苏教版数学高二-高中数学苏教版选修1-1第2章《圆锥曲线与方程》单元检测(A)

第2章 圆锥曲线与方程(A)

(时间：120分钟 满分：160分)

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

1．已知椭圆的离心率为1

2

，焦点是(－3,0)，(3,0)，则椭圆方程为______________．

2．当a 为任意实数时，直线(2a ＋3)x ＋y －4a ＋2＝0恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是________________．

3．方程mx ＋ny 2＝0与mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )表示曲线在同一坐标系中的示意图可能为______________________．

4．短半轴长为2，离心率e ＝3的双曲线两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线于A 、B 两点，且AB ＝8，则△ABF 2的周长为________． 5．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是________．

6．若直线mx －ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋

y 2

4

＝1的交点个数是________． 7.

如图所示，若等腰直角三角形ABO 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则直角三角形ABO 的面积是________．

8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1 (a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两

曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．

9．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2截直线4x ＋5y ＝0所得弦长为41，则双曲线的实轴长是________．

10．若双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的方程是_ ___________．

11．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．

12．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．

13．设椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝⎛⎭⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．

14．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2

k －1

＝1，给出下面四个命题：

①曲线C 不可能表示椭圆；

②当1

③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4；

④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1

2

.

其中所有正确命题的序号为________． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)

15．(14分)已知点M 在椭圆x 236＋y 2

9

＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，

并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．

16．(14分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 2

4

＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求

双曲线C 的方程．

17.(14分)直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标等于2，求弦AB 的长．

18．(16分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1 (a >b >0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，

若PF 1⊥PF 2，试求： (1)椭圆的方程； (2)△PF 1F 2的面积．

19.(16分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且AB ＝5

2

p ，

求AB 所在的直线方程．

20．(16分)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点． (1)写出C 的方程；

（2）若OA →⊥OB →

，求k 的值．

第2章 圆锥曲线与方程(A)

1.x 236＋y 2

27

＝1 解析 已知椭圆的离心率为1

2

，焦点是(－3,0)，(3,0)，则c ＝3，a ＝6，b 2＝36－9＝27，

因此椭圆的方程为x 236＋y 2

27＝1.

2．y 2＝32x 或x 2＝－1

2y

解析 将直线方程化为(2x －4)a ＋3x ＋y ＋2＝0，可得定点P (2，－8)，再设抛物线方程即可． 3．④

解析 由m >0，n >0知mx 2＋ny 2＝1表示的是椭圆的方程，又由mx ＋ny 2＝0，

得y 2＝－m

n

x ，所以抛物线开口向左．

4．16＋22

解析 由于b ＝2，e ＝c

a

＝3，∴c ＝3a ，

∴9a 2＝a 2＋4，∴a ＝

22

， 设AF 2>AF 1，BF 2>BF 1， 则由双曲线的定义知：

AF 2－AF 1＝2，BF 2－BF 1＝2， ∴AF 2＋BF 2－AB ＝22， ∴AF 2＋BF 2＝8＋22， 则△ABF 2的周长为16＋2 2. 5.33

解析 由题意知AF 1＝33F 1F 2，∴b 2a ＝3

3

·2c ，

即a 2－c 2＝233ac ，∴c 2＋23

3ac －a 2＝0，

∴e 2＋233e －1＝0，解之得e ＝33

(负值舍去)．

6．2

解析 由题意4

m 2＋n 2

>2，即m 2＋n 2<4，点(m ，n )在以原点为圆心，2为半径的圆内，

与椭圆x 29＋y 2

4＝1的交点个数为2.

7．4p 2

解析 由题意得∠xOA ＝∠xOB ＝45°，则可设点A (a ，a )，代入抛物线的方程得a ＝2p ，

∴S △ABO ＝1

2

×2a ×a ＝a 2＝4p 2.

8.2＋1

解析 ∵F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，∴A ⎝⎛⎭⎫p

2，p . 又∵c ＝p

2，即p ＝2c ，

∴A (c,2c )．代入双曲线方程，化简， 得e 4－6e 2＋1＝0. ∵e >1，∴e ＝2＋1. 9．3

解析 注意到直线4x ＋5y ＝0过原点，可设弦的一端为(x 1，y 1)，则有 ⎝⎛⎭⎫1＋1625x 2

1＝412

. 可得x 21＝254，取x 1＝52

，y 1＝－2. ∴a 2＝254－4＝94，|a |＝32，

∴2|a |＝3. 10．x 2

－y 29

＝1

解析 设双曲线方程为9x 2－y 2＝λ (λ>0)， 即x 2λ9

－y 2

λ＝1.∵a 2＋b 2＝c 2，