7-内力分析-材料力学

Q
§7-1 内力的研究方法及分类
弹性体（变形体）内力的分析方法是截面法。
内力是确定的，但是当把内力向某一点简化会怎样？
一般意义上的弹性体内力向一点简化，可获得六个内力分量：
§7-1 内力的研究方法及分类
一般意义上的弹性体内力向一点简化，可获得六个内力分量： 轴力N——截面法线方向——拉伸或压缩变形 剪力Qy、Qz——截面剪线方向——剪切变形
它们的指向和转向如图b中 所示。显然这些内力是 m－m 右边的梁段对于左边梁段的作
Q
用力和作用力矩。
Q
故根据作用与反作用原理，m－m左边的梁段对于右边 梁段(图c)的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指
向和转向相反。这一点也可由m－m右边分离体的平衡条件加
以检验。
F
Q
y
0, Q F FB 0
梁的横截面上位于横截面 内的内力Q是与横截面左右两
侧的两段梁在与梁轴相垂直方
Q
向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁
Q
的弯曲相对应，故称为弯矩。
Q Q
Q Q
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横 截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
扭矩T——绕x轴——扭转变形
弯矩My、Mz——绕y、z轴——弯曲变形
§7-2 轴向拉(压)杆的内力
轴向拉(压)杆的内力叫轴力，用符号N表示
单位为：牛或千牛（N，kN）。 轴力图： 直观、形象地以图形表示轴力沿杆件轴线的变化情 轴力图？ 况，叫轴力图。
用截面法确定图示杆件在横截面m-m上的内力。
解：用截面法分别在m-m截面处将杆截开，取右段 为研究对象,截面上的内力为,且都设为拉力。根据静 力平衡条件，列平衡方程………
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指 向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向离开截面时，规定扭 矩为正，反之为负。
mI T I T m
扭 矩 符 号 规 定 ：
I
mI T
T
I
I
T
m
I
T
I
9
§7-3 扭转轴的内力（扭矩）
截面法显示并确定该轴在横截面m-m上的内力（扭矩）T， 做扭矩图。 解：用m-m截面假想地将轴 截为左、右两段，并取其中 一段(如左段)为研究对象 ， 受力分析如图： 根据平衡条件列平衡方程： m-T=0 T=m 轴力图如图。
§7-3 扭转轴的内力（扭矩）
例解：（1）确定外力偶矩。
m1 9.55 N1 220 9.55 7.003 (kN. m) n 300
m2 9.55
N2 148 9.55 4.711 (kN. m) n 300
§7-3 扭转轴的内力（扭矩）
(2)分析CA段：在CA段任 意位置用I-I截面截开，保 留左部分，并将外力偶矩 m3和横截面的扭矩T1画 到保留部分的相应位置， 如图c，根据平衡条件：
从而有
Fa F l a Q F FB F l l
C
M
Q
0
M F a x FB l x 0
M F a x FB l x Fa l x F a x l F l a x l
根据剪力方程和弯矩方程作出剪力图和弯矩图分别如
图b和图c。按照习惯，剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方， 弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方(即弯矩值绘于梁 弯曲时其受拉的边缘一侧)。 Q
Qx qx
0 x l
( c)
l 2 1 2 ql 2
M
1 2 ql 8
x qx2 M x qx 2 2 0 x l
Q
Qx
Fb M x x 0 x a l Fa M l x a x l M ( x) l 如图b及图c。
Fab l
由图可见，在b > a的情况下，AC段梁在0<x<a的
Qmax 范围内任一横截面上的剪力值最大，
( c)
M max 作用处( x=a)横截面上的弯矩值最大，
Fab 。 l
Fb ； 集中荷载 l
4. 讨论 由剪力图可见，在梁上 的集中力(包括集中荷载和约
束力)作用处剪力图有突变，
这是由于集中力实际上是将 作用在梁上很短长度x范围 内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在x范围内是 均匀的(图a),则剪力图在x范围内是连续变化的斜直线(图
非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因 而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并
不作用在纵向对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。
对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线
与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。 发生平面弯曲梁横截面和载荷特点：
本章讨论平面弯曲时梁的内力。
梁的基本形式 悬臂梁
简支梁
外伸梁
(3) 静定梁和超静定梁
图a，b，c所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立
的平衡方程求出，称为静定梁。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，
静力学方法可以确定约束反力的梁——静定梁。 称为超静定梁。
仅用静力学方法不能确定约束反力的梁 ——静不定梁（超静定梁）
§7-3 扭转轴的内力（扭矩）
三、外力偶矩
工程问题中，作用在轴上的外力偶通常是由动力机械(如电机) 提供的。一般是以动力机械的功率及传动轴的额定转速给出， 根据功率和转速我们可以求得作用在传动轴上的外力偶矩大小。 功率N的单位是kW，转速n单位是r/min，外力偶矩大小为：
N m 9.55 (kN. m) n 功率N的单位是马力，转速n单位是r/min，外力偶矩大小为：
§7-2 轴向拉(压)杆的内力
用截面法确定图示杆件在横截面1-1、 2-2、3-3上的内力,画轴 力图。
用截面法确定图示杆件在横截面1-1、 2-2、3-3上的内力,画轴 力图。
§7-3 扭转轴的内力（扭矩）
一、扭矩：圆轴横截面上的内力叫扭矩，用符号T表示 单位：牛米，千牛米（Nm，kNm）。 扭矩正方向：以右手定则确定，拇指指向横截面外 法线方向，四指为扭矩正方向。 二、扭矩图：在坐标系中绘制出扭矩随轴坐标的变化曲 线，称为扭矩图。
1. 不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引 起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。
2. 截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的
弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右
侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。
剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪
力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和
Fb F l b Qx F l l Fa a x l l M x Fb x F x a l Fa l x a x l l
3. 作剪力图和弯矩图
Qx Fb l Fa l
F
0 x a a x l
§7-3 扭转轴的内力（扭矩）
(3)分析AB段：在AB段任意 位置用Ⅱ-Ⅱ截面截开，保 留左部分，并将外力偶矩 m3、m1和横截面的扭矩T2 画到保留部分的相应位置， 如图d，根据平衡条件：
T2 m1 m3 7.003 2.292 4.711kN. m
§7-3 扭转轴的内力（扭矩）
包含自由端截面的一侧梁段来计算，则可不求出约束力。 Q(x)
M x
（2）距右端为x的任意横截面上的剪力Q(x)和弯矩M(x)， 根据截面右侧梁段上的荷载有
Qx qx
0 x l 0 x l
x qx2 M x qx 2 2
2. 作剪力图和弯矩图
FA FB
ql 2
2. 列剪力方程和弯矩方程
Q(x)
M x
ql Qx FA qx qx 0 x l 2 x qlx qx2 0 x l M x FA x qx 2 2 2
3. 作剪力图和弯矩图
ql Q x qx 2 0 x l
二、 弯曲内力—剪力和弯矩
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(shearing force and bending moment) 图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为
Q
FA
F l a , l
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－ m上的内力，由m－m左边分离 体(图b)的平衡条件可知：
F l a F l a Q FA , M FA x x l l
Q
qlx qx2 M x 2 2 0 x l
M
l 2
1 2 ql 4
由图可见，此梁横截面上的最大剪力(按绝对值)其
值为 Qmax
侧横截面上；最大弯矩其值为 M max 面上。
ql (正值，负值)，发生在两个支座各自的内 2 2
ql 发生在跨中横截 8
简支梁受满布荷载作用是工程上常遇到的计算情况，
第七章
内力分析
§7-1 内力的研究方法及分类
§7-2 轴向拉(压)杆的内力 §7-3 扭转轴的内力 §7-4 弯曲梁的内力 §7-5 载荷、剪力及弯矩间的关系 §7-6 叠加法作弯矩图 §7-7 刚架的内力图
§7-1 内力的研究方法及分类
内力分析是研究受力构件承载能力的非常重要的一步。 弹性体（变形体）内力? 刚体系统的内力？ 刚体系统的内力的分析方法？ 弹性体（变形体）内力的分析方法是截面法？ 理论力学研究对象？
初学者对于此种情况下的剪力图、弯矩图和Qmax，Mmax的
计算公式应牢记在心！
Q
M
l 2
1 2 ql 4
例题7-6 图a所示简支梁受集中荷载F 作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。
F
(a)
解：1. 求约束力
Fb FA , l Fa FB l
2. 列剪力方程和弯矩方程 此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段 上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向 下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。 (2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁
段上外力对该截面形心的力矩之代数和。
任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁
的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。
F
Fb AC段梁 Q x FA 0 x a l Q(x) Fb M x FA x x 0 x a M x l
F
CB段梁
F Q(x)
x
M x
弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则 分别称为剪力图和弯矩图。 剪力图和弯矩图的做法：以梁的轴线为x轴，以垂直线为Q(M) 轴，以某一点为原点，画梁横截面上的Q(M)随x的变化。
例题7-4
图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载
作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
(a)
解：1. 列剪力方程和弯矩方程 （1）当求悬臂梁横截面上的内力(剪力和弯矩)时，若取
由图可见，此梁横截
(a)
Q
l 2 1 2 ql 2
面上的最大剪力其值为
Qmax=ql，最大弯矩(按绝
2 ql 对值)其值为 M max (负 2
M
值)，它们都发生在固定端
1 2 ql 8
( c)
右侧横截面上。
例题7-5 图a所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试
作梁的剪力图和弯矩图。
Baidu Nhomakorabea
(a)
解：1. 求约束力
(4)画扭矩图 ，如图e
§7-4 弯曲梁的内力
一、关于平面弯曲的概念
受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的
横向外力或外力偶作用。
变形特点： 直杆的轴线在变形后变为平面曲线。
梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
纵向对称面
对称弯曲——外力作
用于梁的纵向对称面内，
因而变形后梁的轴线(挠曲 线)是在该纵对称面内的平 面曲线。
N m 7.02 (kN. m) n
主动轮外力偶矩方向和轴的旋转方向一致，从动轮相反。
§7-3 扭转轴的内力（扭矩）
例题：某等截面传动轴如图(a)所示，轴的转速n=300r／min， A为主动轮，输入功率N1=220kW，B与C为从动轮，输出功率 分别为N2=148kW，N3=72kW。试求传动轴各段横截面的扭矩， 并绘出轴的扭矩图。