根轨迹法(自动控制原理)

4.1 根轨迹的基本概念
1.什么是根轨迹
❖ 考虑图示负反馈控制系统，设其开环传递函数为：
K 则该系统的闭环特征G方(s程)H为(：s) s(s 1)(s 2)
s3 3s2 2s K 0
➢ 当K从零到无穷大连续变化时，闭环极点在S平面(复平面)上画出的根轨迹如图 所示。
❖ 当开环增益K从零到无穷大连续变化时，闭环极点在S平面(复平面)上移动画出 的轨迹图即根轨迹图。从上述根轨迹图中可以看到：
之和均为360°，也就是说任一对共轭开环零、极点不影响实轴上试验点s0的相 角条件。
➢ 对于在试验点s0左边实轴上的任一开环零、极点，与其对应的相角（如θ4，φ3） 均为0。
➢ 而试验点s0右边实轴上任一开环零、极点，与其对应的相角（如θ1，φ1，φ2） 均为180°。
所以要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零、极点总数必须是奇数。
规则5：根轨迹与虚轴的交点
❖ 根轨迹与虚轴的交点是临界稳定点。将s=jω代入闭环特征方程，令特征方程 的实部和虚部分别等于零，可以解出ω0和K0 。用劳斯（Roth）判据也可以求 得K0 。 规则6：根轨迹的分离点
❖ 当从K零变到无穷大时，根轨迹可能出现先会合后分离，这样的点称分离点。 分离点对应重闭环极点。
，短时间内可以对多个可调参数进行研究，能够有效地指导设计与调试。
1.开环零极点与相角条件
❖ 以开环增益K为参变量的根轨迹，它是最基本、最常用的根轨迹，为了便于 区别将其称之为‘典型根轨迹’。
➢ 仍分析前面图示的负反馈系统，设其开环传递函数为：
p1，p2，…pGn为(开s)环H极(s点) ；zK(1s，(sz2p，1z)…1()s(zsm为p开z22)环)....零...(.(点ss。pznm)) ，K 0
当然，分离点也可以是复数，两个相邻的开环复极点（或零点）之间可能有分 离点。对实际系统，依据规则1～4基本就能确定有无分离点。 ➢ 基于分离点是重闭环极点的事实可以证明，分离点的座标λ，是下列代数方 程的解：
必须说明的是，方程只是必要条件而非充分条件。也就是说，方程的解不一定
n1
m1
是分离点，是否是分离点还要看其它规则。
➢ 因为在s平面上，给G定(了s)幅H值(和s)相角，(2就k可对1)应18一0个 固定k 的 点0,。1,所2,以在s平面
上，既满足幅值条件又满足相角条件的点就是根轨迹上的一个点，它对应的s 值就是特征方程的一个根，也就是一个闭环极点。
➢ 用根轨迹法分析控制系统时，主要是研究系统的一个可调参数的变动对系统闭 环极点的影响，而最常见的可调参数就是开环增益K。
4.2 绘制典型根轨迹
❖ 现有的绘制根轨迹图的方法分为三类： ➢ 1)画概略图。这种方法适合调试现场的应急分析、项目开始的粗略分析等不
要求很精确的场合。熟悉了根轨迹的基本规则后，很快就可以画出概略图。 ➢ 2)图解加计算画准确图。此方法不仅繁琐，精度也差，在实际应用中已逐步
淘汰。 ➢ 3)计算机绘制精确图，目前主要指用Matlab工具绘制根轨迹图。它准确快捷
➢ 先在复平面上标出开环极点p1，p2，p3，p4和开环零点z1。
G(s)H(s)
K(s z1 )
(s p1 )(s p2 )(s p3 )(s p4 )
➢ 再取一试验点s，如果它在根轨迹上就应满足相角条件 ：
量出或计算出1 各个1 角度2，就3可判断4 点s是(2否k在根1)轨18迹0上 。k判别0了,1一,2个,试验点，
所以，画根轨迹最有用的是规则1～5，如果想得到更精确的根轨迹图，只有使 用Matlab。
3.绘图示例
❖ 仍然考虑前面举例的负反馈控制系统，按7个基本规则绘制根轨迹图。
K ➢ 首先，系统有三个无穷G远(零s)点H，(s)有三个开环极点：
p1=0，p2=-1，p3=-2 s(s 1)(s 2)
将它们标在复平面上，开环极点的位置用×表示；开环零点的位置用o表示。 ➢ 根据规则1和规则2，根轨迹将有3条分支，分别开始于这三个开环极点，趋
➢ 当0<K<0.385时三个闭环极点都是负实数；当K>0.385时有两个闭环极点成为共 轭复数。
➢ 只要0<K<6闭环系统一定稳定，一但K值给定，如K=1.2，3个闭环极点就是3支根 轨迹上3个特定点。
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的关系。
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
zj
)
n
(
j 1
pi
p
j
)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
ji
zl
180
m
(
j 1
zl
zj)
n
(zl
j 1
p
j
)
jl
❖ 上述规则对绘制根轨迹很有帮助，根据规则1～4就能很快地画出大致形状，再 按规则5求出临界增益K0，这样的根轨迹图就很有用了，一般称其为概略图。 除非系统阶次很低，否则根据规则6，求解方程求分离点决非易事；根据规则7， 计算出射角和入射角也不简单，并且出射角和入射角的意义并不大，因为它仅 仅反映了开环极、零点处根轨迹的走向，稍远一点就不起作用了。
➢ 绘制根轨迹曾经是枯燥繁琐的工作， MATLAB的出 现使这项工作变得轻松愉快，如今在计算机上一 分钟就能绘制一张精确的根轨迹图。
➢ 本章注意继承传统根轨迹法中的精华，也注意吸 纳根轨迹法的最新进展。具体选材上，侧重根轨 迹的相角条件和基本规则，主推MATLAB绘制根轨 迹，突出如何有效地运用根轨迹法。
➢ 根轨迹的基本条件，常规根轨迹绘制的基本规则， 广义根轨迹的绘制，用根轨迹图确定闭环极点及 系统性能指标。
➢ 介绍了如何利用MATLAB绘制系统的根轨迹。
❖ 线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环系统 特征方程的根（闭环极点），所以控制系统的动 态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开 环增益是改变闭环极点的常用办法。
向无穷远。
➢ 根据规则3，根轨迹有3根渐近线，它们与实轴的夹角是：
k
(2k
1)1800 3
,
k 0，1，2
所有渐近线交于实0 轴上60的一，点，1 其坐18标0为，： 2 300
➢ 根是据根规轨则迹的4，一实部轴分上。的实[际-1上，后00]者段 13就是是根2从轨开迹环的1极一点部分p3出；发实趋轴向上无的穷(-远∞的，一-2支]段，也与
接着再判别其它试验点 … 。
2.绘制根轨迹的基本规则
❖ 用试验点的办法作图工作量十分巨大，而且对全貌的把握也很困难。要又快 又准的绘制根轨迹图，可利用它的一些基本规则。概括起来，以开环增益 K 为参变量的根轨迹图主要有下列基本规则： 规则1：起点和终点
➢ 根轨迹一定开始于开环极点，终止于开环零点。 因为根轨迹是闭环特征方程的根，当K=0时方程的根就是它的n个开环极点， 当K→∞时方程的根就是它的m个开环零点。
第四章 根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制典型根轨迹 4.3 特殊根轨迹图 4.4 用MATLAB绘制根轨迹图 4.5 控制系统的根轨迹分析
内容提要
➢ 根轨迹法是一种图解法，它是根据系统的开环零 极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的 特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进 行定性分析和定量计算。
Y(s) G(s)
闭环特征方程为：R(s) 1 G(s)H (s)
➢ 因为根轨迹上的每一点s1都是G闭(环s特)H征(方s程) 的根0 ，所以根轨迹上的每一点都应 满足：
这就是根轨迹的基本条件。
G(s)H(s) 1
❖ 满足根轨迹上点的基本条件，又可分别表示为， 幅值条件:
相角条件：
G(s)H(s) 1
➢ 这样，系统的闭环特征方程就可以表示为：
1 K (s z1 )(s z2 )....(s zm ) 0 (s p1 )(s p2 )....(s pn )
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程，相应地，称之为‘典 型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
对应的幅值条件为：
(s zl ) K (s pi ) 0
规则2：分支数和对称性
➢ 根轨迹一定对称于实轴，并且有max(n，m)支。 因为根轨迹是闭环特征方程的根，无论K如何变化特征方程始终有max(n，m) 个根，即使出现重根，当K从零到无穷大连续变化时重根不可能始终为重根， 所以根轨迹一定有max(n，m)支。 特征方程的根要么是实根（在实轴上）要么是共轭复根（对称于实轴），所 以根轨迹一定对称于实轴。
渐近线的分析一致，这一支已经是精确图形了。
➢ 根据规则5，可以确定根轨迹与虚轴的交点。先用劳斯判据， 根据特征方程 系数列出劳斯阵列为：
s3
1
2
s2
3
K
s1
6 K
使第一列中s1项等于零，可以求得K=6。3通过求解由s2行得出的辅助方程 3s2
+ K = 3s2 + 6 = 0，可s以0求得根轨迹与K虚轴的交点为
l 1
i 1
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法是：在复平面上选 足够多的试验点，对每一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该点 在根轨迹上，如果不是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连 接就得到根轨迹图。 以下列4阶系统为例说明，该系统开环传递函数为：
➢ 如果令G(s)=KG0(s)，显然K的变动只影响幅值条件，不影响相角条件。也就是 说，根轨迹上的所有点都满足相同的相角条件且不受K值变动的影响，但其幅值 与K 值有关。所以，绘制根轨迹可以这样进行：
首先在s平面上找出所有符合相角条件的点，这些点连成的曲线就是根轨迹。 然后反过来，再按幅值条件即可以求出根轨迹上任意一点所对应的K值。
❖ 1948年伊凡思(W.R.Evans)提出了根轨迹法，它不 直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的闭环 特征根。
所谓根轨迹，就是系统的某个参数连续变化时， 闭环特征根在复平面上画出的轨迹。如果这个参 数是开环增益，在根轨迹上就可以根据已知的开 环增益找到相应的闭环特征根；也可以根据期望 的闭环特征根确定开环增益。
i1 pi l1 zl
规则7：根轨迹的出射角和入射角
❖ 根轨迹从某个开环极点出发时的切线与实轴的夹角称为出射角；根轨迹进入 某个开环零点的切线与实轴的夹角称为入射角。用相角条件不难证明，
➢ 根轨迹从开环极点pi出发的出射角为：
➢
根轨迹进入某个开pi环零1点80Zl的入 j射m1角(为p：i
➢ 当n=m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹，正好终止于 个开环零点。 ➢ 当n>m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹，有m支终止于开环零点，有n-m支
终止于无穷远处。 因为，终点就是K→∞的点，要K→∞只有两种情况，一种是s=zl，另一种是 s→∞。这时，无穷远处也称为“无穷远零点”。 ➢ 当n<m时，终止于m个开环零点m支根轨迹，有n支来自n个开环极点，有m-n支 来自无穷远处。 必需指出，实际系统极少有n<m的情况。
规则3：渐近线
❖ 当n>m时，根轨迹一定有n－m支趋向无穷远；当n<m时，根轨迹一定有m－n支 来自无穷远。可以证明：
➢ 当n≠m时，根轨迹存在|n－m|支渐近线，且渐近线与实轴的夹角为：
所有渐近线交于k实轴上(2的k一n点1，)m1其8坐00标,为 k 0,1,2,,| n m | 1
n
m
pi zl
i1
l 1
nm
规则4：实轴上的根轨迹
➢ 实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，对其中任一段，如果其右
边实轴上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。
❖ 该规则用相角条件可以证明，设实轴上有一试验点s0。 ➢ 任一对共轭开环零点或共轭极点（如p2，p3），与其对应的相角（如θ2，θ3）
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点，因为任何一条根 轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个开环极点。同理，位于实轴上 的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点。
规则6：根轨迹的分离点
❖ 当从K零变到无穷大时，根轨迹可能出现先会合后分离，这样的点称分离点。 分离点对应重闭环极点。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点，因为任何一条根 轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个开环极点。同理，位于实轴上 的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点。