数理逻辑课件(离散数学)

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例题
例12：利用联结词，将下述语句符号化：
“如果你走路时看书，那么你一定会成
为近视眼”。
解：令 p：你走路； r：你是近视眼。 q：你看书；
则上述语句可以符号化为： (pq) r
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例题
例13：将下列命题符号化
（1）他努力而且聪明，这不是真的。
令 p:他努力；q:他聪明
(p q)
（2）虽然天气很冷，老王还是来了。
公式的赋值


真值表
公式的分类
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一、命题常项和命题变项
命题常项：一个确定的具体的简单命题称作命
题常项。也称命题常元。
p:天气很冷
命题变项：当p所代表的只是一个抽象的命题， 它可以表示任意的命题，称p为命题变项。也称 命题变元。命题变项不是命题。
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一、命题常项和命题变项
当用一个特定的命题取代命题变元 时，才能确定其真值：真或假。这种取 代称作对该命题变元指派真值。 p: 太阳从东边升起
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二、命题符号化

用小写英文字母 p，q，r， … ，pi，qi，
ri (i≥1）等表示简单命题（原子命题）。
例： 令p: 2 + 5 = 7

用“1”或“T”表示真，用“0”或“F”表
示假。
11
二、命题符号化
令 t：我来自西安， s：我是一名教师。 问题：如何表示“我是一名教师，并且 我来自西安”？
(1) 单个命题常项或变项 p,q,r,…是合式公式； (2) 若A是合式公式，则 ( A)也是合式公式；
(3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB),
(AB), (AB)也是合式公式； (4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的包含命题变元、联结词 和括号的符号串才是合式公式。
三、复合命题及联结词
小结：自然语言中的“或”是多义的，主
要有以下两种情况：

可兼或（相容或）：二者至少有一个发生，
不排斥二者都发生的情况。同析取联结词
的含义完全相同。

排斥或：非此即彼，二者不可兼得。
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三、复合命题及联结词
关于“析取”的相关规则 p p∨p 等价于


p∨1
p∨0
等价于 等价于 等价于
2
一阶逻辑 （谓词逻辑）
第一章 命题逻辑基本概念
3
1.1 命题与联结词

命题与真值
重点内容： 命题的符号化
原子命题的符号化
复合命题
联结词
4
一、命题与真值（例题）
例1： 下列句子中哪些是命题？并判断真值
(1) 清华大学是一所全国重点大学.
(2) 2 + 5 ＝8. 真命题 假命题
(3) 你有铅笔吗？
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复合命题的真值取决于构成它的各原子命题
的真值，而与它们的内容、含义无关。 三、复合命题及联结词（例题） 例11：求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6。 (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数。
1
0
(3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起。 1 (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲。 0
5.等价式与等价联结词“”
“p当且仅当q”记作pq 称作p、q的等价式 也称作双条件式 称作等价联结词。
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p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
pq 1 0 0 1
三、复合命题及联结词
需要注意以下两点：

等价联结词 即通常的“充分必要条
件”;

pq为真当且仅当p与q同真或同假，也
称“同或”。
令 p:天气很冷；q:老王来了
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pq
例题
（3）不经一事，不长一智 令 p:经一事；q:长一智
p q
（4）若两个圆面积相等，那么它们的半
径相等；反之亦然。
令 p:两个圆面积相等；
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pq
q:两个圆半径相等
例题
例14：符号化下列两个命题

如果你和他都不固执己见的话，那么不
愉快的事也不会发生了。(p q) r
1 p 1

p ∨ (p)
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析取也满足交换律合结合律。
三、复合命题及联结词
例8：假设e表示“Alice高兴”，r表示 “Tom高兴”，那么将下列自然语言的 陈述转换成逻辑命题。 如果Alice高兴，那么Tom高兴； 除非Alice 高兴， Tom 才高兴；
25
三、复合命题及联结词
4.蕴涵式与蕴涵联结词“”
14
规则：
( p)等价于p
p:上海不是一个大城市。
三、复合命题及联结词
2. 合取式与合取联结词“∧” “p与q”记作p∧q 称为p、q的合取式 ∧为合取联结词 p 0 0 1
15
q 0 1 0 1
p∧q 0 0 0 1
1
令 p：王晓用功；q：王晓聪明； r : 张辉是三好学生 s : 王丽是三好学生

如果你和他不都固执己见的话，那么不
愉快的事也不会发生了。(p q) r
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例题
例15：将下列命题符号化，并讨论各命
题的真值。

若今天是星期一，则明天是星期二
若今天是星期一，则明天是星期三
43
作业
习题一：14，15
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1.2 命题公式及其赋值

命题常项和命题变项
合式公式
(6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷。 pq
p q (7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服。
(8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候。 q p
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三、复合命题及联结词
小结：

只有…才、除非…才、仅当表达的是必
要条件；

只要…就、如果…就（则）表达的是充
分条件； 课堂练习：习题8
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三、复合命题及联结词
(4) 这只兔子跑得真快呀！
疑问句
感叹句
(5) 请不要讲话！
5
祈使句
一、命题与真值

命题: 判断结果惟一的陈述句
命题的真值: 判断的结果
真值的取值: 真、假


真命题: 真值为真的命题
假命题: 真值为假的命题
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一、命题与真值（例题）
例2：判断下列语句是否是命题


不知道真值
明年我将去欧洲
p:太阳从东边升起
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二、合式公式
1.
合式公式的一般化定义：
将命题变项用联结词和括号按一
定逻辑关系联结起来的符号串称作合
式公式，也称命题公式，简称公式。
例：((pq) r)(rs)
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公式通常用字母A、B、C等表示。
二、合式公式
2.
此处的A、B等称 作元语言符号， 代表抽象的公式
合式公式 的递归定义：

p∧p
等价于 p 等价于 p 等价于 0
例5：计算下列 命题的真值 ( 1 ∧ 0 ) 1∧ ( p ∧ 0 ) ( ( p ∧ 0 ) ) ∧ 1


p∧1
p∧0
p ∧ (p) 等价于 0
0 0 1
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三、复合命题及联结词

合取满足交换律。 p ∧ q 等价于q ∧ p

合取满足结合律。 p ∧(q ∧r) 等价于(p∧q) ∧r
为 p 的必要条件。

“如果…则 … ” 的不同表述法有：“只
要 …就…”，“…仅当…”，“除非…
才 …”等。
28
三、复合命题及联结词（例题）
例9：将下列命题符号化
（1）只有努力才能取得成功 qp s t
（2）只要努力过就不后悔
设： p:努力 s：努力过
29
q:成功 t：不后悔
三、复合命题及联结词（例题）
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二、合式公式
例：(pq) r是合式公式A， pq是合式公式B，B是A的一部分。 称B是A的子公式。
3.
子公式
定义：若A为合式公式，B为A的一部分，且 B也是合式公式，则称B为A的子公式。
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三、公式的赋值
pq是一个合式公式，但是真值是多少呢？ 若令 p:2是偶数，q：2是素数，则pq真值为真； 若令 p:3是偶数，q：3是素数，则pq真值为假； 定义： 给公式A中的命题变项 p1, p2, … , pn给 予一定的解释，使其获得一组确定的真值，这
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个过程称为对A的一个赋值或解释。
三、公式的赋值
例1： 公式B = (pq) q 的真值表
第一部分 数理逻辑
1
来自百度文库
数理逻辑部分主要内容：
1.1一阶逻辑命题符号化 4.1 命题符号化及联结词
命题逻辑
1.2 一阶逻辑公式及解释 4.2 命题公式及分类
5.1 一阶逻辑等值式与置换 2.1 等值演算 规则 2.2 范式 5.2一阶逻辑前束范式 2.3 联结词的完备集 5.3一阶逻辑的推理理论 3.1-3.2 推理理论
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三、复合命题及联结词
3.析取式与析取联结词 “p或q”记作p∨q 称作p与q的析取式 ∨称作析取联结词
p 0 0 1
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q 0 1 0 1
p∨q 0 1 1 1
1
三、复合命题及联结词（例题）
例6：将命题“2或4”是素数符号化 p∨q
令p:2是素数;q:4是素数；
例7：将下列命题符号化 小元元只能拿一个苹果或一个梨。 王晓红生于1975年或1976年。
下个月十五号是晴天 x－y>2
不确定真值
是命题
不是命题
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一、命题与真值（例题）
例3：“我正在说假话”，这句话是命题吗？
如果这句话 是“真”的 如果这句话 是“假”的
8
根据这句话的意义推 得这句话是“假”的 这句话是“真”的 该陈述句不是命题
该陈述句为悖论
一、命题与真值（小结）
1.
感叹句、祈使句、疑问句属于非陈述
例10：设 p:天冷，q:小王穿羽绒服，
将下列命题符号化
(1) 只要天冷，小王就穿羽绒服。 p q
(2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服。
p q
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(3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷。 q p q p (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服。
三、复合命题及联结词（例题续）
q p
(5) 除非天冷，小王才穿羽绒服。
如果出现的联结词同级，又无括号时，
则按从左到右的顺序运算;

有括号时，应该先进行括号中的运算。
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三、复合命题及联结词
由联结词的优先级可得： （1） p q 与 (p ) q 含义相同 （2）p q r 与 (p q) r 含义相同 （3）p q r 与 p (q r )含义相同
复合命题
定义：由简单命题与联结词按一定规则 复合而成的命题。
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三、复合命题及联结词
1.否定式与否定联结词“” 定义：设p为命题，复 合命题 “非p”（或 “p 的否定”）称为p的否 定式，记作p，符号 称作否定联结词。
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p真值表
p 0 1
p 1 0
三、复合命题及联结词
例如： p:上海是一个城市。 p:上海不是一个城市。 p:上海是一个大城市。 p:上海是一个小城市。
三、复合命题及联结词（例题）
例4： 将下列命题符号化。 (1) 王晓既用功又聪明。 p∧ q p∧ q
(2) 王晓不仅聪明，而且用功。
(3) 王晓虽然聪明，但不用功。
p∧(q) r∧ s
简单命题
(4) 张辉与王丽都是三好生。
(5) 张辉与王丽是同学。
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三、复合命题及联结词
关于“合取”的相关规则
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t :小元元拿一个苹果;u:小元元拿一个梨； v :王晓红生于1975年;w:王晓红生于1976年。
三、复合命题及联结词（例题续）
分析：在例6中，构成复合命题的两个
原子命题之间没有排斥性，即两个原子
命题有同时为真的可能性。 相容或 例7中，构成复合命题的两个原子命题之 间存在排斥性。 排斥或
21
“如果p,则q” 称作p、q的蕴涵式
记作pq，并称p是蕴涵式的前件，q为 蕴涵式的后件。 称作蕴涵联结词，或条件联结词。
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三、复合命题及联结词
p q真值表
p 0 0 1
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q 0 1 0 1
pq 1 1 0 1
善意的 推定
1
三、复合命题及联结词

p q 的逻辑关系： p是q的充分条件；q
句，所以都不是命题；
2.
如果陈述句的判断结果不惟一确定，
那么该陈述句也不是命题；
3.
陈述句中的悖论也不是命题。
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二、命题符号化
“ 2是有理数”，是命题，且真值为 0或F； 命题逻辑中研究 2 + 5 = 7，是命题，且真值为 1或T； 的最基本单位 上述命题不能再分解为更简单的命题。 定义：一个命题不能再分解为更简单的命题， 则称该命题为原子命题，也称简单命题。
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三、复合命题及联结词
等价联结词具有以下性质：

满足结合律(p q) r等价于p (q r)
满足交换律p q等价于 q p


p p的真值永远为“真”
p p的真值永远为“假”
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三、复合命题及联结词
有关联结词优先级如下：

联结词的优先顺序为：, , , , ;
三、复合命题及联结词（例题续）
“排斥或”的复合命题该如何符号化呢？

小元元只能拿一个苹果或一个梨。 符号化为 (t∧ u) ∨(t∧u)
可以用异 或来表示
注意对比这 两个“排斥 或”的不同

王晓红生于1975年或1976年。 符号化为 (v∧ w) ∨(v∧w)
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也可以表示成：v ∨ w