的最大公因数是9,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少？2,两个数的最大公因数是12,最小公倍数是60,求这两个数的和是多少？3,两个数的最大公因数是60,最小公倍数是720,其中一个数是180,另一个数是多少？例题2两个自然数的积是360,最小公倍数是120,这两个数各是多少？上！！分析我们把这两个自然数称为甲数和乙数。
最大公因数与最小公倍数(一)
最大公因数与最小公倍数（一）一、互质数的意义和判断方法1.明确互质数的意义公因数只有1的两个数叫做互质数。
2.明确互质数的判断方法互质数有很多种情况，不是只有两个质数才是互质数，合数和合数也可能成为互质数。
判断两个数是不是互质数，就看它们是不是只有唯一的公因数1。
练习1：分别写出5组满足下列条件的互质数：1)两个数都是质数：（）、（）、（）、（）、（）2)一个质数一个合数：（）、（）、（）、（）、（）3)两个都是合数：（）、（）、（）、（）、（）4)两个都是奇数：（）、（）、（）、（）、（）5)一个奇数一个偶数：（）、（）、（）、（）、（）3.两个数互质的特殊的判断方法1) 1和任意大于1的自然数互质；2) 2和任何奇数都是互质数；3) 相邻的两个自然数是互质数；4) 相邻的两个奇数是互质数；5) 不相同的两个质数是互质数；6) 一个合数与一个质数是互质数（合数只质数的倍数除外）4.互质数和质数的区别质数一类数，是只有两个因数的数；互质数是相对于两个数的关系而言，公因数只有1的两个数才可称为互质数。
练习2：判断：1) 互质的两个数没有最大公因数。
.....................................（）2) 两个数的公因数的个数是有限的。
..................................（）3) 1和任意非零自然数的最大公因数是1。
............................（）4)最小的质数和最大的合数的最大公因数是1。
....................（）填空：1) 在7，15，9，20四个数中，成为互质数的有（）对二、最大公因数与最小公倍数1.基础巩固例1 填空。
1)53⨯⨯b，a，b的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
=3a，532⨯⨯=2)a与b是互质数，a，b的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
3)b=（a，b都是大于0的自然数），a，b的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
最大公因数和最小公倍数
最大公因数和最小公倍数一.教学重点和难点：教学重点：1.掌握计算三个数的最大公因数和最小公倍数的方法。
2.介绍辗转相除的方法计算最大公因数和最小公倍数。
3.最大公因数和最小公倍数的性质。
4.利用最大公因数和最小公倍数解决生活中的实际问题。
5.利用最大公因数和最小公倍数解决一些有特点的数字的问题。
教学难点：1.掌握计算三个数的最大公因数和最小公倍数的区别。
2.能够通过分解质因数方法的分析，理解最大公因数和最小公倍数之间存在的性质。
3.利用最大公因数和最小公倍数解决问题时，对数字特点的观察。
二简要知识介绍：最大公因数和最小公倍数在计算的时候我们一般采用的方法是短除的方法，它们在计算时的最大区别在于所需要的质因数是不同的，最大公因数是取公有的质因数，最小公倍数是公有的质因数（代表）和独有的质因数都要。
但是在两个数不容易看出公因数的时候，我们也可以采取辗转相除的方法进行计算。
具体的方法是：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数，再用第一个余数除小的一个数，得到第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数，这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。
那么最后一个除数就是所求的最大公约数。
最大公因数和最小公倍数之间还存在着性质：两个自然数的乘积等于这两个自然数的最大公约数和最小公倍数的乘积。
若a、b表示两个自然数，则a×b=（a，b）×[a，b]在利用最大公因数和最小公倍数解决实际生活中的问题的时候，首先要分清计算的是哪个？然后再进行计算。
三.知识教学：（一）求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法。
例1.求20、30和36的最大公因数和最小公倍数（1）我们先来计算这三个数的最大公因数列举法20的因数有：1、2、4、5、10、2030的因数有：1、2、3、5、6、10、15、3036的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36三个数的最大公因数是2分解质因数的方法20=2×2×530=2×5×336=2×2×3×3（20，30，36）=2短除的方法（20，30，36）=2（2）我们再来计算它们的最小公倍数列举法20的倍数有：20、40、60、80……30的倍数有：30、60、90、……36的倍数有：36、72、……分解质因数的方法20=2×2×530=2×5×336=2×2×3×3[20，30，36]=2×2×3×5×3=180短除的方法（20，30，36）=2[20，30，36]=2×2×3×5×3=180（3）对比比较分解质因数的方法20=2×2×530=2 ×5×336=2×2 ×3×3（20，30，36）=2[20，30，36]=2×2×3×5×3=180比较短除的方法（20，30，36）=2 [20，30，36]=2×2×3×5×3=180（4）小结：在计算三个数的最大公因数和最小公倍数的时候，最大公因数要找三个数的公有的质因数，如果其中的两个商还有质因数的话，也不要往下除。
五年级下册数学：找最大公因数和最小公倍数的几种方法
找最大公因数和最小公倍数的几种方法（质数又叫做素数，公因数又叫做公约数）一、找最小公倍数的方法1、列举法方法1、先分别写各自的（倍数），再找它们的（公倍数），然后在公倍数里找它 们的（最小公数）。
方法2： 先找较大数的（倍数），再找其中哪些是（较小）的倍数，最后找它们 的（最小公倍数）这种方法是分解质因数后，找出二个数相同的（质因数） ，及二个数各自 独有的（质因数），然后把二个数相同的（质因数，只取一个。
）和二个数各自 独有的（质因数），全部乘进去，所得的积就是这两个数的最小公倍数。
6862、60 禾口 42的最小公倍数=2X 3 X 2X 5X 7=420。
3、短除法。
用短除法求两个数的最小公倍数，一般用这两个数除以它们的（公因数）一直除到所得的两个商（只有公因数 1）为止。
把所有的（除数）和最后的两个4、特殊方法（观察法）1）两个数具有倍数关系的，它们的最小公倍数就是其中（较大）的数。
2）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数 1）,它们的最小公倍数是 二个数的（乘积）。
2 1为 18和24的最小公倍数是 2X 3X 3X 4=72（商）连乘起来，就得到这两个数的 （最小公倍二、找最大公因数的方法1、列举法先找出两个数的（因数），再找出两个数的（公因数），最后找出二个数的（最大公因数）2、分解质因数法。
用分解质因数方法找二个数的最大公因数，是分解质因数后，找出相同的（质因数），把相同的（质因数）相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。
3、短除法。
用短除法求二个数的最大公因数，一般用这两个数除以它们的（公因数），一直除到所得的两个商（只有公因数1）为止。
然后把最后所有的（除数）连乘，就得到了二个数最大公因数。
例题9:用短除法求16和24的最大公因数：2 16 24 .2 8 12 .2 4 62 3最后所有的除数有2、2、2.所以16和24的最大公因数是2^2X2=84、观察法1）两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数就是其中（较小）的数。
求最大公因数和最小公倍数的方法
一、教材分析苏教版小学数学第十册中第22页—31页第三单元公倍和公因数数的教学，从教材分析，这章内容特别重要。
准确迅速的找出它们的最大公因数与最小公倍数，是分数通分、约分必不可少的基础，而分数的通分、约分是进行分数加、减、乘、除四则运算的关键。
对于求最大公因数与最小公倍数能否熟练掌握，直接决定了分数四则运算的准确率，因此求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习之重要。
而求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习又牵涉到很多的概念。
而且概念间内在联系紧密，可以说是环环相扣，有一个环节学习不好也都会直接影响到下后面的学习，所以最大公因数与最小公倍数的学习是小学生很难掌握的内容，又是至关重要的。
它的概念多，环环相扣主要表现在：在学习最大公因数与最小公倍数时，学生要先掌握因数和倍数的概念，而要掌握因数与倍数的概念还要先掌握整除的概念，而整除这里又需要同学们能够掌握能被2、3、5整除的特征；除此之外，在求地大公因数与最小公倍数时，还讲到了两种特殊的关系，其中互质关系的两个数的最小公倍数是它们的乘积，最大公因数是1，而要正确是判断出两个数是不是互质关系，又要掌握质数与合数的概念；这里有需要同学们记住100以内的质数，这是有一定的难度的。
只有这些都能够熟练地掌握，学习起来最大公因数与最小公倍数才会感觉到轻松自如。
所以这单元应该多用一到两课时。
我在上这单元时，我是这么教学的：二、教学思路（一）用一课时复习相关的概念整除：整数A除以整数B，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说A能被B整除。
如15÷3=5，15、3、5都是整数而没有余数，我们就说15能被3整除。
在此基础上再来复习倍数与因数的概念：如果A能被B整除，我们就说A是B的倍数，B是A的因数。
在这里还要强调说明一点，倍数和因数是相互依存的，不能独立存在；我们只能说谁是谁的倍数或谁是谁的因数，不能单独说谁是倍数或谁是因数。
如：15÷3=5正好能够整除，我们就可以说15是3的倍数，也可以说3是15的因数。
公因数与公倍数基本概念及应用汇总 (1)
公因数与公倍数基本概念及应用汇总1、公因数：几个数共有的因数，叫这几个数的公因数。
最大公因数：公因数中最大的一个叫这几个数的最大公因数。
2、公倍数：几个数共有的倍数，叫这几个数的公倍数。
最小公倍数：公倍数中最小的一个叫这几个数的最小公倍数。
3、三种关系的数如何求最小公倍数与最大公因数：①当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍是它们的积；②当两个数是倍数关系时，较小的数是这两个数的最大公因数，较大的数是这两个数的最小公倍数；③当两个数是一般关系时，用短除法求这两个数的最大公因数与最小公倍数。
由此可知，最大公因数是公有质因数连乘的积，最小公倍数是公有和独有因数连成的积。
可见，最小公倍数是最大公因数的倍数，最大公因数是最小公倍数的因数。
掌握这一点是解决此类问题的关键。
4、最大公因数与最小公倍数实际应用例题。
例1、A=2×3×5×7，则A因数有（）个。
分析：一个合数分解质因数后，其因数是一个或几个质因数连成的积。
因此，数A的因数为;一个质因数构成的，2、3、5、7；两个质因数构成的6、10、14、15、21、35；三个质因数构成的30、42、105、70；四个质因数构成的210；除此之外还有1.共16个。
例2、A=2×2×3 B=2×3×5则A、B的最大公因数与最小公倍数分别是（）（）分析：因为“最大公因数是公有质因数连乘的积”，所以A、B的最大公因数为2×3=6；“最小公倍数是公有和独有因数连成的积”A、B的最小公倍数为2×3×2×5=60练习①已知甲、乙两数的最大公因数是6，最小公倍数是36，求甲、乙两数。
分析：“最小公倍数是公有和独有因数连成的积，因此最小公倍数是最大公因数的倍数，”解析36÷6=6 6即为独有因数的积，6=1×6或6=2×3因此甲乙两个数分别为（1×6=6 6×6=36）或（2×6=12 3×6=18）②两个数最大公因数是12，最小公倍数是180，且大数不是小数的倍数，求这两个数。
最小公倍数和最大公因数的复习
一、知识回顾1、因数与倍数2、最大公因数与最小公倍数3、求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法（1）两个数是互质数Eg ：24与25（2）一个数是另一个数的倍数Eg ：48与12（3）两个数既不是互质数又不成倍数关系Eg ：48与364、求最大公因数与最小公倍数的推广Eg1：3、5、7Eg2：36、72、216Eg3:24、36、985、求分数的最大公因数与最小公倍数Eg ：求36153512289、、的最大公因数和最小公倍数 5、解决实际问题两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。
即，（a ，b ）×[a，b]=a×b。
Eg1：两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。
已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。
Eg2：两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。
这两个自然数的和是77，求这两个自然数。
Eg3：已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
二、基本技能训练1、直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。
26和13（）13和6（）4和6（）5和9（）29和87（）30和15（）13、26和52 （） 2、3和7（）2、求用短除法求下面各组数的最大公因数与最小公倍数（1）12、15、18 （2）15、20、30(3)8、12、30(4)77、144、1213、将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。
4、两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。
满足条件的自然数有哪几组？5、两个数的积为5766,且它们的最大公因数为30,那么这两个数各为多少?6、以知A数为24,A与B的最小公倍数为168,最大公因数为4,那么B数为多少?7、甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。
8、已知甲、乙两数的最大公因数是6，最小公倍数是36，求甲、乙两数。
最大公因数和最小公倍数
第八讲最大公因数与最小公倍数知识平台：1．定义（1）几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
（2）几个数公有的因数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
2．性质（1）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数。
（2）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质的。
（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
3．特殊关系数的最大公因数和最小公倍数。
（1）两数互质，最大公因数是1，最小公倍数是两数之和。
（2）两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
范例点击例1 在一个长30米，宽12米的长方形池塘的四角和四条边上种树，若相邻两棵树之间的距离相等，最小要种多少棵树？每相邻两棵树之间的距离是多少米？分析与解答要使种树棵数最少，则使每相邻两树之间的距离最大，就是求长和宽的最大公因数。
30和12的最大公因数是6。
30÷6=5，12÷6=2树的棵数是：5×2+2×2=14棵每相邻两棵树之间的距离是6米。
练习将一个长325厘米，宽175厘米，高75厘米的长方体木块锯成相等的正方体小木块，最少可锯多少块？分析与解答要使小木块的块数最小，则小正方体的棱长是长方体的长、宽、高的最大公因数。
325，175，75的最大公因数是25，所以，小正方体木块有：（325÷25）×（17525）×（75÷25）=273例2 甲、乙、丙三人在少年宫分别参加了不同的兴趣小组，甲每4天去参加一次活动，乙每5天去参加一次活动，丙每6天去参加一次活动。
某一个星期日，他们三人去参加活动时相遇，问至少要多少天，他们才会再次相遇？相遇时是星期几？分析与解答距再次相遇的天数应是4、5、6的公倍数，而且是最小公倍数。
所以：4、5、6的最小公倍数是60，60÷7=8…4 至少要过60天他们才会再次相遇，相遇时是星期四。
最小公倍数和最大公因数
“最小公倍数和最大公因数”的教学之我见摘要：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。
新课程标准要求在引导学生经历知识的形成过程中，着力改善学生的学习方式。
引导学生通过具体的操作和交流活动，感知和理解两个数的公倍数、公因数的含义。
该内容是在学生已经学习了“因数和倍数的意义”、“公因数和最大公因数”等的基础上实行教学的，既是对前面知识的综合使用，又是学生学习“通分”所必不可少的知识基础，对于学生的后续学习和发展，具有举足轻重的作用。
一、小学数学教学必须借助操作活动，重视方法和策略的渗透。
我在以往教学公因数的概念时，往往是直接找出两个自然数的因数，然后让学生发现有的因数是两个数公有的，从而揭示公因数和最大公因数的概念。
而本单元教材注意以直观的操作活动，让学生经历公因数和最大公因数概念的形成过程。
这样安排有两点好处：一是学生通过操作活动，能体会公倍数和公因数的实际背景，加深对抽象概念的理解；二是有利于改善学习方式，便于学生通过操作和交流经历学习过程。
课程标准只要求在1～100的自然数中，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数，而不是用分解质因数的方法求出公倍数或公因数。
我认为：不教学用分解质因数的方法求最小公倍数和最大公因数还有两个原因：一是通过列举出两个数的倍数或因数的方法，找出公倍数或公因数。
突出对公倍数和公因数意义的理解；二是学生对用短除的形式求最大公因数和最小公倍数的算理理解有困难，减轻学生的学习负担。
所以在教学找公倍数或公因数时，应提倡思考方法多样化。
教师在课堂中应时时注意方法和策略的渗透，较好地利用好教材。
二、小学数学教学必须理解教材的编排意图，创造性地使用教材。
教材向学生提供了圈数的活动，从中引出公倍数与最小公倍数的概念。
在这个活动中，学生不但知道公倍数与最小公倍数，而且又让学生懂得枚举的方法。
公倍数和最小公倍数是比较抽象的数学概念，学生要真正理解这些概念仍较为困难，但五年级学生的生活经验和知识背景已经很丰富，而且他们的思维活跃，喜欢挑战自己，对于新知识总喜欢自己探索，并且喜欢寻找与他人不同的看法。
公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数 1
第二讲：公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数第一部分：公因数与最大公因数知识点归纳：1：公因数和最大公因数的意义几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，称为这几个数的最大公因数。
注意：几个数的公因数必须包含它们公有的素因数（至少一个），而几个数的最大公因数必须包含它们全部公有的素因数。
2：互素的意义若两个数的公因数只有1 ，则称这两个数互素，它和素数、素因数是绝对不同的概念，素数是指一个数除了1和本身以外没有别的因数的数。
当素数是一个合数的因数时，则称这个素数为这个合数的素因数。
3：求公因数和最大公因数的方法若两个数互素，则它们的公因数为1.若两个数之间存在倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的那个数。
若两个数既不互素，也不存在倍数关系，则一般可用短除法或者分解素因数法找到它们全部公有的素因数，这些素因数的积就是这两个数的最大公因数。
典例练习1、用边长为6厘米、4厘米的正方形纸片分别铺长为18厘米、宽为12厘米的矩形。
哪种纸片能将矩形铺满？2、两个数的和是60 ，且它们的最大公因数为12 ，求这两个数。
3、若甲数= a×b×c ，乙数= a×c ×d (a、b 、c 、d 是不同的素数)，则甲、乙两数的最大公因数是什么？4、有12米长的铁丝8根，18米长的铁丝7根，要把它们截成一样长的铁丝，不浪费，截下的铁丝要最长，铁丝长几米？可以截多少根？5、小华在制作船模时，将三根长分别为12厘米，18厘米，和30厘米的木条截成同样长的若干段，且都没有剩余，请你算一算每段最长是几厘米，一共截了多少段？6、把一张长42厘米，宽30厘米的长方形，剪成大小一样的正方形而无剩余，剪成的正方形至少有几个？7、甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同的天数去图书馆一次，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次，有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再经过多少天他们三人又在图书馆相会？8、1路、2路和5路公交车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路每隔20分钟发一辆，当这三种线路的车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三种路线同时发车？9、有一个长方体木块，长60厘米，宽40厘米，高24厘米，如果要切成同样大小的小立方体，这些小立方体的棱长最长是多少厘米？10、一个数除253余1，除299余2，这个数最大是多少？11、一条成直角形状的街道，一条街道长840米，另一条街道长720米，要在这条街道的右侧等距离的装上路灯，且要求两端和转弯处都必须装灯，那么这条街道最少要装多少盏灯？12、有三个素数，它们的乘积是1001，求这三个素数分别是多少？13、某校购进72台同型号的录音机，由于发票上的字迹太淡，首尾两个数看不清楚，只能看出应付的钱数是 5928元，你能推算出这次学校购买的录音机的单价和总价吗？第二部分：公倍数与最小公倍数知识点归纳：1：公倍数和最小公倍数的意义几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
最大公因数和最小公倍数应用题
最大公因数和最小公倍数应用题公因数、公倍数问题，是指用求几个数的(最大)公因数或(最小)公倍数的方法来解答的应用题。
这类题一般都没有直接指明是求公因数或公倍数，要通过对已知条件的仔细分析，才能发现解题方法。
解答公因数或公倍数问题的关键是：从因数和倍数的意义入手来分析，把原题归结为求几个数的公因数问题。
【考点分析】最大公因数和最小公倍数的性质。
1)两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。
2)两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，3)两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
【例题1】有一个两位数，除50余2，除63余3，除73余1。
求这个两位数是多少？【分析】这个两位数除50余2，则用他除48(52-2)恰好整除。
也就是说，这个两位数是48的约数。
同理，这个两位数也是60、72的约数。
所以，这个两位数只可能是48、60、72的公约数1、2、3、4、6、12，而满足条件的只有公约数12，即(48、60、72)=12。
答：这个两位数是12。
变式：有一个两位数，用它除58余2，除73余3，除85余1，那么这个两位数是多少？答：56=2x2x2x7 70=2x5x7 84=2x2x3x7两位公约数只有一个就是：2x7=14【例题2】有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。
现在要把它们截成同样长的小段。
每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？【分析】截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。
先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。
解：(18、24、30)=6 (18+24+30)÷6=12段答：每段最长可以有6米，一共可以截成12段。
变式：有三根铁丝，一根长24米，一根长32米，还有一根长16米，把它们分成同样长的小段，每段最长几米？24、32、和16的最大公因数是8，24÷8=3(段)；32÷8=4(段)；16÷8=2(段)；答：每段最长是8米．【例题3】一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？【分析】要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公因数。
数论笔记2-最大公因数理论
数论笔记2-最⼤公因数理论上⼀篇实在是太简单了. 接下来我们将要进⼊最⼤公因数理论.1. 最⼤公因数和最⼩公倍数⾸先我们需要明确公因数的定义.设有a1,⋯,a n, 若d|a1,⋯,d|a n, 称d为a1,⋯,a n的公因数.我们记这些公因数组成的集合为(a1,⋯,a n).⾃然地, 我们定义这些数的公因数中最⼤的⼀个为最⼤公因数, 记作 (a1,⋯,a n).特别地, 若 (a1,⋯,a n)=1, 称这些数互素.根据定义,有 (a1,⋯,a n)=max.下⾯我们给出⼀些简单的性质.1. (a_1,a_2)=(a_2,a_1)=(-a_1,a_2)=(|a_1|,|a_2|)2. a_1|a_j(2\leqslant j\leqslant n)\Rightarrow (a_1,\cdots,a_n)=|a_1|3. (a_1,a_2)=(a_1,a_2,a_1x)4. (a_1,a_2)=(a_1,a_2+a_1x)5. (p,a_1)=\begin{cases}p,&p|a_1\\1,&p\nmid a_1\end{cases}6. \mathcal{D}(a_1,\cdots,a_n)=\mathcal{D}(a:a=a_1x_1+\cdots+a_nx_n)其中性质1,3,4,5⼀般情况下同样成⽴.这些性质就不予全部证明了. ⼤体来说, 证明的思路就是证明左右两边的公因数集合相等, 从⽽⾃然有最⼤公因数相等.以性质4为例. 根据整除性质有d|a_1,d|a_2\Leftrightarrow d|a_1,d|a_2+a_1x,则\mathcal{D}(a_1,a_2)=\mathcal{D}(a_1,a_2+a_1x), 从⽽根据上⾯的分析得出结论.另外性质6可以认为是性质4的⾃然推论. 这条性质⽐较本质, ⾮常重要. ⽐如下⾯这条不那么显然的定理:7. a_1x_1+\cdots+a_nx_n=1\Rightarrow (a_1,\cdots,a_n)=1证明其实⾮常简单: 根据上述性质6有\mathcal{D}(a_1,\cdots,a_n)=\{1,-1\}, 于是就得出了结论.接下来我们再给出⼀条最⼤公因数的性质并给予证明.8. m|(a_1,\cdots,a_n)\Rightarrow m(a_1/m,\cdots,a_n/m)=(a_1,\cdots,a_n)证明的思路是两次运⽤性质1.1.6 (即第1篇笔记标题1性质6, 之后都会这样编号), 即⽤整除得到左边⼩于等于右边, 右边⼩于等于左边, 于是就证明了结论. (这时初等数论中⼀种很常见的证明⽅法)证明: 记D=(a_1,\cdots,a_n), d=(a_1/m,\cdots,a_n/m).根据条件有m|D, ⼜根据D的定义知D|a_j, 则m|a_j(1\leqslant j\leqslant n).运⽤整除性质有(D/m)|(a_j/m), 则根据d的最⼤性有D/m\leqslant d, 即D\leqslant md.另⼀⽅⾯, 有d|(a_j/m), 则根据整除性质有md|a_j, 根据D的最⼤性有md\leqslant D.综上所述有md=D, 证毕.简单讨论完了最⼤公因数, 接下来我们来讨论最⼩公倍数.设有a_1\cdots a_n\neq0, 若有a_1|l,\cdots,a_n|l,称l是a_1,\cdots,a_n的公倍数.我们记这些公倍数组成的集合为\mathcal{L}(a_1,\cdots,a_n).我们定义这些数的正公倍数中最⼩的⼀个为最⼩公倍数, 记作[a_1,\cdots,a_n].相对来说, 最⼩公倍数的性质没有最⼤公因数那么好. 但是我们仍然有下⾯的结论:9. [a_1,a_2]=[a_2,a_1]=[-a_1,a_2]=[|a_1|,|a_2|]10. a_j|a_1(2\leqslant j\leqslant n)\Rightarrow [a_1,\cdots,a_n]=|a_1|11. d|a_1\Rightarrow [a_1,a_2]=[a_1,a_2,d]12. [ma_1,\cdots,ma_n]=m[a_1,\cdots,a_n]性质9和11在⼀般情况下同样成⽴. 这些性质的证明和最⼤公因数对应性质类似, 我们这⾥只对性质12进⾏证明.证明: 记L=[ma_1,\cdots,ma_n], l=[a_1,\cdots,a_n].⼀⽅⾯有ma_j|L\Rightarrow a_j|(L/m)\Rightarrow l\leqslant(L/m)\Rightarrow ml\leqslant L,另⼀⽅⾯有a_j|l\Rightarrow ma_j|ml\Rightarrow L\leqslant ml.则L=ml, 证毕.2. 辗转相除法在对最⼤公因数进⾏进⼀步讨论之前, 我们先介绍⼀下辗转相除法这⼀⼯具.设有u_0,u_1，u_1\neq0. 我们重复应⽤带余除法:\begin{aligned}u_0&=q_0u_1+u_2, &0<u_2<|u_1|\\u_1&=q_1u_2+u_3, &0<u_3<u_2\\&\vdots\\u_{k-1}&=q_{k-1}u_k+u_{k+1}, &0<u_k<u_{k-1}\\u_k&=q_ku_{k+1}, &0<u_{k+1}<u_k\end{aligned}注意到|u_1|>u_2>\cdots>u_k>u_{k+1}>0, 则该过程必会停⽌, 不会⽆限重复下去.有了辗转相除法, 我们可以推知以下结论:1. (u_0,u_1)=(u_1,u_2)=\cdots=(u_k,u_{k+1})=u_{k+1}2. d|u_0,d|u_1\Leftrightarrow d|(u_0,u_1)3. \exist x_0,x_1使u_0x_0+u_1x_1=(u_0,u_1)性质1实际推导的时候需要倒过来. 根据性质1.1和1.4, 我们有(u_{k-1},u_k)=(u_k,q_{k-1}u_k+u_{k+1})=(u_k,u_{k+1}). 然后剩下的就显然了.性质2利⽤性质1和整除的性质是显然的. 注意, 这个性质说明了两个数的公因数⼀定是最⼤公因数的因数, 这是我们在第3节最⼤公因数理论中将要讨论的⼀个定理的特殊情况.性质3可以从线性组合的⾓度来理解. u_{k+1}可表⽰为u_k和u_{k-1}的线性组合, u_k可表⽰为u_{k-1}和u_{k-2}的线性组合, 以此类推, 知u_{k+1}可表⽰为u_0和u_1的线性组合. 证毕.性质3可以应⽤于解不定⽅程. 这个之后再讨论.3. 最⼤公因数理论在这⼀章, 我们对最⼤公因数理论进⾏收尾. 我们会给出8个最⼤公因数的重要性质, 并证明之.根据⼆潘初等数论的介绍, 我们实际上有3种⽅法来建⽴这套理论. 我们这⾥只选取最简单的⼀种 (只⽤到整除, 带余除法和之前介绍过的⼀些最⼤公因数的性质),其他的⽅法可以到原书进⾏了解.⾸先给出定理内容: (注: 为了⽅便, 我们⽤a_j来表⽰每⼀个a, 就不写范围了)1. a_j|c\Leftrightarrow [a_1,\cdots,a_k]|c2. D=(a_1,\cdots,a_k)\Leftrightarrow D|a_j;d|a_j\Rightarrow d|D3. m(b_1,\cdots, b_k)=(mb_1,\cdots,mb_k)4. (a_1,\cdots,a_k)=((a_1,a_2),a_3,\cdots,a_k)推论: (a_1,\cdots,a_k)=((a_1,\cdots,a_l),(a_{l+1},\cdots,a_k))5. (m,a)=1\Rightarrow (m,ab)=(m,b)6. (m,a)=1, m|ab\Rightarrow m|b推论: (m_1,m_2)=1,m_1|n,m_2|n\Rightarrow m_1m_2|n7. [a_1,a_2](a_1,a_2)=|a_1a_2|8. (a_1,\cdots,a_k)=min(s:s=a_1x_1+\cdots+a_kx_k,s>0)推论: \exist x_0,\cdots,x_k使a_1x_1+\cdots+a_kx_k=(a_1,\cdots,a_k)我们⾸先证明性质1, 然后性质2⾄性质7都可以通过此推出. 性质8需要进⾏额外的证明.性质1: 设L=[a_1,\cdots,a_k].必要性: L|c,a_j|L\Rightarrow a_j|c, 证毕.Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js充分性: 设c=ql+r,0\leqslant r<L. 则a_j|c,a_j|L\Rightarrow a_j|r, 即r为⼀个公倍数. 但⼜有r<L, 则只能有r=0. 故L|c, 证毕.实际上性质1就是说公倍数是最⼩公倍数的倍数.性质2:必要性: 由D|a_j知D是公因数; 由d|D知|d|\leqslant D, ⽽d是任⼀公因数, D⽐任⼀公因数的绝对值都⼤, 则D=(a_1,\cdots,a_k). 证毕.充分性: 设全体公因数为d_1,\cdots,d_s. 令L=[d_1,\cdots,d_s]. 由性质1知L|a_j, ⼜有d_j|L, 则根据必要性的证明有L=(a_1,\cdots,a_k), 也即最⼤公因数满⾜右边的性质. 证毕. (这个证明⽅法可能有点抽象)性质2告诉我们公因数是最⼤公因数的因数.性质3:考虑运⽤上⾯的性质1.8. 令a_j=mb_j. 有m(b_1,\cdots,b_k)=m(a_1/m,\cdots,a_k/m).但是为了能利⽤上⾯的性质, 我们还要满⾜m|(a_1,\cdots,a_n)这个前提. 注意到m|a_j, 则运⽤性质2有m|(a_1,\cdots,a_k). 这样条件满⾜了.则m(a_1/m,\cdots,a_k/m)=(a_1,\cdots,a_k)=(mb_1,\cdots,mb_k). 证毕.实际上性质1.8与性质3就差在了性质2上.性质4:采⽤经典证法.⼀⽅⾯, 设有d|a_j, 由性质2有d|(a_1,a_2), 即左边的公因数⼀定是右边的公因数.另⼀⽅⾯, 设有d|(a_1,a_2), ⼜因为(a_1,a_2)|a_1, (a_1,a_2)|a_2, 则d|a_1, d|a_2, 即右边的公因数⼀定是左边的公因数.公因数集相等知最⼤公因数相等. 证毕.推论⾃然成⽴.性质5:若m=0, 则a=\pm1, 显然成⽴. 否则, 有(m,b)=(m,b(m,a))=(m,mb,ab)=(m,ab). 证毕. (这⾥主要运⽤了性质3和1.3)性质6:|m|=(m,ab)=(m,b)\Rightarrow m|b. 证毕. (这⾥主要运⽤了性质5)更常⽤的是推论. 证明如下:m_1|n\Rightarrow n=km_1\Rightarrow m_2|km_1\Rightarrow m_2|k\Rightarrow m_1m_2|m_1k\Rightarrow m_1m_2|n. 证毕.性质7:⾸先考虑(a_1,a_2)=1的情况. 此时令L=[a_1,a_2], 根据性质1有L|a_1a_2. ⼜有a_1|L,a_2|L, 根据性质6推论有a_1a_2|L. 则L=|a_1a_2|. 该情况证毕.当(a_1,a_2)\neq1时, 有(a_1/(a_1,a_2),a_2/(a_1,a_2))=1, 则[a_1/(a_1,a_2),a_2/(a_1,a_2)]=|a_1a_2|/(a_1,a_2)^2. 将平⽅项移到左边并运⽤性质1.12, 有[a_1,a_2](a_1,a_2)=|a_1a_2|. 证毕.注意这是⼀个专⽤于两个数情况的定理. 多个数就不⼀定了.性质8:我们利⽤性质1.6. 记S=\{s|s=a_1x_1+\cdots+a_kx_k\}. 显见0<a_1^2+\cdots+a_k^2\in S, 则S中有正整数. 令其中最⼩的正整数为s_0.取任⼀公因数d|a_j, 根据整除性质有d|s_0, 则|d|\leqslant s_0.设a_j=q_js_0+r_j, 0\leqslant r_j<s_0. 显然r_j=a_j-q_js_0\in S, 则因为s_0是最⼩正整数, 只能有r_j=0. 故s_0|a_j, 即s_0是公因数.根据上⾯的|d|\leqslant s_0, 知s_0=(a_1,\cdots,a_k). 证毕.这样我们就完成了对最⼤公因数理论的介绍.。
复习最大公因数,最小公倍数
3 3 7 21
3 7 21
71 7 7
111
三个商没有公因数为止
最后的商两两互质
6、14和42的最大公因数是2。
6、14和42的最小公倍数是2×3x7x1x1x1＝42
短除法求三个数的最大公因数和最小公倍数。
试一试
5 25 35 45
1. 25 35 45
579
25、35和45的最大公因数数是5 25、35和45的最小公倍数是5×5x7x9＝180
解决此类问题：题目读几遍，从中找关键；先看求什么，再 去找条件。
2
8=2×2×2
试一试
60=2×2×3×5 150=2×3×5×5 60和150的最小公倍数是 （ 2×3×5×2×5=24 ） 公因数
6和8的最小公倍数是2×3×2×2=24
公因数
12 24 42的最小公倍数是 （ 2×3×2×2 =168 ）
12=2×2×3 24=2×2×2×3 42=2×3×7
求最大公因数、最小公倍数 及运用
因数与倍数
6÷3=2 6是3的倍数 3是6的因数
最大公因数与最小公倍数
公因数
2 6 10
35
独有因数
没有除了1 以外的公因数
互质
6和10的最大公因数是2 6和10的最小公倍数是2×3×5=30ຫໍສະໝຸດ ①大因乘左边 ②小倍乘半圈
分解质因数法求最小公倍数
26 3
6=2×3
28 24
练一练：
思考：爸爸每工作3天休息1天，也即是4天休一次。妈 妈每工作4天休息1天，也就是5天休一次。也就是求4 和5的公倍数，最快就是要求最小公倍数。 4和5的最小公倍数是20，就是要经过20天可以一起去。 7月1日+20=7月21日
最大公因数和最小公倍数
上回下
五年级同学参加植树劳动，按15人一组或 18人一组都正好分完。五年级同学参加植
树的至少有多少人？
五年级同学按15人一组分，正好分完，说明 五年级同学是15人的倍数
五年级同学按18人一组分，也正好分完，说明 五年级同学也是18人的倍数 所以，五年级同学是15和18的公倍数。
两个数的最小公倍数可以用[ ]表示。
12和18的最小公倍数是36， 可以表示为[12，18]=36。
求18和30的最小公倍数。
2 18 30 3 9 15
用公有的因数2除 用公有的因数3除
3 5 除到两个商是互质数为止
2×3 ＝6
18和30的最大公因数是 2×3＝ 2×3 ×3×56＝90
18和30的最小公倍数是90
二、判断题。
两个数的最小公倍数分别是这两个 数的倍数（ ）
两个数的积一定是这两个数的公倍 数（ ）
二、判断题。
两个数的最大公因数一定比这两个数都 小（ ）
两个数的最小公倍数一定比这两个数都 大（ ）
二、判断题。
如果A÷ ÷ B=3（ ），那么A 、 B的 最大公因数是B，最小公倍数是A
（
）
男、女生分别排队，要使每排的人数相同，每 排最多有多少人? 这时男、女生分别有几排?
试一试
用短除法求出12和20的最大公因数和最小公倍数。
2 12 20 2 6 10
35
12和20的最大公因数是2×2=4。 可以表示为（12，20）=4。
用短除法求出12和20的最大公因数和最小公倍数。
2 12 20 2 6 10
35 12和20的最小公倍数是2×2×3×5=60。 可以表示为[12，20]=60。
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有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？
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