中考数学中等难度题训练

中等难度题训练1

1、在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ(0°

＜θ＜180°)，得到△A1B1C．

(1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形；

(2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3；

(3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当θ＝°时，EP的长

度最大，最大值为．

2、如图，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。

(1)求证：CD为⊙0的切线；

(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度.

3、在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。

（1）在图1中证明CE CF

=；

（2）若90

ABC

∠=︒，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；

（3）若

A A

1

A

C C C

A1

A1

A

D

1

B B B

1

B1

E

P

图1 图2 图3 θθθ

G

E

B

=，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数。

120

∠=︒，FG∥CE，FG CE

ABC

4、某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

价格y1（元/件）560 580 600 620 640 660 680 700 720

随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2（元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：

（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；

（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足函数关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数）10至12月的销售量p2（万件）与月份x满足函数关系式p2=﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；

（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．（参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）

5、已知：如图，四边形ABCD 是等腰梯形，其中AD ∥BC ，AD =2，BC =4，AB =DC =2，点M 从点B 开始，以每秒1个单位的速度向点C 运动；点N 从点D 开始，沿D —A —B 方向，以每秒1个单位的速度向点B 运动．若点M 、N 同时开始运动，其中一点到达终点，另一点也

停止运动，运动时间为t （t ＞0）．过点N 作NP ⊥BC 于P ，交BD 于点Q ． （1）点D 到BC 的距离为；

（2）求出t 为何值时，QM ∥AB ；

（3）设△BMQ 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式； （4）求出t 为何值时，△BMQ 为直角三角形．

6、如图，已知抛物线2

49

y x bx c =-

++与x 轴相交于A 、B 两点，其对称轴为直线2x =，且与x 轴交于点D ，AO=1．

(1) 填空：b=_______。c=_______，点B 的坐标为(_______，_______)： (2) 若线段BC 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交x 轴于点F ．求FC 的长；

(3) 探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使⊙P 与x 轴、直线BC 都相切？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

中等难度题训练1

A B D

M N Q

1、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ(0°

＜θ＜180°)，得到△A 1B 1C ． (1)如图1，当AB ∥CB 1时，设A 1B 1与BC 相交于点D ．证明：△A 1CD 是等边三角形； (2)如图2，连接AA 1、BB 1，设△ACA 1和△BCB 1的面积分别为S 1、S 2．求证：S 1∶S 2＝1∶3； (3)如图3，设AC 的中点为E ，A 1B 1的中点为P ，AC ＝a ，连接EP ．当θ＝°时，EP 的长度最大，最大值为． （1）易求得

60='∠CD A , DC C A =', 因此得证.

(2)易证得A AC '∆∽B BC '∆,且相似比为3:1，得证. （3）120°，

a 2

3 2、如图，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点C 为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D 。 (1)求证：CD 为⊙0的切线；

(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度. (1)证明：连接OC,

因为点C 在⊙0上，0A=OC,所以∠OCA=∠OAC ，因为CD ⊥PA ，所以∠CDA=90°， 有∠CAD+∠DCA=90°，因为AC 平分∠PAE ，所以∠DAC=∠CAO 。 所以∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。 又因为点C 在⊙O 上，OC 为⊙0的半径，所以CD 为⊙0的切线． (2)解：过0作0F ⊥AB ，垂足为F ，所以∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， 所以四边形OCDF 为矩形，所以0C=FD ，OF=CD. ∵DC+DA=6，设AD=x ，则OF=CD=6-x ，

∵⊙O 的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x ， 在Rt △AOF 中，由勾股定理得222

AF +OF =OA .

即2

2

(5)(6)25x x -+-=，化简得：2

11180x x -+=

解得2x =或9x =。

由AD

∵OF ⊥AB ，由垂径定理知，F 为AB 的中点，∴AB=2AF=6

3、在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F 。 （1）在图1中证明CE CF =；

（2）若90ABC ∠=︒，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；

A A 1 A C C

C

A 1

A 1 A D

1B

B

11

E P

图1

图2

图3

θ

θ

θ