数学一轮第四章 4.3三角函数图像及性质-教师版

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )

(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( √ )

(6)若sin x >22，则x >π

4

.( × )

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

第1课时

进门测

作业检查

阶段知识点梳理

正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π

2，－1)，(2π，0)．

余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π

2，0)，(2π，1)．

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

对称 轴方程 x ＝π

2

＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z )

周期 2π 2π π

题型一 三角函数的定义域和值域

例1 (1)函数f (x )＝－2tan(2x ＋π

6

)的定义域是____________．

(2)(2016·台州模拟)已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)，其中x ∈[－π3，a ]，若f (x )的值域是[－1

2，1]，则实数a

的取值范围是________．

答案 (1){x |x ≠k π2＋π6，k ∈Z } (2)[π

3

，π]

解析 (1)由2x ＋π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π

6，k ∈Z ，

所以f (x )的定义域为{x |x ≠k π2＋π

6，k ∈Z }．

(2)∵x ∈[－π3，a ]，∴x ＋π6∈[－π6，a ＋π

6]，

∵x ＋π6∈[－π6，π2]时，f (x )的值域为[－1

2，1]，

∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π

3≤a ≤π.

思维升华 (1)三角函数定义域的求法

第2课时

阶段训练

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)三角函数值域的不同求法 ①利用sin x 和cos x 的值域直接求；

②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．

(1)函数y ＝lg sin x ＋

cos x －1

2

的定义域为 .

(2)函数y ＝2sin(πx 6－π

3) (0≤x ≤9)的最大值与最小值的和为__________．

答案 (1)⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z

(2)2－ 3

解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪

⎧

sin x ＞0，cos x －1

2≥0，

即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪

⎧

2k π＜x ＜π＋2k π(k ∈Z )，－π3＋2k π≤x ≤π

3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π＜x ≤π

3

＋2k π(k ∈Z )，

∴函数的定义域为⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .

(2)∵0≤x ≤9，∴－π3≤πx 6－π3≤7π

6，

∴－

32≤sin(πx 6－π

3

)≤1， 故－3≤2sin(πx 6－π

3

)≤2.

即函数y ＝2sin(πx 6－π

3) (0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.

∴最大值与最小值的和为2－ 3. 题型二 三角函数的单调性

例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π

3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤

k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝

⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π

3(k ∈Z ) D.⎣

⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π

12(k ∈Z ) (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π

2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 (1)B (2)⎣⎡⎦⎤

12，54

解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π

2(k ∈Z )，

得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π

12

(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝

⎛⎭⎫2x －π

3的单调递增区间为 ⎝⎛⎭

⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.

(2)由π

2＜x ＜π，ω＞0，得

ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4

， 又y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π

2

]，k ∈Z ，