高中数学复数的四则运算
高中数学中的复数运算公式总结
高中数学中的复数运算公式总结在高中数学中，复数是一个重要的概念，而掌握复数的运算公式对于解决相关问题至关重要。
复数的运算包括加、减、乘、除等，下面我们就来详细总结一下这些运算公式。
一、复数的定义形如\（a ＋ bi\）（其中\（a\）、＼（b\）均为实数，＼（i\）为虚数单位，且\（i^2 ＝－1\））的数称为复数。
其中，＼（a\）被称为实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）被称为虚部，记作\（Im(z)＼）。
二、复数的四则运算1、加法运算两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的和为：＼z_1 ＋ z_2 ＝（a_1 ＋ a_2) ＋（b_1 ＋ b_2)i＼例如，＼（z_1 ＝ 2 ＋ 3i\），＼（z_2 ＝ 1 2i\），则\（z_1 ＋ z_2＝（2 ＋ 1) ＋（3 2)i ＝ 3 ＋ i\）2、减法运算两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的差为：＼z_1 z_2 ＝（a_1 a_2) ＋（b_1 b_2)i＼例如，＼（z_1 ＝ 5 ＋ 4i\），＼（z_2 ＝ 3 ＋ 2i\），则\（z_1 z_2＝（5 3) ＋（4 2)i ＝ 2 ＋ 2i\）3、乘法运算两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的积为：＼＼begin{align}z_1 ＼cdot z_2&＝（a_1 ＋ b_1i)（a_2 ＋ b_2i)＼＼＆＝a_1a_2 ＋ a_1b_2i ＋ a_2b_1i ＋ b_1b_2i^2\＼＆＝（a_1a_2 b_1b_2) ＋（a_1b_2 ＋ a_2b_1)i＼end{align}＼例如，＼（z_1 ＝ 2 ＋ 3i\），＼（z_2 ＝ 1 ＋ 2i\），则：＼＼begin{align}z_1 ＼cdot z_2&＝（2 ＋ 3i)（1 ＋ 2i)＼＼＆＝2 ＋ 4i ＋ 3i ＋ 6i^2\＼＆＝2 ＋ 7i 6\＼＆＝－4 ＋ 7i＼end{align}＼4、除法运算将复数\（＼frac{z_1}｛z_2}＼）（＼（z_2 ＼neq 0\））的运算转化为乘法运算，即分子分母同时乘以\（z_2\）的共轭复数\（＼overline{z_2} ＝ a_2 b_2i\），得到：＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{z_1 ＼cdot ＼overline{z_2}｝｛z_2 ＼cdot ＼overline{z_2}｝＼＼＆＝＼frac{（a_1 ＋ b_1i)（a_2 b_2i)｝｛（a_2 ＋ b_2i)（a_2 b_2i)｝＼＼＆＝＼frac{（a_1a_2 ＋ b_1b_2) ＋（b_1a_2 a_1b_2)i}｛a_2^2 ＋b_2^2}＼end{align}＼例如，＼（z_1 ＝ 4 ＋ 3i\），＼（z_2 ＝ 1 ＋ 2i\），则：＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{（4 ＋ 3i)（1 2i)｝｛（1 ＋ 2i)（1 2i)｝＼＼＆＝＼frac{4 8i ＋ 3i 6i^2}｛1 4i^2}＼＼＆＝＼frac{4 5i ＋ 6}｛1 ＋ 4}＼＼＆＝＼frac{10 5i}｛5}＼＼＆＝2 i＼end{align}＼三、复数的乘方运算1、＼（i\）的幂次规律＼（i^1 ＝ i\），＼（i^2 ＝－1\），＼（i^3 ＝ i\），＼（i^4 ＝1\）。
2024-2025学年高一数学必修第二册(北师版)教学课件第五章-§2复数的四则运算
高中数学
必修第二册
北师大版
新知学习
一、复数的加法与减法
1.复数的加法与减法
两个复数的和仍是一个复数，两个复数的和的实部是它们的实部的和，两个复数的和的虚部是它们
的虚部的和.也就是：（ + i） + （ + i）＝（ + ） + （ + ）i.
名师点析
（1）复数的加法中规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加.很明显，两个复数的和仍然是一个确定的
根据平面向量的坐标运算，得1 +2 ＝（ + ， + ）.
这说明两个向量1 ，2 的和就是与复数（ + ）+（ + ）i对应的向量.
因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义.
高中数学
必修第二册
北师大版
二、复数的乘法与除法
1.复数的乘法
（ + i）（ + i）＝（ − ） + （ + ）i.
解：（方法1）原式＝（1-2+3-4+…+2 017-2 018）+（-2+3-4+5+…-2 018+2 019）i＝-1 009+1 009i.
（方法2）（1-2i）-（2-3i）＝-1+i，（3-4i）-（4-5i）＝-1+i，…，（2 017-2 018i）-（2 018-2 019i）＝-1+i.
解析：＝（1+i）（1+2i）＝1+2i+i+2i2＝1+2i+i-2＝-1+3i，∴ ||＝
.
−1
2
+ 32 ＝ 10.
2024秋季人教A版高中数学必修第二册第七章复数《复数的四则运算》
教学设计：2024秋季人教A版高中数学必修第二册第七章复数《复数的四则运算》一、教学目标（核心素养）1.数学抽象：学生能够理解复数四则运算的定义，抽象出复数运算与实数运算的区别与联系。
2.逻辑推理：通过复数四则运算的推导和应用，培养学生的逻辑推理能力，理解复数运算的代数和几何意义。
3.数学运算：熟练掌握复数四则运算（加、减、乘、除）的法则，提高数学运算能力。
4.数学建模：初步了解复数在解决实际问题中的应用，培养学生的数学建模意识。
二、教学重点•复数四则运算的法则及其推导过程。
•复数乘法和除法的运算技巧及注意事项。
三、教学难点•理解复数乘法中“模相乘、辐角相加”的原理及其在运算中的应用。
•掌握复数除法运算中共轭复数的使用及结果的化简。
四、教学资源•多媒体课件（包含复数四则运算的示例、动画演示、练习题等）•黑板与粉笔（用于板书关键步骤和结论）•教材及配套习题册•复数计算器（可选，用于学生实践运算）五、教学方法•讲授法：系统介绍复数四则运算的定义、法则及运算技巧。
•演示法：利用多媒体课件演示复数四则运算的过程，帮助学生直观理解。
•练习法：通过例题和习题，加强学生对复数四则运算的掌握。
•讨论法：组织学生讨论复数四则运算在实际问题中的应用，加深对复数运算的理解。
六、教学过程1. 导入新课•复习旧知：回顾复数的概念、代数表示及三角表示，为复数四则运算做铺垫。
•情境引入：通过物理、工程或经济等领域中涉及复数运算的实例，激发学生兴趣，引入复数四则运算的学习。
2. 新课教学•复数加法与减法：•简述复数加法与减法的定义，强调实部与实部相加（减）、虚部与虚部相加（减）的规则。
•通过例题演示复数加法与减法的运算过程，引导学生总结运算规律。
•复数乘法：•详细介绍复数乘法的运算法则，特别是“模相乘、辐角相加”的原理及其在代数表示下的应用。
•通过例题演示复数乘法的运算过程，注意运算结果的化简和辐角的处理。
•强调复数乘法与实数乘法的区别，以及复数乘法在几何变换中的意义。
高中数学知识点精讲精析 复数的四则运算
3.2 复数的四则运算1. 复数加减法的运算法则：复数 z1=a+bi, z2=c+di,（a,b,c,d 是实数）z1+z2=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).2.复数乘法的运算法则：( a + bi )( c + di ) = ( ac – bd ) + ( bc + ad )i.注：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律3.复数除法的运算法则：把满足(c +di ）(x +yi ) = a +bi (c +di ≠0)的复数 x +yi 叫做复数 a +bi 除以复数c +di 的商复数的乘方运算是指几个相同复数相乘.对任意复数z, z 1 ,z 2 以及正整数m,n 有1．复数z 满足│z+i│+│z -i│=2求│z+1+i│的最值。
.)()(dic bi a di c bi a +++÷+或记做z z )z (z z ) (z z z z n n n mn n m n m n m 2121===⋅+【解析】│z+i│+│z-i│=2表示复数z的对应点Z与点A(0,-1)B(0,1)距离之和为2,而│AB│=2∴条件表示以A、B为端点的线段，而│z+1+i│=│z-(-1-i)│表示点Z到点C(-1,-1)的距离，因而，问题的几何意义是求线段AB上的点到C点距离的最大值与最小值，如图易见│z+1+i│max=│BC│=,│z+1+i│min=│AC│=1,2．【解析】3．【解析】化简得│W-(b+i)│≤1∴集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以点（2,0)为圆心，半径为2的圆面，集合B表示以点(b,1)为圆心，半径为1的圆面.又A ∩B=B即B A∴两圆内含即(b-2)2≤0，∴b=24．计算下列各式①②【解析】(1)(2)5【解析】由│z│=4得a2+b2=4……①∵复数0，z,z对应的点构成正三角形，∴│z-z│=│z│把z=-2a-2bi代入简得│b│=1……②又∵Z点在第一象限∴a<0,b<0。
高考复数公式知识点
高考复数公式知识点复数是数学中的一种数形式，由实部和虚部组成。
在高中数学中，学生需要掌握复数的基本概念、运算法则以及常见的复数公式。
本文将介绍几个高考重要的复数公式知识点。
一、复数的定义复数是由实数和虚数构成的，记作a+bi。
其中，a为实部，b为虚部，i为单位虚数，满足i²=-1。
二、复数的四则运算复数的加法：（a+bi）+（c+di）= (a+c) + (b+d)i复数的减法：（a+bi）-（c+di）= (a-c) + (b-d)i复数的乘法：（a+bi）*（c+di）= (ac-bd) + (ad+bc)i复数的除法：（a+bi）/（c+di）= [(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i三、共轭复数对于复数z=a+bi，它的共轭复数记作z*=a-bi。
共轭复数的性质如下：（1）复数z与其共轭复数z*的和为实数：z+z*=2a（2）复数z与其共轭复数z*的积为实数：zz* = a²+b²四、欧拉公式欧拉公式是复数和三角函数之间的重要关系，表示为e^(ix) = cos(x) + isin(x)。
其中，e代表自然对数的底数。
五、复数的模和幅角复数z=a+bi的模记作|z|，表示为|z|=√(a²+b²)。
复数z的幅角记作arg(z)，且满足tan(arg(z)) = b/a。
（注意：幅角arg(z)的取值在[-π, π)范围内）六、复数的乘方对于复数z=a+bi，求z的n次方的公式为：z^n = |z|^n * [cos(narg(z)) + isin(narg(z))]七、代数方程的根对于代数方程az^n + bz^(n-1) + ... + c = 0，其中a、b、c为实数，z 为未知数，复数的根共有n个，可以使用根号公式进行求解。
八、复数平方根对于复数z=a+bi，可以求其平方根的公式为：√(z) = ±√((a+|z|)/2) + i*sgn(b)*√((|z|-a)/2)以上就是高考复数公式的一些重要知识点。
复数的四则运算——高中数学湘教版(2019)必修二
2.两个复数的积仍为复数,可推广,任意多个复数的积仍然是一个复数.
微思考
in(n∈N+)有什么规律?
提示 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N+),即in(n∈N+)是以4为周期的.
微练习
(1)(4-i)(3+2i)=
(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.
探究二
复数的乘法与除法运算
例 2 计算下列各题:
(1)(1-2i)(3+6i);(2)(5-2i)
6
(4)( 3-i) ;(5)
4+4i
2
(2-i)
;(6)
2-i
;(3)-4-3i ;
2
1+i 8
.
1-i
分析按照复数乘法与除法的运算法则进行计算.
母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
(2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部
与虚部要完全分开的形式.
变式训练 2 计算下列各题:
(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);
(2)
1
2
+
3
i
2
3
2
+
1
i
2
(1+i);
(3)(-2+3i)÷(1+2i);
3+2i
(4)
2-3i
第3章
3.2
复数的四则运算
任何两个实数都可以相加,而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律,
苏教版选修(-).《复数的四则运算》ppt课件
1．复数加减法的运算法则． 2．复数的乘法法则．
3．共轭复数．
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
高中数学 复数的运算(修改)
→ 化简整理得P的轨迹方程 → 代入法求Q的轨迹方程 (2) → 结论 根据复数的几何意义 → |z1－z2|的几何意义
[解析] (1)设z＝x＋yi(x，y∈R)． 则集合P＝{(x，y)|x2＋y2－6y＋5＝0} ＝{(x，y)|x2＋(y－3)2＝4}， 故P表示以(0,3)为圆心，2为半径的圆． 设w＝a＋bi(a，b∈R)． ＝ ＋ ， ∈ ． z＝x0＋y0i∈P(x0，y0∈R)且w＝2iz. ＝ ∈ 且 ＝
复数的减法是加法的逆运算； 注: ⑴复数的减法是加法的逆运算； 易知复数的加法满足交换律 结合律, 复数的加法满足交换律、 ⑵易知复数的加法满足交换律、结合律 , 即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,（交换律） 有 （交换律） (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 结合律） （结合律） ⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行 .
这就是复数加法的几何意义. 这就是复数加法的几何意义.
类似地,复数减法: 类似地,复数减法: y
Z2(c,d)
OZ1-OZ2
Z1(a,b) O
Hale Waihona Puke x Z复 数 z = z1 − z 2
这就是复数减法的几何意义. 这就是复数减法的几何意义.
练习 1.计算 计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004; 计算 解:原式 -2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2001i-2002原式=(i- - 原式 2003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i. 2.已知方程 2-2x+2=0有两虚根为 1, x2, 求x14+x24的值 已知方程x 有两虚根为x 的值. 已知方程 有两虚根为 解: ∵ x1,2 = 1 ± i ,
7.2复数的四则运算-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
仍然是一个确定的复数
03
01
复数的加法运算律
01
（对任意 z1，z 2，z 3 ∈C,有
02
（1）交换律：z1 + z 2 = z 2 + z1
03
（2）结合律：（z1 + z 2）+ z 3 = z1+（z 2 + z 3 ）
01 复数的减法法则
02
设 z1 =a+bi，z2 =c+di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，
经典例题
解析
【答案】5+i 1+7i 【分析】 根据加法法则（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i带入 （3;bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i带入 （3-2）+（4+3）i=1+7i
经典例题
例2
已知复数z1=2+4i,z2=6+2i， 求z1z2，z1÷z2
经典例题
解析
【答案】4+28i 1/2+1/2i 【分析】 根据乘法法则（a+bi）（c+di）=ac+bci+adi+bdi²=（ac-bd)+(ad+bc)i带入 （2×6-4×2）+（2×2+4×6）i=4+28i 根据除法法则（a+bi）÷（c+di）= ac bd + bc ad i带入
第七章复数
7.2复数的四则运算
学习目标
01
复数的加、减法法则
02
复数的乘、除法法则
03
高中数学第三章3.2复数的四则运算(第一课时)复数的加减与乘法运算讲义(含解析)苏教版选修2_2
3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算复数的加减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋d i)(a＋b i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.1．复数的乘法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i(a ，b ，c ，d ∈R )．2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、z 2、z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3共轭复数问题：复数3＋4i 与3－4i ，a ＋b i 与a －b i(a ，b ∈R )有什么特点？ 提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i.3．当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[对应学生用书P38]复数的加减运算[例1] 计算： (1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通] 复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝2，则x＋y＝________. 解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.复数的乘法[例2] 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨] 应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析] (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.[一点通] (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i －i 2＝－1＋3i. 答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＝1，b ＝3， 故a ＋b ＝4. 答案：46．计算下列各题． (1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.共轭复数的概念[例3] 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . [思路点拨]设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )―→z ＝a －b i(a ，b ∈R )―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________. 解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ，∴a －b i ＋2a i ＋2b ＝4＋3i ， 即(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数 z ＝1＋i ，求实数 a ，b 使 az ＋2b z ＝(a ＋2z )2成立． 解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a ，b 都是实数， ∴由 az ＋2b z＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2).两式相加，整理得 a 2＋6a ＋8＝0.解得 a 1＝－2，a 2＝－4，对应得 b 1＝－1，b 2＝2. ∴所求实数为 a ＝－2，b ＝－1 或 a ＝－4，b ＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋b i 看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．[对应学生用书P40]一、 填空题1．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为________． 解析：(－i ＋3)－(－2＋5i) ＝－i ＋3＋2－5i ＝－6i ＋5.答案：5－6i2．若复数z ＝1－2i ，(i 为虚数单位)则z ·z ＋z 的实部是________． 解析：∵z ＝1－2i ， ∴z ＝1＋2i ，∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝5， ∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i. 答案：63．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________. 解析：∵3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i) ∴z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i) ＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i. 答案：5＋5i4．(北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 解析：(x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，由复数相等的定义知x ＝2. 答案：25．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 解析：∵z 2＝t ＋i ， ∴z 2＝t －i ，∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i ；(3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)． 解：⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.8．(江西高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z .解：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1. 又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i＝－2i又z＋z＝2.∴z－z＋(z＋z)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.。
高中数学第三章3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义讲义新人教A版选修2_2
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝□01(a ±c )＋(b ±d )i. (2)复数加法的运算律复数的加法满足□02交换律、□03结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1；(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的□06终点，并指向被减向量的向量Z 2Z 1→所对应的复数． (3)复平面内的两点间距离公式：d ＝□07|z 1－z 2|. 其中z 1，z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为Z 1和Z 2间的距离．1．两点间的距离公式结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式，设z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，则|Z 2Z 1→|＝|z 1－z 2|＝|(x 1＋y 1i)－(x 2＋y 2i)|＝|(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.2．复数模的两个重要性质(1)||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|； (2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量OZ 1→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．答案 (1)6＋i (2)－11i (3)1－i探究1 复数的加减运算例1 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. 拓展提升复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．【跟踪训练1】 计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解 (1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i) ＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i. 探究2 复数加减运算的几何意义例2 已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．[解] 解法一：设D 点对应复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )． 又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)，∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.解法二：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ， 又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i. 由已知AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即点D 对应的复数为3＋5i.[条件探究] 若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ，求第四个顶点对应的复数．[解] 设1＋3i ，－i,2＋i 对应A ，B ，C 三点，D 为第四个顶点，则①当ABCD 是平行四边形时，D 点对应的复数是3＋5i.②当ABDC 是平行四边形时，D 点对应的复数为1－3i.③当ADBC 是平行四边形时，D 点对应复数为－1＋i.拓展提升(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能． 【跟踪训练2】 已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， 所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)， 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.所以sin B ＝752＝7210，所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7.所以平行四边形ABCD 的面积为7. 探究3 复数加减运算的几何意义的应用 例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.[解]解法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1.②由①②得2ac＋2bd＝1.∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.拓展提升掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．【跟踪训练3】若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．解解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)．因为|z＋i|＋|z－i|＝2，所以x2＋y＋12＋x2＋y－12＝2，又x2＋y＋12＝2－x2＋y－12≥0，所以0≤1－y＝x2＋y－12≤2，即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.所以x＝0且－1≤y≤1，则z＝y i(－1≤y≤1)．所以|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝12＋y＋12≥1，等号在y＝－1即z＝－i时成立．所以|z＋i＋1|的最小值为1.1.复数的加法规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加，两个复数的和仍是一个复数，这一法则可以推广到多个复数相加.2.因为复数可以用向量来表示，所以复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.3.复数的减法可根据复数的相反数，转化为复数的加法来运算.1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵z 1－z 2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i ， ∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第一象限． 2．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D．4i 答案 B解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为纯虚数，得x ＝0，且y ≠－3，又|z |＝x 2＋y 2＝|y |＝3，∴y ＝3.故选B.3．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量O A →，O B →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则( ) A ．O A →＝O B → B ．|O A →|＝|O B →| C ．O A →⊥O B →D ．O A →，O B →共线答案 C解析 如图，由向量的加法及减法法则可知，O C →＝O A →＋O B →，B A →＝O A →－O B →.由复数加法及减法的几何意义可知，|z 1＋z 2|对应O C →的模，|z 1－z 2|对应B A →的模．又|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以四边形OACB 是矩形，则O A →⊥O B →.4．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i答案 A解析 z ＝2i ＋(1－i)＝1＋i.故选A.5．如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO →对应的复数； (2)向量CA →对应的复数； (3)向量OB →对应的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以向量AO →对应的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB →对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.。
新教材人教A版高中数学必修第二册7.2复数的四则运算 精品教学课件
2.复数加法的运算律
(1)交换律：__z_1_＋__z_2＝__z_2_＋__z1__； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝_z_1_＋__(_z2_＋__z_3)__.
(1)―AO→表示的复数； (2)对角线―CA→表示的复数； (3)对角线―O→B 表示的复数.
[解] (1)因为―AO→＝－―O→A ，所以―AO→表示的复数为－3 －2i.
(2)因为―CA→＝―O→A －―O→C ，所以对角线―CA→表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线―O→B ＝―O→A ＋―O→C ，所以对角线―O→B 表示的 复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
A.8i
B.6
C.6＋8i
D.6－8i
解析：z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝6.
答案：B
2.设 z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则 z1－z2 在复平面内对应的点 位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：∵z1－z2＝5－7i，∴z1－z2 在复平面内对应的点位于 第四象限.
形状？ 提示：正方形.
[学透用活] [典例 3] 设 z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2， 求|z1－z2|. [解] 法一：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 由题设知 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2. 又∵(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2， ∴2ac＋2bd＝0. ∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd) ＝2，∴|z1－z2|＝ 2.
高中数学复数运算步骤解释
高中数学复数运算步骤解释复数运算是高中数学中的一个重要内容，也是学生们常常感到困惑的一个知识点。
在这篇文章中，我将详细解释复数运算的步骤，并通过具体的题目举例，帮助读者理解复数运算的考点和解题技巧。
一、复数的基本概念首先，我们需要了解复数的基本概念。
复数是由实部和虚部组成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以表示在复平面上的点，实部对应x轴坐标，虚部对应y轴坐标。
二、复数的四则运算接下来，我们将详细介绍复数的四则运算步骤。
1. 复数的加法和减法复数的加法和减法可以通过实部和虚部的分别相加或相减得到。
例如，给定两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的和为z₁+z₂=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i，差为z₁-z₂=(a₁-a₂)+(b₁-b₂)i。
举例：计算复数(3+2i)+(1-4i)的结果。
解析：将实部和虚部分别相加，得到(3+1)+(2-4)i=4-2i。
2. 复数的乘法复数的乘法可以通过使用分配律和虚数单位的性质来计算。
例如，给定两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的乘积为z₁×z₂=(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i。
举例：计算复数(2+3i)×(4-5i)的结果。
解析：根据乘法公式，展开计算得到(2×4-3×(-5))+(2×(-5)+3×4)i=23+2i。
3. 复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数的方式来计算。
共轭复数是将原复数的虚部取相反数得到的复数。
例如，给定两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的商为z₁÷z₂=(a₁a₂+b₁b₂)/(a₂²+b₂²)+((b₁a₂-a₁b₂)/(a₂²+b₂²))i。
举例：计算复数(3+2i)÷(1-4i)的结果。
高中数学 复数的四则运算
复数的四则运算•复数的运算：1、复数z1与z2的和的定义：z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i；3、复数的乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。
4、复数的除法运算规则：。
复数加法的几何意义：设为邻边画平行四边形就是复数对应的向量。
复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设，则这两个复数的差对应，这就是复数减法的几何意义。
共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
复数z=a+bi和=a-bi（a、b∈R）互为共轭复数。
•复数的运算律：1、复数的加法运算满足交换律：z1+z2=z2+z1；结合律：（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）；2、减法同加法一样满足交换律、结合律。
3、乘法运算律：（1）z1（z2z3）=（z1z2）z3；（2）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3；（3）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3•共轭复数的性质：我们把形如a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
当虚部等于零时，这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z 为纯虚数。
复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。
复数的定义数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行(比如对负数开偶数次方)，为了使方程有解，我们将数集再次扩充。
在实数域上定义二元有序对z=(a,b)，并规定有序对之间有运算"+"、"×" (记z1=(a,b),z2=(c,d))：z1 + z2=(a+c,b+d)z1 ×z2=(ac-bd,bc+ad)容易验证，这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域，并且对任何复数z，我们有z=(a,b)=(a,0)+(0,1) ×(b,0)令f是从实数域到复数域的映射，f(a)=(a,0)，则这个映射保持了实数域上的加法和乘法，因此实数域可以嵌入复数域中，可以视为复数域的子域。
-高中数学 3.2复数的四则运算课件 苏教版选修2-2
z1 z 2 ＝ z 2 z 1 交换律 ( z1 z2 ) z3 ＝ z1 ( z2 z3 ) 结合律 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝ z1z2＋z1z3
(2)在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立，即对于
m＋n 任意复数z，z1，z2和正整数m，n，有zmzn＝ z ， (zm)n ＝
解 (1)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]
＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i ＝－a＋(4b－3)i.
题型二 复数的乘除运算
【例2】 计算下列各题： 1＋i7 1－i7 3－4i2＋2i3 (1) ＋ － ； 1－i 1＋i 4＋3i
(3)法一
(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋
(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i) ＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 007－2 008)＋2 009]＋[(－2 ＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2 008＋2 009)－2 010]i ＝(－1 004＋2 009)＋(1 004－2 010)i＝1 005－1 006i.
2 4 1
1 ＝ －2＋
3 34 i ＋(－8＋8 3i) 2
＝1－8＋8 3i＝－7＋8 3i.
对于复数的运算，除了应用四则运算法则之外， 对于一些简单的算式要知道其结果，这样起点就高，计算 过程就可以简化，达到快速简捷出错少的效果．比如下列 结果，要记住： 1＋i 1－i 1 ① i ＝－i；② ＝i；③ ＝－i；④a＋bi＝i(b－ai)． 1－i 1＋i
5．复数的除法法则 给出两个复数a＋bi，c＋di(c＋di≠0)，将满足等式 (c＋di) (x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0) 的复数 x ＋ yi 叫做复数 a ＋ bi 除以 c a＋bi ＋di所得的 商 ，记作 c＋di 或者 (a＋bi)÷(c＋di) ．
高中数学-5.2复数的四则运算 (共24张PPT)
3、共轭复数：
导
定义： 实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做 互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭。
说明：
2 Z1 Z2 Z1 Z2
Z1 Z2 Z1 Z2
导
4、复数中正整数指数幂的运算律 （1） zmzn=zm+n （2） (zm)n=zmn （3） (z1z2)n=z1nz2n
求这个正方形的第四个顶点对应的复数。2-i
点评 利用 AD BC或AB DC或利用正方形 的两条对角线的交点是其对称中心求解。
5.2 复数的四则运算 及加减法几何意义
【学习目标】
1.掌握复数的四则运算，了解复数运算的交 换律、 结合律、分配律，理解复数加法减法 的几何意义。（重点）
2.复数问题转化为实数问题的思想方法，复 数加法、减法的几何意义。（重难点）
点Z(a,b) 一一对应 复数z=a+bi
导
向量OZ
类比向量坐标的加法运算
导
1.设z1=a+bi,z2=c+di,(a,b,c,d∈R)，则
z1z2=(a+bi)(c+di) =ac+adi+bci+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i
特征：两个复数的积仍然是一个复数。
运算与多项式运算类似。
导
2、复数的乘法满足交换律、结合律 及乘法对加法的分配律。
（1）z1z2=z2z1 (交换律) （2）(z1z2)z3=z1(z2z3) (结合律) （3）z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (分配律)
议、展
探究一 计算 (1) (5-6i)+(-2-i)-(3+4i); （1）-11i (2) [(a+b)+(a-b)i]-[(a-b)-(a+b)i] （2）2b+2ai
高中数学《复数》基础知识及经典练习题(含答案解析)
高中数学《复数》基础知识及经典练习题（含答案解析）一、基础知识：复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数z 的代数形式为(),z a bi a b R =+∈，其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部（而不是bi )，2、几类特殊的复数：（1）纯虚数：0,0a b =≠ 例如：5i ，i 等（2）实数： 0b =3、复数的运算：设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈（1）21i =−（2）()()12z z a c b d i ±=+++（3）()()()()212z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i ⋅=+⋅+=+++=−++ 注：乘法运算可以把i 理解为字母，进行分配率的运算。
只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算21i =−（4）()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +−++−+===++−+ 注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是(),z a bi a b R =+∈，所以不允许分母带有i ，那么利用平方差公式及21i =的特点分子分母同时乘以2z 的共轭复数即可。
4、共轭复数：z a bi =−， 对于z 而言，实部相同，虚部相反5、复数的模：z = 2z z z =⋅ (22z z ≠) 6、两个复数相等：实部虚部对应相等7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数(),a bi a b R +∈都与平面直角坐标系上的点(),a b 一一对应，将这个平面称为复平面。
横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。
8、处理复数要注意的几点：（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即(),z a bi a b R =+∈（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。
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复数的四则运算同步练习
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1.设复数z满足(1+i)z=2i，则|z|=()
A. 1
2B. √2
2
C. √2
D. 2
2.若z=1+2i，则4i
z⋅z−−1
=()
A. 1
B. −1
C. i
D. −i
3.复数z=(i−1)2+4
i+1
的虚部为()
A. −1
B. −3
C. 1
D. 2
4.若z=4+3i，则z
|z|
=()
A. 1
B. −1
C. 4
5+3
5
i D. 4
5
−3
5
i
5.已知i是虚数单位，复数z满足z(3+4i)=1+i，则复平面内表示z的共轭复数的
点在()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
6.设有下面四个命题：
p1：若复数z满足1
z
∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=z2−；
p4：若复数z∈R，则z−∈R．
其中的真命题为()
A. p1，p3
B. p1，p4
C. p2，p3
D. p2，p4
7.i为虚数单位，则(1+i
1−i
)2016=()
A. −i
B. −1
C. i
D. 1
8.若为a实数，且2+ai
1+i
=3+i，则a=()
A. −4
B. −3
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
9.已知复数z满足z+3
z
=0，则|z|=______ ．
10.已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1+i)(1−bi)=a，则a
b
的值为______．
11.已知复数z=(1+i)(1+2i)，其中i是虚数单位，则z的模是______．
12.设a∈R，若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a=______ ．
三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）
13.设z1=2x+1+(x2−3x+2)i，z2=x2−2+(x2+x−6)i(x∈R)．
(1)若z1是纯虚数，求实数x的取值范围；
(2)若z1>z2，求实数x的取值范围．
14.已知z为复数，z+2i和z
2−i
均为实数，其中i是虚数单位．
(1)求复数z和|z|；(2)若z1=z+3m+(m2−6)i在第四象限，求实数m的取值范
围．
15.复数(m2−5m+6)+(m2−3m)i，m∈R，i为虚数单位．
(I)实数m为何值时该复数是实数；
(Ⅱ)实数m为何值时该复数是纯虚数．
16.已知关于x的方程x
a +b
x
=1，其中a，b为实数．
(1)若x=1−√3i是该方程的根，求a，b的值；
(2)当b
a >1
4
且a>0时，证明：该方程没有实数根．。