高中数学小专题(精品)45

微专题45 利用均值不等式求最值

一、基础知识：

1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n

n

H a a a =

+++L

（2）几何平均数：12n

n n G a a a =L

（3）代数平均数：12n

n a a a A n

+++=

L

（4）平方平均数：222

12n

n a a a Q n

+++=L

2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤⇒2

a b

ab +≤

即基本不等式 3、基本不等式的几个变形：

（1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况

（2）2

2a b ab +⎛⎫

≤ ⎪⎝⎭

：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况

（3）2

2

2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈

4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求

23y x x =+

的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2

324y x x x

=+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。

① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2

4y x x =+

为了乘积消掉x ，则要将3

x

拆为两个2x

，则2223

342222334y x x x x x x x x =+=++≥⋅⋅=

② 乘积的式子→和为定值，例如3

02

x <<

，求()()32f x x x =-的最大值。则考虑变积为和后保证x 能够消掉，所以()()()2

112329

322322228

x x f x x x x x +-⎛⎫=-=⋅-≤= ⎪⎝⎭（3）

等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）

② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。 5、常见求最值的题目类型

（1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求

m n

x y

+的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。 例如：已知0,0,231x y x y >>+=，求

32

x y

+的最小值 解：

()3232942366y x x y x y x y x y

⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭

94121224y x x y =+

+≥+= （3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值

解：()2

2

21

1222

228

x y x y xy x y ++⎛⎫=⋅⋅≤

= ⎪

⎝⎭ 所以()()

2

224248

x y x y xy x y +++=⇒++

≥

即()()2

282320x y x y +++-≥，可解得24x y +≥-，即()min 24x y +=-

注：此类问题还可以通过消元求解：42241

x

x y xy y x -++=⇒=

+，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意0y >的范围由x 承担，所以()0,2x ∈ 二、典型例题：

例1：设1x >-，求函数(5)(2)

1

x x y x ++=+的最小值为_______________

思路：考虑将分式进行分离常数，(5)(2)4

1511

x x y x x x ++==+++++，使用均值不等式可

得：

59y ≥+=，等号成立条件为4

111

x x x +=⇒=+，所以最小值为9 答案：9

例2：已知0,0x y >>，且11

5x y x y

++

+=，则x y +的最大值是________ 思路：本题观察到所求x y +与

11

x y

+的联系，从而想到调和平均数与算术平均数的关系，即2114

112x y x y x y

x y

+≤

⇒+≥++，代入方程中可得： ()()

()()2

45540x y x y x y x y ++

≤⇒+-++≤+，解得：14x y ≤+≤，所以最大值为

4 答案：4

例3：已知实数,m n ，若0,0m n ≥≥，且1m n +=，则22

21

m n m n +++的最小值为（ ） A.

14 B. 415 C. 18 D. 13

思路：本题可以直接代入消元解决，但运算较繁琐。考虑对所求表达式先变形再求值，可用

分离常数法将分式进行简化。2241

212121

m n m n m n m n +=-+-++++++，结合分母可将条件1m n +=，变形为()()214m n +++=，进而利用均值不等式求出最值

解：2222441141

21212121

m n m n m n m n m n m n -+-++=+=-++-+++++++