电路分析10-4二阶电路微分方程的建立

uC
uC (K1 sin dt K2 cosdt)et U0
Ket cos(dt ) t 0
其中：为衰减系数， d为振荡频率。
Ke t
t 衰减振荡
9
电 路 零输入响应的四种形式之四：无阻尼
分析
特征根：S1,2
2
2 0
若 0 即： RLC串联 R 0
RLC并联电路 G 0
令：d 02 2 0 S1,2 jd 一对共轭虚数。
1 C
令左式 t=0, 得：
1 C
0 0
iL
dt
U0
L
d iL dt
R
t 0
iL 0 二阶微分方程
iL
(0)
0
iL (0 ) I0
d iL U0 I0R
dt t0
L
初始条件
1
电 路 建立网络方程
分析
RLC串联电路
初始值为：uC (0 ) U0, iL (0 ) I0
R
由KVL： uC uR uL 0
选 uC 作变量：
iC
uC C
_
iL
iR
G
L
1
L
t 0
uC dt
I0
C
d uC dt
G uC
0
令左式 t=0, 得：
求一次导数，得：
C
d 2uC dt 2
G
d uC dt
1
L
1 L
uC
0
0
0
uC
d二t 阶I0微C分ddu方tC 程t0
G
uC
(0)
0
uC (0 ) U0
d uC I0 U0G
US
C uS
L
uC (0 ) U0
_
d uC I0 dt t0 C
这是二阶非齐次线性常系数微分方程。
通解为： 通解＝特解＋齐次解， 即：uC uCP uCh
特解为稳态解， uCP uC () US
设特征根为：S1，S2 则齐次解为：uCh K1es1t K2es2t
零输入响应的通解为：
uC
uC K1 sin dt K2 cosdt
K U0
K cos(dt ) t 0
t
波形是等幅振荡的
10
电路 分析
例题 1
电路如图所示，它的固有 响应的性质是__B___。
（A）过阻尼 （B）欠阻尼 （C）临界阻尼 （D）无阻尼
1k 2.5H 2F
2
L 2 C
2.5 2 106
uC
零输入响应的通解为：
uC (K1 K2 t) e t
t 0 U0
t
8
电路 分析
零输入响应的四种形式之三：欠阻尼
特征根：S1,2 2 02
若 0
即： RLC串联 R 2 L
C
RLC并联电路 G 2 C
L
令：d 02 2 S1,2 jd 一对共轭复数。
零输入响应的通解为：
uC C
选 uC 作变量：
_
L
d iL dt
R iL
uC
0
iL
C
duC dt
iL L
LC
d 2uC dt 2
RC
d uC dt
uC
0
uC (0 ) U0
d uC I0 dt t0 C
二阶微分方程 初始条件
2
电 路 建立网络方程
分析
RLC并联电路
初始值为：uC (0 ) U0, iL (0 ) I0 由KCL： iC iR iL 0
2
2 C
106 20
10
可见，图B为欠阻尼，图A为过阻尼。
12
电路 分析
例题 3 （自测题10-21）
二阶电路的电容电压 uC的微分方程为
d 2uC dt2
6
duC dt
13uC
0
此电路属___B___情况。
（A）过阻尼 （B）欠阻尼 （C）临界阻尼 （D）无阻尼
特征方程为：
s2 6s 13 0,
2000
1.25 R 1000
11
电路 分析
例题 2（自测题10-20）
如图所示电路中的二极管是理想的，其中__B___电路中的 二极管有时能导通，__A___电路中的二极管不会导通。
1k 1mH
20 1mH
+
+
S
1F U0
-
S
1F U0
-
图A
图B
只要电路是振荡的，二极管才有可能导通。
L
103
解得 :
s1,2 6
36 52 2
可见特征根为一对共轭复数。故选B。
13
电路 分析
10.8
二阶电路电路的全响应
已知：uS US (t), uC (0 ) U0, iL (0 ) I0
由KVL： uC uR uL uS
uC R iL
LC
d 2uC dt 2
RC
d uC dt
uC
RLC并联电路对：偶关系
两个微分方程的特征方程都为：LCS 2 GLS 1 0
令
G 2C
,0
1 LC
S2
2S
2 0
0
特征根：S1,2 2 02 称为网络的固有频率或自然频率。
6
电路 分析
10.7 零输入响应
形式之一：过阻尼
特征根：S1,2
2
2 0
若 0
即： RLC串联电路 R 2 L
dt t0
C
初始条件
3
电 路 建立网络方程
分析
RLC并联电路
初始值为：uC (0 ) U0, iL (0 ) I0 由KCL： iC iR iL 0
选 iL 作变量：
C
d uC dt
GuC
iL
0
uC
uL
L
d iL dt
iC
uC C
_
iL
iR
G
L
LC
d 2iL dt 2
GL
d iL dt
C
RLC并联电路 G 2 C
L
S1，S2 是不等的负实根。
uC
零输入响应的通解为：
uC K1es1t K2es2t
t 0 U0
t
7
电路 分析
零输入响应的四种形式之二：临界阻尼
特征根：S1,2
2
2 0
若 0
即： RLC串联电路 R 2 L
C
RLC并联电路 G 2 C
L
S1 = S2 = - 是重根。
iL
0
iL (0 ) I0
d iL U0 dt t0 L
二阶微分方程 初始条件
4
电 路 两网络及方程的对偶关系
分析
R
uC C
_
iL
iC
对偶关系
L
uC C
பைடு நூலகம்
_
iL
iR
G
L
LC
d 2uC dt 2
RC
d uC dt
uC
0
uC (0 ) U0
对偶关系
d uC I0 dt t0 C
LC
d 2iL dt 2
GL
d iL dt
iL
0
iL (0 ) I0
d iL U0 dt t0 L
5
电 路 网络的固有频率
分析
RLC串联电路：
两个微分方程的特征方程都为：LCS 2 RCS 1 0
令
R 2L
,0
1 LC
S2
2S
2 0
0
特征根：S1,2 2 02 称为网络的固对有偶频关率系或自然频率。
电路 分析
10.6
二阶电路微分方程的建立
RLC串联电路
R iL
初始值为：uC (0 ) U0, iL (0 ) I0
由KVL： uC uR uL 0
uC C
_
L
选 iL 作变量：
1
C
t
0 iL dt U0 L
求一次导数，得：
L
d iL dt
d 2iL dt 2
R
R
iL
d iL dt
0