大学物理 第5章习题解答

第五章 机械振动

5-1一远洋货轮，质量为t M 4102⨯=，浮在水面对其水平截面积为23102m S ⨯=。设在水面附近货轮的截面积与货轮高度无关，试证明此货轮在水中的铅直自由运动是简谐振动，并求其自由振动的周期。

解：取固定坐标xOy ，坐标原点O 在水面上（图题所示）

设货轮静止不动时，货轮上的A 点恰在水面上，则浮力为S ρga .这时 ga s Mg ρ= 往下沉一点时，

合力 )(y a g s Mg F +-=ρ gy s ρ-=. 又 2

2d d t

y M

Ma F ==

故0d d 2

2=+gy s t

y M

ρ

02

2=+

y M

g s dt

dy ρ

故作简谐振动 M g

s ρω

=

2

)(35.68

.91010210

10222233

3

4

s g

s M T =⨯⨯⨯⨯⨯===π

ρπ

ω

π

5-2 重物A 的质量M=1kg ，放在倾角0

30=θ的光滑斜面上，并用绳跨过定滑轮与劲度系数

1

49-⋅=m

N k 的轻弹簧连接，如习题5-2图所示，将物体由弹簧未形变的位置静止释放，

并开始计时，试求:

（1）不计滑轮质量，物体A 的运动方程;

（2）滑轮为质量M ，半轻r 的均质圆盘，物体A 的运动方程。

解：取物体A 为研究对象，建立坐标Ox 轴沿斜面向下，原点取在平衡位置处，即在初始位置斜下方距离l 0处，此时：

)(1.0sin 0m k

mg l ==

θ

(1)

习题5-1图

(1) A 物体共受三力；重mg, 支持力N, 张力T.不计滑轮质量时，有 T =kx

列出A 在任一位置x 处的牛顿方程式

22

0d d )(sin sin t

x m

x l k mg T mg =+-=-θθ

将（1）式代入上式，整理后得

0d d 22

=+

x m

k t

x

故物体A 的运动是简谐振动，且)rad/s (7==

m

k ω

由初始条件,000⎩⎨

⎧=-=v l x 求得,1.00⎩

⎨⎧===πϕm

l A 故物体A 的运动方程为 x =0.1cos(7t+π)m

(2) 当考虑滑轮质量时，两段绳子中张力数值不等，如图所示，分别为T 1、T 2,则对A 列出任一位置x 处的牛顿方程式为:

22

1d d sin t

x m

T mg =-θ (2) 对滑轮列出

转

动

方

程为：

2

2

221d d 2121t x Mr r

a

Mr J r T r T =⎪⎭⎫ ⎝⎛==-β (3) 式中,T 2=k (l 0+x ) （4） 由式（3）、(4)知22

01d d 21)(t

x M x l k T +

+=代入(2)式知

2

2

021)(sin dt

x

d m M x l k mg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-θ 又由（1）式知0sin kl mg =θ

故0d d )

2

1(2

2

=++kx t

x m M

即

0)

2

(

d d 2

2

=++x m M k

t

x

习题5-2图

m

M k +=

22

ω

可见，物体A 仍作简谐振动，此时圆频率为：rad/s)(7.52=+=

m

M k ω

由于初始条件：0,000=-=v l x

可知，A 、ϕ不变，故物体A 的运动方程为:

m t x )7.5cos(1.0π+=

由以上可知：弹簧在斜面上的运动，仍为简谐振动，但平衡位置发生了变化，滑轮的质量改变了系统的振动频率.

5-3质点作简谐振动的振动曲线如习题5-3图所示，试根据图得出该质点的振动表达式。 解：简谐振动的振动表达式：)cos(ϕω+=t A x

由题图可知，m 1042-⨯=A ,当t=0时，将m 1022-⨯=x 代入简谐振动表达式，得：

2

1cos =

ϕ

由)sin(ϕωωυ+-=t A ,当t=0时，ϕωυsin A -= 由图可知，υ>0,即0sin <ϕ,故由2

1cos =ϕ,取3

π

ϕ-

=

又因:t=1s 时，,1022

m x -⨯=将其入代简谐振动表达式，

得

213cos ,3cos 42=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

-

=πωπω

由t=1s 时,⎪⎭⎫

⎝⎛

-

-=3sin πωωυA <0知，03sin >⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-πω,取33ππω=-， 即 s 32πω=

质点作简谐振动的振动表达式为

m t x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-33

2

cos 10

42

ππ

5-4在一个电量为Q ，半径为R 的均匀带电球中，沿某一直径挖一条隧道，另一质量为m

，

习题5-3图