线面平行典型例题(新)
线面平行与垂直的判定与性质(含答案)
一.1. 平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A.存在一条直线a a ααβ,∥,∥B.存在一条直线a a a αβ⊂,,∥C.存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂,,,,∥,∥ D.存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂,,,,∥,∥2. 设,a b 为两条直线,,αβ为两个平面.下列四个命题中,正确的命题是 ( ) A.若,a b 与α所成的角相等,则b a ∥ B.若a ∥,b α∥β,α∥β,则b a ∥ C.若,,a b a αβ⊂⊂∥b,则βα∥D.若,,,a b αβαβ⊥⊥⊥则a b ⊥3. 若P 两条异面直线l m ,外的任意一点,则( ) A.过点P 有且仅有一条直线与l m ,都平行 B.过点P 有且仅有一条直线与l m ,都垂直 C.过点P 有且仅有一条直线与l m ,都相交 D.过点P 有且仅有一条直线与l m ,都异面三.典型例题例 1 如图,在四棱锥O-ABCD 中,底面ABCD 四边长为1的菱形,4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, OA=2,M 为OA 的中点,N 为BC 的中点(Ⅰ)证明:直线//MN OCD 平面;NBDBCAS例2.如图,四棱锥P —ABCD 中, PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,AB ⊥AD ,CD ⊥AD ,CD=2AB ,E 为PC 中点 (I) 求证:平面PDC ⊥平面PAD ;(II) 求证:BE//平面PAD .1. .四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD .已知45ABC = ∠,2AB =,BC =SA SB ==(Ⅰ)证明SA BC ⊥; .A B C D EP2. 正方体1111ABCD A B C D -中O 为正方形ABCD 的中心,M 为1BB 的中点,求证: (1)111//D O A BC 平面 (2)1MAC D O ⊥平面参考答案基础练习1.D 2.D 3.B 典型例题例题1. (1)证明:取OB 中点E ,连接ME ,NEME CD ME CD ∴ ,‖AB,AB ‖‖又,NE OC MNE OCD ∴ 平面平面‖‖ MN OCD ∴平面‖(2)CD ‖AB, MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角(或其补角)作,AP CD P ⊥于连接MP ⊥⊥平面A BC D ,∵OA ∴CD MP,42ADP π∠=∵∴DP =MD ==,1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π∠==∠=∠=∴所以 AB 与MD 所成角的大小为3π例题2 (1)由PA ⊥平面ABCD⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥AAD PA CD PA )AD (CD 已知⇒⎭⎬⎫⊂⊥PAD CD PAD CD 面面⇒平面PDC ⊥平面PAD ;(2)取PD 中点为F ,连结EF 、AF ,由E 为PC 中点, 得EF 为△PDC 的中位线,则EF//CD ,CD=2EF . 又CD=2AB ,则EF=AB .由AB//CD ,则EF ∥AB . 所以四边形ABEF 为平行四边形,则EF//AF .由AF ⊂面PAD ,则EF//面PAD .巩固练习1.(Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC ⊥底面ABCD ,得SO ⊥底面ABCD .因为SA SB =,所以AO BO =,又45ABC =∠,故A O B △为等腰直角三角形,AO BO ⊥,由三垂线定理,得SA BC ⊥.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA BC ⊥,依题设AD BC ∥,故SA AD ⊥,由AD BC ==,SA =,AO =,得1SO =,SD =.SAB △的面积112S AB ==.连结DB,得D A B △的面积21sin13522S AB AD =∙= ,设D 到平面SAB 的距离为h ,由于D SAB S ABD V V --=, 得121133h S SO S ∙=∙,解得h =.设SD 与平面SAB 所成角为α,则s i n 11h SD α===.A B CDEP F2 证明: (1)连结11,BD B D 分别交11,AC AC 于1,O O 在正方体1111ABCD A B C D -中,对角面11BB D D为矩形1,O O 分别是11,BD B D 的中点11//BO D O ∴∴四边形11BO D O 为平行四边形11//BO D O ∴1D O ⊄平面11A BC ,1BO ⊂平面11A BC 1//D O ∴平面11A BC(2)连结MO ,设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ,在正方体1111ABCD A B C D -中,对角面11BB D D为矩形且1,BB a BD ==,O M 分别是1,BD BB 的中点,22a BM BO OD a∴===1B M B O O D D D ∴= 1O D D Rt MBO Rt ∆≅∆ 1B O M D D O ∴∠=∠在1ODD Rt ∆中,1190DD O D OD ∠+∠= 190BOM D OD ∴∠+∠=,即1D O M O⊥在正方体1111ABCD A B C D -中1DD ⊥ 平面ABCD1D D A C∴⊥又AC BD ⊥ ,1DD BD D= AC ∴⊥平面11BB D D1D O ⊂平面11BB D D1A C D O∴⊥又AC MO O = 1D O ∴⊥平面MAC。
线面平行性质定理(经典)
如图:当点 在两平面之外即在 延长线上时,
因为平面 平面 ,平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 ,
所以 ,
因为 , , ,
所以 ,解得 ,
如图:当点 在两平面之间即在线段 上时,
因为平面 平面 ,平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 ,
所以 ,
因为 , , ,
所以 ,解得 ,
所以 ,
综上所述: 的长为 或 ,
【详解】
如下图所示,分别取棱 的中点 ,连接 ,连接 ,
因为 为所在棱的中点,所以 ,所以 ,
又 平面 平面 ,所以 平面 ;
因为 ,所以四边形 为平行四边形,
所以 ,又 平面 , 平面 ,所以 平面 ,
又 ,所以 平面 ,
因为 是侧面 内一点,且 平面 ,则 必在线段 上,
在直角 中, ,
同理,在直角 中,求得 ,所以 为等腰三角形,
(1)连接 ,易知 为 的中点,进而得 ,再结合线面平行的判定定理即可证明;
(2)由题知 平面 ,进而根据线面平行的性质定理即可证明 ;
(3))假设在棱 上存在点 (异于点 ),使得 平面 ,进而在平面 中,过点 作 的平行线 ,交 于 ,故平面 平面 ,进而得 ,另一方面,在平行四边形 中, 与 不平行,矛盾,故不存在.
A. B.
C. 平面 D. 平面
3.已知直线a,b和平面 ,下列命题中正确的是()
A.若 , ,则 B.若 , ,则
C.若 , ,则 D.若 , ,则 或
4.如图,在长方体 中, ,E为CD的中点,点P在棱AA1上,且 平面 ,则AP的长为()
A. B. C.1D.与AB的长有关
5.如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形,点F在棱PA上,PF=λAF,若PC∥平面BDF,则λ的值为()
线面平行判定练习(总结较全)
线面平行判定练习(总结较全)第1题. 已知a αβ=,m βγ=,b γα=,且m α//,求证:a b //.答案:证明:m m m a a b a m b βγααβ=⎫⎫⎪⎪⇒⇒⎬⎬⎪⎪=⇒⎭⎭同理////////.第2题. 已知:b αβ=,a α//,a β//,则a 与b 的位置关系是( )A.a b // B.a b ⊥ C.a ,b 相交但不垂直 D.a ,b 异面答案:A.第3题. 如图,已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点,E ,F 分别是PA ,BD 上的点且PE EA BF FD =∶∶,求证:EF //平面PBC .答案:证明:连结AF 并延长交BC 于M .连结PM ,AD BC ∵//,BF MF FD FA =∴,又由已知PE BF EA FD =,PE MFEA FA=∴. 由平面几何知识可得EF //PM ,又EF PBC ⊄,PM ⊂平面PBC , ∴EF //平面PBC .第4题. 如图,长方体1111ABCD A B C D -中,11E F 是平面11A C 上的线段,求证:11E F //平面AC .答案:证明:如图,分别在AB 和CD 上截取11AE A E =,11DF D F =,连接1EE ,1FF ,EF .∵长方体1AC 的各个面为矩形,11A E ∴平行且等于AE ,11D F 平行且等于DF ,故四边形11AEE A ,11DFF D 为平行四边形.1EE ∴平行且等于1AA ,1FF 平行且等于1DD . 1AA ∵平行且等于1DD ,1EE ∴平行且等于1FF ,四边形11EFF E 为平行四边形,11E F EF //.EF ⊂∵平面ABCD ,11E F ⊄平面ABCD ,∴11E F //平面ABCD .第5题. 如图,在正方形ABCD 中,BD 的圆心是A ,半径为AB ,BD 是正方形ABCD 的对角线,正方形以AB 所在直线为轴旋转一周.则图中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三部分旋转所得几何体的体积之比为 .答案:111∶∶第6题. 如图,正方形ABCD 的边长为13,平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13,M ,N 分别是PA ,DB 上的点,且58PM MA BN ND ==∶∶∶. (1) 求证:直线MN //平面PBC ; (2) 求线段MN 的长.(1) 答案:证明:连接AN 并延长交BC 于E ,连接PE ,则由AD BC //,得BN NEND AN=. BN PM ND MA =∵,NE PMAN MA=∴. MN PE ∴//,又PE ⊂平面PBC ,MN ⊄平面PBC , ∴MN //平面PBC .(2) 解:由13PB BC PC ===,得60PBC ∠=; 由58BE BN AD ND ==,知5651388BE =⨯=, 由余弦定理可得918PE =,8713MN PE ==∴.第7题. 如图,已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 为PB 的中点, 求证:PD //平面MAC .答案:证明:连接AC 、BD 交点为O ,连接MO ,则MO 为BDP △的中位线,∴PD MO //.PD ⊄∵平面MAC ,MO ⊂平面MAC ,∴PD //平面MAC .第8题. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别是棱BC ,11C D 的中点,求证:EF //平面11BB D D .答案:证明:如图,取11D B 的中点O ,连接OF ,OB ,OF ∵ 平行且等于1112B C ,BE 平行且等于1112B C ,OF ∴ 平行且等于BE ,则OFEB 为平行四边形, EF ∴//BO .EF ⊄∵平面11BB D D ,BO ⊂平面11BB D D ,∴EF //平面11BB D D .第9题. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,试作出过AC 且与直线1D B 平行的截面,并说明理由.答案:解:如图,连接DB 交AC 于点O ,取1D D 的中点M ,连接MA ,MC ,则截面MAC 即为所求作的截面.MO ∵为1D DB △的中位线,1D B MO ∴//.1D B ⊄∵平面MAC ,MO ⊂平面MAC ,1D B ∴//平面MAC ,则截面MAC 为过AC 且与直线1D B 平行的截面.第10题. 设a ,b 是异面直线,a ⊂平面α,则过b 与α平行的平面( ) A.不存在 B.有1个 C.可能不存在也可能有1个 D.有2个以上答案:C.第11题. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,求证:平面1A BD //平面11CD B .答案:证明:111111B B A A B B D D A A D D ⎧⎪⇒⎨⎪⎩∥ ∥ ∥ ⇒ 四边形11BB D D 是平行四边形⇒ 111111D B DBDB A BD D B A BD⎧⎪⊂⎨⎪⊄⎩平面平面//⇒111111111D B A BDB C A BD D B B C B⎧⎪⎨⎪=⎩平面同理平面//// ⇒111B CD A BD 平面平面//.第12题. 如图,M 、N 、P 分别为空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD 上的点,且AM MB CN NB CP PD ==∶∶∶.求证:(1)AC //平面MNP ,BD //平面MNP ; (2)平面MNP 与平面ACD 的交线AC //.答案:证明:(1)AM CN MN AC MB NBAC MNP AC MNP MN MNP⎫=⇒⎪⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎪⎭//平面//平面平面.CN CP PN BD NB PDBD MNP BD MNP PN MNP⎫=⇒⎪⎪⊄⎬⎪⊂⎪⎭//平面//平面平面.(2)MNP ACD PE AC ACD PE AC AC MNP =⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭设平面平面平面//,//平面 MNP ACD AC 即平面与平面的交线//.第13题. 如图,线段AB ,CD 所在直线是异面直线,E ,F ,G ,H 分别是线段AC ,CB ,BD ,DA 的中点.(1) 求证:EFGH 共面且AB ∥面EFGH ,CD ∥面EFGH ; (2) 设P ,Q 分别是AB 和CD 上任意一点,求证:PQ 被平面EFGH 平分.答案:证明:(1)∵E ,F ,G ,H 分别是AC ,CB ,BD ,DA 的中点.,EH CD ∴//,FG CD //,EH FG ∴//.因此,E ,F ,G ,H 共面. CD EH ∵//,CD ⊄平面EFGH ,EH ⊂平面EFGH , CD ∴//平面EFGH .同理AB //平面EFGH .(2)设PQ平面EFGH =N ,连接PC ,设PCEF M =.PCQ △所在平面平面EFGH =MN ,CQ ∵//平面EFGH ,CQ ⊂平面PCQ ,CQ MN ∴//.EF ∵ 是ABC △是的中位线,M ∴是PC 的中点,则N 是PQ 的中点,即PQ 被平面EFGH 平分.第14题. 过平面α外的直线l ,作一组平面与α相交,如果所得的交线为a ,b ,c ,…,则这些交线的位置关系为( ) A.都平行B.都相交且一定交于同一点 C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或都交于同一点答案:D.第15题. a ,b 是两条异面直线,A 是不在a ,b 上的点,则下列结论成立的是( ) A.过A 且平行于a 和b 的平面可能不存在 B.过A 有且只有一个平面平行于a 和b C.过A 至少有一个平面平行于a 和b D.过A 有无数个平面平行于a 和b答案:A.第16题. 若空间四边形ABCD 的两条对角线AC ,BD 的长分别是8,12,过AB 的中点E 且平行于BD 、AC 的截面四边形的周长为 . 答案:20.第17题. 在空间四边形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别为AB ,BC ,CD ,DA 上的一点,且EFGH 为菱形,若AC //平面EFGH ,BD //平面EFGH ,AC m =,BD n =,则AE BE =: .答案:m n ∶.第18题. 如图,空间四边形ABCD 的对棱AD 、BC 成60的角,且AD BC a ==,平行于AD 与BC 的截面分别交AB 、AC 、CD 、BD 于E 、F 、G 、H . (1)求证:四边形EGFH 为平行四边形;(2)E 在AB 的何处时截面EGFH 的面积最大?最大面积是多少?答案:(1)证明:BC ∵//平面EFGH ,BC ⊂平面ABC , 平面ABC 平面EFGH EF =,BC EF ∴//.同理BC GH //, EF GH ∴//,同理EH FG //, ∴四边形EGFH 为平行四边形. (2)解:∵AD 与BC 成60角,∴60HGF ∠=或120,设:AE AB x =,∵EF AEx BC AB==, BC a =,∴EF ax =,由1EH BEx AD AB==-, 得(1)EH a x =-.∴sin 60EFGH S EF EH =⨯⨯四边形(1)2ax a x =⨯-⨯22()2a x x =-+2211()24x ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦. 当12x =时,28S a =最大值, 即当E 为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为28a .第19题. P 为ABC △所在平面外一点,平面α//平面ABC ,α交线段PA ,PB ,PC 于ABC ''',23PA AA =∶∶'',则AB C ABC S S =△△∶''' .答案:425∶第20题. 如图,在四棱锥P ABCD -中,ABCD 是平行四边形,M ,N 分别是AB ,PC 的中点.求证:MN //平面PAD .答案:证明:如图,取CD 的中点E ,连接NE ,ME ∵M ,N 分别是AB ,PC 的中点,NE PD ∴//,ME AD //,可证明NE //平面PAD ,ME //平面PAD . 又NE ME E =,∴平面MNE //平面PAD ,又MN ⊂平面MNE ,∴MN //平面PAD .第21题. 已知平面α//平面β,AB ,CD 是夹在两平行平面间的两条线段,A ,C 在α内,B ,C 在β内,点E ,F 分别在AB ,CD 上,且AE EB CF FDm n ==∶∶∶. 求证:EF //平面α.答案:证明:分AB ,CD 是异面、共面两种情况讨论. (1) 当AB ,CD 共面时,如图(a )αβ∵//,AC BD ∴//,连接E ,F .AE EB CF FD =∶∶∵,EF AC BD ∴////且EF α⊄,AC α⊂,∴EF //平面α.(2) 当AB ,CD 异面时,如图(b ),过点A 作AH CD // 交β于点H .在H 上取点G ,使AG GH m n =∶∶,连接EF ,由(1)证明可得GF HD //,又AG GH AE EB =∶∶得EG BH //.∴平面EFG //平面β//平面α.又EF ⊂面EFG ,∴EF //平面α.第22题. 已知a αβ=,m βγ=,b γα=,且m α//,求证:a b //.答案:证明:m m m a a b a m b βαααβ=⎫⎫⎪⎪⇒⇒⎬⎬⎪⎪=⇒⎭⎭同理////////.第23题. 三棱锥A BCD -中,AB CD a ==,截面MNPQ 与AB 、CD 都平行,则截面MNPQ 的周长是( ).A.4a B.2aC.32aD.周长与截面的位置有关答案:B.第24题. 已知:b αβ=,a α//,a β//,则a 与b 的位置关系是( ). A.a b // B.a b ⊥C.a 、b 相交但不垂直 D.a 、b 异面答案:A.第25题. 如图,已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点,E 、F 分别是PA 、BD 上的点且:PE EA BF =答案:证明:连结AF 并延长交BC 于M . 连结PM ,AD BC ∵//,BF MFFD FA=∴, 又由已知PE BF EAFD =,PE MFEA FA=∴. 由平面几何知识可得EF //PM , 又EF PBC ⊄,PM ⊂平面PBC , ∴EF //平面PBC .第26题. 如图,长方体1111ABCD A B C D -中,平面ABCD .答案:证明:如图,分别在AB 和CD 上截得11AE A E =,11DF D F =,连接1EE ,1FF ,EF .∵长方体1AC 的各个面为矩形,1EE ∴平行且等于1AA ,1FF 平行且等于1DD . 1AA ∵平行且等于1DD ,1EE ∴平行且等于1FF ,四边形11EFF E 为平行四边形,11E F EF //.EF ⊂∵平面ABCD ,11E F ⊄平面ABCD ,∴11E F //平面ABCD .第27题. 已知正方体1111ABCD A B C D -, 求证:平面11AB D //平面1C BD .答案:证明:因为1111ABCD A B C D -为正方体, 所以1111D C A B //,1111D C A B =. 又11AB A B //,11AB A B =, 所以11D C AB //,11D C AB =, 所以11D C BA 为平行四边形.所以11D A C B //.由直线与平面平行的判定定理得1D A //平面1C BD .同理11D B //平面1C BD ,又1111D A D B D =,所以,平面11AB D //平面1C BD .第28题. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这个平面.如图,已知直线a ,b 平面α,且a b //,a α//,a ,b 都在α外. 求证:b α//.答案:证明:过a 作平面β,使它与平面α相交,交线为c . 因为a α//,a β⊂,c αβ=,所以a c //.因为a b //, 所以b c //.又因为c α⊂,b α⊄, 所以b α//.第29题. 如图,直线AA ',BB ',CC '相交于O ,AO AO =',BO B O =',CO C O ='. 求证:ABC //平面ABC '''.答案:提示:容易证明AB AB //'',AC AC //''. 进而可证平面ABC //平面ABC '''.第30题. 直线a 与平面α平行的充要条件是( ) A.直线a 与平面α内的一条直线平行 B.直线a 与平面α内两条直线不相交C.直线a 与平面α内的任一条直线都不相交 D.直线a 与平面α内的无数条直线平行答案:C.。
最新线面平行、垂直经典练习题
1. 三棱柱111ABC A B C -中,1CC ⊥平面ABC ,ABC ∆是边长为2的等边三角形,D 为AB 边中点,且12CC AB =.⑴求证:平面1C CD ⊥平面ABC ;⑵求证:1AC ∥平面1CDB ; ⑶求三棱锥1D CBB -的体积.2.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是11B D 的中点,F 是1BC 的中点,求证:11//EF ABB A3.如图,四棱锥P ABCD -中,侧面PCD 为正三角形,且与底面ABCD 垂直,已知底面ABCD 菱形,60ADC ∠=︒,M 为PB 的中点,求证:(1)PA CD ⊥;(2)面CDM ⊥面PAB 。
C 1B 1A 1D CBAA B4.(07天津理19,本小题满分12分) 如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=,,°,PA AB BC ==,E 是PC 的中点.(Ⅰ)证明CD AE ⊥; (Ⅱ)证明PD ⊥平面ABE ;5、如图,P 为ABC ∆所在平面外一点,PA ┴面BAC ,<90,ABC ∠=oAE ┴PB 于E ,AF ┴PC 于F ,求证:(1)BC ┴面PAB ,(2)AE ┴面PBC ,(3)PC ┴面AEF 。
6.(2010年高考山东卷文科20)(本小题满分12分) 在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形, MA ⊥平面ABCD ,//PD MA ,E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点,且2AD PD MA ==.(I )求证:平面EFG ⊥平面PDC ;(II )求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积 之比.A CBPEFABCDPPEB2. 如图,棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,(1) 求证:AC ⊥平面B 1D 1DB; (2) 求证:BD 1⊥平面ACB 1 (3) 求三棱锥B-ACB 1体积.3.如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ⊥底面 ABCD ,E 是PC 的中点。
直线与平面例题(平行)
直线和平面的位置关系典型例题分析例1设,是两条直线,,是两个平面.下列命题中正确的是().(A)若,,则、是异面直线(B)若,,且,则、是异面直线(C)若,,且,则、是异面直线(D)若,,且,则、是异面直线例2 下列命题中正确的是().(A)一直线和一平面内的一条直线平行,那么这直线与这个平面平行.(B)一直线和一平面内的无数条直线平行,那么这直线与这个平面平行.(C)一直线和一个平面平行,那么这直线与这平面内的任意直线都平行.(D)一直线和一个平面平行,那么这直线与这平面内的无数条直线平行.例3已知,是两个平面,,,是三条直线.,,,,,求证:和是异面直线.分析证明两直线是异面直线,通常多用反证法.反证法是一种从否定欲证的结论开始,经过正确推理,而最终推出矛盾,从而得到欲证结论正确的证明方法.本题否定结论,得和不是异面直线,以此为据的推理有二种思考方向,即可能得到或、相交;也可能得到、共面.不同的思考方向,证明的思路也会稍有差别.证法一:假设、不是异面直线,则有或、相交.(1)若,又,∴,这与相矛盾.∴与不平行.(2)若、相交,设,∴,,∴.∴.于是有和相交,这与相矛盾.∴、不相交.由(l),(2)得,、是异面直线.证法二:假设、不是异面直线,则、共面.于是存在平面,使,(如图)∵,又(因为若,则,都是平面、的交线,而得、是一条直线,这不可能),∴.又,,∴,这与相矛盾.∴、是异面直线.点评证法一是反证法和穷举法的结合.例4、如图1-83,正方体A1B1C1D1—ABCD中,E、F是对角线,A1D、B1D1的中点,试判断直线EF分别与正方体六个面中哪些平面平行,并证明你的结论.解(1)EF∥平面D1C1CD;(2)EF∥平面A1B1BA.证明如下:(1)连接A1C1、C1D,∵E是B1D1的中点,∴E是A1C1的中点,又∵F是A1D的中点,∴EF是△A1C1D的中位线,(2)连接D1A、AB1,同理可证,EF∥平面A1B1BA.评注在使用线面平行的判定定理时要注意两点:①平面外的一条直线一定要平行于平面内的一条直线;②平面内的那一条直线可以是任意的,只要能在平面内找一条与平面外一条直线平行的直线,就可以证明平面外一条直线与平面平行.例5、已知三个平面两两相交,有三条交线,判断这三条交线的位置关系,并予以证明.分析与简证判断这三条交线的位置关系应具有一定的空间想象能力和逻辑推理能力,然后利用平面的基本性质和线面平行的判定定理和性质定理加以证明.设这三个平面为α、β、γ,且α∩β=c,γ∩α=b,β∩γ=a因为b与c共面于α,所以b与c相交于一点或互相平行.(1)若b与c相交于点P,易证P必在β与γ的交线a上,即a、b、c相交于一点.故a∥b∥C.例6 设α、β是两个相交平面,a是一条直线,α∩β=c,a∥α,a∥β,求证:a∥C.分析与简证根据题设,应处理好线面平行与线线平行之间的转化,最后借助于公理4来解决.过直线a作平面γ和δ,使γ∩α=m,δ∩β=n,由a∥α知a∥m,同理a∥n,故m∥n,进而得m∥β.所以a∥C.评注①本题可归纳成一般性的结论:“如果一条直线与两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行.”②在证明线与面、线与线及线与面的位置关系时,应从“看到结论想判定定理,看到条件想性质定理”去分析题意和寻求证明思路。
04线面平行与面面平行判定与性质(经典题型+答案)
线面平行、面面平行的判定及性质一、直线与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则直线与此平面平行.性质定理如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行.二、平面与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行性质定理如果两个平行平面时与第三个平面相交,那么它们的交线平行A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解:由面面平行的定义可知选D.例2:若直线a平行于平面α,则下列结论错误的是()A.a平行于α内的所有直线B.α内有无数条直线与a平行C.直线a上的点到平面α的距离相等D.α内存在无数条直线与a垂直解:A错误,a与α内的直线平行或异面.例3:已知不重合的直线a,b和平面α,①若a∥α,b⊂α,则a∥b;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,b⊂α,则a∥α;④若a∥b,a∥α,则b∥α或b⊂α,上面命题中正确的是________(填序号)。
解:①中a与b可能异面;②中a与b可能相交、平行或异面;③中a可能在平面α内,④正确。
例4:已知α、β是平面,m 、n 是直线,给出下列命题:①若m ⊥α,m ⊂β,则α⊥β.②若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β.③如果m ⊂α,n ⊄α,m 、n 是异面直线,那么n 与α相交.④若α∩β=m ,n ∥m ,且n ⊄α,n ⊄β,则n ∥α且n ∥β其中正确命题的个数是 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4解:对于①,由定理“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直”得知,①正确;对于②,注意到直线m ,n 可能是两条平行直线,此时平面α,β可能是相交平面,因此②不正确;对于③,满足条件的直线n 可能平行于平面α,因此③不正确;对于④,由定理“如果平面外一条直线平行于平面内一条直线,那么这条直线平行于这个平面”得知,④正确.综上所述,其中正确的命题是①④,选B.例5:已知m ,n 表示两条不同直线,α,β,γ表示不同平面,给出下列三个命题:(1)⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ;(2)⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α (3)⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n 其中真命题的个数为 ( ) A .0 B .1 C .2 D .3 解:若⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α,n ⊥α,则m ∥n ,即命题(1)正确;若⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α,m ⊥n ,则n ∥α或n ⊂α,即命题(2)不正确;若⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ∥α,则m ⊥n ,即命题(3)正确;综上可得,真命题共有2个.选C例6:已知m 、n 、l 1、l 2表示直线,α、β表示平面.若m ⊂α,n ⊂α,l 1⊂β,l 2⊂β,l 1∩l 2=M ,则以下条件中,能推出α∥β的是 ( )A .m ∥β且l 1∥αB .m ∥β且n ∥βC .m ∥β且n ∥l 2D .m ∥l 1且n ∥l 2解:由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行,那么这两个平面平行”可得,由选项D 可推知α∥β.例7:在下列条件中,可判断平面α与β平行的是( ).A. α、β都平行于直线lB. α内存在不共线的三点到β的距离相等C. l 、m 是α内两条直线,且l ∥β,m ∥βD. l 、m 是两条异面直线,且l ∥α,m ∥α,l ∥β,m ∥β 解:排除法,A中α、β可以是相交平面;B中三点可面平面两侧;C中两直线可以不相交.故选D,也可直接证明.例8:经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作( ).A. 0个B. 1个C. 0个或1个D. 1个或2个解:这两点可以是在平面同侧或两侧.选C 。
直线、平面平行的判定与性质知识点+典型例题及答案解析
2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线和平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种 位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点 有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点 符号表示a ⊂αa ∩α=Aa||α 图形表示注:直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 2、直线和平面平行(1)定义:直线和平面没有公共点,则称此直线L 和平面α平行,记作L ||α。
(2)判定定理:如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
简记为:线线平行,则线面平行.符号表示:,////a b a b a ααα⊄⊂⇒、.2.2.2 平面与平面平行的判定1、定义:没有公共点的两个平面叫做平行平面。
符号表示为:平面α、平面β,若a ∩β=∅,则a ∥β2、判定定理:1..性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行. 简记为:线面平行,则线线平行.判定文字描述如果两个平面无公共点,责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.如果两个平面同时垂直于一条直线,那么这两个平面垂直。
图形条件=αβ∅α,b ⊂β,α∩b =P α∥α,b ∥α ⇒β∥αl ⊥α l ⊥β ⇒β∥α结论//αβ //αβ //αβ符号表示:若//,,,//a a b a b αβαβ⊂=则.2.2.4 平面与平面平行的性质性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交,那么他们的交线平行 如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线,那么另一个平面也垂直于这条直线 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面 图形条件 α∥β β∩γ=b α∩γ=a α∥β l ⊥α α∥β a ⊂β结论a ∥bl ⊥βa ∥α1. 解题方法(1) 证明直线与平面平行的常用方法:2.利用定义,证明直线与平面没有公共点。
高一数学必修第二册 2019(A版)_【典型例题】空间直线、平面的平行(第一课时):线面平行(解析版
空间直线、平面的平行(第一课时):线面平行【例1】(2019·山西省长治市第二中学校节选)如图,四棱锥P ABCD -中,90BAD ABC ︒∠=∠=,证明:BC ∥平面PAD【答案】证明过程见详解;【解析】因为四棱锥P ABCD -中,90︒∠=∠=BAD ABC ,所以BC AD ∥,因为AD ⊂平面PAD ,BC ⊄平面PAD ,所以BC ∥平面PAD ;【例2】(2019·江西省大余县新城中学高二月考节选)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,F 是AB 的中 点,E 是PD 的中点,//PB 平面AEC【答案】证明见解析【解析】连接BD ,设BD 与AC 的交点为O ,连接EO .因为四边形ABCD 为矩形,所以O 为BD 的中点,又因为E 为PD 的中点,所以//EO PB ,因为EO ⊂平面AEC ,PB ⊄平面AEC ,所以//PB 平面AEC .【例3】(2019·黑龙江高三月考节选)如图,已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形, //AB DC 且12DC AB =,M 是PB 的中点,证明: //MC 平面PAD【答案】证明见解析【解析】证明:取PA 中点为N ,因为,N M 分别是,PA PB 中点,所以1//2MN AB ,又因为1//2DC AB ,所以MN //DC , 所以四边形MNDC 为平行四边形,所以//MC ND ,ND ⊂平面PAD ,MC ⊄平面PAD ,所以//MC 平面PAD .【例4】如图,在四面体A BCD -中,M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且3AQ QC =求证://PQ 平面BCD .【答案】证明见解析【解析】如下图所示,取BD 的中点O ,在线段CD 上取点F ,使得3DF FC =,连接OP 、OF 、FQ .3AQ QC =,3AQ DF QC FC ∴==,//QF AD ∴,且14QF AD =. O 、P 分别为BD 、BM 的中点,//OP AD ∴,且12OP DM =. M 为AD 的中点,14OP AD ∴=. //OP QF ∴且OP QF =,四边形OPQF 是平行四边形,//PQ OF ∴.PQ ⊄平面BCD ,OF ⊂平面BCD ,//PQ ∴平面BCD .【举一反三】1.(2019·江苏高一期末)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,点M 为PC 中点,证明://PA 平面BDM ;【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析【解析】连接AC 交BD 于点O ,连接OM ,因为底面ABCD 为平行四边形,所以O 为AC 中点.在PAC ∆中,又M 为PC 中点,所以//OM PA .又PA ⊄平面BDM ,OM ⊂平面BDM ,所以//PA 平面BDM .2.(2019·云南师大附中高三月考节选)如图,在三棱锥A -BCD 中,点M ,N 分别在棱AC ,CD 的中点,求证:AD //平面BMN【答案】详见解析【解析】证明:在ACD 中,因为M ,N 分别为棱AC ,CD 的中点,所以//MN AD ,又AD ⊄平面BMN ,MN ⊂平面BMN ,所以AD 平面BMN .3.(2019·江苏淮阴中学高二月考节选)四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,求证://CD 平面PAB【答案】详见解析【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形,所以//CD AB ,又因为AB 平面PAB ,CD ⊄平面PAB ,所以//CD 平面PAB 。
线面平行判定定理测试题(含答案)
线面平行判定定理测试题1.如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,且PA=AD.(1)求证:AF∥平面PEC;(2)求证:平面PEC⊥平面PCD.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形.点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证:AB∥EF;(2)若PA=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求证:AF⊥平面PCD.3.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(Ⅰ)证明MN//平面PAB;(Ⅱ)求四面体N-BCM的体积.4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(Ⅰ)求证:PE⊥BC;(Ⅱ)求证:平面PAB⊥平面PCD;(Ⅲ(Ⅱ))求证:EF∥平面PCD.5.如图:ABCD是平行四边形,AP⊥平面ABCD,BE∥AP,AB=AP=2,BE=BC=1,∠CBA=60°(1)求证:EC∥平面PAD;(2)求证:平面PAC⊥平面EBC;(3)求直线PC与平面PABE所成角的正弦值.AD.6.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12(I)M为PD的中点,试证明:直线CM∥平面PAB;(II)证明:平面PAB⊥平面PBD.7.如图,在直三棱柱ABC-A1B l C1中,AC=BC=√2,∠ACB=90°.AA1=2,D为AB的中点.(Ⅰ)求证:AC⊥BC1;(Ⅱ)求证:AC1∥平面B1CD:(Ⅲ)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.答案和解析1.【答案】证明:(1)取PC的中点G,连结FG、EG,∴FG为△CDP的中位线,FG∥CD,FG=1CD.2∵四边形ABCD为矩形,E为AB的中点,∴AE∥CD,CD.AE=12∴FG=AE,FG∥AE,∴四边形AEGF是平行四边形,∴AF∥EG又EG⊂平面PCE,AF⊄平面PCE,∴AF∥平面PCE;(2)∵PA=AD.∴AF⊥PDPA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,又因为CD⊥AB,AP∩AB=A,∴CD⊥面APD∴CD⊥AF,且PD∩CD=D,∴AF⊥面PDC由(Ⅰ)得EG∥AF,∴EG⊥面PDC又EG⊂平面PCE,∴平面PEC⊥平面PCD.【解析】本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定,属于中档题.(1)取PC的中点G,连结FG、EG,AF∥EG又EG⊂平面PCE,AF⊄平面PCE,AF∥平面PCE;(2)由(Ⅰ)得EG∥AF,只需证明AF⊥面PDC,即可得到平面PEC⊥平面PCD.2.【答案】解:(1)证明:∵底面ABCD是正方形,∴AB∥CD ,又∵AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AB∥平面PCD ,又∵A,B,E,F四点共面,且平面ABEF∩平面PCD=EF,∴AB∥EF ;(2)证明:在正方形ABCD中,CD⊥AD ,又∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,CD⊄平面PAD∴CD⊥平面PAD ,又∵AF⊂平面PAD ,∴CD⊥AF ,由(1)可知,AB∥EF,又∵AB∥CD,C,D,E,F在同一平面内,∴CD∥EF ,∵点E是棱PC中点,∴点F是棱PD中点,在△PAD中,∵PA=AD,∴AF⊥PD ,又∵PD∩CD=D,PD、CD⊂平面PCD,∴AF⊥平面PCD.【解析】(1)证明AB∥平面PCD,即可得AB∥EF;(2)利用平面PAD⊥平面ABCD,证明CD⊥AF,PA=AD,所以AF⊥PD,即可证明AF⊥平面PCD;本题考查线面平行的性质,平面与平面垂直的性质,考查线面垂直,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.3.【答案】证明:(Ⅰ)取BC中点E,连结EN,EM,∵N为PC的中点,∴NE是△PBC的中位线∴NE//PB,又∵AD//BC,∴BE//AD,∵AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,∴BE=12BC=AM=2,∴四边形ABEM是平行四边形,∴EM//AB,∴平面NEM//平面PAB,∵MN⊂平面NEM,∴MN//平面PAB.解:(Ⅱ)取AC中点F,连结NF,∵NF是△PAC的中位线,∴NF//PA,NF=12PA=2,又∵PA⊥面ABCD,∴NF⊥面ABCD,如图,延长BC至G,使得CG=AM,连结GM,∵AM=//CG,∴四边形AGCM是平行四边形,∴AC=MG=3,又∵ME=3,EC=CG=2,∴△MEG的高h=√5,∴S△BCM=12×BC×ℎ=12×4×√5=2√5,∴四面体N-BCM的体积V N-BCM=13×S△BCM×NF=13×2√5×2=4√53.【解析】(Ⅰ)取BC中点E,连结EN,EM,得NE是△PBC的中位线,推导出四边形ABEM是平行四边形,由此能证明MN//平面PAB.(Ⅱ)取AC中点F,连结NF,NF是△PAC的中位线,推导出NF⊥面ABCD,延长BC至G,使得CG=AM,连结GM,则四边形AGCM是平行四边形,由此能求出四面体N-BCM的体积.本题考查线面平行的证明,考查四面体的体积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.4.【答案】证明:(Ⅰ)PA=PD,E为AD的中点,可得PE⊥AD,底面ABCD为矩形,可得BC∥AD,则PE⊥BC(Ⅱ)∵底面为矩形,∴.∵平面平面,∴平面PAD.∴.又,∵平面,PD平面PCD∴平面平面.(Ⅲ)如图,取中点,连接.分别为和的中点,∴,且.∵四边形为矩形,且为的中点,∴,∴,且,∴四边形为平行四边形,∴.又平面,平面,∴平面.【解析】(1)由等腰三角形的三线合一性质和矩形的对边平行性质,即可得证;(2)作出平面PAB和平面PCD的交线,注意运用公理4,再由面面垂直的性质和两个平面所成角的定义,即可得证;(3)取PC的中点H,连接DH,FH,运用中位线定理和平行四边形的判断和性质,结合线面平行的判定定理,即可得证.本题考查线面和面面的位置关系,考查线面平行、垂直的判定和性质,以及面面垂直的判断和性质,注意运用转化思想,考查推理能力和空间想象能力,属于中档题.5.【答案】(1)证明:因为BE∥PA,BE⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,所以BE∥平面PAD,同理BC∥平面PAD,所以平面PAD∥平面EBC,因为EC⊂平面EBC,所以EC∥平面PAD…(4分)(2)证明:因为AB=2,BC=1,∠CBA=60°,由余弦定理得,AC=√3,所以由勾股定理逆定理∠BCA=90°,所以AC⊥BC,又因为BE⊥平面ABCD,所以BE⊥AC,则有AC⊥平面EBC,AC⊂平面PAC所以平面BEC⊥平面PAC.…(8分)(3)解:作CH⊥AB于H,连结PH,又因为CH⊥PA,所以CH⊥平面PABE,所以∠HPC即为线面角,∴sin∠HPC=HCPC =√2114.…(13分)【解析】(1)由已知条件推导出平面PAD∥平面EBC,由此能证明EC∥平面PAD.(2)由余弦定理得AC=,由勾股定理得AC⊥BC,由线面垂直得BE⊥AC,由此能证明平面BEC⊥平面PAC.(3)作CH⊥AB于H,连结PH,由题设知∠HPC即为线面角,由此能求出直线PC与平面PABE所成角的正弦值.本题考查直线与平面平行的证明,考查平面与平面垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要注意空间思维能力的培养.6.【答案】证明:(I)M为PD的中点,直线CM∥平面PAB.取AD的中点E,连接CM,ME,CE,则ME∥PA,∵ME⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,∴ME∥平面PAB.∵AD∥BC,BC=AE,∴ABCE是平行四边形,∴CE∥AB.∵CE⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴CE∥平面PAB.∵ME ∩CE =E ,∴平面CME ∥平面PAB , ∵CM ⊂平面CME , ∴CM ∥平面PAB ;(II )∵PA ⊥CD ,∠PAB =90°,AB 与CD 相交, ∴PA ⊥平面ABCD , ∵BD ⊂平面ABCD , ∴PA ⊥BD ,由(I )及BC =CD =12AD ,可得∠BAD =∠BDA =45°, ∴∠ABD =90°,∴BD ⊥AB , ∵PA ∩AB =A , ∴BD ⊥平面PAB , ∵BD ⊂平面PBD ,∴平面PAB ⊥平面PBD . 【解析】(I )M 为PD 的中点,直线CM ∥平面PAB .取AD 的中点E ,连接CM ,ME ,CE ,则ME ∥PA ,证明平面CME ∥平面PAB ,即可证明直线CM ∥平面PAB ; (II )证明:BD ⊥平面PAB ,即可证明平面PAB ⊥平面PBD .本题主要考查了直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于中档题.7.【答案】解:(I )证明:∵CC 1⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,∠ACB =90°, ∴CC 1⊥AC ,AC ⊥BC ,又BC ∩CC 1=C ,∴AC ⊥平面BCC 1,BC 1⊂平面BCC 1, ∴AC ⊥BC 1.(II )证明:如图,设CB 1∩C 1B =E ,连接DE , ∵D 为AB 的中点,E 为C 1B 的中点,∴DE ∥AC 1, ∵DE ⊂平面B 1CD ,AC 1⊄平面B 1CD , ∴AC 1∥平面B 1CD .(III )解:由DE ∥AC 1,∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角,在△CDE 中,DE =12AC 1=12√AC 2+CC 12=√62, CE =12B 1C =12√BC 2+BB 12=√62,CD =12AB =12√AC 2+BC 2=1,cos ∠CED =CE 2+DE 2−CD 22×CE×DE=32+32−12×√62×√62=23,∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为23. 【解析】(I )先证线面垂直,再由线面垂直证明线线垂直即可;(II)作平行线,由线线平行证明线面平行即可;(III)先证明∠CED为异面直线所成的角,再在三角形中利用余弦定理计算即可.本题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线及其所成的角.。
立体几何线面平行-题型全归纳(解析版)
立体几何线面平行-题型全归纳题型一利用三角形中位线例题1、如图所示,在三棱柱ABC-111C B A 中,侧棱⊥1AA 底面ABC ,AB ⊥BC ,D 为AC 的中点。
求证:1AB //平面DBC 1证明:连接C B 1,交1BC 于点O,再连接OD,平面11B BCC 是平行四边形,∴O是1BC 的中点,又D是AC的中点,∴OD是1ACB ∆的中位线,1//AB OD ∴,⊂OD 平面D BC 1,⊄1AB 平面D BC 1,//OD ∴平面D BC 1。
解题步骤(1)把直线通过平移到平面上,得到线线平行的初步形状;(2)连接平行四边形的对角线,再连接两个中点,恰好为平移所得到的线段;(3)通过延长两条线段的端点,构成一个三角形,即可得到三角形的中位线。
变式训练1、如图,在直四棱柱ABCD-1111D C B A 中,底面ABCD 为菱形,E 为1DD 中点。
求证:1BD //平面ACE ;证明:连接BD,交AC于点O,再连接OE,在直四棱柱ABCD-1111D C B A 中,O为BD的中点,且E为1DD 的中点,∴OE是1BDD ∆的中位线,1//BD OE ∴,又OE⊂平面ACE,⊄1BD 平面ACE,∴1BD //平面ACE 。
变式训练2、如图,在斜三棱柱ABC-111C B A 中,CA=CB ,D 、E 分别是AB ,C B 1的中点,求证:DE//平面11A ACC ;证明:连接1BC ,连接1AC ,在斜三棱柱ABC-111C B A 中,∴点E在线段1BC 上,∴点E是1BC 的中点,又点D是AB的中点,∴DE是1ABC ∆的中位线,∴DE//1AC ,⊄DE 平面11A ACC ,⊂1AC 平面11A ACC ∴DE//平面11A ACC 变式训练3、如图所示,正三棱柱ABC-111C B A 的高为2,点D 是B A 1的中点,点E 是11C B 的中点,求证:DE//平面11A ACC证明:连接1AB ,连接1AC ,在正三棱柱ABC-111C B A 中,∴点D在线段1AB 上,∴点D是1AB 的中点,又点E是11C B 的中点,∴DE是11C AB ∆的中位线,∴DE//1AC ,⊄DE 平面11A ACC ,⊂1AC 平面11A ACC ∴DE//平面11A ACC题型二利用平行四边形的对边平行例题2、如图,在多面体ABCDE 中,AEB 为等边三角形,AD//BC ,BC AD 21=,F 为EB 的中点。
线面、面面平行的判断与性质(教师版)
典型练习题1. (08·湖南)若有直线m、n和平面α、β,下列四个命题中,正确的是(D)A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥βC.若α⊥β,m⊂α,则m⊥βD.若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α2.(2010·浙江理)设m,l是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是(B)A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB.若l⊥α,l∥m,则m⊥αC.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥α,m∥α,则l∥m3.(2010·山东文,4)在空间,下列命题正确的是(D)A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行4.(文)已知两条直线m、n,两个平面α、β.给出下面四个命题:①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;③m∥n,m∥α⇒n∥α;④α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是(C)A.①③B.②④C.①④D.②③5. (理)(2010·胶州三中)已知有m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的命题是(D)A.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥βB.若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥n,n⊥α,则m⊥α6.(文)平面α∥平面β的一个充分条件是(D)A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a、b,a⊂α、b⊂β、a∥β、b∥αD.存在两条异面直线a、b,a⊂α、b⊂β、a∥β、b∥α7. (理)对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使m与l(C)A .平行B .相交C .垂直D .互为异面直线8.下列命题正确的是( C )A 一直线与平面平行,则它与平面内任一直线平行B 一直线与平面平行,则平面内有且只有一个直线与已知直线平行C 一直线与平面平行,则平面内有无数直线与已知直线平行,它们在平面内彼此平行D 一直线与平面平行,则平面内任意直线都与已知直线异面9.若直线l 与平面α的一条平行线平行,则l 和α的位置关系是( C )A α⊂lB α//lC αα//l l 或⊂D 相交和αl10.若直线a 在平面α内,直线a,b 是异面直线,则直线b 和α平面的位置关系是 ( C )A .相交 B. 平行 C. 相交或平行 D. 相交且垂直11.下列各命题:①经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线;②若一条直线平行于两相交平面,则这条直线和交线平行;③空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。
线面平行典型例题
线面平行典型例题1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底面ABCD对角线的交点。
需要证明:(1) C1O∥面AB1D1.证明:连接C1O,AB1,D1O,由于O是底面ABCD的对角线交点,所以AO=BO=CO=DO,又因为O是C1D1的中点,所以C1O=1/2D1O。
因此,三角形AB1D1和三角形C1O1D1中,∠AB1D1=∠C1O1D1,∠B1D1O1=∠D1C1O1,且AO=CO,所以根据AA准则,可以得出C1O∥面AB1D1.2.已知三棱柱ABC-D1A1D,其中D为线段A1C1中点。
需要证明:BC1∥平面AB1D。
证明:连接AC1,BD,因为D为线段A1C1中点,所以BD∥A1C1,又因为ABCD为平行六面体,所以AC1=BD,所以AC1∥BD。
又因为D1为平面ABC和平面A1B1C1的交点,所以D1在这两个平面的公共垂线上,所以D1在直线AC1和BD的公共垂线上,所以D1在平面AB1D的公共垂线上,所以BC1∥平面AB1D。
3.如图所示,正三棱柱ABC-AB1C1中,D是BC的中点,需要判断A1B与平面ADC1的位置关系,并证明结论。
解答:连接A1D,B1D,因为D是BC的中点,所以AD=B1D,又因为AB1C1为平行四边形,所以B1C1∥AB,所以∠A1B1C1=∠ABC=90°,所以A1B1垂直于平面ABC,所以A1B1与平面ADC1平行。
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P、Q分别是AD1、BD上的点,且AP=BQ,需要证明:PQ∥平面DCC1D1.证明:连接PQ,因为AP=BQ,所以APBQ是平行四边形,所以PQ∥AB,又因为AB∥平面DCC1D1,所以PQ∥平面DCC1D1.5.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ,需要证明:PQ∥平面BCE。
证明:连接PQ,因为AP=DQ,所以APDQ是平行四边形,所以PQ∥AD,又因为AD∥平面BCE,所以PQ∥平面BCE。
线面、面面平行、垂直例题
¤学习目旳:以立体几何旳定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中线面平行旳鉴定,掌握直线与平面平行鉴定定理,掌握转化思想“线线平行⇒线面平行”. ¤知识要点:1. 定义:直线和平面没有公共点,则直线和平面平行.2. 鉴定定理:平面外旳一条直线与此平面内旳一条直线平行,则该直线与此平面平行. 符号表达为:,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒. 图形如右图所示. ¤例题精讲:【例1】已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,E、F 分别为AB 、PD 旳中点,求证:AF ∥平面PEC【例2】在正方体AB CD -A 1B 1C1D 1中,E 、F分别为棱BC 、C 1D 1旳中点. 求证:EF ∥平面BB1D1D.【例3】如图,已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别是AB 、PC 旳中点(1)求证:MN //平面PA D;(2)若4MN BC ==,43PA =,求异面直线PA 与MN 所成旳角旳大小. .¤学习目旳:以立体几何旳定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中面面平行旳鉴定,掌握两个平面平行旳鉴定定理与应用及转化旳思想.¤知识要点:面面平行鉴定定理:如果一种平面内有两条相交直线都平行于另一种平面,那么这两个平面平行.用符号表达为:,,////,//a b ab P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭. ¤例题精讲:【例1】如右图,在正方体A BC D—A 1B 1C1D 1中,M、N 、P分别是C 1C 、B 1C1、C 1D1旳中点,求证:平面MNP ∥平面A 1B D..【例2】已知四棱锥P -A BCD 中, 底面ABCD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在PA 、BD 、P D上, 且PM :MA=BN :ND =PQ :QD .求证:平面MNQ ∥平面P BC .第14讲 §2.2.3 直线与平面平行旳性质¤学习目旳:通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中线面平行旳性质,掌握直线和平面平行旳性质定理,灵活运用线面平行旳鉴定定理和性质定理,掌握“线线”“线面”平行旳转化.NM P DCQB A¤知识要点:线面平行旳性质:如果一条直线和一种平面平行,通过这条直线旳平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行. 即:////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭. ¤例题精讲:【例1】通过正方体ABCD -A1B 1C 1D 1旳棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E ,求证:E 1E ∥B1B【例2】如右图,平行四边形EFG H旳分别在空间四边形AB CD 各边上,求证:BD //平面EFG H.第15讲 §2.2.4 平面与平面平行旳性质¤学习目旳:通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中面面平行旳性质,掌握面面平行旳性质定理,灵活运用面面平行旳鉴定定理和性质定理,掌握“线线”“线面”“面面”平行旳转化. ¤知识要点:1. 面面平行旳性质:如果两个平行平面同步与第三个平面相交,那么它们旳交线平行. 用符号语言表达为://,,//a b a b αβγαγβ==⇒.2. 其他性质:①//,//l l αβαβ⊂⇒; ②//,l l αβαβ⊥⇒⊥;βaαb③夹在平行平面间旳平行线段相等. ¤例题精讲:【例1】如图,设平面α∥平面β,A B、C D是两异面直线,M 、N 分别是AB 、CD 旳中点,且A 、C∈α,B 、D ∈β. 求证:MN ∥α.【例4】如图,已知正方体1111ABCD A B C D -中,面对角线1AB ,1BC 上分别有两点E、F ,且11B E C F =. 求证:EF ∥平面ABCD .第16讲 §2.3.1 直线与平面垂直旳鉴定¤学习目旳:以立体几何旳定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中线面垂直旳鉴定,掌握直线与平面垂直旳定义,理解直线与平面垂直旳鉴定定理,并会用定义和鉴定定理证明直线与平面垂直旳关系. 掌握线面角旳定义及求解. ¤知识要点:1. 定义:如果直线l 与平面α内旳任意一条直线都垂直,则直线l 与平面α互相垂直,记作l α⊥. l -平面α旳垂线,α-直线l 旳垂面,它们旳唯一公共点P 叫做垂足.(线线垂直→线面垂直)2. 鉴定定理:一条直线与一种平面内旳两条相交直线都垂直,则这条直线与该平面GNMFEEC DBAD 1C 1B 1A 1βαEN MDBCA垂直. 符号语言表达为:若l ⊥m ,l ⊥n ,m ∩n =B ,m α,nα,则l ⊥α3. 斜线和平面所成旳角,简称“线面角”,它是平面旳斜线和它在平面内旳射影旳夹角. 求直线和平面所成旳角,几何法一般先定斜足,再作垂线找射影,然后通过解直角三角形求解,可以简述为“作(作出线面角)→证(证所作为所求)→求(解直角三角形)”. 一般,通过斜线上某个特殊点作出平面旳垂线段,垂足和斜足旳连线是产生线面角旳核心. ¤例题精讲:【例1】四周体ABCD 中,,,AC BD E F =分别为,AD BC 旳中点,且22EF AC =,90BDC ∠=,求证:BD ⊥平面ACD .【例2】已知ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,2AB =,4PA AD ==,E 为BC 旳中点.(1)求证:DE ⊥平面PAE ;(2)求直线DP 与平面PAE 所成旳角.【例3】三棱锥P ABC -中,PA BC PB AC ⊥⊥,,PO ⊥平面AB C,垂足为O ,求证:O 为底面△ABC 旳垂心.第17讲 §2.3.2 平面与平面垂直旳鉴定¤学习目旳:通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中面面垂直旳鉴BD CAE FG定,掌握二面角和两个平面垂直旳定义,理解平面与平面垂直旳鉴定定理并会用鉴定定理证明平面与平面垂直旳关系,会用所学知识求两平面所成旳二面角旳平面角旳大小.¤知识要点:1. 定义:从一条直线出发旳两个半平面所构成旳图形叫二面角(dihedral a ngl e). 这条直线叫做二面角旳棱,这两个半平面叫做二面角旳面. 记作二面角AB αβ--. (简记P AB Q --)2. 二面角旳平面角:在二面角l αβ--旳棱l 上任取一点O ,以点O 为垂足,在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 旳射线OA 和OB ,则射线OA 和OB 构成旳AOB ∠叫做二面角旳平面角. 范畴:0180θ︒<<︒.3. 定义:两个平面相交,如果它们所成旳二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥.4. 鉴定:一种平面过另一种平面旳垂线,则这两个平面垂直. (线面垂直→面面垂直) ¤例题精讲:【例1】已知正方形ABC D旳边长为1,分别取边BC 、CD 旳中点E 、F ,连结AE 、EF、A F,以A E、EF 、FA为折痕,折叠使点B 、C 、D 重叠于一点P .(1)求证:A P⊥EF ;(2)求证:平面APE ⊥平面APF .【例2】如图, 在空间四边形A BCD 中,,,AB BC CD DA ==,,E F G分别是,,CD DA AC 旳中点,求证:平面BEF ⊥平面BGD .【例3】如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1CC 旳中点,求证:1A BD BED ⊥平面平面.第18讲 §2.3.3 线面、面面垂直旳性质¤学习目旳:通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中线面、面面垂直旳有关性质,掌握两个性质定理及定理旳应用. ¤知识要点:1. 线面垂直性质定理:垂直于同一种平面旳两条直线平行. (线面垂直→线线平行) 2. 面面垂直性质定理:两个平面垂直,则一种平面内垂直于交线旳直线与另一种平面垂直. 用符号语言表达为:若αβ⊥,l αβ=,a α⊂,a l ⊥,则a β⊥.(面面垂直→线面垂直) ¤例题精讲:【例1】如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 旳菱形,侧面PAD 是等边三角形,且平面PAD 垂直于底面ABCD . (1)若G 为AD 旳中点,求证:BG ⊥平面PAD ; (2)求证:AD PB ⊥;(3)求二面角A BC P --旳大小.【例2】如图,已知空间四边形ABCD 中,,BC AC AD BD ==,E 是AB 旳中点。
8.5 空间直线、平面的平行(精讲)(解析版)
8.5 空间直线、平面的平行(精讲)考法一 线面平行【例1-1】(2021·海原县第一中学高一期末)如图,正方体1111ABCD A BC D -中,E 为1DD 中点.求证:1//BD 平面AEC .【答案】证明见解析.【解析】证明:连结BD 与AC 交于点H ,连结HE .在1BDD 中,,E H 分别为1DD 、BD 的中点.得1//EH BD .又因为1BD ⊄平面AEC ,EH ⊂平面AEC ,所以1//BD 平面AEC【例1-2】(2020·浙江高一期末)如图,四棱锥P ABCD -,底面ABCD 为矩形,PD ⊥面ABCD ,E、F 分别为PA 、BC 的中点.(1)求证://EF 面PCD ;(2)若2AB =,1AD PD ==,求三棱锥P BEF -的体积.【答案】(1)证明见解析;(2)112. 【解析】(1)如下图所示,取PD 的中点M ,连接EM 、CM ,因为四边形ABCD 为矩形,则//AD BC 且AD BC =, E 、M 分别为PA 、PD 的中点,则//EM AD 且12EM AD =, F 为BC 的中点,所以,//EM CF 且EM CF =,所以,四边形CMEF 为平行四边形,所以,//EF CM ,EF ⊄平面PCD ,CM ⊂平面PCD ,//EF ∴平面PCD ;(2)如下图所示,连接AF ,取AD 的中点N ,连接EN ,E 为PA 的中点,所以,点P 、A 到平面BEF 的距离相等,所以,P BEF A BEF E ABF V V V ---==, E 、N 分别为PA 、AD 的中点,则//EN PD 且1122EN PD ==,PD ⊥平面ABCD ,EN ∴⊥平面ABCD , ABF 的面积为111122222ABF S AB BF =⋅=⨯⨯=△, 因此,11111332212P BEF A BEF E ABF ABF V V V S EN ---===⋅=⨯⨯=△. 【一隅三反】1.(2020·陕西西安市·高一期末)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,AB BC ⊥,D 为AC 的中点,12AA AB ==,3BC =.求证:1//AB 平面1BC D ;【答案】详见解析【解析】如图所示:连接1BC 与1C B 交于点O ,连接OD ,因为O ,D 为中点,所以1//OD AB ,又OD ⊂平面1BC D ,1AB ⊄平面1BC D ,所以1//AB 平面1BC D ;2.(2021·全国高一课时练习)如图,在三棱锥S ABC -中,已知SAC 是正三角形,G 为SAC 的重心,D ,E 分别为SC ,AB 的中点,F 在AB 上,且13AF AB =.求证://DE 平面SGF【答案】证明见解析【解析】证明:连接AD ,∵D 为SC 的中点,G 为SAC 的重心,∴点G 一定在AD 上,且23AG AD =, ∵E 为AB 的中点,∴12AE AB =, 又13AF AB =,∴12AE AB =,即23AF AE =, ∴AG AF AD AE=, 则//GF DE ,∵GF ⊂平面SGF ,DE ⊄平面SGF ,∴//DE 平面SGF ;3.(2020·咸阳市高新一中高一月考)正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ,在AE 、BD 上各有一点P ,Q ,且AP DQ =.求证://PQ 平面BCE .【答案】证明见解析.【解析】如图所示,//PM AB 交BE 于M ,作//QN AB 交BC 于N ,连接MN .正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ,AE BD ∴=.又AP DQ =,PE QB ∴=.又////PM AB QN ,PM PE QB AB AE BD ∴==,QN BQ DC BD =,PM QN AB DC∴=. //PM QN ∴且PM QN =,即四边形PMNQ 为平行四边形,//PQ MN ∴.又MN ⊂平面BCE ,PQ ⊄平面BCE ,//PQ ∴平面BCE .考法二 面面平行【例2】(2021·全国高一课时练习)如图,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,S 是B 1D 1的中点,E ,F ,G 分别是BC ,DC,SC的中点,求证:(1)直线EG//平面BDD1B1;(2)平面EFG//平面BDD1B1.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】证明:(1)如图,连接SB,因为E,G分别是BC,SC的中点,所以EG//SB.又因为SB⊂平面BDD1B1,EG⊄平面BDD1B1,所以直线EG//平面BDD1B1.(2)连接SD,因为F,G分别是DC,SC的中点,所以FG//SD.又因为SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,所以FG//平面BDD1B1,由(1)有直线EG//平面BDD1B1;又EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG//平面BDD1B1.【一隅三反】1.(2021·全国高一专题练习)下列四个正方体图形中,A,B,C为正方体所在棱的中点,则能得出平面ABC∥平面DEF的是A .B .C .D .【答案】B【解析】B 中,可证AB ∥DE ,BC ∥DF ,故可以证明AB ∥平面DEF ,BC ∥平面DEF .又AB ∩BC =B ,所以平面ABC ∥平面DEF .故选B .2.(2021·全国高一课时练习)如图:在正方体1111ABCD A BC D 中,E 为1DD 的中点.(1)求证:1//BD 平面AEC ;(2)若F 为1CC 的中点,求证:平面//AEC 平面1BFD .【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)连结BD 交AC 于O ,连结EO .∵因为1111ABCD A BC D -为正方体,底面ABCD 为正方形,对角线AC 、BD 交于O 点,所以O 为BD 的中点,又因为E 为1DD 的中点,在1DBD △中∴OE 是1DBD △的中位线∴1//OE BD ;又因为OE ⊂平面AEC ,1BD ⊄平面AEC ,所以1//BD 平面AEC .(2)证明:因为F 为1CC 的中点,E 为1DD 的中点,所以1//CF ED ,所以四边形1CFD E 为平行四边形,所以1//D F EC ,又因为EC ⊂平面AEC ,1D F ⊄平面AEC ,所以1D F ∥平面AEC ;由(1)知1//BD 平面AEC ,又因为111BD D F D ⋂=,所以平面//AEC 平面1BFD .3.(2021·全国高一)如图所示,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,E 、F 分别为PD 、PA 的中点,AC 、BD 交于点O .(1)求证:平面//PBC 平面EFO ;(2)求三棱锥A EFO -与四棱锥P ABCD -的体积之比.【答案】(1)证明见解析;(2)116【解析】(1)∵四边形ABCD 为平行四边形,E 、F 为PD 、PA 的中点,AC 、BD 交于点O , ∴////EF AD BC ,又∵EF ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,∴//EF 平面PBC ,又OE 是PBD △的中位线,∴//OE PB ,又OE ⊄平面PBC ,PB ⊂平面PBC ,∴//OE 平面PBC ,∵EF ⊂平面EFO ,OE ⊂平面EFO ,EF OE E ⋂=,∴平面//PBC 平面EFO .(2)∵E 、F 、O 为PD 、PA 、AC 的中点, ∴A EFOE AFO V V --=,14AFO ACP S S ∆∆=, ∴18A EFO E AFO D PAC D PAC V V V V ----==,又12D PAC P ACDP ABCD V V V ---==,∴116A EFO P ABCD V V --=.考法三 平行的综合运用【例3】(2020·全国高一课时练习)如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H 分别是BC ,CC 1,C 1D 1,A 1A 的中点.求证:(1)BF ∥HD 1; (2)EG ∥平面BB 1D 1D ; (3)平面BDF ∥平面B 1D 1H .【答案】(1) 见解析;(2) 见解析;(3)见解析.【解析】(1)取BB 1的中点M ,连接HM 、MC 1,四边则HMC 1D 1是平行四边形,∴HD 1∥MC 1. 又∵MC 1∥BF ,∴BF ∥HD 1.(2)取BD 的中点O ,连接EO 、D 1O ,则OE ∥1DC ,OE =112D C .又D 1G ∥DC ,D 1G =12DC ,∴OE ∥D 1G ,OE =D 1G ,∴四边形OEGD 1是平行四边形,∴GE ∥D 1O . 又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ,∴EG ∥平面BB 1D 1D .(3)由(1)知D 1H ∥BF ,又BD ∥B 1D 1,B 1D 1、HD 1⊂平面HB 1D 1,BF 、BD ⊂平面BDF ,且B 1D 1∩HD 1=D 1,DB ∩BF =B ,∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .【一隅三反】1.(2021·全国高一)已知直线a ,b 和平面α,下列命题中正确的是( ) A .若//a α,b α⊂,则//a b B .若//a α,//b α,则//a b C .若//a b ,b α⊂,则//a α D .若//a b ,//a α,则//b α或b α⊂【答案】D【解析】对于A ,若//a α,b α⊂,则//a b 或a 与b 异面;所以A 错; 对于B ,若//a α,//b α,则//a b 或a 与b 相交或a 与b 异面;所以B 错; 对于C ,若//a b ,b α⊂,则//a α或a α⊂,所以C 错;对于D ,因为//a α,所以在α内存在直线c 使得//a c ,因为//a b ,所以//b c ,因为c α⊂,所以b α⊂或b α⊄,当b α⊄时,因为c α⊂,//b c ,所以//b α,故D 正确; 故选:D .2.(2021·全国高一课时练习)设a ,b 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则//αβ的一个充分条件是( )A .存在一条直线a ,//a α,//a βB .存在一条直线a ,a α⊂,//a βC .存在两条平行直线a 、b ,a α⊂,b β⊂,//a β,//b αD .存在两条异面直线a 、b ,a α⊂,b β⊂,//a β,//b α 【答案】D【解析】对于A ,一条直线与两个平面都平行,两个平面不一定平行.故A 不对; 对于B ,一个平面中的一条直线平行于另一个平面,两个平面不一定平行,故B 不对; 对于C ,两个平面中的两条直线平行,不能保证两个平面平行,故C 不对; 对于D ,在直线b 上取点B ,过点B 和直线a 确定一个平面γ,交平面β于a ',因为//a β,所以//a a ';又a α'⊄,a α⊂,所以//a α', 又因为//b α,b a B '⋂=,b β⊂,a β'⊂,所以//βα; 故选:D3.(2020·北京大兴区·高一期末)如图所示,在四棱锥P ABCD -中,//BC 平面PAD ,12BC AD =,E 是PD 的中点.(1)求证://BC AD ; (2)求证://CE 平面PAB ;(3)若M 是线段CE 上一动点,则线段AD 上是否存在点N ,使//MN 平面PAB ?说明理由. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)存在;理由见解析.【解析】证明:(1)在四棱锥P ABCD -中,//BC 平面PAD ,BC ⊂平面ABCD , 平面ABCD ∩平面PAD AD =, ∴//BC AD ;(2)取PA 的中点F ,连接EF ,BF ,∵E 是PD 的中点, ∴//EF AD ,12EF AD =, 又由(1)可得//BC AD ,12BC AD =, ∴//BC EF ,BC EF =,∴四边形BCEF 是平行四边形, ∴//CE BF ,∵CE ⊄平面PAB ,BF ⊂平面PAB , ∴//CE 平面PAB .(3)取AD 中点N ,连接CN ,EN , ∵E ,N 分别为PD ,AD 的中点, ∴//EN PA ,∵EN ⊄平面PAB ,PA ⊂平面PAB , ∴//EN 平面PAB ,又由(2)可得//CE 平面PAB ,CE EN E =,∴ 平面//CEN 平面PAB ,∵M 是CE 上的动点,AN ⊂平面CEN , ∴//MN 平面PAB ,∴ 线段AD 上存在点N ,使//MN 平面PAB .考法四 线面、面面平行的性质【例4-】(2020·全国高一课时练习)在如图所示的几何体中,D 、H 、G 分别是AC 、BF 、CE 的中点,//EF DB .求证://GH 平面ABC .【答案】证明见解析【解析】证明:已知G ,H 分别是EC 和FB 的中点,再取CF 的中点O ,则OG EF //,又//EF DB ,//OG BD ∴,而BD ⊂平面ABC ,//OG ∴平面ABC .同理,//OH BC ,而BC ⊂平面ABC ,//OH ∴平面ABC .OG OH O ⋂=,∴平面//OGH 平面ABC ,OG ⊂平面OGH ,//GH ∴平面ABC .【例4-2】(2020·全国高一课时练习)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,点D 为AC 的中点,点1D 是11AC 上的一点,若1BC //平面11AB D ,则1111A D D C =( )A .12B .1C .2D .3【答案】B【解析】若1BC //平面11AB D ,则11111A D D C =. ①当点1D 满足11111A D D C =时, 由平行四边形11ADC D ,可得1DC //1AD . 又1DC ⊄平面11AB D ,1AD ⊂平面11AB D ,1DC ∴//平面11AB D .同理DB //平面11AB D ,又1DB DC D ⋂=,∴平面1BDC //平面11AB D , 1BC ∴//平面11AB D ,满足已知条件.②假设点1D 不是线段11AC 的中点由1BC //平面11AB D ,则可取线段11AC 的中点E , 由①可知,平面1BDC //平面1AB E , ∴平面11AB D //平面1AB E , 与平面11AB D 平面11AB E AB =相矛盾,因此假设不成立,故点1D 是线段11AC 的中点. 故选:B.【一隅三反】1.(2020·北京人大附中高一期末)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,2BAC π∠=,11AA AB AC ===,1CC 的中点为H ,点N 在棱11A B 上,//HN 平面1A BC ,则111A NA B 的值为________.【答案】12【解析】取111,BB A B 中点,M N ,连接,HM MN ,故MHBC ,1MN A B ∥,又,MH MH 在平面1A BC 外,,BC MN ⊂平面1A BC所以MH ∥平面1A BC ,MN ∥平面1A BC ,又,MH MH 相交在平面HMN 内,故平面1ABC平面HMN ,即//HN 平面1A BC ,故11112A N AB =. 故答案为:12. 2.(2021·全国高一课时练习)已知平面α//平面β,过点P 的直线m 与α,β分别交于A ,C 两点,过点P 的直线n 与α,β分别交于B ,D 两点,且6PA =,9AC =,8PD =,则BD 的长为___________. 【答案】245或24【解析】如图:当点P 在两平面之外即在CA 延长线上时, 因为平面α//平面β,平面α平面PCD AB =,平面β平面PCD CD =,所以//AB CD , 所以PA PBAC BD=, 因为6PA =,9AC =,8PD =, 所以689BDBD -=,解得245BD =,如图:当点P 在两平面之间即在线段CA 上时, 因为平面α//平面β,平面α平面PCD AB =,平面β平面PCD CD =,所以//AB CD , 所以PA PBPC PD=, 因为6PA =,963PC AC PA =-=-=,8PD =, 所以638PB =,解得16PB =, 所以16824BD PB PD =+=+=, 综上所述:BD 的长为245或24, 故答案为:245或243.(2020·河南高一月考)如图,一个侧棱长为l 的直三棱柱111ABC A B C -容器中盛有液体(不计容器厚度).若液面恰好分别过棱AC ,BC ,11B C ,11AC 的中点D ,E ,F ,G .(1)求证:平面//DEFG 平面11ABB A ; (2)当底面ABC 水平放置时,求液面的高. 【答案】(1)证明见解析;(2)34l . 【解析】(1)证明:∵D ,E 分别为棱AC ,BC 的中点,∴DE 是ABC 的中位线,即//DE AB .又DE ⊄平面11ABB A ,AB 平面11ABB A ,∴//DE 平面11ABB A .同理,DG//平面11ABB A ,又DEDG D =,DE ⊂平面DEFG ,DG ⊂平面DEFG ,∴平面//DEFG 平面11ABB A .(2)由(1)可知,当直三棱柱111ABC A B C -容器的侧面11AA B B 水平放置时, 液体部分是直四棱柱,其高即为原直三棱柱111ABC A B C -容器的高,即侧棱长l , 当底面ABC 水平放置时,设液面的高为h ,ABC 的面积为S , 由已知,有CDECAB △△且14CDE S S =△,所以34ABED S S =. 由于液体体积前后不变,所以34ABED V Sh S l Sl ===,即34h l =.∴当底面ABC 水平放置时,液面的高为34l .4.(2020·浙江杭州市·高一期末)如图,正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2AB 的截面与上底面交于PQ ,且点P 在棱11AC 上,点Q 在棱11B C 上.(Ⅰ)证明:11//PQ A B ;(Ⅱ)当点P 为棱11AC 的中点时,求四棱锥C ABQP -的体积. 【答案】(1)证明见解析; (2)34. 【解析】(1)因为平面//ABC 平面111A B C ,平面ABC 平面ABQP AB =,平面ABQP平面111A B C QP =,所以//AB PQ ,又因为11//AB A B ,所以11//PQ A B .(2)由点P 为棱11AC 的中点,可得Q 为11B C 的中点, 取PQ 的中点F ,分别连接CQ ,CP 和CF ,因为正三棱柱111ABC A B C -,所以CQ CP =,则CF QP ⊥, 取AB 的中点H ,连接,FH CH ,在等边ABC 中,因为2AB =,可得CH =在等腰梯形ABQP 中,2,1,AB PQ AP BQ ====,可得FH =连接CF ,在直角CPF 中,122CP PF ==,可得2CF ==所以222CF FH CH +=,可得CF FH ⊥, 因为QPFH H =,所以CF ⊥平面ABQP ,即四棱锥C ABQP -的高为CF =,又由梯形ABQP 的面积为11()(21)22S AB PA FH =+⋅=⨯+=所以四棱锥C ABQP -的体积为113334V Sh ===.。
线面平行的证明
4. 面面平行模型:
a
例. 如图,FD垂直于矩形ABCD所在平面,CE//DF,2CE=FD. 求证:BE//平面ADF.
F
E G
D A
C B
证明:
∵ CE // DF , DF 平面ADF , CE 平面ADF ∴ CE // 平面ADF , ∵ 四边形ABCD为矩形 ∴ BC// AD ∵ AD 平面ADF , BC 平面ADF ∴ BC // 平面ADF ∵ BC CE C
F
4. 如图,在三棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC, AA1=AC=2,E、F分别为A1C1、BC的中点.
(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1; (2)求证:C1F//平面ABE; (3)求三棱锥E-ABC的体积.
A1
E
C1
B1
A G
C F B
5. 如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,AD=2 , BA=BD = , PA=PD= , E、F分别2 是棱AD、PC5的中点.
F B
E C
10. 三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直, ∠ABC=90° , AB=BC=BB1=2,M、N分别是AB、AC1的中点. 求证:MN//平面BCC1B1;
A
M
B
C
N
A1
B1
C1
11.如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC, 且各棱长均相等. D、 E、F分别为棱AB, BC, A1C1的中点. (Ⅰ) 证明:EF//平面A1CD; (Ⅱ) 证明:平面A1CD⊥平面A1ABB1; (Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
12. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面
线面平行
①表示为: a β
②表示为: a∩β=A a β
③表示为: a∥β
定义:
(1)一条直线和一个平面有两个公共点,叫做直线在平面内。 (2)一条直线和一个平面只有一个公共点,叫做直线与平面相交。 (3)直线和平面没有ห้องสมุดไป่ตู้共点,叫做直线与平面平行。 (2) 、(3)合称“直线不在平面内”。
三. 线面平行的判定定理
A ⑴求MN的长;⑵当a为何值时,MN的长最小。
六. 练习:
1、如图,长方体的六个面都是矩形,则 (1)与直线AB平行的平面是 平面A1C1 与平面 DC1 (2)与直线AD平行的平面是 平面BC1与平面A1C1 (3)与直线AA1 平行的平面是 平面BC1与平面 DC1
3、已知:如图,AB//平面β ,AC//BD,且AC、BD与 β
四. 线面平行的性质定理
问题:如果一条直线和一个平面平行,该直线是否与该平面 内所有直线都平行? 定理 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面 和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行。 已知: l ∥α,l β,α∩β=m l 则: l∥m
m 性质定理的简述: 线面平行 线线平行 性质定理的用法: l ∥α,l β,α∩β=m
l∥ m 思考: 三个条件中,如缺少其中任一个,线线还平行吗? 请 各举一例。
五. 例题:
例题1,判断下列说法是否正确 1)直线l平行于a内无数条直线,则l//a 2)直线l在平面a外,则l//a
3)若直线 a // b, 直线b , 则a // 4)若直线 a // b, 直线b , 则a就平行于 内无数条直线
练习,已知空间四边形ABCD中,M、N分别是三角形 ABC和ACD的重心,求证BD//面CMN
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线面平行典型例题和练习直线与平面、平面与平面平行的判定与性质中,都隐含着直线与直线的平行,它成为联系直线与平面、平面与平面平行的纽带,成为证明平行问题的关键. 1.运用中点作平行线例1.已知四棱锥P ABCD -的底面是距形,M、N分别是AD、PB的中点,求证MN∥平面PCD .2.运用比例作平行线 例2.四边形ABCD与ABEF是两个全等正方形,且AM=FN,其中M AC ∈,N BF ∈,求证:MN∥平面BCE3. 运用传递性作平行线例3.求证:一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线和它们的交线平行4.运用特殊位置作平行线 例4.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,点E、F分别是C1C、B1B上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2.问当点M在何位置时MB∥平面AEF?课堂强化: 1. 1.棱长都相等的四面体称为正四面体.在正四面体A-BCD 中,点M ,N 分别是CD 和AD 的中点,给出下列命题:①直线MN ∥平面ABC ;A CNP D MB G图M FNC EA D BHm αβlγσn 图4k A B CEFNMB 1 A 1C 1图5②直线CD⊥平面BMN;③三棱锥B-AMN的体积是三棱锥B-ACM的体积的一半.则其中正确命题的序号为2. 如图,几何体E-ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.(Ⅰ)求证:BE=DE;(Ⅱ)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.3. .如图,直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC= 2,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.(Ⅰ)证明:MN∥平面A′ACC′;(Ⅱ)求三棱锥A′-MNC的体积.4. 如图所示的几何体中,△ABC为正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2,CD=1,F为BE的中点.(1)若点G在AB上,试确定G点位置,使FG∥平面ADE,并加以证明;5. 如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由.6. 如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=1,PA=2.(I)证明:直线CE∥平面PAB;7. 如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外的一点,则在四棱锥P-ABCD中,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.8. 已知平面α∥面β,AB、CD为异面线段,AB⊂α,CD⊂β,且AB=a,CD=b,AB与CD所成的角为θ,平面γ∥面α,且平面γ与AC、BC、BD、AD分别相交于点M、N、P、Q.且M、N、P、Q为中点,(1)若a=b,求截面四边形MNPQ的周长;9. 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,棱长AA1=2,AB=1,E是AA1的中点.(Ⅰ)求证:A1C∥平面BDE;10. 如图,在三棱锥P-ABC中,已知AB=AC=2,PA=1,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°,点D、E分别为AB、PC的中点.(1)在AC上找一点M,使得PA∥面DEM;11. 空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD 于E、F、G、H.(1)求证:四边形EFGH为平行四边形;12. 如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,BC=PD=2,E为PC的中点,BG=2CG(I)求证:PC⊥BC;(III)AD边上是否存在一点M,使得PA∥平面MEG.若存在,求AM的长;否则,说明理由.13. 如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=1,PA=2.(I)证明:直线CE∥平面PAB;14. 如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱SD上的点.(Ⅰ)求证:AC⊥SD;(Ⅱ)若PD:SP=1:3,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由.15.如图,在五面体中,平面ABCD⊥平面BFEC,Rt△ACD、RtACB、Rt△FCB、Rt△FCE为全等直角三角形,AB=AD=FB=FE=1,斜边AC=FC=2.(Ⅰ)证明:AF∥DE;课后作业一、选择题1.下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A .一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B .一个平面内的两条直线平行于另一个平面C .一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D .一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2、已知直线a 与直线b 垂直,a 平行于平面α,则b 与α的位置关系是( ) A.b ∥α B.bαC.b 与α相交D.以上都有可能 3. 直线,a b c ,及平面αβ,,使//a b 成立的条件是( )A .//,a b αα⊂B .//,//a b ααC .//,//a c b cD .//,a b ααβ= 4.若直线m 不平行于平面α,且m ⊄α,则下列结论成立的是( ) A .α内的所有直线与m 异面 B .α内不存在与m 平行的直线 C .α内存在唯一的直线与m 平行 D .α内的直线与m 都相交 5.下列命题中,错误的个数是( )① 一条直线平行于一个平面,这条直线就和这个平面内的任何直线不相交;② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行;③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行;④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行;⑤ a 和b 异面,则经过b 存在唯一一个平面与α平行A .4B .3C .2D .1 6.已知空间四边形ABCD 中,,M N 分别是,AB CD 的中点,则下列判断正确的是( ) A .()12MN AC BC ≥+ B .()12MN AC BC ≤+C .()12MN AC BC =+ D .()12MN AC BC <+7 .α,β是两个不重合的平面,a ,b 是两条不同直线,在下列条件下,可判定α∥β的是( )A .α,β都平行于直线a ,bB .α内有三个不共线点到β的距离相等C .a ,b 是α内两条直线,且a ∥β,b ∥βD .a ,b 是两条异面直线且a ∥α,b ∥α,a ∥β,b ∥β8.两条直线a ,b 满足a ∥b ,b α,则a 与平面α的关系是( )A .a ∥αB .a 与α相交C .a 与α不相交D .a α 9.设,a b 表示直线,,αβ表示平面,P 是空间一点,下面命题中正确的是( ) A .a α⊄,则//a α B .//a α,b α⊂,则//a bC .//,,a b αβαβ⊂⊂,则//a bD .,,//,//P a P a βααβ∈∈,则a β⊂10.一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A.异面B.相交C.平行D.不能确定 11.下列四个命题中,正确的是( ) ①夹在两条平行线间的平行线段相等;②夹在两条平行线间的相等线段平行;③如果一条直线和一个平面平行,那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等;④如果一条直线和一个平面平行,那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行A .①③B .①②C .②③D .③④12.在下列命题中,错误的是 A. 若平面α内的任一直线平行于平面β,则α∥βDCA BB 1A 1C 1B. 若两个平面没有公共点,则两个平面平行C. 若平面α∥平面β,任取直线a ⊂α,则必有a ∥βD. 若两条直线夹在两个平行平面间的线段长相等,则两条直线平行二、填空题13.如下图所示,四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,P 分别为其所在棱的中点,能得到AB//面MNP 的图形的序号的是①②③④14.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为DD 1中点,则BD 1和平面ACE 位置关系是 .15.a ,b ,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,直线均不在平面内,给出六个命题: .⇒⎭⎬⎫;⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥①a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;;其中正确的命题是________________.16.如图,正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H 分别是棱CC 1,C 1D 1,DD 1,DC 中点,N 是BC 中点,点M 在四边形EFGH 及其内部运动,则M 满足 时,有MN ∥平面B 1BD D 1. 三、解答题17.如图,正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2,侧棱长是3,D 是AC 的中点.求证://1C B 平面BD A 1.18、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且EH∥FG. 求证:EH ∥BD. 19、如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, D 为AC 的中点,求证:;平面D BC AB 11//A B C A 1 B 1 C 1 DH G FE DB A C20.如图,在正四棱锥P ABCD -中,PA AB a ==,点E 在棱PC 上. 问点E 在何处时,//PA EBD 平面,并加以证明.21、已知正方体1111ABCD A B C D -,O 是底ABCD 对角线的交点. 求证:(1) C 1O ∥面11AB D ;(2)面111//D AB D OC 面.探究习题:1.平面内两正方形ABCD 与ABEF ,点M ,N 分别在对角线AC,FB 上,且AM:MC=FN:NB ,沿AB 折起,使得∠DAF=900(1)证明:折叠后MN//平面CBE ;(2)若AM:MC=2:3,在线段AB 上是否存在一点G ,使平面MGN//平面CBE?若存在,试确定点G 的位置.A BC DEMN αβ2.设平面α∥平面β,AB 、CD 是两条异面直线,M ,N 分别是AB ,CD 的中点,且A ,C ∈α,B ,D ∈β,求证:MN ∥平面α.EPDCBAD 1ODBAC 1B 1A 1C。