第六章习题

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第六章 布朗运动
第六章 布朗运动
6.3 定义标准布朗运动 B (t) 的镜面反射：Z (t) = |B (t)|，t ≥ 0。计 算 EZ (t)，V ar(Z (t))。 解: (1) ∫ ∞ |x| − x2 √ e 2t dx EZ (t) = E |B (t)| = 2πt −∞ ∫ ∞ x − x2 √ =2 e 2t dx 2 πt 0 ∫ ∞ 1 − x2 − x2 √ = −2t e 2t de 2t 2πt 0 √ 2t 2t =√ = π 2πt
N (0, t) o.
. 则 EB (t) = 0, V B (t) = t, cov (B (t), B (s)) = s, ∀t > s
(b) (a) 中已证明 B (t) 是正态过程，服从 N (0, t) 的正态过程。 (c) 由 B (t) 是标准布朗运动得 B(0)=0，由题意知 B (1) = 0，所以 B (t) 是布朗桥。
E (W (t)W (s)) = E (B (T − t) − B (T ))(B (T − s) − B (T )) = E (B (T − t)B (T − s) − E (B (T − t)B (T )) − E (B (T )B (T − s) + B (T )B (T ) = (T − t) − (T − t) − (T − s) + T = s 所以 W (t) 是标准布朗运动。
0≤s≤t
P0 (Ta−x ≤ h)
≤ P0 { max B (s) ≥ a − x − |µ|h}
0≤s≤h
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= P0 (Ta−x−|µ|h ≤ h) ≤ 2P0 {|B (h)| ≥ a − x − |µ|h} ∫ 2 exp(−y 2 /2h)dy =√ 2πh |y|≥a−x−|µ|h ∫ −∞ 2 y4 √ ≤ exp(−y 2 /2h)dy 4 2πh +∞ (a − x − |µ|h) 2 = 3h2 (a − x − |µ|h)4 所以 P (Ta ≤ h | X (0) = x) ≤ 故有 P (Tx ≤ t) = o(t) 6h2 3h2 = o(h) (a − x − |µ|h)4
第六章 布朗运动 显见，W (0) = 0 则，由 eg2.1(4) 知，当 B (t) 为标准布朗运动时， W1 (t) = tB (1/t) 也为标准布朗运动； 再由 eg2.1(2)，当 W1 (t) 为标准布朗运动时，
第六章 布朗运动
W2 (t) = W1 (t + 1) − W1 (1) = (1 + t)B (1/(1 + t)) − B (1) 也是标准布朗运动； 再由 eg2.1(1)，当 W2 (t) 为标准布朗运动时， W3 (t) = −W2 (t) = B (1) − (1 + t)B (1/(1 + t)) 即 W (t) 也是标准布朗运动.
6.4 用标准布朗运动 B (t) 定义几何布朗运动
Y (t) = exp(B (t))，t ≥ 0
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第六章 布朗运动 计算 EY (t)，V ar(Y (t))。 解: 1 2 1 (1)E (Y (t)) = E (eB (t) ) = e 2 t1 = e 2 t 1 2 (2)E (Y (t))2 = E (e2B (t) ) = e 2 t2 = e2 t V ar(Y (t)) = E (Y (t))2 − (E (Y (t)))2 = e2t − et
第六章 布朗运动
6.5对标准布朗运动 B (t)，在条件 B (1) = 0 下,
(a) 计算 B (t)，0 (b) 验证 B (t)，0 t (c) 验证 B (t)，0 t t 1 的数学期望和协方差函数； 1 是正态过程； 1 是布朗桥。 0,
解：(a) B (t) 是标准布朗运动，所以对于 t B (t) − B (0) = B (t)
第六章 布朗运动
第六章 布朗运动
EW (t)W (s) = E (−B (t))(−B (s)) = EB (t)B (s) = s 所以 W (t) 是标准布朗运动。 (2)EW (t) = E (B (t + a) − B (a)) = EB (t + a) − EB (a) = 0
E (W (t)W (s)) = E (B (t + a) − B (a))(B (s + a) − B (a)) = E (B (t + a)B (s + a) − E (B (t + a)B (a)) − E (B (a)B (s + a)) + E (B (a)B (a)) = s+a−a−a+a=s 所以 W (t) 是标准布朗运动。 √ √ (3)EW (t) = E (B (at)/ a) = EB (at)/ a = 0 √ √ E (W (t)W (s)) = E (B (at)/ a)(B (as)/ a) 1 = E (B (at)B (as) a 1 × as = s = a 所以 W (t) 是标准布朗运动。 (4)EW (t) = E (tB (1/t)) = tE (1/t) = 0 E (W (t)W (s)) = E (tB (1/t))(sB (1/s)) = tsE (B (1/t)B (1/s)) = ts × 1/t = s 所以 W (t) 是标准布朗运动。 (5)EW (t) = E (B (T − t) − B (T )) = EB (T − t) − EB (T ) = 0
所以 W (t) 是标准的布朗运动。 6.2 设 B (t) 是标准布朗运动，a 是正常数，证明一下的随机过程 W (t) 都是标准布朗运动。 (1)W (t) = −B (t),t ≥ 0; (2)W (t) = B (t + a ) − B (a), t ≥ 0; √ (3)W (t) = B (at)/ a,t ≥ 0; (4)W (0) = 0,W (t) = tB (1/t),t ≥ 0; (5) 对于正数 T，W (t) = B (T − t) − B (T ) 是时间段 [0, T ] 中的标准布朗运 动。 证 明 ：因为 B (t) 是标准布朗运动，所以满足定理 2.1 的条件。我们只需要 验证 EW (t) = 0, EW (t)W (s) = s, t ≥ s ≥ 0 成立即可。 (1)EW (t) = E (−B (t)) = −EB (t) = 0 1
0≤s≤t
即证 P (Tx ≤ t) = o(t) 5
第六章 布朗运动
第六章 布朗运动
由《应用随机过程》（清华大学出版社）Page95 的定理 5.6.1 , 设 B (t), t ≥ 0 为布朗运动，令 X (t) = B (t) + µt Ta = min{t : t ≥ 0, X (t) = a}, X (0) = x, x ̸= a 则当 h > 0 充分小时，有 P (Ta ≤ h | X (0) = x) = o(h) 因为 P (Ta ≤ h | X (0) = x) = P (Ta−x ≤ h | X (0) = 0) P0 (Ta−x ≤ h) = P0 ( max [B (s) + µs] ≥ a − x)
6.9 设 X 有连续的分布函数 F(x),X1 , X2 , · · · , Xn 是来自总体 X 的随机 变量. 定义 Yi = F (Xi ). (a) 计算 Yi 的分布函数 G(y ); (b) 写出基于随机变量 Y1 , Y2 , · · · , Yn 经验函数 G(y ) 6
第六章 布朗运动
n
6.10 对标准布朗运动B(t), 定义 OU(Ornstein-Uhlenbeck) 过程 U (t) = e−t B (e2t ) (a) 计算 OU 过程U(t)的数学期望和协方差函数; (b) 验证 OU 过程U(t)是严平稳过程; (c) 在条件 U(t)=u 下, 求 U(t+s) 的分布. 解 (a) 对标准布朗运动 {B (t)} 有:B (t) ∼ N (0, t), ∴ EU (t) = Ee−t B (e2t ) = e−t EB (e2t ) = 0 V ar(U (t)) = e−2t V ar(B (e2t )) = 1
(2) ∫
2 2
EZ (t) = E |B (t)| = −∞ ∫ ∞ x2 x √ = −2t de− 2t 2πt 0 ∫ ∞ 1 − x2 √ = 2t e 2t dx 2πt 0 =t
∞
|x|2 − x2 √ e 2t dx 2πt
V ar(Z (t)) = EZ (t)2 − (EZ (t))2 √ 2 2t =t− π 2t =t− π
6.8 标准布朗运动 {B (t)}, 定义有漂移系数 µ 的布朗运动如下:
W (t) = B (t) + µt, t ≥ 0. 对于 x > 0, 证明当 t → 0 时，P ( sup |W (s)| > x) = o(t).
0≤s≤t
解: P ( sup |W (s)| > x) = P (Tx ≤ t)
第六章习题解
习 题 6.1 用 (X (t), Y (t)) 表示二维标准布朗运动，用定理 2.1 证明对 任何常数 θ, W (t) = X (t)cosθ + Y (t)sinθ, t ≥ 0 是标准的布朗运动。 证 明：因为 (X (t), Y (t)) 为二维标准布朗运动，所以 X (t) 于 Y (t) 都是 标准布朗运动，且服从正态分布 N (0, t). 由 EX (t) = 0 与 EY (t) = 0, 可得 EW (t) = EX (t)cosθ + EY (t)sinθ = 0. E (W (t)W (s)) = = = =
6.7 对标准布朗运动 B (t) 及其最大值 Mt = sup B (s), 计算条件概率
0≤s≤t
P (Mt > α|Mt = B (t)) . 解： P (Mt > α|Mt = B (t)) = 余下的我不会解，不好意思。 P (Mt > α, Mt = B (t)) P (Mt = B (t))
E (X (t)cosθ + Y (t)sinθ)(X (s)cosθ + Y (s)sinθ) (cosθ)2 EX (t)X (s) + (sinθ)2 )E (Y (t)Y (s) + sinθcosθ)(EX (t)Y (s) + EY (t)X ((cosθ)2 + (sinθ)2 )s s
6.6 对于布朗桥 X (t)，0
t
1, 验证 0
W (t) = (t + 1)X (t/(1 + t)), t
是标准布朗运动。 解：X (t) 为布朗桥，则存在一个标准布朗运动 B (t)，使得 X (t) = B (t) − tB (1) . 则 W (t) = (t + 1)X ( t ) 1+t t t = (t + 1)[B ( )) − B (1)] 1+t 1+t 1 t = (t + 1)[B (1) − B ( )− B (1)] 1+t 1+t 1 1 = (t + 1)[ B (1) − B ( )] 1+t 1+t 1 = B (1) − (1 + t)B ( ) 1+t 4
第六章 布朗运动
解
√ (c) 计算经验过程 {Dn (t)} = { n(GN (t) − G(t))} 的协方差函数.
(a) 已知:X 的分布函数 F(x) 连续单调不减, 我们不妨假设 F(x) 的反函 数 F −1 (x) 存在. 则当 y ∈ [0, 1] 有: P (Yi ≤ y ) = P (F (Xi ) ≤ y ) = P (Xi ≤ F −1 (y )) = F (F −1 (y ))) = y 当 y ∈ (−∞, 0) 时有: P (Yi ≤ y ) = P (F (Xi ) ≤ y ) = 0 当 y ∈ (1, +∞) 时有:P (Yi ≤ y ) = P (F (Xi ) ≤ y ) = 1 ∴ Yi ∼ U (0, 1), 0, y ∈ (−∞, 0) y, y ∈ [0, 1] G(y ) = 1, y ∈ (1, +∞) . n ∑ 1 (b) 经验函数为 Gn (y ) = n I [Yi ≤ y ], y ∈ [0, 1] i=1 √ (c) 当 0 ≤ s < t ≤ 1 时, 有 EDn (t) = nE (Gn (t) − t) = 0 所以: COV (Dn (t), Dn (s)) = EDn (t)Dn (s) n 1∑ E [(I [Yk ≤ s] − s)(I [Yk ≤ t] − t)] = n k=1 1∑ = s(1 − t) = s(1 − t) n k=1