勒让德多项式及性质共53页文档
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勒让德多项式
k 2 3P3 ( x) 5xP2 ( x) 2P ( x) 15 x3 9 x 1 2 2
勒让德多项式的性质
奇偶性
Pl(-x) = (-1)l Pl(x) 零点定理 L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。 正交性
– 正交性公式 – 模 – 正交性应用例题
完备性
(35cos 4 20cos 2 9)
勒让德多项式的图象
勒 让 德 多 项 式 的 图 象
母函数和递推公式
母函数 – 定义：u(x, r) =∑ Pl (x) r l – 形式：u(x, r) = ( 1－2rx + r2 )-1/2 – 推导 – 应用 递推公式 – 基本递推公式 – 证明 – 应用
球内解要求u (0, )有界，半通解化为 u
l 0
Al r l Pl (cos )
2
由边界条件得： Ax
l 0
Al a l Pl ( x )
Ax2 P ( x)dx k
2k 1 根据完备性：Ak 2a k
1
1
勒让德多项式的应用
例题 2
半径为a的球面上电势分布为 f = Acos2θ，确定球外空 间的电势 u 。
2
由边界条件得： Ax
l 0
Bl a l 1Pl ( x )
2k 1 k 1 根据完备性： k B a 2
1
1
Ax2 P ( x)dx k
勒让德多项式的应用
例题 3
一空心圆球区域，内半径为a，外半径为b，内球面上电势为 f = cosθ，外球面上电势为零，确定区域内电势u 。
解：定解问题为：u 0, a r b u |r a cos , u |r b 0
14第十四章 勒让德多项式
( tan
m2 sin2
)
0，(0),
(
)
有限
记
本征值 l(l 1), l m, m 1, m 2,...
住
本征函数 Plm (cos ) (缔合勒让德函数)
结 论
m=0 时，本征函数为勒让德多项式 Pl (cos )
• 2u 0 球壳区域的通解：
u(r)
(cl rl dl rl1) Plm (cos )[am cos(m ) bm sin( m )]
[l(l
1)
m (m
1)] Pl(m)
0
证：对微分方程 [(1 x2 ) Pl] l(l 1) Pl 0
应用高阶导数公式求导 m 次
n
[ f ( x)g( x)](n) Cnk f (k) ( x) g(nk) ( x) k0 取 f 1 x2 , g Pl, n m 1
P0 ( x) 1
P1( x) x cos
P2( x) (3x2 1) / 2 P3( x) (5x3 3x) / 2
| Pl ( x) | 1, 1 x 1 Pl (1) 1, Pl (1) (1)l
Pl
(x)
1 2l l!
dl dx l
(x2
1)l
17
§14.2 勒让德多项式的性质
右边从 1 到 x 逐项积分 l 次，得到
l
m0
1 (l m)! ( x 1)ml 2m m! (l m)! (m l)!
( x 1)l 2l l!
l
Clm ( x 1)m 2l m
m0
(x
1)l ( x 2l l!
1
2)l
1 2l l!
(
数学物理方程课件第六章勒让德多项式
0
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1
x dx
1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三 勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1
x dx
1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三 勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)
第七章勒让德多项式
第7章 勒让德多项式在第三章中我们介绍了一类特殊函数—贝塞尔函数，我们利用贝塞尔函数给出了平面圆域上拉普拉斯算子特征值问题的解，从而求解了一些与此特征值问题相关的定解问题。
为求解空间中球形区域上与拉普拉斯算子相关的一些定解问题，需要引入另一类特殊函数—勒让德（Legendre ）多项式，用于求解空间中球形区域上拉普拉斯算子的特征值问题。
需要说明的是勒让德多项式不仅是解决数学物理方程中许多问题的重要工具，在自然科学的其它领域也有许多的应用。
§7⋅1勒让德多项式本节介绍勒让德多项式及相关的一些特征值问题，为分离变量法的进一步应用作准备。
7．1.1 勒让德方程及勒让德多项式 考虑如下二阶常微分方程2[(1)]0d dyx y dx dxλ-+=，11x -<< (7.1.1) 其中0λ≥为常数，方程(7.1.1)称为勒让德方程。
设α是非负实数，使得(1),λαα=+则方程（7.1.1）可表示成如下形式2(1)2(1)0x y xy y αα'''--++=，11x -<< （7.1.2） 方程（7.1.2）满足第3章中定理3.1的条件，其中222(1)(), ()11x p x q x x x αα+=-=-- 故（7.1.2）在区间(1,1)-有解析解，设其解为0()k k k y x a x ∞==∑ （7.1.3）其中(0)k a k ≥为待定常数。
将该级数及一阶和二阶导数代入到原方程中得22121(1)(1)2(1)0k k k k k k k k k x k k a xx ka xa x αα∞∞∞--===---++=∑∑∑或20(1)(2)(1)2(1)0kkkkk k k kk k k k k k ax k ka x ka x a x αα∞∞∞∞+====++---++=∑∑∑∑ 即20[(1)(2)()(1)]0k k k k k k a k k a x αα∞+=+++-++=∑比较两端k x 的系数，可得2(1)(2)()(1)0, 0k k k k a k k a k αα++++-++=≥ 由此式可得系数递推关系2()(1), 0(1)(2)k k k k a a k k k αα+-++=-≥++ （7.1.4）当系数k a 指标分别取偶数和奇数时，（7.1.4）可表示为22(1)(22)(21), 1(21)2k k k k a a k k k αα--++-=-≥-212(1)1(21)(2), 12(21)k k k k a a k k k αα+-+-++=-≥+连续使用上述递推关系可知，当1k ≥时20(2)(22)(1)(3)(21)(1)(2)!k k k k a a k αααααα-⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+-=-211(1)(3)(21)(2)(4)(2)(1)(21)!k k k k a a k αααααα+--⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+=-+记220k k a c a =，21211k k a c a ++=, 可得勒让德方程(7.1.2)的如下两个解2,120()kk k y x c x α∞==∑, 21,2210() k k k y x c x α∞++==∑ （7.1.5）其中011c c ==。
第五章 勒让德多项式
勒让德方程
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二、勒让德方程的求解
(1 x ) y' '2xy'l (l 1) y 0
2
(8)
设此方程在x=0处有幂级数解 y Ck x k
y' kCk x k 1
k 1
y' ' k (k 1)Ck x k 2
k 2
C0与C1线性无关
y1 ( x) x
y0(x)只包含x的偶次幂，y1(x)只包含x的奇次幂。
勒让德方程有两个线性独立的解y0(x)和y1(x) ， 称为勒让德函数，称为第一类勒让德函数。
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从系数的递推公式依据 幂级数收敛的达朗贝尔 判别法，这两个幂级数 的收敛半径为
k 5
(l 5)(l 3)(l 1)(l 2)(l 4)(l 6) C7 C1 7!
i
(l 2i 1) (l 3)(l 1)(l 2)(l 4)(l 6) (l 2i) C2i 1 (1) C1 (2i 1) !
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第五章：勒让德多项式
深圳大学电子科学与技术学院
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本章提要:
• 几个微分方程的引入 • 勒让德方程的求解 • 勒让德多项式的性质
• 函数展成勒让德多项式的级数
参考了孙秀泉教授的课件
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一、几个微分方程的引入
三维波动方程： 三维热传导方程： 分离变量：
Ck k C k 2 2 1 (1 )(1 ) (k 2)(k 1) k k 1 lim lim k ( k l )(k l 1) k l l 1 (1 )(1 ) k k
勒让德多项式
例1:将 x 2 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
x 2 Cn Pn (x) n0
Cn
2n 1 2
1 1
x
2
Pn
(
x)dx
1 1
xk
Pn
( x)dx
0
n2
4 1
C2 2
1 x2 1 (3x2 -1)dx 5
1 2
4
1 3x4 x2
1
dx
5 6 2 2 45 3 3
第6章勒让德多项式
例2:将Pl(x) 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
解：方法一
l 1
(l 1) / 2
Pl(x) CnPn (x) CnPn (x)
Cl2n1Pl2n1 ( x)
n0
n0
n0
2l 4n 1
Cl2n1
2
1
1 Pl(x)Pl2n1(x)dx
2l 4n 1 2
1 0
xd
d 2n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
4n 22n
1 2n
!
x
d 2 n 1 dx 2 n 1
(x2
1)2n|10源自1 0d 2 n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
dx
4n 22n
1 2n
!
d 1 2n1 0 dx2n1
(x2
1)2n dx
4n 22n
1 2n
!
d2n2 dx 2 n 2
0
0
0
/ 2 sin 2n1 d 2n / 2 sin 2n1 d
0
2n 1 0
1 P2n (x)dx 1
勒让德多项式
§3 勒让德多项式的性质
(1) k (2l 2k )! l 2 k Pl ( x) l x k 0 2 k!(l k )!(l 2k )!
n
一. 特殊值、奇偶性和图形
l 2 l 1 n 当l为奇数时 2
当l为偶数时 n
Pl (1) 1,
P2 n (0) c0 (1) n
六. 勒让德多项式的正交性、完备性与模
0, lk 2 1 Pl ( x)Pk ( x)dx Nl2 , l k 2l 1
1
勒让德多项式完备性 若f(x)是定义在[-1,1]区间上任意一个平方可积的函数,
那么
f ( x) cl Pl ( x)
l 0
(l 1) P l 1 ( x) lP l 1 ( x) (2l 1) xP l ( x)
2. P l ( x) P l 1 ( x) 2 xP l ( x) P l 1 ( x)
3. 4.
P l 1 ( x) xP l ( x) (l 1) P( x) Pl 1 ( x) P l 1 ( x) 2l 1P l ( x)
1 1 2rx r xr
2
r Pl ( x)
l l 0 2
(l 1) P l 1 ( x) lP l 1 ( x) (2l 1) xP l ( x)
1 2rx r 2
(1 2rx r ) lr l 1Pl ( x)
l 0
( x r ) r l Pl ( x) (1 2rx r 2 ) lr l 1Pl ( x)
证
2 l
1 dl 2 l Pl ( x) l ( x 1 ) 2 l! dx l
(1) k (2l 2k )! l 2 k Pl ( x) l x k 0 2 k!(l k )!(l 2k )!
n
一. 特殊值、奇偶性和图形
l 2 l 1 n 当l为奇数时 2
当l为偶数时 n
Pl (1) 1,
P2 n (0) c0 (1) n
六. 勒让德多项式的正交性、完备性与模
0, lk 2 1 Pl ( x)Pk ( x)dx Nl2 , l k 2l 1
1
勒让德多项式完备性 若f(x)是定义在[-1,1]区间上任意一个平方可积的函数,
那么
f ( x) cl Pl ( x)
l 0
(l 1) P l 1 ( x) lP l 1 ( x) (2l 1) xP l ( x)
2. P l ( x) P l 1 ( x) 2 xP l ( x) P l 1 ( x)
3. 4.
P l 1 ( x) xP l ( x) (l 1) P( x) Pl 1 ( x) P l 1 ( x) 2l 1P l ( x)
1 1 2rx r xr
2
r Pl ( x)
l l 0 2
(l 1) P l 1 ( x) lP l 1 ( x) (2l 1) xP l ( x)
1 2rx r 2
(1 2rx r ) lr l 1Pl ( x)
l 0
( x r ) r l Pl ( x) (1 2rx r 2 ) lr l 1Pl ( x)
证
2 l
1 dl 2 l Pl ( x) l ( x 1 ) 2 l! dx l
数理方程勒让德多项式
35 cos
3
30 cos
)
P6
(x)
1 16
(231x6
315x4
105x 2
5)
1 512
(231cos
6
126 cos
4
105 cos
2
50)
第6页/共30页
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 6.1
第7页/共30页
计算 Pl (0) ，这应当等于多项式 Pl (x) 的常数项．
不同阶的勒让德多项式在区间 [1,1] 上满足
1
1 Pn
( x)Pl
(x)dx
N 2 l n,l
(2.2)
其中
n,l
1 0
(n l) (n l)
当
nl
时满足
1
1Pn (x)Pl (x)d，x 0
(2.3)
称为正交性． 相等时可求出其模
Nl
1 1
Pl2
(
x) dx
2 2l 1
(l 0,1,2, )
第2页/共30页
(1
x2
)
d2 y dx2
2x
dy dx
l
(l
1)
1
m2 x2
y
0
（1.4）
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
无关，则 m 0 ，即有
1
sin
d
d
sin
d
d
l(l
1)
0
（1.5）
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
第3页/共30页
同样若记 arc cos x ， y(x) (x)
第六章勒让德多项式
1 d d 1 d 2 n(n 1) sin 2 2 sin d d sin d 1 d d 1 d 2 2 sin sin n ( n 1)sin 2 d d d 1 d 2u 2 m 2 1 d d 2 2 d sin sin n ( n 1)sin m d d ( ) B1 cos m B2 sin m 2 2 d d m cot [ n ( n 1) ] 0 2 2 d d sin 连带的勒让德方程
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
例2:将Pl( x) 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式 解：方法一
Pl( x) Cn Pn ( x) Cn Pn ( x)
n 0
l 1
( l 1) / 2
n 0
n 0
Cl 2 n 1Pl 2 n 1 ( x)
方法二
2l 4n 1 1 1 2 l 4 n 1 Cl 2 n 1 Pl ( x) Pl 2 n 1 ( x)dx Pl 2 n 1 ( x)dPl ( x) 1 1 2 2 1 2l 4n 1 1 Pl 2 n 1 ( x) Pl ( x) |1 Pl ( x) Pl ( x)dx 2 n 1 1 2 2l 4n 1 2 Pl 2 n1 (1) Pl (1) 0 2l 4n 1 2
14第十四章 勒让德多项式
12
2
结论：本征问题
(1
−
x2
) |
y′′ − 2x y′ + y(±1) |< +∞
µ
y
=
0
本征值：µ = l (l + 1), l = 0,1,2,...
本征函数：l 次多项式 y( x) = y(1) Pl ( x)
规定 Pl(1)=1，称 Pl(x) 为 l 阶勒让德多项式
可以证明
Pl(l )(1)
标准形式
d2w dz 2
+
p(z ) dw dz
+
q(z) w
=
0
• 若 p(z) 和 q(z) 都在 z0 处解析，则称 z0 为 方程的常点；否则称 z0 为方程的奇点
∞
常点附近存在幂级数解 ∑ w(z) = ck (z − z0 )k k =0
• 若 p(z)(z–z0) 和 q(z)(z–z0)2 都在奇点 z0 处解析， 则称 z0 为方程的正则奇点；正则奇点附近
∑ ∑ r
ulm(r) =
(cl rl + dl r−l−1) Plm(cos θ)[am cos(mϕ) + bm sin(mϕ)]
m≥0 l≥m
5
2. 勒让德方程的幂级数解
求解本征问题
Θ′′ +
Θ′ tan θ
−
m2 Θ sin2 θ
+
µ
Θ
= 0，
Θ(0), Θ(π ) 有限
作变换 x = cosθ , − 1 ≤ x ≤ 1, y(x) = Θ(θ )
c2 p = A0 A2 ... A2 p−2 c0 ∝ c0 , c2 p+1 = A1 A3 ...A2 p−1 c1 ∝ c1
6勒让德多项式
应的u绕点x也沿某闭曲线C’一周，因此
于是
1
Cn (x) 2 i
(1
2x
2
)
1 2
d ( n1)
C
1
( 2 1)n d
2 i C 2n ( x)n1
1 dn
2n
n
!
du
n
(u 2
1)n
ux
Pn (x)
西安理工大学应用数学系
3. Legendre多项式的性质
w(x, z)
(1 2xz
y
a x
k
k0 k
a x
2m
m0 2m
a x
2m1
m0 2m1
a0
a x
2m
m0 2m
a1
a x
2m1
m0 2m1
由 a0 , a1 的任意性知，下列两个函数也是方程的解：
y1(x)
m0
a2m
x
2m
,
y2( x)
a x
2m1
m0 2m1
西安理工大学应用数学系
y1( x), y2 ( x) 的性质： （１）线性无关，故得到了Legendre方程的通解
P1(x) P0 (x) [Pn1 (x) 2xPn(x) Pn1 (x) Pn (x)]zn 0 n1
P1 (x) P0 (x) 0
Pn1(x) 2xPn(x) Pn1(x) Pn (x) 0, n 1, 2,L
西安理工大学应用数学系
(n 1)Pn1(x) (2n 1)xPn (x) nPn1(x) 0, n 1, 2,L
为零，这时 y1( x), y2 ( x) 均为无穷级数，且收敛域为（-1, 1）
第六章_勒让德多项式
6.1 勒让德方程的引出
引入参数 n n 1 分解整理得
d 2R dR 2 r 2r n n 1 R 0 2 dr dr
欧拉型方程
1 d d 1 d 2 sin d sin 2 2 n n 1 0 sin d
引入参数 分解可得两个常微分方程
" 0
d d sin sin n n 1 sin 2 0 d d
§1 勒让德方程的引出
第一个方程与自然周期条件 2 结合，构成本征值问题
d 2 dR R d d R d 2 r dr r 2 sin d sin d r 2 sin 2 d 2 0 2 r dr
用
r 遍乘各项并移项整理，即得 R
2
1 d 2 dR 1 d d 1 d 2 r dr sin d sin d sin 2 d 2 R dr
k n 1 2
这两个多项式可以统一写成
(2n 2k )! Pn ( x) (1) n x n2 k , n 0,1, 2, 2 k !(n k )!(n 2k )! k 0
k n 2
n 阶勒让德多项式
6. 3 勒让德多项式
0～4阶Legendre多项式为
(2k 2 l )(2k 4 l ) (l )(l 1)(l 2k 1) a2 k a0 (2k )!
6. 2
勒让德方程的求解
(1 l )(l 2) a3 a1 3! (3 l )(l 4) (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) a5 a3 a1 54 5!
数学物理方程第五章勒让德多项式
u(r , , ) R(r )Y ( , )
d 2R dR r 2r R 0 (1.5) 2 dr dr
2
2Y cos Y 1 2Y Y 0 2 2 2 sin sin
(1.6)
二次分离Y ( , ) ( )( )
(1.7)
如果u( , , )与无关，则 (1.7)式中m 0,这时有：
d2y dy (1 x ) 2 2 x y 0 (1.10) dx dx
2
x [1.1]
为后面计算方便，记 n(n 1)
2 d y dy 2 (1 x ) 2 2 x n( n 1) y 0 (1.11) x [1.1] dx dx
(1.5)是欧拉方程，会解！
2Y cos Y 1 2Y 2 Y 0 2 2 sin sin
(1.6)
u (r , , ) R(r )Y ( , )
2Y cos Y 1 2Y Y 0 2 2 2 sin sin (1.6)
1 1 2 xz z 2 Pn ( x )z n
n 0
勒让德多项式的母函数 G( x, z )
*函数展开成勒让德级数
§1 勒让德方程的导出
考虑球域上的狄利克雷问题
其中f ( x, y, z )为已知函数. R为球域半径. 引入 x r sin cos sin x r sin z r cos
2u 2u 2u 2 2 2 2 0 x y z R 2 2 2 x y z u f ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 R2
勒让德多项式及性质
例题2、以勒让德多项式为基本函数族，将函数
f ( x) 2 x 3 3x 4 在区间（-1，+1）上进行广义傅立叶展开。
1 1 2 P2 ( x) (3x 1) (3cos 2 1) 2 4 1 1 3 P3 ( x) (5x 3x) (5cos3 3cos ) 2 8 1 1 4 2 P4 ( x) (35x 30 x 3) (35cos 4 20cos 2 9) 8 64 1 1 P5 ( x) (63x5 70 x3 15x) (63cos5 35cos3 30cos ) 8 128 1 1 P6 ( x) (231x6 315x4 105x 2 5) (231cos 6 126cos 4 105cos 2 50) 16 512
前面已学：勒让德方程在x 1有自然边界条件： x 1 有限，从而构成 y 本征值问题，本征值是l (l 1), l 0,1, 2, 3..., 在l为整数条件下，勒让德方程 的两个线性独立特解y ( x ) a0 y0 ( x ) a1 y1 ( x )之一退化为l次多项式。 z l为2k (偶数): a y ( x) ~
l 2n (n 0,1, 2, ) l 2n 1
上式具有多项式的形式，故称
Pl ( )
为
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
二、勒让德多项式
1、前几个勒让德多项式: （注意到 x cos ) P0 ( x) 1
P1 ( x) x cos
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 11.1
2、勒让德多项式的微分表示
1 dl Pl ( x) l ( x 2 1)l 2 l ! dx l
数理方程第12讲勒让德多项式
（1.4）
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
无关，则
m 0 ，即有
（1.5）
1 d d sin l (l 1) 0 sin d d
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
同样若记
arc cos x
，
y( x) ( x)
P0 ( x) 1
P1 ( x) x cos
P2 ( x) 1 1 (3x 2 1) (3cos 2 1) 2 4
1 1 P3 ( x) (5 x3 3x) (5cos 3 3cos ) 2 8
1 1 P4 ( x) (35 x 4 30 x 2 3) (35cos 4 20cos 2 9) 8 64 1 1 P5 ( x) (63x5 70 x3 15 x) (63cos 5 35cos 3 30cos ) 8 128
d ( x 1) 1 ( x 1) dx2l dx
1 2l 2 l 2 l
( x 2 1) l 是
2l 次多项式，其 2l
1
阶导数也就是最高幂项
x 2 l 的 2l 阶导数为 (2l )! ．故
(2l )! N (1) 2l 2 2 (l !)
2 l l
1
( x 1)l ( x 1)l dx
2 l 1
1
为了分部积分的方便，把上式的 Pl ( x)用微分表示给出，则有
1 N 2l 2 2 (l !)
2 l
d l ( x 2 1)l d d l 1 ( x 2 1)l dx l 1 1 dxl dx d x
1 1