留数理论的应用
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例7
分析这个定积分中被积函数是以 为周期的周期函数.
解（方法一）万能公式
令 ，则 ， ，
从而有
则当 时，被积积分为：
则当 时，被积函数为：
（方法二）留数公式
设 ，则 ，
；
；
则由留数公式得：
当 时，被积积分在 内只有一个一级极点 ，从而有：
当 时，被积积分在 内只有一个一级极点 ，从而有：
由此也可以看出，此题在数学分析中可以用万能代换的方法求解，比较起来留数公式大大简化了运算量，并且体现了思维的深刻性，理论的缜密性，给人愉悦性.有的定积分不能直接应用留数公式计算出来，应进行适当的转化，可以看出下面的例子：
Keywords:Complex variable；Residue theorem；Laurent expansion
第一章 引言
留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分.柯西在1814年的论文中建立由实函数到复函数的过度 .在1822年的论文中，他进一步研究复积分，使得 方程成为复分析大厦的基石，并得出简单情形下的柯西积分定理.在1825年，柯西（Cauchy）在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算积分问题的情形的类比，处理了复积分的相关问题，由不连续函数的复积分，给出了关于留数的定义.随后，柯西进一步发展和完善留数的概念.考虑当 在矩形的内部或边界上不连续时，这时沿着两条不同路径的积分的值不同.如果在 处， 为无穷， 极限存在，即在 处 有一个单极点，则积分的差称为积分留数.柯西留数概念的提出与发展是柯西探索完美理论的产物 .
Tutor:（Assistant）(Professor)
June，2012
毕业论文（设计）原创性声明
本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果.据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果.对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意.
.
事实上，由规则III可知，
在不将 在 内展开为洛朗级数的情形下，计算 在 点的留数有如下规则：
规则V、
例1设 ，求 .
解由于 是 的本性奇点，在圆环域 内， 有洛朗展开式：
，
所以
例2计算积分 ，其中，C为正向圆周 .
解在C内， 有1级极点 和2级极点 .由留数定理有：
而
所以
例3计算积分 ，C为正向圆周
第二章 预备知识
2.1孤立奇点
定义2.1 在 处不解析，但在 的某一去心邻域 内处处解析.则称 为 的孤立奇点.
在孤立奇点 的邻域内，函数 可展开成洛朗级数 .
由于 在 内解析，于是 有洛朗展开式：
，
在圆环域 内任取一条绕 的简单闭曲线C（C可取圆周 ）对 的展开式沿C逐项积分,且由 ，则有 .
可以注意到，洛朗级数的非负次幂部分 实际上表示 的 内的解析函数（即 的解析部分），故函数 在点 的奇异性完全体现在洛朗级数的负次幂部分 .
解在C内， 有两个1级极点 .所以
而
因此
也可以用规则IV来计算留数：
即
例4计算积分 ，C为正向圆周 .
解被积函数 在C外除 外处处解析，则有留数第二定理及其规则V得
例5计算积分 ，C为正向圆周
解被积函数 在C内的奇点为 与 ，在C外的奇点为 与 ，由留数第二定理有
而
，
为其可去奇点，故
所以
第四章留数理论的应用
.
若 在 的洛朗展开式为
则有
即 在 点的留数等于其在 内洛朗级数中 的系数相反数.
3.2留数第一定理
定理3.1 函数 在区域D内除有限个孤立奇点 外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则：
.
在 的留数与有限孤立奇点的留数有以下的定理
3.3留数第二定理
定理3.2 设函数 在扩充复平面除有限个孤立奇点 及 外处处解析，则 在所有奇点处的留数和为零，即
作者签名：指导教师签名：
日期：日期：
王志昌毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单
姓名
职称
单位
备注
副教授
数学学院
主席（组长）
副教授
数学学院
组员
讲师
数学学院
组员
讲师
数学学院
组员
助教
数学学院
组员
摘 要
本文主要研究了留数理论的一些应用.对于一些比较复杂的实积分采用留数理论进行计算不但可以简化计算过程，还可以很容易的求得实积分的结果，同时留数理论在方程的零点分布问题，级数求和的问题，复动力系统理论中也有一定的价值.
2012年度本科生毕业论文（设计）
留数理论的应用
院 － 系：数学学院
专 业：信息与计算科学
年 级：2008级
学生姓名：王志
学 号：200805050330
导师及职称：易老师何斌老师
2012年6月
2012Annual GraduationThesis(Project)oftheCollegeUndergraduate
2.2柯西积分定理
定理2.1 设函数 在单连通区域D内解析，则 在D内沿着任一条简单闭曲线 的积分 .
当 在简单闭曲线 上及其内部解析时，由柯西积分定理知： .若上述C的内部存在函数 的孤立奇点 ，则积分 一般不等于0.
由洛朗展开式知，取洛朗系数中 可得： ，因而积分： .
第三章留数的概念及留数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理
关键词:复变函数；留数定理；洛朗展式
ABSTRACT
This paper mainlystudies some applicationsof residue theory.for some of the more complex real integral using residue theory can not only simplify the process of computation, but also can easily achieve real integral results,At the same time, it has acertain valuefor solution of the problems of equationzero point distributionandSeries summation, even in the theory of complexdynamical systemanalysis.
TheApplicatian of Reside Theory
Department:Collegeof Mathematics
Major:Information and Computing Sciences
Grade:2008
Student’s Name:WangZhi
Student No.:200805050330
设三角有理函数定积分的一般形式为： ，其中 表示关于 ， 的有理函数，且在区间 上连续.
令
则 ，
；
；
当 由0变化到 时，z沿单位圆周 变化一周，于是，所求积分转化为沿着正向圆周上复函数的积分：
其中 是函数 在 内的孤立奇点.这样就归结求 在单位圆 内极点处的留数.一般来说，这样计算就简单的多了，这个公式一般称为有理函数的留数公式.
规则II、如果 是 的本性奇点，只有将 在 的去心邻域内展开为洛朗级数， 的系数 即 在 处的留数，即
规则III、如果 是 的 级极点，则有
此时，在 的去心邻域 内有
其中， 在 解析且 .取绕 的正向圆周C： ，则有
当 时，有 .
规则IV、设 ， 及 都在 处解析，且 ， , .此时， 是 的一级极点，则有
作者签名：日期：
毕业论文（设计）授权使用说明
本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版.有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅.学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容.保密的论文（设计）在解密后适用本规定.
.
由上面的定理，求函数 沿闭曲线C的积分，转化为求被积函数 在C内各孤立奇点的留数和.而求 在孤立奇点的留数，只需在孤立奇点的去心邻域内将 展开成洛朗级数即可，但这样做，总不是很好的办法，若能知道孤立奇点的类型，就可以更有效地求出留数.
3.4留数的计算方法
规则I、如果 是 的可去奇点，则在 的去心邻域内， 的洛朗级数即是普通的幂级数，不含 的负幂项.故
应用上述留数公式解决相关的三角有理函数的定积分
例6求定积分
分析这是一个比较基本的定积分，且被积函数是以 为周期的周期函数.
解（方法一）万能公式
令 ，则 ， ，
从而有：
由此可以得到：
（方法二）留数公式
设 ，则 ，
；
；
则由留数公式得：
被积函数在 内只有一个一级极点 ，
从而
所以由留数基本定理知：
显然，在本例中用第一种方法（数学分析的万能公式）求解时，要转化为求无穷积分的解，其运算量远远大于用第二种方法（有理函数的留数方法）.
3.1留数
定义3.1 设 是解析函数 的孤立奇点，即 在点 的某去心邻域 内解析，则称积分 （其中，C： ）为 在点 处的留数，记作 .
由
则
即
由定义可知， 在点 处的留数，即洛朗级数中 在圆环域内的D负幂项 的系数 .
定义3.2 设 在 内解析， 是 的孤立奇点，C为圆环域 内绕 的任一正向简单闭曲线，则积分： 与C无关，称此积分值为 在 的留数，记为 ，即
4.2利用留数为基础解决零点分布
在一些实际问题中，求方程的根（函数的零点）往往是较困难的，在利用计算机近似计算中，常常需要知道函数的零点分布情况，下面以留数理论为基础作初步探讨.
设 是解析函数 的m级零点，则 必是 的一级极点，且有 .
定理4.1 设 在闭路C及其内部解析，且在C上无零点，则 ，
在这里N表示 在C的内部零点的总数（约定每个k级零点算k个零点）.
例8求定积分 （m为正整数）
分析利用被积函数是以 为周期的偶函数的特点转化区间.
解 ；
由此得：
本题的技巧在于将所求积分作为实部，再配上一虚部的积分，组合成一个可以进行代换的积分，进行计算.
实分析在定积分的计算，与用复分析的有关知识计算定积分是两个不同学科的内容，通过上面的几个例子，可以看出他们之间既有区别，又有联系，解起题来有繁有简，针对有些定积分的题目可以看到运用留数理论的简便性与实用性.数学理论与方法的相互渗透可产生若干个令人拍案叫绝的好结果，这也给学习数学指出了一个可以参考的捷径.
本文第一章是引言部分，引出了留数的起源，展示的留数理论在数学中具有广泛应用，同时介绍了各章的写作思路.第二章是预备知识，为得出留数理论做准备，其中介绍了孤立奇点和柯西积分.第三章是留数的概念及留数定理.第四章介绍的是留数理论的应用,是本文的重点内容.其中包括应用留数计算实积分,解决零点分布问题，级数求和的问题,在不动点理论中也有一定的价值.第五章得出本篇论文的结论.
定理4.2(Rouche定理) 设函数 及 在闭路C及其内部解析，且在C上有不等式 ，则在C的内部 和 的零点个数相等.
例9求出 在 内有多少根？
解取 ， 且在 上，有
，
即在 上，有 .由Rouche定理， 和 在 的零点个数相等，而 在 内有三个零点，故
在 内也有三个零点.
即方程 在 内有三个根.
留数理论是解析函数的有力工具，从学过的数学分析中可以看出，积分一般比微分复杂，特别是一些不存在初等的原函数中，使得定积分变得尤为困难.在留数的一些应用中，利用留数定理计算一些定积分，对于一些特别类型的函数，利用留数理论则能很容易算出它们的定积分 .采用了数学分析中求定积分的万能公式计算，和用留数理论来计算定积分进行比较，可以看出万能公式在计算定积分的时候虽然具有普遍性，但对一些特殊的定积分，用万能公式计算上很复杂，而且不易求的结果，这时在这些特殊的定积分的计算上可以用留数理论的方法颇具一般性，容易掌握.
4.1应用留数计算实积分
对于某些形式的实积分，可利用留数进行计算，特别是当被积函数的原函数不易求出时，更为有效.为此，需要做两方面的工作： 、选取恰当的复变函数作为被积函数； 、选取恰当的闭曲线作为积分路径.
求三角有理函数的定积分，在数学分析中的方法都是先用万能公式化为一般函数的定积分，然后再利用公式法，换元法，分部积分法等计算.这些方法虽然各有千秋，但存在共同的缺点：演算过繁，给平时的学习带来了不便，甚至有的定积分存在但求不出来.下面将用留数法，来简单，快速的计算，克服了万能公式的一些困难.这种方法对用一般方法很难求得得三角有理函数的定积分常常较为有效.计算的要点是将定积分化为复变函数的围线积分，然后再利用留数定理来计算.
分析这个定积分中被积函数是以 为周期的周期函数.
解（方法一）万能公式
令 ，则 ， ，
从而有
则当 时，被积积分为：
则当 时，被积函数为：
（方法二）留数公式
设 ，则 ，
；
；
则由留数公式得：
当 时，被积积分在 内只有一个一级极点 ，从而有：
当 时，被积积分在 内只有一个一级极点 ，从而有：
由此也可以看出，此题在数学分析中可以用万能代换的方法求解，比较起来留数公式大大简化了运算量，并且体现了思维的深刻性，理论的缜密性，给人愉悦性.有的定积分不能直接应用留数公式计算出来，应进行适当的转化，可以看出下面的例子：
Keywords:Complex variable；Residue theorem；Laurent expansion
第一章 引言
留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分.柯西在1814年的论文中建立由实函数到复函数的过度 .在1822年的论文中，他进一步研究复积分，使得 方程成为复分析大厦的基石，并得出简单情形下的柯西积分定理.在1825年，柯西（Cauchy）在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算积分问题的情形的类比，处理了复积分的相关问题，由不连续函数的复积分，给出了关于留数的定义.随后，柯西进一步发展和完善留数的概念.考虑当 在矩形的内部或边界上不连续时，这时沿着两条不同路径的积分的值不同.如果在 处， 为无穷， 极限存在，即在 处 有一个单极点，则积分的差称为积分留数.柯西留数概念的提出与发展是柯西探索完美理论的产物 .
Tutor:（Assistant）(Professor)
June，2012
毕业论文（设计）原创性声明
本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果.据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果.对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意.
.
事实上，由规则III可知，
在不将 在 内展开为洛朗级数的情形下，计算 在 点的留数有如下规则：
规则V、
例1设 ，求 .
解由于 是 的本性奇点，在圆环域 内， 有洛朗展开式：
，
所以
例2计算积分 ，其中，C为正向圆周 .
解在C内， 有1级极点 和2级极点 .由留数定理有：
而
所以
例3计算积分 ，C为正向圆周
第二章 预备知识
2.1孤立奇点
定义2.1 在 处不解析，但在 的某一去心邻域 内处处解析.则称 为 的孤立奇点.
在孤立奇点 的邻域内，函数 可展开成洛朗级数 .
由于 在 内解析，于是 有洛朗展开式：
，
在圆环域 内任取一条绕 的简单闭曲线C（C可取圆周 ）对 的展开式沿C逐项积分,且由 ，则有 .
可以注意到，洛朗级数的非负次幂部分 实际上表示 的 内的解析函数（即 的解析部分），故函数 在点 的奇异性完全体现在洛朗级数的负次幂部分 .
解在C内， 有两个1级极点 .所以
而
因此
也可以用规则IV来计算留数：
即
例4计算积分 ，C为正向圆周 .
解被积函数 在C外除 外处处解析，则有留数第二定理及其规则V得
例5计算积分 ，C为正向圆周
解被积函数 在C内的奇点为 与 ，在C外的奇点为 与 ，由留数第二定理有
而
，
为其可去奇点，故
所以
第四章留数理论的应用
.
若 在 的洛朗展开式为
则有
即 在 点的留数等于其在 内洛朗级数中 的系数相反数.
3.2留数第一定理
定理3.1 函数 在区域D内除有限个孤立奇点 外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则：
.
在 的留数与有限孤立奇点的留数有以下的定理
3.3留数第二定理
定理3.2 设函数 在扩充复平面除有限个孤立奇点 及 外处处解析，则 在所有奇点处的留数和为零，即
作者签名：指导教师签名：
日期：日期：
王志昌毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单
姓名
职称
单位
备注
副教授
数学学院
主席（组长）
副教授
数学学院
组员
讲师
数学学院
组员
讲师
数学学院
组员
助教
数学学院
组员
摘 要
本文主要研究了留数理论的一些应用.对于一些比较复杂的实积分采用留数理论进行计算不但可以简化计算过程，还可以很容易的求得实积分的结果，同时留数理论在方程的零点分布问题，级数求和的问题，复动力系统理论中也有一定的价值.
2012年度本科生毕业论文（设计）
留数理论的应用
院 － 系：数学学院
专 业：信息与计算科学
年 级：2008级
学生姓名：王志
学 号：200805050330
导师及职称：易老师何斌老师
2012年6月
2012Annual GraduationThesis(Project)oftheCollegeUndergraduate
2.2柯西积分定理
定理2.1 设函数 在单连通区域D内解析，则 在D内沿着任一条简单闭曲线 的积分 .
当 在简单闭曲线 上及其内部解析时，由柯西积分定理知： .若上述C的内部存在函数 的孤立奇点 ，则积分 一般不等于0.
由洛朗展开式知，取洛朗系数中 可得： ，因而积分： .
第三章留数的概念及留数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理
关键词:复变函数；留数定理；洛朗展式
ABSTRACT
This paper mainlystudies some applicationsof residue theory.for some of the more complex real integral using residue theory can not only simplify the process of computation, but also can easily achieve real integral results,At the same time, it has acertain valuefor solution of the problems of equationzero point distributionandSeries summation, even in the theory of complexdynamical systemanalysis.
TheApplicatian of Reside Theory
Department:Collegeof Mathematics
Major:Information and Computing Sciences
Grade:2008
Student’s Name:WangZhi
Student No.:200805050330
设三角有理函数定积分的一般形式为： ，其中 表示关于 ， 的有理函数，且在区间 上连续.
令
则 ，
；
；
当 由0变化到 时，z沿单位圆周 变化一周，于是，所求积分转化为沿着正向圆周上复函数的积分：
其中 是函数 在 内的孤立奇点.这样就归结求 在单位圆 内极点处的留数.一般来说，这样计算就简单的多了，这个公式一般称为有理函数的留数公式.
规则II、如果 是 的本性奇点，只有将 在 的去心邻域内展开为洛朗级数， 的系数 即 在 处的留数，即
规则III、如果 是 的 级极点，则有
此时，在 的去心邻域 内有
其中， 在 解析且 .取绕 的正向圆周C： ，则有
当 时，有 .
规则IV、设 ， 及 都在 处解析，且 ， , .此时， 是 的一级极点，则有
作者签名：日期：
毕业论文（设计）授权使用说明
本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版.有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅.学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容.保密的论文（设计）在解密后适用本规定.
.
由上面的定理，求函数 沿闭曲线C的积分，转化为求被积函数 在C内各孤立奇点的留数和.而求 在孤立奇点的留数，只需在孤立奇点的去心邻域内将 展开成洛朗级数即可，但这样做，总不是很好的办法，若能知道孤立奇点的类型，就可以更有效地求出留数.
3.4留数的计算方法
规则I、如果 是 的可去奇点，则在 的去心邻域内， 的洛朗级数即是普通的幂级数，不含 的负幂项.故
应用上述留数公式解决相关的三角有理函数的定积分
例6求定积分
分析这是一个比较基本的定积分，且被积函数是以 为周期的周期函数.
解（方法一）万能公式
令 ，则 ， ，
从而有：
由此可以得到：
（方法二）留数公式
设 ，则 ，
；
；
则由留数公式得：
被积函数在 内只有一个一级极点 ，
从而
所以由留数基本定理知：
显然，在本例中用第一种方法（数学分析的万能公式）求解时，要转化为求无穷积分的解，其运算量远远大于用第二种方法（有理函数的留数方法）.
3.1留数
定义3.1 设 是解析函数 的孤立奇点，即 在点 的某去心邻域 内解析，则称积分 （其中，C： ）为 在点 处的留数，记作 .
由
则
即
由定义可知， 在点 处的留数，即洛朗级数中 在圆环域内的D负幂项 的系数 .
定义3.2 设 在 内解析， 是 的孤立奇点，C为圆环域 内绕 的任一正向简单闭曲线，则积分： 与C无关，称此积分值为 在 的留数，记为 ，即
4.2利用留数为基础解决零点分布
在一些实际问题中，求方程的根（函数的零点）往往是较困难的，在利用计算机近似计算中，常常需要知道函数的零点分布情况，下面以留数理论为基础作初步探讨.
设 是解析函数 的m级零点，则 必是 的一级极点，且有 .
定理4.1 设 在闭路C及其内部解析，且在C上无零点，则 ，
在这里N表示 在C的内部零点的总数（约定每个k级零点算k个零点）.
例8求定积分 （m为正整数）
分析利用被积函数是以 为周期的偶函数的特点转化区间.
解 ；
由此得：
本题的技巧在于将所求积分作为实部，再配上一虚部的积分，组合成一个可以进行代换的积分，进行计算.
实分析在定积分的计算，与用复分析的有关知识计算定积分是两个不同学科的内容，通过上面的几个例子，可以看出他们之间既有区别，又有联系，解起题来有繁有简，针对有些定积分的题目可以看到运用留数理论的简便性与实用性.数学理论与方法的相互渗透可产生若干个令人拍案叫绝的好结果，这也给学习数学指出了一个可以参考的捷径.
本文第一章是引言部分，引出了留数的起源，展示的留数理论在数学中具有广泛应用，同时介绍了各章的写作思路.第二章是预备知识，为得出留数理论做准备，其中介绍了孤立奇点和柯西积分.第三章是留数的概念及留数定理.第四章介绍的是留数理论的应用,是本文的重点内容.其中包括应用留数计算实积分,解决零点分布问题，级数求和的问题,在不动点理论中也有一定的价值.第五章得出本篇论文的结论.
定理4.2(Rouche定理) 设函数 及 在闭路C及其内部解析，且在C上有不等式 ，则在C的内部 和 的零点个数相等.
例9求出 在 内有多少根？
解取 ， 且在 上，有
，
即在 上，有 .由Rouche定理， 和 在 的零点个数相等，而 在 内有三个零点，故
在 内也有三个零点.
即方程 在 内有三个根.
留数理论是解析函数的有力工具，从学过的数学分析中可以看出，积分一般比微分复杂，特别是一些不存在初等的原函数中，使得定积分变得尤为困难.在留数的一些应用中，利用留数定理计算一些定积分，对于一些特别类型的函数，利用留数理论则能很容易算出它们的定积分 .采用了数学分析中求定积分的万能公式计算，和用留数理论来计算定积分进行比较，可以看出万能公式在计算定积分的时候虽然具有普遍性，但对一些特殊的定积分，用万能公式计算上很复杂，而且不易求的结果，这时在这些特殊的定积分的计算上可以用留数理论的方法颇具一般性，容易掌握.
4.1应用留数计算实积分
对于某些形式的实积分，可利用留数进行计算，特别是当被积函数的原函数不易求出时，更为有效.为此，需要做两方面的工作： 、选取恰当的复变函数作为被积函数； 、选取恰当的闭曲线作为积分路径.
求三角有理函数的定积分，在数学分析中的方法都是先用万能公式化为一般函数的定积分，然后再利用公式法，换元法，分部积分法等计算.这些方法虽然各有千秋，但存在共同的缺点：演算过繁，给平时的学习带来了不便，甚至有的定积分存在但求不出来.下面将用留数法，来简单，快速的计算，克服了万能公式的一些困难.这种方法对用一般方法很难求得得三角有理函数的定积分常常较为有效.计算的要点是将定积分化为复变函数的围线积分，然后再利用留数定理来计算.