椭圆的定义与几何性质

椭圆

【教学目标】（1）掌握椭圆的定义

（2）掌握椭圆的几何性质

（3）掌握求椭圆的标准方程

【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题

（2）椭圆焦点三角形面积的求法

【教学过程】

一、知识点梳理

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

注意：若，则动点的轨迹为线段；

若，则动点的轨迹无图形。

知识点二：椭圆的标准方程

1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：

1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；

3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。

知识点三：椭圆的简单几何性质

椭圆的的简单几何性质

（1）对称性

对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换

成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

讲练结合：

（2）范围

椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。

（3）顶点

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），

A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。

③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。

②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而

越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2

椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：

（1），，；

（2），，；（3）,，；

知识点四：椭圆与（a＞b＞0）的区别和联系

，，

，，

，，

长轴长=，短轴长=

，

，

注意：椭圆，（a ＞b ＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间

的关系都有a ＞b ＞0和，a 2=b 2+c 2

；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的

焦点坐标也不相同。

二、考点分析

考点一：椭圆的定义 【例1】方程

()()10222

22

2=+++

+-y x y x 化简的结果是 。

【例2】已知F 1(-8，0)，F 2(8，0)，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=16，则点P 的轨迹为（ ）

A 圆

B 椭圆

C 线段

D 直线

【变式训练】已知椭圆=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点

距离为 。

考点二：求椭圆的标准方程

【例3】若椭圆经过点(5，1)，(3，2)则该椭圆的标准方程为 。

【例4】ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．

22

169

x y ＋

【例5】求以椭圆229545x y +=的焦点为焦点，且经过点M 的椭圆的标准方程．

【变式训练】1、焦点在坐标轴上，且213a =，212c =的椭圆的标准方程为 。 2、焦点在x 轴上，1:2:=b a ，6=

c 椭圆的标准方程为

。

3、已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0），求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；

4、已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为

354和3

5

2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

考点三：利用标准方程确定参数

【例6】若方程25x k -+2

3

y k -=1

（1）表示圆，则实数k 的取值是 .

（2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 .

【例7】椭圆2

2

425100x y +=的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 。

【变式训练】1、椭圆22

14x y m

+=的焦距为2，则m = 。

2、椭圆552

2

=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

考点四：离心率的有关问题 一、求离心率

1、用定义（求出a,c 或找到c/a ）求离心率

（1）已知椭圆C :22

221,(0)x y a b a b

+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C

经过点41

(,)33

P .则椭圆C 的离心率 。

（2）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，

是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）

（3）椭圆（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1，F 2。若

|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.

（4）在给定的椭圆中，

焦点到相应准线距离为1，则该椭圆的离心率为 。

2、根据题设条件构造a 、c 的齐次式方程，解出e 。

2220()0n c c

ma nac pc m p m a a

++==>+

⋅+= （1）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）

A. B. C. D.

（2）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a b

y a x ,右焦点为12F F 22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>P 32a x =∆21F PF 30o E ()

A 12()

B 23()

C 3

4

()

D 4

5

22

221x y a b

+=54535251