线面平行典型例题(新)

线面平行典型例题和练习

直线与平面、平面与平面平行的判定与性质中，都隐含着直线与直线的平行，它成为联系直线与平面、平面与平面平行的纽带，成为证明平行问题的关键． 1．运用中点作平行线

例1．已知四棱锥P ABCD -的底面是距形，Ｍ、Ｎ分别是ＡＤ、ＰＢ的中点，求证ＭＮ∥平面PCD ．

2．运用比例作平行线 例2．四边形ＡＢＣＤ与ＡＢＥＦ是两个全等正方形，且ＡＭ=ＦＮ，其中M AC ∈，N BF ∈，求证：ＭＮ∥平面BCE

3. 运用传递性作平行线

例3．求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线平行

４.运用特殊位置作平行线 例4．正三棱柱ＡＢＣ－Ａ1Ｂ1Ｃ1的底面边长为2，点Ｅ、Ｆ分别是Ｃ1Ｃ、Ｂ1Ｂ上的点，点Ｍ是线段ＡＣ上的动点，ＥＣ＝2ＦＢ＝2．问当点Ｍ在何位置时ＭＢ∥平面ＡＥＦ？

课堂强化： 1. 1．棱长都相等的四面体称为正四面体．在正四面体A-BCD 中，点M ，N 分别是CD 和AD 的中点，

给出下列命题：

①直线MN ∥平面ABC ；

A C

N

P D M

B G

图M F

N

C E

A D B

H

m αβ

l

γσn 图4

k A B C

E

F

N

M

B 1 A １

C 1

图5

②直线CD⊥平面BMN；

③三棱锥B-AMN的体积是三棱锥B-ACM的体积的一半．

则其中正确命题的序号为

2. 如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．

（Ⅰ）求证：BE=DE；

（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC

．

3. ．如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC= 2，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）求三棱锥A′-MNC的体积．

4. 如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（1）若点G在AB上，试确定G点位置，使FG∥平面ADE，并加以证明；

5. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P为侧棱SD上的点．

（1）求证：AC⊥SD；

（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

6. 如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．

（I）证明：直线CE∥平面PAB；

7. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，则在四棱锥P-ABCD中，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．

8. 已知平面α∥面β，AB、CD为异面线段，AB⊂α，CD⊂β，且AB=a，CD=b，AB与CD所成的角为θ，平面γ∥面α，且平面γ与AC、BC、BD、AD分别相交于点M、N、P、Q．且M、N、P、Q为中点，

（1）若a=b，求截面四边形MNPQ的周长；

9. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，棱长AA1=2，AB=1，E是AA1的中点．

（Ⅰ）求证：A1C∥平面BDE；

10. 如图，在三棱锥P-ABC中，已知AB=AC=2，PA=1，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，点D、E分别为AB、PC的中点．

（1）在AC上找一点M，使得PA∥面DEM；

11. 空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD 于E、F、G、H．

（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；

12. 如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，BG=2CG

（I）求证：PC⊥BC；

（III）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；否则，说明理由．

13. 如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．

（I）证明：直线CE∥平面PAB；

14. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．

（Ⅰ）求证：AC⊥SD；

（Ⅱ）若PD：SP=1：3，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

15.如图，在五面体中，平面ABCD⊥平面BFEC，Rt△ACD、RtACB、Rt△FCB、Rt△FCE为全等直角三角形，AB=AD=FB=FE=1，斜边AC=FC=2．

（Ⅰ）证明：AF∥DE；

课后作业

一、选择题

1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( )

A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;

B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面

C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

2、已知直线a 与直线b 垂直,a 平行于平面α,则b 与α的位置关系是( ) A.b ∥α B.b

α

C.b 与α相交

D.以上都有可能 3． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）

A ．//,a b αα⊂

B ．//,//a b αα

C ．//,//a c b c

D ．//,a b ααβ= 4．若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与m 异面 B ．α内不存在与m 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与m 平行 D ．α内的直线与m 都相交 5．下列命题中，错误的个数是（ ）

① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1 6．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（ ） A ．()12

MN AC BC ≥+ B ．()12

MN AC BC ≤+

C ．()12

MN AC BC =+ D ．()12

MN AC BC <+

7 ．α，β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ）

A ．α，β都平行于直线a ，b

B ．α内有三个不共线点到β的距离相等

C ．a ，b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥β

D ．a ，b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β

8．两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是（ ）

A ．a ∥α

B ．a 与α相交

C ．a 与α不相交

D ．a α 9．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的是（ ） A ．a α⊄，则//a α B ．//a α，b α⊂，则//a b

C ．//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a b

D ．,,//,//P a P a βααβ∈∈，则a β⊂

10．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）

A.异面

B.相交

C.平行

D.不能确定 11.下列四个命题中，正确的是（ ） ①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行

A ．①③

B ．①②

C ．②③

D ．③④

12．在下列命题中，错误的是 A. 若平面α内的任一直线平行于平面β，则α∥β