野兔生长问题

数学建模一周论文论文题目：野兔生长问题

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专业：土木工程

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2012年6月7日

目录

摘要 (3)

一、问题重述 (4)

二、问题分析 (4)

三、模型假设 (4)

四、符号说明 (4)

五、模型建立 (5)

5.1 多项式数据拟合模型 (6)

5.2 灰度预测 GM（1.1）模型 (10)

六、参考文献 (14)

七、符录 (14)

摘要

参照题目，野兔生长属自然范畴，在生存条件良好，且无外力干扰的情况下，其种群数量是呈对数型增长的。题中可读，野兔生长并不是处于理想的情况下的，考虑到自然的各种原因，诸如，天地的捕杀，自然灾害，疾病等。

本文依据已知的野兔连续十年的生长统计数据，考虑外界环境及内部因素对野兔的繁殖规律的影响，并找出其中的规律。充分利用前三年给出的野兔的数量变化。分析这三年的野兔生长变化情况，建立所需数学模型，并得出合理的数量关系式，得出野兔的一般变化率。然后，建立一个种群增长的差分方程模型，求出的野兔生长规律。

对于下一年兔子数量的预测笔者利用灰度预测预测T=10时兔子数量为：9.50259（十万）

利用多项式拟合的方法预测结果为：10.0743（十万）

【关键词】MATLAB程序灰色预测多项式数据拟合最小二乘法

一、问题重述

在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下：

T=0 T=1 T=2 T=3 T=4 T=5 T=6 T=7 T=8 T=9

1 2.31969 4.50853 6.90568 6.0051

2 5.56495 5.32807 7.56101 8.9392 9.5817

表1

分析该数据，得出野兔的生长规律。并指出在哪些年内野兔的增长有异常现像

预测T=10 时野兔的数量。

二、问题分析

首先，野兔是生长在自然环境中的。自然很复杂，存在着许多影响种群发展

的因素。我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈J型增长的。现

实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一

地增长，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。第四年到

第七年，这三年野兔的数量不增反降，说明其间有影响野兔生长的因素存在。我

们探讨了其中的因素：

2.1 兔子内部因素，竞争，雄雌比利失去平衡，老化严重等。

2.2 自然灾害，比如说草原火灾，使野兔生长环境遭到破坏；再如气候反常，使

野兔的产卵，交配受影响。

2.3 天敌的捕食，狼，狐狸等天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁。

2.4 疾病的侵扰，野兔种群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。。

2.5 人类的影响，城市扩建，使其栖息地面积减少；捕杀。

三、模型假设

3.1 假设它使处于自然的情况（没有人的作用）,人类活动对其生存不产生影响。

3.2 假设各个环境因素对野兔生长的影响是并采用各种措施互不影响的。

3.3 假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大。

3.4 假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，维持这一结构。

四、符号说明

r 增长率

T第i年

i

S第i年兔子的数量

i

i R 第i 次拟合误差平方和

0ˆ(1)X k + 白化微分方程

(0)

()k ε∧ 绝对误差（残差）

()q k 相对误差

平均相对误差

a - 发展系数 u 灰色作用

五、模型建立

兔子时间增长图

51015

T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=9

时间

兔子数量

系列1

图1

兔子增长速率图

T=0

T=1 T=2

T=3 T=4 T=5 T=6 T=7 T=8 T=8

0 1.31969

0.94359 0.53169

-0.13041 -0.07329

-0.04257

0.41909

0.18228

0.0787

表1

{,}

i i x y

兔子增长速率图

-0.4

-0.200.20.40.60.811.21.4T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=8

速率

时间

系列1

图2

从表格中兔子的生长率可分析,第一年呈现正增长,且增长率比较大,第二年与第三年兔子的增长率也是正增长,但相对于第一年来说逐年下降,且幅度较大,第四年出现转折,呈现负增长,第五年与第六年虽也是负增长,但有所回升,到第七年回转较大,不仅为正增长且增长值较大.

综上,可分析原因:地球上有限的资源和环境条件下使野兔总数受到限制.兔子的增长率一年年的下降,可能是环境因素,刚开始由于兔子数量庞大,导致草地不够供给和同类间竞争不断增强,兔子数量开始逐渐减少;也可能是人为因素,人类无节制的狩猎和越来越多的人喜欢把兔子作为宠物饲养使得市场需求兔子量变大.同时,兔子的生长环境气候空间也起到决定性作用.

5.1、多项式数据拟合模型

5.3.1模型建立

1 读入数据点对

将时间与所对应的房价作为一对数据的输入到MATLAB 中 *()

n P x =

n

k

k k a x

=∑

假设趋紧函数为

2 通过最小二乘拟合方法，计算多项式参数k

a

3 利用多项式参数

k

a ，计算多项式在

i

x 处对应的值'

i y

4 计算均方误差R =()20

[]n n

i i i P x y =-∑ （5.1.1）

其中R 是系数为0,1,18,......a a a 的函数。