电磁场理论课件 2-4镜像法

Qf ( x x0 )2 y2 z2
1
Qf
4 1
[
2 0
1
(x x0 )2 y2 z 2
导体
1
]
(x x0 )2 y2 z 2
作业：9,11
表面上感应电荷对点电荷 Q
的作用力
F
4
Q Q 0(a
b)2
ez
3、如果导体球不接地，带电量为 Q0
C 常数
-
r R0
r
r R0
ds
边界条件 Q0
怎么求电势分布？
1 [Q Q Q] 40 r r R
1 [Q - R0Q Q0 R0Q / a ]
4 pe0 r ar
R
• 例3．设有两种各向同性均匀介质分别充满
半无限空间，介质的介电常数分别为
和 2 ，介质1中有一自由电荷 Qf
，1 求
全空间场分布。
分析：对空间场有贡献的电荷有
1 自由电荷 Qf 2 自由电荷周围的极化电荷 3 界面上的极化面电荷
定解问题:
方程
21
Qf
1
(x x0, y, z)
22 0
边界条件：
1 2 0
边值关系：
1 x0 2 x0
1
1
x
x0
2
2
x
x0
分别考虑区域V1(x>0)和V2(x<0)内的电位分布.
1(x) 41
Qf
(x x0 )2 y2 z2 41
Qf (x x0 )2 y2 z2
2(x) 41
Qf
(x x0 )2 y2 z2 41
如果导体球接地，则球外每个点电荷分别有自己的像电 荷。球外的电位分布, 等于球外所有点电荷和他们的像电 荷产生电位的迭加.
6、接地导体球壳内有一点电荷情况.
怎么求电势分布？
接地导体球壳内有一点电荷情况.
Q Q 0
4 r 4 r
即：r Q 常数 rQ
r b R0 常数 r R0 a b R02
• （1）由于没有改变上半空间的电荷分布, 所以在上半空间电位 所满足的方程不变.
• （2）根据对称性，电力线如图所示,都垂直
于z 0 的平面。所以 z 0的平面是等位
面。上半空间的电位分布可以用电荷 Q
和它的像电荷 Q 在上半空间产生的电位表 示。
结论：
• 1 只要引入的像电荷不在所研究的空间V之内， 则所研究的区域V内方程不变.
b R02 a
Q R0 Q a
r b R0 常数 r R0 a
40F
Q(Q0 - Q) a2
QQ (a - b)2
QQ0 a2
-
Q2R03(2a2 - R02 ) a3(a2 - R02 )2
怎么求电势分布？
0
Q
4 0 R0
可求出Q
1 [Q 4 0 r
Q r
Q ] R
5、导体球外为多个点电荷情况.
镜像法的基本概念与镜面对光的反射很相似。
1.导体外空间中的电场包括点电
导 体
荷Q所激发的电场和导体上感应
电荷所激发的电场。导体面上的
感应电荷可以由镜像电荷替代。
2.镜像法的理论基础:唯一性定理
注意：镜像电荷一定在所求场强 区域之外。
一 点电荷密度的-函数表示。
首先了解点电荷的电荷密度数学表达式。
22 0
Q 2 4 0R
Q 2 R R02 1 R R01 4 0R02
b R01 r R01 a r Q R01 Q
a
Q r
- Q r
b R012 a
电位分布为两点电荷电位加上一个常电位（球壳）
1
1 （Q 4 0 r
Q r
）
R R02
常数 1 S1 2 S2
a
Q R0 Q a
1 [Q R0Q / a ] 40 r r
1 [
Q
40 R2 a2 2Ra cos
R0Q / a
]
R2 b2 2Rb cos
7、如果导体球壳内外半径分别为 R01 和 R02 ，
壳内一点电荷Q，导体球壳不接地，带有电 荷 Q0 ，求全空间电位分布。
分为球外和球内电势。 R<R01 R01<R<R02 R>R02
Qf (x x0 )2 y2 z2
利用边值关系，可求得（也可代入边值验证）
所以解为
x0 x0
Qf
1 1
2 2
Q
f
1 x0 2 x0
1
1
x
x0
2
2
x
x0
1 2 0
1
Qf
41
[
1
1 2
(x x0 )2 y2 z2 1 2
1
]
(x x0 )2 y2 z2
2 2 (1 2 )
• 2 只要能保证引入像电荷后，原来的边界条件 不变，可以采用电像法求解电场分布。
• 3 引入像电荷后，全空间都看做一种均匀介质.
• 4 导体表面上感应电荷密度可由 求出， n 的方向由导体指向外.
n
• 推广1: 由两个接地导体平面组成一空间V时， 空间内有点电荷Q，则场分布有时可用电像 法求出。
• 推广2、无限大接地平面外有两个或多个点 电荷，则可引入两个或多个像电荷。
• 例2、真空中一半径为 R0 的导体球接地， 距球心为 a 处(a R0 ) 有点电荷Q，求空间各 点电势分布。
Q Q 0
4 r 4 r
即：r Q 常数 rQ
r b R0 常数 r R0 a b R02
a
Q R0 Q a
Q Q
因为Q发出的电场只有一部分收敛于球面
1 [Q R0Q / a ] 40 r r
1 [
Q
40 R2 a2 2Ra cos
R0Q / a
]
R2 b2 2Rb cos
讨论：
1、Q 0 时, 电力线如图所示. 导体球总感应
电荷为 Q R0 Q
.
a
作2、用点力电荷FQ所, 受实到际导上体是球导的体
第4节 镜像法（电像法）
对于不同的具体问题，可用不同的方法来求解 静电场的解。
对于一些对称的电荷分布，采用高斯定理求解
电场的分布，是一种简便的方法。
对于没有自由电荷的区域，可以采用求
解拉普拉斯方程的方法得到电场的分布。
如果区域内有自由电荷，必须解泊松方程。
如果我们研究的电荷附近是有规则的导体面或 介质分界面时，可以采用一种特殊的方法求解 静电场，即镜像法。
在 (x) 有一个点电荷 Q(x)，则空间电荷密度
分布可写作
(x)
Q
(
x
x)
二、举例：通过例题了解镜像法的应用，以 及导体附近电场分布的规律。
例1、接地无限大导体平Байду номын сангаас附近一点电荷Q， 求空间场分布。
如果设想去掉导体， 全空间为真空，在电 荷Q 像的位置(0, 0, -a) 上引入像电荷 .
Q Q