机械优化设计期末考试试卷
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机械优化设计期末复习题
一、填空题
1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。
2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??
=????点处的梯度为120-??
????
,海赛矩阵为
2442-??
??-??
3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映,因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣,,同时必须是设计变量的可计算函数 。
4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题,的基础上力求简洁 。
5.约束条件的尺度变换常称 规格化,这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定,此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。
7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向,因此最速下降法又称为
梯度法,其收敛速度较 慢 。
8.二元函数在某点处取得极值的必要条件是()00f X ?= , 充分条件是该点处的海赛矩阵正定
9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无约束优化问题,这种方法又被称为 升维 法。
10改变复合形形状的搜索方法主要有反射,扩张,收缩,压缩 11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题
12.在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束, ,另外应当尽量减少不必要的约束 。
13.目标函数是n 维变量的函数,它的函数图像只能在n+1, 空间中描
述出来,为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况,常采用 目标函数等值面 的方法。
14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ,其核心是 建立搜索方向, 和 计算最佳步长 。
15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。
16.机械优化设计的一般过程中, 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步,它是取得正确结果的前提。 二、选择题
1、下面 方法需要求海赛矩阵。 A 、最速下降法 B 、共轭梯度法 C 、牛顿型法 D 、DFP 法
2、对于约束问题
()()()()2212221122132min 44 g 10
g 30 g 0
f X x x x X x x X x X x =+-+=--≥=-≥=≥
根据目标函数等值线和约束曲线,判断()1[1,1]T X =为 ,
()2
51[,]22
T X =为 。
A .内点;内点 B. 外点;外点 C. 内点;外点 D. 外点;内点
3、内点惩罚函数法可用于求解__________优化问题。 A 无约束优化问题
B 只含有不等式约束的优化问题
C 只含有等式的优化问题
D 含有不等式和等式约束的优化问题
4、拉格朗日乘子法是求解等式约束优化问题的一种经典方法,它是一种___________。
A、降维法
B、消元法
C、数学规划法
D、升维法
5、对于一维搜索,搜索区间为[a,b],中间插入两个点a1、b1,a1 A [a1,b1] B [ b1,b] C [a1,b] D [a,b1] 6、_________不是优化设计问题数学模型的基本要素。 A设计变量 B约束条件 C目标函数 D 最佳步长 7、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k-αk H k▽f(x k),下列不属于H k必须满足的 条件的是________。 A. H k之间有简单的迭代形式 B.拟牛顿条件 C.与海塞矩阵正交 D.对称正定 8、函数) (X f在某点的梯度方向为函数在该点的。 A、最速上升方向 B、上升方向 C、最速下降方向 D、下降方向 9、下面四种无约束优化方法中,__________在构成搜索方向时没有使用 到目标函数的一阶或二阶导数。 A 梯度法 B 牛顿法 C 变尺度法 D 坐标轮换法 10、设) (X f在R f为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数,则) (X 上为凸函数的充分必要条件是海塞矩阵G(X)在R上处处。 A 正定 B 半正定 C 负定 D 半负定 11、通常情况下,下面四种算法中收敛速度最慢的是 A 牛顿法 B 梯度法 C 共轭梯度法 D 变尺度法 12、一维搜索试探方法——黄金分割法比二次插值法的收敛速 度。 A、慢 B、快 C、一样 D、不确定 13、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述,错误的 是,假设要求在区间[a,b]插入两点α1、α2,且α1<α2。 A、其缩短率为0.618 B、α1=b-λ(b-a) C、α1=a+λ(b-a) D、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。 14、与梯度成锐角的方向为函数值方向,与负梯度成锐角的方向为函数值 方向,与梯度成直角的方向为函数值方向。 A、上升 B、下降 C、不变 D、为零 15、二维目标函数的无约束极小点就是。 A、等值线族的一个共同中心 B、梯度为0的点 C、全局最优解 D、海塞矩阵正定的点 16、最速下降法相邻两搜索方向d k和d k+1必为向量。 A 相切 B 正交 C 成锐角 D 共轭 17、下列关于共轭梯度法的叙述,错误的是。 A 需要求海赛矩阵 B 除第一步以外的其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度 C 共轭梯度法具有二次收敛性 D 第一步迭代的搜索方向为初始点的负梯度 18、下列关于内点惩罚函数法的叙述,错误的是 。 A 可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题。 B 惩罚因子是不断递减的正值 C 初始点应选择一个离约束边界较远的点。 D 初始点必须在可行域内 三、问答题 1.什么是内点惩罚函数法?什么是外点惩罚函数法?他们适用的优化问题是什么?在构造惩罚函数时,内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同? 1)内点惩罚函数法是将新目标函数定义于可行域内,序列迭代点在可 行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。 内点惩罚函数法的惩罚因子是由大到小,且趋近于0的数列。相邻两次迭代的惩罚因子的关系为 1(1,2,)k k r cr k -==???c 为惩罚因子的缩减系数,其为小于1的正数,通常取值范围在0.1~0.7 2)外点惩罚函数法简称外点法,这种方法新目标函数定义在可行域之外,序列迭代点从可行域之外逐渐逼近约束边界上的最优点。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。外点惩罚函数法的惩罚因子,它是由小到大,且趋近于∞的数列。惩罚因子按下式递增 1(1,2,)k k r cr k -==???,式中c 为惩罚因子的递增系数,通常取5~10c = 2.为什么说共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进?. 答:共轭梯度法是共轭方向法中的一种,在该方法中每一个共轭向量都依赖于迭代点处的负梯度构造出来的。共轭梯度法的第一个搜索方向取负梯度方向,这是最速下降法。其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个 角度,也就是对负梯度进行修正。所以共轭梯度法的实质是对最速下降法的一种改进。 四、计算题 1、用外点法求解此数学模型 ()()min .. 10F X x s t g x x =??? =-≤?? 2 将()22 121212262233f x x x x x x x =+++++写成标准二次函数矩阵的形式。 3 用外点法求解此数学模型 :()()()12 211221min ..00 f X x x s t g X x x g X x =+=-≤=-≤ 4 求出()221122262420f x x x x x =-+-+的极值及极值点。 5 用外点法求解此数学模型 :()()()()3 1211221min 13 ..100 f X x x s t g X x g X x =++=-+≤=≥ 6.用内点法求下列问题的最优解: 31 2)(2112 221≤-=?+-+=x g t s x x x x f m in (提示:可构造惩罚函数 []∑=-=2 1 )(ln )(),(u u x g r x f r x φ,然后用解析法求 解。)。 7.设已知在二维空间中的点[]T x x x 21 =,并已知该点的适时约束的梯度 []T g 11 --=?,目标函数的梯度[]T f 15 .0-=?,试用简化方法确定一 个适用的可行方向。 8. 用梯度法求下列无约束优化问题:Min F(X)=x 12+4x 22,设初始点取为 X (0)=[2 2]T ,以梯度模为终止迭代准则,其收敛精度为5。 9. 对边长为3m 的正方形铁板,在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽,问如何剪法使水槽的容积最大?建立该问题的优化设计的数学模型。 10. 已知约束优化问题: )(0)(0 25)(12 4)(m in 2312222112 21≤-=≤-=≤-+=?--=x x g x x g x x x g t s x x x f 试以[][][]T T T x x x 33,14,12030201===为复合形的初始顶点,用复合形 法进行一次迭代计算。 11. 使用黄金分割法确定函数()3342f x x x =-+的极值点。初始点 00,1,0.8x h ε===。 (使用进退法先确定初始区间) 12. 用阻尼牛顿法求函数()22 1225f X x x =+的极小点。 13. 利用库恩-塔克条件判断[]*1,0X =点是不是下列优化设计数学模型的极值点? ()()()()()2 2 12 21122132min 2..1000 f X x x s t g X x x g X x g X x =-+ =+-≤ =-≤ =-≤ 四、解答题 1、试用梯度法求目标函数f(X)=1.5x 12+0.5x 22- x 1x 2-2x 1的最优解,设初始点x (0)=[-2,4]T ,选代精度ε=0.02(迭代一步)。 2、试用牛顿法求f( X )=(x 1-2)2+(x 1-2x 2)2的最优解,设初始点x (0)=[2,1]T 。 3、设有函数 f(X)=x 12+2x 22-2x 1x 2-4x 1,试利用极值条件求其极值点和极值。 4、求目标函数f( X )=x 12+x 1x 2+2x 22 +4x 1+6x 2+10的极值和极值点。 5、试证明函数 f( X )=2x 12+5x 22 +x 32+2x 3x 2+2x 3x 1-6x 2+3在点[1,1,-2]T 处具有极小值。 6、给定约束优化问题 min f(X)=(x 1-3)2+(x 2-2)2 s.t. g 1(X)=x 12+x 22-5≤0 g 2(X)=x 1+2x 2-4≤0 g 3(X)=-x 1≤0 g 4(X)=-x 2≤0 验证在点T X ]2[,1=Kuhn-Tucker 条件成立。 7、设非线性规划问题 1)(0 )(0 )(..)2()(min 2 221322112 2 21≤-+-=≤-=≤-=+-=x x X g x X g x X g t s x x X f 用K-T 条件验证[]T X 0,1*=为其约束最优点。 8、用共轭梯度法求函数1212 2212122 123 ),(x x x x x x x f --+=的极小点。 9、已知目标函数为f(X)= x 1+x 2,受约束于: g 1(X)=-x 12+x 2≥0 g 2(X)=x 1≥0 写出内点罚函数。 10、已知目标函数为f(X)=( x 1-1)2+(x 2+2)2 受约束于:g 1(X)=-x 2-x 1-1≥0 g 2(X)=2-x 1-x 2≥0 g 3(X)=x 1≥0 g 4(X)=x 2≥0 试写出内点罚函数。 11、如图,有一块边长为6m 的正方形铝板,四角截去相等的边长为x 的方块并折转,造一个无盖的箱子,问如何截法(x 取何值)才能获得最大容器的箱子。试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB 软件求解的程序。 12、某厂生产一个容积为8000cm3的平底无盖的圆柱形容器,要求设计此容器消耗原材料最少,试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。 13、一根长l的铅丝截成两段,一段弯成圆圈,另一段弯折成方形,问应以怎样的比例截断铅丝,才能使圆和方形的面积之和为最大,试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。 14、求表面积为300m2的体积最大的圆柱体体积。试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。 15、薄铁板宽20cm,折成梯形槽,求梯形侧边多长及底角多大,才会使槽的断面积最大。写出这一优化设计问题的数学模型,并用matlab软件的优化工具箱求解(写出M文件和求解命令)。 16、已知梯形截面管道的参数是:底边长度为c,高度为h,面积A=64516mm2,斜边与底边的夹角为θ,见图1。管道内液体的流速与管道截面的周长s 的倒数成比例关系(s只包括底边和两侧边,不计顶边)。试按照使液体流速最大确定该管道的参数。写出这一优化设计问题的数学模型。并用matlab软件的优化工具箱求解(写出M文件和求解命令)。 17、某电线电缆车间生产力缆和话缆两种产品。力缆每米需用材料9kg,3个工时,消耗电能4kW·h,可得利润60元;话缆每米需用材料4kg,10个工时,消耗电能5kW·h,可得利润120元。若每天材料可供应360kg,有300个工时消耗电能200kW·h可利用。如要获得最大利润,每天应生产力缆、话缆各多少米?写出该优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解 的程序。