乘法公式 题型及拓展

乘法公式

一、复习:

(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2

(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：

① 位置变化，?x ?y ???y ?x ??x 2?y 2

② 符号变化，??x ?y ???x ?y ????x ?2?y 2? x 2?y 2

③ 指数变化，?x 2?y 2??x 2?y 2??x 4?y 4

④ 系数变化，?2a ?b ??2a ?b ??4a 2?b 2

⑤ 换式变化，?xy ??z ?m ???xy ??z ?m ??

??xy ?2??z ?m ?2

?x 2y 2??z ?m ??z ?m ?

?x 2y 2??z 2?zm ?zm ?m 2?

?x 2y 2?z 2?2zm ?m 2

⑥ 增项变化，?x ?y ?z ??x ?y ?z ?

??x ?y ?2?z 2

??x ?y ??x ?y ??z 2

?x 2?xy ?xy ?y 2?z 2

?x 2?2xy ?y 2?z 2

⑦ 连用公式变化，?x ?y ??x ?y ??x 2?y 2?

??x 2?y 2??x 2?y 2?

?x 4?y 4

⑧ 逆用公式变化，?x ?y ?z ?2??x ?y ?z ?2

???x ?y ?z ???x ?y ?z ????x ?y ?z ???x ?y ?z ??

?2x ??2y ?2z ?

??4xy ?4xz

例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+

∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-

例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-

∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -

∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-

例3：计算19992-2000×1998

〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。 解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1）

=19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1

例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。

〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。

解：a 2+b 2=(a+b)2-2ab=4-2=2

（a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0

例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。

〖解析〗此题若想根据现有条件求出x 、y 、z 的值，比较麻烦，考虑到x 2-z 2是

由x+z 和x-z 的积得来的，所以只要求出x-z 的值即可。

解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x 2-z 2=（x+z ）(x-z)=14×

4=56。

例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？

〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。

解：（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1

=（2-1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1

=24096

=161024

因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。

例7．运用公式简便计算

（1）1032 （2）1982

解：（1）1032??100?3?2 ?1002?2?100?3?32 ?10000?600?9 ?10609

（2）1982??200?2?2 ?2002?2?200?2?22 ?40000?800?4 ?39204

例8．计算

（1）?a ?4b ?3c ??a ?4b ?3c ? （2）?3x ?y ?2??3x ?y ?2?

解：（1）原式???a ?3c ??4b ???a ?3c ??4b ???a ?3c ?2??4b ?2?a 2?6ac ?9c 2?16b 2

（2）原式??3x ??y ?2???3x ??y ?2???9x 2?? y 2?4y ?4??9x 2?y 2?4y ?4

例9．解下列各式

（1）已知a 2?b 2?13，ab ?6，求?a ?b ?2，?a ?b ?2的值。

（2）已知?a ?b ?2?7，?a ?b ?2?4，求a 2?b 2，ab 的值。

（3）已知a ?a ?1???a 2

?b ??2，求222

a b ab +-的值。 （4）已知13x x -=，求441x x +的值。 分析：在公式?a ?b ?2?a 2?b 2?2ab 中，如果把a ?b ，a 2?b 2和ab 分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。

解：（1）∵a 2?b 2?13，ab ?6

??a ?b ?2?a 2?b 2?2ab ?13?2?6?25 ?a ?b ?2?a 2?b 2?2ab ?13?2?6?1

（2）∵?a ?b ?2?7，?a ?b ?2?4

? a 2?2ab ?b 2?7 ① a 2?2ab ?b 2?4 ②

①?②得 2?a 2?b 2??11，即22112a b +=

①?②得 4ab ?3，即34ab =

（3）由a ?a ?1???a 2?b ??2 得a ?b ??2

（4）由13x x -=，得19x x 2

⎛⎫-= ⎪⎝

⎭ 即22129x x +-= 22111x x ∴+= 221121x x 2⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ 即4412121x x ++= 441119x x += 例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？