高考题中的阿基米德三角形教材
高考数学复习微难点12 抛物线中的阿基米德三角形
两条切线，切点分别为 A，B.
(1) 求证：直线 AB 过定点；
【解答】 设 Dt，－12，A(x1，y1)，则 x21＝2y1.由于 y′＝x，所以切线 DA 的斜率为 x1，故yx11＋－12t ＝x1，整理得 2 tx1－2 y1＋1＝0.设 B(x2，y2)，同理可得 2tx2－2 y2＋1＝0.故直
设抛物线 C：x2＝2py(p>0)的焦点为 F，过 F 且垂直于 y 轴的直线交抛物线 C 于 M，N 两点，O 为原点，△OMN 的面积为 2.
(1) 求拋物线 C 的方程； 【解答】 由题意得，点 M，N 的纵坐标均为p2，由 x2＝2p·p2，解得 x＝±p，则|MN| ＝2p，由 S△CMN＝12·|MN|·|OF|＝12·2p·p2＝12p2＝2，解得 p＝2，故抛物线 C 的方程为 x2＝ 4y.
主题三 几何与代数 第八章 解析几何
微难点12 抛物线中的阿基米德三角形
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米 德三角形．
过弦的端点分别作切线 已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)，直线 l 交 C 于 A，B 两点，且 A，B 两点与原 点不重合，点 M(1,2)为线段 AB 的中点． (1) 若直线 l 的斜率为 1，求抛物线 C 的方程；
1. 若 AB 过焦点，则 AB 的端点的两条切线的交点 Q 在其准线上； 2. 阿基米德三角形底边上的中线平行于坐标轴，即 xQ＝xM； 3. AB 过抛物线的焦点； 4. AQ⊥BQ； 5. 阿基米德三角形面积的最小值为 p2.
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(2) 分别过 A，B 两点作抛物线 C 的切线，若两条切线交于点 S，求证：点 S 在一 条定直线上．
2024版高考数学一轮复习专题基础练专题八平面解析几何视野拓展4蒙日圆及阿基米德三角形的应用作业课件
应用专练
3.
2 2
[2023江苏苏州部分学校联考]已知双曲线C: 4 -2 =1(b>0),若直线l:x+y+2=0上存在一点P满足:过点P能向双曲线
C引两条互相垂直的切线,则双曲线C的离心率的取值范围是
.
答案
6
3.(1, 2 ] 通解
应用专练
秒杀解
由蒙日圆的定义可得点P在圆x2+y2=4上,又点P在圆M:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0)上,所以两圆有公共点,
所以|2-r|≤ (3−0) 2 +(4−0) 2 ≤2+r,解得3≤r≤7,故选B.
应用专练
2.
2 2
5
[2022江苏南京模拟]已知椭圆C: +2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为 5 ,其蒙日圆方程为x2+y2=
1
12 1
1 12
,所以y'=2,则抛物线在点A处的切线斜率为 2 ,在点A处的切线方程为y- 4 = 2 (x-x1),即y= 2 x- 4 ,
4
因为x2=4y,即y=
2
(技巧点拨:因为抛物线方程为x2=4y,即y=
2
4
,所以想到利用导数的几何意义求切线方程)
2 22
同理得抛物线在点B处的切线方程为y= x- ,
视野拓展4
蒙日圆及阿基米德三角形的应用
知识延展
发散思维，培素养
知识延展
1.蒙日圆
如图(以椭圆为例),椭圆的两条切线互相垂直,则两条切线的交点位于以椭圆的中心为圆心的圆上,称该圆为蒙日圆,
第11讲 阿基米德三角形问题(解析版)
第11讲 阿基米德三角形问题1．设定点F (0，1)，动点E 满足：以EF 为直径的圆与x 轴相切.（1）求动点E 的轨迹C 的方程；（2）设A ，B 是曲线C 上的两点，若曲线C 在A ，B 处的切线互相垂直，求证：A ，F ，B 三点共线.【答案】（1）x 2＝4y ；（2）证明见解析.【分析】（1）设E 点坐标为(x ，y )，由E 到x 轴的距离等于2EF 即可求解. （2）设A ，B 两点的坐标分别为2111(,)4x x ，2221(,)4x x ，利用导数求出曲线在A ，B 处切线的斜率，从而可得x 2＝－14x ，再求出AB 的斜率，证出 k AF ＝k AB ，即证. 【详解】（1）设E 点坐标为(x ，y )，则EF 中点为圆心，设为E ，则E 点坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭. ∴E 到x 轴的距离等于||2EF ， 即12y +x 2＝4y . ∴点E 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .（2）证明：由（1）知，曲线C 是以F 为焦点的抛物线，其方程可化为y ＝14x 2， 设A ，B 两点的坐标分别为2111(,)4x x ，2221(,)4x x ， ∵曲线方程为y ＝14x 2，∴y ′＝12x ， ∴曲线在A ，B 处切线的斜率分别为k 1＝12x 1，k 2＝12x 2， ∵k 1k 2＝－1，∴12x 1·12x 2＝－1，∴x 2＝－14x ， ∴A ，B 两点连线的斜率为k AB ＝()()22212112111114444x x x x x x x x -⎛⎫=+=-+ ⎪-⎝⎭＝－11x ＋14x 1， A ，F 两点连线的斜率为k AF ＝2111140x x --＝－11x ＋14x 1＝k AB ， ∴A ，B ，F 三点共线.【点睛】关键点点睛：本题考查了三点共线，可以证明直线的斜率相等，解题的关键是根据A ，B 两点的坐标求出x 2＝－14x ，考查了计算求解能力.2．如图，已知抛物线的焦点为F过点的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N ．（Ⅰ）求的值；（Ⅰ）记直线MN的斜率为，直线AB的斜率为证明：为定值【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2(m≠0)，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y1y2；（Ⅰ）设M(x M，y M)，N(x N，y N)，设直线AF：y=y1x1−1(x−1)与y2=4x联立，得y14y2+(1−x1)y−y1=0,由韦达定理得，y1y M=−4⇒y M=−4y1，同理，y N=−4y2，进而可得的比值，化简即可求出结果为定制．试题解析：证明：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2(m≠0)．将其代入，消去x，整理得y2−4my−8=0．从而y1y2=−8．（Ⅰ）AF：y=y1x1−1(x−1)与y2=4x联立，得y14y2+(1−x1)y−y1=0由韦达定理得，y1y M=−4⇒y M=−4y1，同理，y N=−4y2k1 k2=4y M+y N4y1+y2=y1+y2y M+y N=−y1y24=2（定值）．考点：1．抛物线的简单性质；2．直线与抛物线的性质．3．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0），直线l 交C 于A ，B 两点，且A ，B 两点与原点不重合，点M （1，2）为线段AB 的中点．（1）若直线l 的斜率为1，求抛物线C 的方程；（2）分别过A ，B 两点作抛物线C 的切线，若两条切线交于点S ，证明点S 在一条定直线上．【答案】（1）x 2＝2y （2）证明见解析【分析】（1）设直线l 的方程为y x t =+，代入抛物线方程，消去y ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，运用韦达定理，以及中点坐标公式，可得p ，即可得到所求抛物线方程；（2）求得22x y p=的导数，可得抛物线在A ，B 处的切线的斜率，由点斜式方程和点A ，B 满足抛物线方程，可得在A ，B 处的切线方程，联立两切线方程，相加，结合中点坐标公式，即可得到所求点S 所在的定直线方程．【详解】解：（1）设直线l 的方程为y x t =+，代入抛物线2:2(0)C x py p =>， 可得2220x px pt --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x p +=，点(1,2)M 为线段AB 的中点，可得22p =，即1p =，则抛物线的方程为22x y =；（2）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，点(1,2)M 为线段AB 的中点，可得122x x +=，124y y +=， 由22x y p=的导数为x y p '=，可得抛物线在A 处的切线斜率为1x p ，切线方程为111()x y y x x p -=-， 由2112x py =，可得11()x x p y y =+，①同理可得22()x x p y y =+，②①+②可得1212()(2)x x x p y y y +=++，即为2(24)x p y =+，即20x py p --=．可得交点S 在一条定直线20x py p --=上．【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题．4．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0），F 为抛物线C 的焦点．以F 为圆心，p 为半径作圆，与抛物线C 在第一象限交点的横坐标为2．（1）求抛物线C 的方程；（2）直线y ＝kx +1与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，设切线l 1，l 2的交点为P ，求证：△P AB 为直角三角形．【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得M 点的坐标为(2,)2p ，代入抛物线方程，即可求出p 的值； （2）设221212(,),(,)44x x A x B x ，利用导数的几何意义得到A ，B 两点处的切线斜率分别为1112k x =，2212k x =，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到k 1k 2＝﹣1，从而得到△P AB 为直角三角形．【详解】（1）记抛物线C 与圆F 在第一象限的交点为M ，由圆F 与抛物线C 的准线相切，且M 到抛物线C 准线的距离等于圆F 的半径p ，所以M 点的坐标为(2,)2p ，代入抛物线方程得：24(0)p p =>， 所以2p =，所以抛物线的方程为24x y =.（2）设221212(,),(,)44x x A x B x ， 由24x y =，可得y 214x =，则12y x '=， 所以A ，B 两点处的切线斜率分别为1112k x =，2212k x =， 由214y kx x y =+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-，所以1212114k k x x ==-， 所以PA PB ⊥，即PAB ∆为直角三角形．【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．5．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线分别交抛物线于,A B 两点．（1）若以AB 为直径的圆的方程为()()222316x y -+-=，求抛物线C 的标准方程；（2）过点,A B 分别作抛物线的切线12,l l ，证明：12,l l 的交点在定直线上．【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析.【分析】（1）根据抛物线的定义可求圆心到准线的距离为4，从而可求抛物线的方程．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，利用导数求出,A B 两点处的切线方程，从而可求12,l l 的交点的坐标，再联立直线和抛物线的方程可得212x x p =-，从而可得12,l l 的交点的纵坐标为定值，故12,l l 的交点在定直线上． 【详解】（1）设AB 中点为M ，A 到准线的距离为1d ，B 到准线的距离为2d ，M 到准线的距离为d ，则()2,3M 且322=M p p d y =++. 由抛物线的定义可知，12,d AF d BF ==，所以128d d AB +==， 由梯形中位线可得1242d d d +==，所以342p +=，可得2p =，所以抛物线C 的标准方程为24x y =. （2）证明：设()()1122,,,A x y B x y ，由22x py =，得22x y p=，则x y p '=， 所以直线1l 的方程为()111x y y x x p-=-，直线2l 的方程为()222x y y x x p -=-， 联立得()()111222x y y x x p x y y x x p ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得121222x x x x x y p +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线12,l l 的交点坐标为1212,22x x x x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 因为AB 过焦点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题可知直线AB 的斜率存在，故可设直线AB 方程为2p y kx -=， 代入抛物线22x py =中，得2220x pkx p --=，所以212x x p =-，故1222x x p p =-，所以12,l l 的交点在定直线2p y =-上．6．已知动点Q 在x 轴上方，且到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1.（1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,1P 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 分别异于原点O ，在曲线C 的A ，B 两点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 交于点M ，求证：M 在定直线上.【答案】（1）24x y =()0y ≠；（2）证明见解析【分析】（1）设(,)Q x y (0)y >，由到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大11y =，化简可得点Q 的轨迹C 的方程；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得12x x +，12x x 的值，又24x y =，所以2x y '=，可得切线1l 的方程，同理可得切线2l 的方程，求出交点坐标，可得其在定直线上.【详解】解：（1）设(,)Q x y (0)y >，1y =，化简得24x y =()0y ≠，故轨迹C 的方程为24x y =()0y ≠.（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立得24440x kx k -+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，1244x x k =-， 又24x y =，所以2x y '=， 所以切线1l 的方程为()1112x y x x y =-+，即21124x x y x =-， 同理切线2l 的方程为22224x x y x =- 联立得1222x x x k +==，1214x x y k ==-. 两式消去k 得220x y --=， 当1k =时，2x =，0y =，所以交点M 的轨迹为直线220x y --=，去掉()2,0点.因而交点M 在定直线上.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的综合计算能力，属于难题.7．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0和抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)，圆心C 到抛物线焦点F ． （1）求抛物线E 的方程；（2）不过原点的动直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，且满足OA ⊥OB ．①求证直线l 过定点；②设点M 为圆C 上任意一动点，求当动点M 到直线l 的距离最大时直线l 的方程．【答案】（1）y 2＝12x ；（2）①证明见解析；②13x －y －156＝0．【分析】(1) 根据题意圆心到抛物线焦点距离，利用两点之间距离公式计算可得结果（2）设直线方程()0x my t t =+≠，联立抛物线，结合条件求得两根之和与两根之积，解得12,x my =+得到定点，再得出点到线距离最大时的直线方程【详解】(1)圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0，可得圆心C (－1，1)，半径r ＝1，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点(,0)2p F ，准线方程为2p x =，圆心C 到抛物线焦点F =解得p ＝6，即抛物线方程为y 2＝12x . (2)①证明：设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则212+y x x my t⎧=⎨=⎩ 整理得：y 2－12my －12t ＝0，所以y 1＋y 2＝12m ，y 1y 2＝－12t ．由于OA ⊥OB ．则x 1x 2＋y 1y 2＝0．即(m 2＋1)y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝0．整理得t 2－12t ＝0，由于t ≠0，解得t ＝12．故直线的方程为x ＝my ＋12，直线经过定点P (12，0)．②当CP ⊥l 且动点M 经过PC 的延长线时，动点M 到动直线l 的距离取得最大值．113MP CP k k ==-， 则113m =-． 此时直线l 的方程为：11213x y =+， 即13x －y －156＝0．【点睛】 本题在解答直线与抛物线位置关系时需设出直线方程，这里给出x my t =+形式的直线方程，方便计算，根据题目意思解得直线恒过定点，再结合题意，求得当与直线垂直时的直线方程即可.8．已知抛物线24x y =的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且(0)AF FB λλ=>，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为P .（1）若直线PA 与x ，y 轴分别交于点M ，N ，且MON △的面积为12，求||AF 的值； （2）记ABP △的面积为S ，求S 的最小值，并指出S 最小时对应的点P 的坐标. 【答案】(1)2;(2)APBS 有最小值4，此时(0,1)P -.【分析】（1）先求出以点A 为切点的抛物线的切线PA 方程，得出11,02M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()12410,N x -利用面积求出A 点的纵坐标，然后求出AF ．（2）先分别写出直线PA ，PB 方程，利用都过点P 写出直线AB ，代入抛物线方程利用弦长公式求出AB ，及点()0,1P x -到直线AB 的距离，写出APB S 表达式及最值．【详解】（1）设()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，则120x x ≠，抛物线方程写成214y x =，12y x '=，则以点A 为切点的抛物线的切线PA 的方程为：()1111:2PA l y y x x x -=-，又21114y x =，即21111:24PA l y x x x =-，11,02M x ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，()12410,N x -，12MONS OM ON ∴=⋅ 23111111122416x x x =⨯⨯-=，故31116x 12=，∴12x =，211114y x ==，从而11122pAF y =+=+=. （2）由（1）知21111:24PA l y x x x =-，即：1112y x x y =-，同理221:2PB l y x x y =-，由直线PA ，PB 都过点()00,P x y ，即001100221212y x x y y x x y⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则点()11,A x y ，()22,B x y 的坐标都满足方程0012x x y y -=，即直线AB 的方程为：0012x x y y -=，又由直线AB 过点()0,1F ，∴01y =-， 联立021124x x y x y⎧-=-⎪⎨⎪=⎩得20240x x x --=，12AB x ∴=-124x x ==，点()0,1P x -到直线AB的距离d =，12APBSAB d ∴=⋅==13244APBS∴=，当且仅当时00x =，APB S 有最小值4，此时()0,1P -.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9．已知以动点P 为圆心的P 与直线l ：12x =-相切，与定圆F ：221(1)4x y -+=相外切. （Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅰ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点M 、N （MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为1M 、1N ，直线l 交x 轴于点A ，记1AMM ∆、AMN ∆、1ANN ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ，且22134S S S =，证明：直线MN 过定点.【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅰ）详见解析. 【分析】（Ⅰ）根据题意，点P 到直线1x =-的距离与到(1,0)F 的距离相等，由抛物线的定义可得解； （Ⅰ）设111,2M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、21,2N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，用坐标表示1S 、2S 、3S ，利用韦达定理，代入即得解. 【详解】（Ⅰ）设(,)P x y ，P 半径为R ，则12R x =+，1||2PF R =+，所以点P 到直线1x =-的距离与到(1,0)F 的距离相等，故点P 的轨迹方程C 为24y x =.（Ⅰ）设()11,M x y ，()22,N x y ，则111,2M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、21,2N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭设直线MN ：x ty n =+（0t ≠）代入24y x =中得2440y ty n --=124y y t +=，1240y y n =-<∵1111122S x y =+⋅、3221122S x y =+⋅ ∴131********S S x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12121122ty n ty n y y ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22121211422t y y n t y y n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2221144422nt t n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦221242t n n ⎡⎤⎛⎫=++⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦又21211112222S n y y n =+⋅-=+∴()()22222211116164422S n t n n t n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222131114842222S S S nt n t n n n ⎛⎫⎛⎫=⇔=+⇔=+⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴直线MN 恒过1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.10．已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-. （1）判断点()0,1D 是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，点M 到x 轴的距离为d ，点()1,0N ，求MN d -的最大值.【答案】（1）不在，证明见详解；（2【分析】（1）假设直线方程y kx b =+，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算4PA PB ⋅=-，可得1b =-，然后验证可得结果.（2）分别计算线段,PA PB 中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点M 的轨迹方程22y x =，然后可得焦点F ，结合抛物线定义可得18MN d NF -≤+，计算可得结果. 【详解】（1）设直线方程y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y 根据题意可知直线斜率一定存在，()0,3P-则()224430134y kx b x kx b y x =+⎧⎪⇒--+=⎨=-⎪⎩()121243,4x x b x x k =-++=()241648k b ∆=-++()()1122,3,,3PA x y PB x y =+=+则()()121233PA PB x x y y ⋅=+++()12121239PA PB x x y y y y ⋅=++++()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++ ()1212122y y kx b kx b k x x b +=+++=++()()()2212121369PA PB k x x k kb x x b b ⋅=+++++++由4PA PB ⋅=-所以()()()22121213694k x x k kb x x b b +++++++=-将()121243,4x x b x x k =-++=代入上式 化简可得2210b b ++=，所以1b =- 则直线方程为1y kx =-，所以直线过定点()0,1-，()2416480k b ∆=-++>所以可知点()0,1D 不在直线上. （2）设(),M M M x y 线段PA 的中点为113,22x y E -⎛⎫⎪⎝⎭ 线段PB 的中点为223,22x y G -⎛⎫⎪⎝⎭则直线PA 的斜率为113PA y k x +=， 直线PB 的斜率为223PB y k x +=可知线段PA 的中垂线的方程为11113232y x x y x y -⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭由211134y x =-，所以上式化简为2121418x y x x =-+- 即线段PA 的中垂线的方程为2121418x y x x =-+- 同理可得：线段PB 的中垂线的方程为2222418x y x x =-+- 则()22121222222112122141832481832M M x x x x x y x x x x x x x x y x y x ⎧⎧+=-+-⎪=-⎪⎪⎪⇒⎨⎨++-⎪⎪=-+-=⎪⎪⎩⎩由（1）可知：()12124,438x x k x x b +==-+=-所以()12122221212322832M M M M x x x x x x k y k x x x x y ⎧+=-⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=++-⎩⎪=⎪⎩即()2,2M k k，所以点M 轨迹方程为22y x=焦点为10,8F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1188MN d MN MF MN MF ⎛⎫-=--=-+ ⎪⎝⎭当,,M N F 三点共线时，MN d -有最大所以111888MN d MN MF NF -=-+≤+=【点睛】本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处b ，第（2）问中关键在于得到点M 的轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.11．已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-. （1）判断点()0,1D -是否在直线AB 上？说明理由； （2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程. 【答案】（1）点()0,1D -在直线AB 上，理由见解析（2）212x y =【分析】（1）由抛物线的方程可得顶点P 的坐标，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积PA PB ，再由题意4PA PB =-可得直线AB 恒过(0,1)-，即得D 在直线AB 上；（2）设A ，B 的坐标，可得直线PA ，PB 的斜率及线段PA ，PB 的中点坐标，进而求出线段PA ，PB 的中垂线的方程，两个方程联立求出外接圆的圆心M 的坐标，由（1）可得M 的横纵坐标关于参数k 的表达式，消参数可得M 的轨迹方程． 【详解】(1) 点()0,1D -在直线AB 上.理由如下， 由题意, 抛物线21:34C y x =-的顶点为(0,3)P - 因为直线与抛物线有2个交点， 所以设直线AB 的方程为()()1122,,,y kx b A x y B x y =+，联立2134y x y kx b⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得到244(3)0x kx b --+=， 其中21616(3)0k b ∆=++>，12121244(3)4(3)x x k x x b x x b +==-+=-+，所以()21212242y y k x x b k b +=++=+，()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++2224(3)4k b k b b =-+++2212k b =-+因为()()1122,3,,3PA x y PB x y =+=+所以()()121233PA PB x x y y ⋅=+++()12111239x x y y y y =++++()()2224(3)123429b k b k b =-++-++++223b b =+-4=，所以2221(1)0b b b ++=+=，解得1b =-，经检验，满足>0∆，所以直线AB 的方程为1y kx =-，恒过定点()0,1D -.（2）因为点M 是PAB ∆的外接圆的圆心，所以点M 是三角形PAB 三条边的中垂线的交点， 设线段PA 的中点为F ，线段PB 的中点为为E ， 因为(0,3)P -，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y所以1(2x F ，13)2y -，2(2x E ，23)2y -，113PA y k x +=，223PB y k x +=，所以线段PA 的中垂线的方程为：11113()232y x x y x y --=--+， 因为A 在抛物线上，所以211134y x +=， PA 的中垂线的方程为：211143()82x x y x x -+=--，即211418x y x x =-+-，同理可得线段PB 的中垂线的方程为：222418x y x x =-+-， 联立两个方程211222418418x y x x x y x x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩，解得1212221212()3288M x x x x x x x x x y +⎧=-⎪⎪⎨++-⎪=⎪⎩， 由（1）可得124x x k +=，124(3)8x x b =-+=-，所以8432M k x k -⨯=-=，22221212122()288M x x x x x x y k +++===， 即点2(,2)M k k ，所以212M M x y =，即点M 的轨迹方程为：212x y =． 【点睛】本题考查求直线恒过定点的方程及直三角形外接圆的性质，和直线与椭圆的综合应用，属于难题． 12．抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过F 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于,M N 两点，O 为原点，OMN 的面积为2. （1）求拋物线C 的方程.（2）P 为直线()00:0l y y y =<上一个动点，过点P 作拋物线的切线，切点分别为,A B ，过点P 作AB 的垂线，垂足为H ，是否存在实数0y ，使点P 在直线l 上移动时，垂足H 恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出0y 的值，并求定点H 的坐标.【答案】（1）24x y =；（2）存在这样的0y ，当01y =-时，H 坐标为(0,1).【分析】（1）先根据抛物线的性质，结合题中条件，得到||2MN p =，由三角形面积列出方程求出p ，即可得出抛物线方程；（2）先设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，直线AP 的方程为()11y y k x x -=-，根据直线与抛物线相切，得到112x xy y +=，进而推出AB 的方程为002x x y y +=，根据PH AB ⊥，得到PH 方程，由两直线方程，即可求出0y ，确定出结果. 【详解】（1）由题意得，点,M N 的纵坐标均为2p ，由222p x p =⋅，解得x p =±，则||2MN p =， 由2111||||222222CMN p S MN OF p p =⋅⋅=⋅⋅==△，解得2p =， 故抛物线C 的方程为24x y =.（2）假设存在实数0y ，使点P 在直线l 上移动时，垂足H 恒为定点， 设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，直线AP 的方程为()11y y k x x -=-，将抛物线方程变形为24x y =，则2x y '=，所以12x k =， 所以AP 的方程为()1112x y y x x -=-. 因为2114x y =，所以直线AP 的方程为112x x y y +=. 把()00,P x y 代入AP 的方程得10012x x y y +=. 同理可得2002.2x x y y +=构造直线方程为002x xy y +=，易知,A B 两点均在该直线上，所以直线AB 的方程为002x xy y +=.故AB 恒过点()00,y -. 因为PH AB ⊥，所以可设PH 方程为()0002x x x y y -=--，化简得()0022xx y y =--- 所以PH 恒过点()00,2y +.当002y y -=+，即01y =-时，AB 与PH 均恒过(0,1)， 故存在这样的0y ，当01y =-时，H 坐标为(0,1). 【点睛】 关键点点睛：求解本题第二问的关键在于用0y 分别表示出直线AB 和PH 的方程；根据题中条件，先设点的坐标，以及直线AP 的方程，由直线与抛物线相切，得出直线AP 方程，推出AB 的方程，进而确定PH 的方程，即可求解.13．已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ； （Ⅰ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅰ）21y x =-．【分析】设22111,0,,,,,,,,222222a b a b A B b P a Q b R ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒l 的方程为2(x a -+ )0b y ab +=．（Ⅰ）由F 在线段AB 上⇒10ab +=，又122211a b a b abk b k a a ab a a---=====-=+-⇒//AR FQ ；（Ⅰ）设l 与x 轴的交点为()1,0D x ⇒1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=⇒111222a b b a x ---=⇒10x =（舍去），11x =．设满足条件的AB 的中点为(),E x y ．当AB 与x轴不垂直时⇒()211y x a b x =≠+-⇒2a by +=⇒()211y x x =-≠．当AB 与x 轴垂直时⇒E 与D 重合⇒所求轨迹方程为21y x =-．【详解】 由题设1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设12:,:l y a l y b ==，则0ab ≠，且 22111,0,,,,,,,,222222a b a b A B b P a Q b R ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 记过,A B 两点的直线为l ，则l 的方程为()20x a b y ab -++= （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故10ab +=， 记AR 的斜率为1,k FQ 的斜率为2k ，则122211a b a b abk b k a a ab a a---=====-=+-， 所以//AR FQ（Ⅰ）设l 与x 轴的交点为()1,0D x ， 则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=， 由题设可得111222a b b a x ---=，所以10x =（舍去），11x =． 设满足条件的AB 的中点为(),E x y ． 当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =可得()211yx a b x =≠+-． 而2a by +=，所以()211y x x =-≠． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为21y x =-【点睛】本题考查了1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．14．如图，设抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|–1.（Ⅰ）求p 的值；（Ⅰ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M.求M 的横坐标的取值范围.【答案】（Ⅰ）p=2；（Ⅰ）(−∞,0)∪(2，+∞).【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.试题解析：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=–1的距离，由抛物线的定义得p2=1，即p=2.（Ⅰ）由（Ⅰ）得，抛物线的方程为y 2=4x,F(1,0)，可设A(t 2,2t),t ≠0,t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF: x=sy+1，(s ≠0)，由{y 2=4x ，x =sy +1 消去x 得y 2−4sy −4=0，故y 1y 2=−4，所以，B(1t2,−2t ).又直线AB 的斜率为2tt 2−1，故直线FN 的斜率为−t 2−12t .从而得直线FN:y =−t 2−12t(x −1)，直线BN:y =−2t.所以N(t 2+3t 2−1,−2t).设M(m,0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2−m =2t+2t t 2−t 2+3t 2−1，于是m =2t 2t 2−1. 所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是(−∞,0)∪(2,+∞). 【考点】抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.【思路点睛】（Ⅰ）当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y 轴的距离；（Ⅰ）通过联立方程组可得点Β的坐标，进而可得点Ν的坐标，再利用Α，Μ，Ν三点共线可得m用含有t的式子表示，进而可得Μ的横坐标的取值范围.15．如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A 、B ，满足PA 、PB 的中点均在抛物线C 上.（1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）设AB 中点为M ，且(,)P P P x y ，(,)M M M x y ，证明：P M y y =；（3）若P 是曲线2214y x +=（0x <）上的动点，求PAB ∆面积的最小值.【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）直接利用抛物线定义得到答案.（2）设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，根据AP 中点在抛物线上得到2210100280y y y x y -+-=，同理得到12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两不等实根，计算得到答案.（3）设t =，代换得到30121()||2M S x x y y =--=计算得到答案. 【详解】（1）焦点坐标为（1,0），准线方程为x ＝－1，所以，焦点到准线的距离为2.（2）设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，则PA 中点为20011(,)282x y y y ++，由AP 中点在抛物线上可得220101()4()228y y x y +=+，化简得2210100280y y y x y -+-=，显然21y y ≠， 且对2y 也有2220200280y y y x y -+-=，所以12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两不等实根，所以1202y y y +=，1202M P y y y y y +===. （3）121()(||||)2M P M M S x x y y y y =--+-0121()||2M x x y y =--， 由（1）可得1202y y y +=，212008y y x y =-， 2220000012(2)4(8)8(4)0()y x y y x y y ∆=--=->≠，此时00(,)P x y 在半椭圆221(0)4y x x +=<上，∴2220000008(4)8[4(1)4]32(1)y x x x x x ∆=-=--=--，∵010x -≤<，∴>0∆，∴12||||y y a -===， 2222200012121200042(8)()2||888M P y x y y y y y y y x x x x x --++--=-=-=-2006(44)38x x -=-2003(1)x x =--，所以23012001()||2M S x x y y x x =--=--=，t =，所以3S =∈，即PAB ∆的面积的最小值是 【点睛】本题考查了面积的最值问题，证明坐标关系，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.16．设抛物线2:C y x =的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. （1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB ． 【答案】(1)21(42)3y x x =-+(2)见解析 【解析】本试题主要考查了轨迹方程的求解和证明角的相等问题． 解：（1）设切点A ，B 坐标分别为()200,x x 和()211x x ，()10xx ≠，∴切线AP 的方程为：20020x x y x --=；切线BP 的方程为：21120x x y x --=；由于P 既在AP 又在BP 上，所以20021120{20P P P P x x y x x x y x --=--=解得0101{2p p x x x y x x +==，0101(,)2x x P x x + 所以APB 的重心G 的坐标为013pG p x x x x x ++==，()2222010101010143333pp p G y y y x y x x x x x x x x y ++-+-++====， 所以234P G G y y x =-+，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：()23420x y x --+-=，即()21423y x x =-+． （2）方法1：因为20014FA x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，，0101124x x FP x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，21114FB x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，． 由于P 点在抛物线外，则0FP ≠．，同理有，AFP PFB ∴∠=∠．方法2：①当100x x =时，由于10x x ≠，不妨设00x =，则00y =，所以P 点坐标为102x ⎛⎫⎪⎝⎭，，则P 点到直线AF 的距离为：112x d =；而直线BF 的方程：2111144x y x x --=，即211111044x x x y x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭．所以P 点到直线BF 的距离为：1211221142124x x x d x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===+所以12d d =，即得AFP PFB ∠=∠．②当100x x ≠时，直线AF 的方程：()200114040x y x x --=--，即200011044x x x y x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 直线BF 的方程：()211114040x y x x --=--，即211111044x x x y x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 所以P 点到直线AF 的距离为：201001120124124x x x x xd x -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭===+， 同理可得到P 点到直线BF 的距离，因此由12d d =，可得到AFP PFB ∠=∠．17．如下图，设抛物线方程为()220x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）设线段AB 的中点为N ；（Ⅰ）求证：MN 平行于y 轴；（Ⅰ）已知当M 点的坐标为()22p -，时，AB =，求此时抛物线的方程； （Ⅰ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线()220x py p =>上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）（Ⅰ）证明见解析；（Ⅰ）22x y =或24x y =；（Ⅰ）仅存在一点()0,2M p -适合题意.【分析】（Ⅰ）（Ⅰ）设出,,,A B N M 的坐标，利用导数求得切线,MA MB 的方程，结合N 是线段AB 的中点进行化简，得到,M N 两点的横坐标相等，由此证得MN 平行于y 轴.（Ⅰ）利用AB =列方程，解方程求得p ，进而求得抛物线方程.（Ⅰ）设出D 点坐标，由C 点坐标求得线段CD 中点的坐标，由直线AB 的方程和抛物线的方程，求得D 点的坐标，由此进行分类讨论求得M 点的坐标.【详解】（Ⅰ）（Ⅰ）证明：由题意设211,2x A x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12x x <，()33,N x y ，()0,2M x p -．由22x py =得22x y p =，则x y p '=，所以1MA x k p =，2MB x k p =． 因此直线MA 的方程为()102x y p x x p+=-， 直线MB 的方程为()202x y p x x p+=-． 所以()2111022x x p x x p p +=-，①()2222022x x p x x p p+=-．② 由①、②得121202x x x x x +=+-，因此1202x x x +=，即012322x x x x =+=，也即03x x =.所以MN 平行于y 轴． （Ⅰ）解：由（Ⅰ）知，当02x =时，将其代入①、②并整理得：2211440x x p --=，2222440x x p --=，所以1x ，2x 是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又222101221222AB k x x x x x p p x x p p-+===-， 所以2AB k p=．由弦长公式的AB ==又AB =1p =或2p =，因此所求抛物线方程为22x y =或24x y =．（Ⅰ）解：设()44,D x y ，由题意得()1212,C x x y y ++，则CD 的中点坐标为124124,22x x x y y y Q ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设直线AB 的方程为()011x y y x x p-=-，由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭也在直线AB 上， 代入得044x y x p=． 若()44,D x y 在抛物线上，则2440422x py x x ==，因此40x =或402x x =．即()0,0D 或20022,x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）当00x =时，则12020x x x +==，此时，点()0,2M p -适合题意．（2）当00x ≠，对于()0,0D ，此时221202,2x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2212221200224CD x x x x p k x px ++==， 又0AB x k p =，AB CD ⊥，所以22220121220144AB CD x x x x x k k p px p ++⋅=⋅==-， 即222124x x p +=-，矛盾． 对于20022,x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为221202,2x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时直线CD 平行于y 轴， 又00AB x k p=≠， 所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾，所以00x ≠时，不存在符合题意得M 点．综上所述，仅存在一点()0,2M p -适合题意．【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于难题.。
第18讲 阿基米德三角形(解析几何)(解析版)
第18讲阿基米德三角形知识与方法阿基米德（约公元前287年一前212年)，是伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家,并且享有“力学之父”的美称.他在求体积或面积时采用的“平衡法”一档杆原理,被后人命名为“阿基米德方法”.正是由于他对当时数学作出的突出贡献以及对后世数学发展的深邃影响,他又被后人誉为“数学之神”.本节主要探讨的阿基米德三角形指的是圆锥曲线（椭圆、双曲线、拋物线）的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形.阿基米德三角形得名于阿基米德在研究与拋物线有关的面积问题时得出的一个结论:抛物线的弦与拋物线所围成的封闭图形的面积,等于抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二.（结论的证明利用了“平衡法”)该结论的变式叙述可见于《普通高中课程标准实验教科书·数学选修3-1（A版):数学史选讲》(人民教育出版社2007年1月第2版).接下来，我们就去探讨一下阿基米德三角形中蕴藏的一些重要性质:条件：已知抛物线C:x2=2py(p>0),如图所示,D为某一直线l上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B,F为直线AB与y轴的交点,则有以下结论成立:结论1.1直线AB的方程为(x1+x2)x−2py−x1x2=0.证明:设A(x1,y1),则x12=2py1.由于y′=xp ,所以切线DA的斜率为x1p,故切线DA的方程为x1x=p(y+y1)(1)设B(x2,y2),同理可得DB的方程为x2x=p(y+y2)(2) (1)÷(2)化简后,可得y=x1x22p(3)将(3)代入(1),可得x=x1+x22,所以点D的坐标为(x1+x22,x1x22p)故直线AB的方程为(x1+x2)x−2py−x1x2=0说明:特别的,当D为直线y=−p2上的动点时,直线AB的方程为(x1+x2)x−2py+p2=0且该直线过拋物线的焦点F.第二部分中的典例第（1）问考查的就是该性质的具体运用.结论1.2k DF⋅k AB=k DA⋅k DB=x1x2p2证明:由结论1.1的证明可知点F的坐标为(0,−x1x22p)又k DF=2x1x2p(x1+x2),k AB=x1+x22p,k DA=x1p,k DB=x2p,所以结论1.2得证.说明:特别的,当D为直线y=−p2上的动点时，有DF⊥AB,DA⊥DB；且此时△DAB面积的达到最小,其最小值为p2.第三部分中的第2题、第3题考查的均是该条性质及推论的运用,如若我们对上述性质比较熟悉,则审题结束时【答案】或许已了然于心.结论1.3在阿基米德△DAB中,有∠DFA=∠DFB.证明:如图,过点A,B分别作抛物线准线的垂线AA1,BB1,垂足为A1,B1.连接A1D,B1D,DF,AF,BF,A1F,则k A1F =−px1,k AD=x1p.易知,AD⊥A1F.又AA1=AF,所以AD垂直且平分A1F,故A1D=DF,∠DA1A=∠DFA.同理可得B1D=DF,∠DB1B=∠DFB,所以A1D=B1D=DF,∠DA1B1=∠DB1A1.进而∠DA1A=∠DB1B,即∠DFA=∠DFB.说明:第三部分中的第4题的第（2）问恰恰就考查了这一结论.结论1.4DA,AB,DB的斜率成等差数列、A,D,B三点的横坐标成等差数列.证明:结合结论1.2的证明过程以及点D坐标(x1+x22,x1x22p),稍作运算，便可证得该结论.说明:第三部分中的第5题的第（1）问中就涉及到了这一结论.结论1.5线段FA,FD,FB的长度之间的关系为FD2=x12x22p2+p2|x1x2|⋅FA⋅FB−p2.证明:经过简单计算即可得到上述结果.说明:特别的,当D为直线y=−p2上的动点时,有线段FA,FD,FB的长度成等比数列.结论1.6若以E(0,−5x1x22p)为圆心的圆与直线AB相切于点T,则四边形ADBE的面积为|x1−x2|38p −x1x2⋅|x1−x2|p证明:易知DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−x 22,x 1(x 1−x 2)2p ),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 12,x 2(x 2−x 1)2p). 利用面积公式S ΔDAB =12√DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2,可得 S △DAB=12|x 1−x 22⋅x 2(x 2−x 1)2p −x 2−x 12⋅x 1(x 1−x 2)2p |=|x 1−x 2|38p又S △EAB =12|EF|⋅|x 1−x 2|=12(−5x 1x 22p +x 1x 22p )⋅|x 1−x 2|=−x 1x 2⋅|x 1−x 2|p所以S 四边形 ADBE =S Δ+S ΔA =|x 1−x 2|38p−x 1x 2⋅|x 1−x 2|p.说明：当D 为直线y =−p2上的动点,且E (0,5p2)时,则四边形ADBE 的面积为|x 1−x 2|38p+p |x 1−x 2|.结论1.7△DAB 的重心G 满足的方程为4x 2−6py −x 1x 2=0. 证明:过程从略，感兴趣的读者可自行尝试证明.说明:当D 为直线y =−p2上的动点时，△DAB 的重心G 的轨迹方程为4x 2−6py +p 2=0结论1.8 若P 为拋物线弧AB 上一点,拋物线在点P 处的切线与直线..分别交与M,N 两点,则S △DMN :S △PAB =1:2证明:设P (x 3,y 3),则有x M =x 1+x 32,x N =x 2+x 32，所以AM MD =MP PN =DNNB =|x 1−x 3||x 2−x 3|.设AMMD =MP PN=DNNB =a,S △PMD =b ，因为S ΔPMA S ΔPMD=AMMD =a ,所以S ΔPMA =ab同理S △PND =b a ,S ΔPNB =b a 2,所以S △DMN =b (1+1a ). 又S ΔNMD S △BAD=MD⋅DN AD⋅BD=a(a+1)2,所以S ΔBAD =b ⋅(a+1)3a 2.所以S ΔPBA =S ΔDAB −S △DMN −S ΔPAM −S ΔPBN =b ⋅2(a+1)a所以S ΔDMN :S △PAB =1:2.值得注意的是抛物线的性质远也不止这些，上述所列诸条,大多数是在区域模拟考试及高考中经常出现的.众所周知,以阿基米德三角形为背景的直线的定点、三角形的面积、轨迹、最值等相关问题是高考和模拟考考查的热点也是难点.纸上得来终觉浅,接下来我们不妨从多个视角去赏析一道高考题,以进一步体会阿基米德三角形的相关性质.典型例题【例1】已知曲线C:y =12x 2,D 为直线y =−12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A,B . (1)证明：直线AB 过定点;(2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见解析;(2)3或4√2.【分析】分析题目可知,直线AB 是切点所在的直线,只需找到㔹点的共同属性即可.故可采用“设而不求”的思想就将该问题解决. 【解析】解法1：设而不求设D (t,−12),A (x 1,y 1),则x 12=2y 1.由于y ′=x ,所以切线DA 的斜率为x 1,故y 1+12x1−t=x 1即DA 的方程为2tx 1−2y 1+1=0.设B (x 2,y 2),同理可得DB 的方程为2tx 2−2y 2+1=0. 故直线AB 的方程为2tx −2y +1=0,所以直线AB 过定点(0,12).(2)由（1）得直线AB 的方程为y =wx +12.由{y =tx +12y =x 22,可得x 2−2tx −1=0 于是x 1+x 2=2t,x 1x 2=−1,y 1+y 2=t (x 1+x 2)+1=2t 2+1,|AB|=√1+t 2|x 1−x 2|=√1+t 2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2(t 2+1)设d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离,则d 1=√t 2+1,d 2=√t 2+1.因此,四边形ADBE 的面积S =12|AB|(d 1+d 2)=(t 2+3)√t 2+1. 设M 为线段AB 的中点,则M (t,t 2+12).由于EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,而EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,t 2−2),AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量(1,t)平行,所以t +(t 2−2)t =0.解得t =0或t =±1. 当t =0时,S =3;当t =±1时,S =4√2.因此,四边形ADBE 的面积为3或4√2.分析:本题还可从寻找切点A,B 定直线入手，将直线AB 用参数表示，借助海伦秦九韶公式将面积问题解决. 解法2：求切点定直线(1)设D (t,−12),过D 点与C 相切的直线方程设为y +12=k(x −t),切线AD,BD 的斜率分别为k 1,k 2.由{y +12=k(x −t)y =x 22,可得x 2−2kx +2kt +1=0(1) 由Δ=0,可得k 2−2kt −1=0(2)于是k 1+k 2=2t,k 1k 2=−1 将@代入(1),可得A (k 1,k 122),B (k 2,k 222),所以k AB =k 1+k 22=t.故直线AB 的方程为y =k 1+k 22x +12,即直线AB 过定点(0,12).(2)设线段AB 的中点坐标为T (x 0,y 0),则有 x 0=k 1+k 22=t,y 0=k 12+k 224=t 2+12,所以k ET =t 2−2t又k AB ⋅k ET =−1,解得t =0或t =±1 又DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k 1−k 22,k 12+12),DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(k 2−k 12,k 22+12) 利用面积公式S =12√AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ̅̅̅̅)2=12|x 1y 2−x 2y 1|可得 S △DAB=12|k 1−k 22⋅k 22+12−k 2−k 12⋅k 12+12|=18|k 1−k 2|3 同理可得 S △EAB =|k 1−k 2|当t =0时,|k 1−k 2|=2,此时S 冏边形 ADBE =18|k 1−k 2|3+|k 1−k 2|=3 当t =±1时,|k 1−k 2|=2√2,此时S 㐰边形 ADBE =18|k 1−k 2|3+|k 1−k 2|=4√2注:此处给出的这种方法是解决此类问题的通性通法,但注意不要漏掉斜率为0的情形. 解法3:设直线定“待参”设直线AB 的方程设为y =kx +m,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)由{y =kx +my =x 22,可得x 2−2kx −2m =0.于是x 1+x 2=2k,x 1x 2=−2m由于y ′=x ,所以切线DA,BD 的斜率分别为x 1,x 2 所以切线DA,BD 的方程分别为x 1x =y +y 1,x 2x =y +y 2联立可得D 点的纵坐标y D =12x 1x 2=−m ,又D 为直线y =−12上的动点,所以m =12 故直线AB 过定点(0,12) (2)由（1）知x D =y D +y 1x 1=12x 1x 2+12x 12x 1=x 1+x 22=k设线段AB 的中点坐标为T (x 0,y 0),则有x 0=x 1+x 22=k所以TD 垂直于直线y =−12过A,B 分别作直线y =−12的垂线,垂足分别为A 1,B 1,如图所示,所以点D 为A 1B 1的中点.记AB 过的定点为F ,则有AA 1=AF,BB 1=BF 由（1）知k AD ⋅k BD =x 1x 2=−1,所以DA ⊥DB 易得S △DAB =12S 梯形AA 1B 1B =(y 1+12+y 2+12)|x 1−x 2|2=|x 1−x 2|38又S △EAB =12|EF|⋅|x 1−x 2|=12(52−12)⋅|x 1−x 2|=|x 1−x 2| 以下计算同方法二. 解法四：设切点定截距设A (x 1,x 122),B (x 2,x 222),D (m,−12),直线AB:y =kx +b . 联立{y =12x 2y =kx +b⇒x 2−2kx −2b =0,由韦达定理得{x 1+x 2=2kx 1⋅x 2=−2b又y ′=x ,从而直线DA,DB 的方程分别为y =x 1x −12x 12,y =x 2x −12x 22.因为切线过点D (m,−12),所以有{mx 1−12x 12=−12mx 2−12x 22=−12即x 1,x 2为方程x 2−2mx −1=0的两根,即x 1⋅x 2=−1=−2b ⇒b =12,所以直线AB 过定点(0,12).(2)由（1）知,x 1+x 2=2k ,则y 1+y 2=k (x 1+x 2)+1=2k 2+1,所以,AB 的中点T (k,k 2+12). 当k =0时,M (0,12),此时,四边形ADBE 的面积S =3.当k ≠0时,由k TE ⋅k AB =−1得k 2−2k=−1k ,解得k 2=1.所以,|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2(k 2+1)=4. 又点E 到直线AB 的距离d 1=√1+k 2=√2,点D 到直线AB 的距离d 2=√1+k 2=√2所以四边形ADBE 的面积S =12×|AB|×(d 1+d 2)=4√2.综上，四边形ADBE 的面积为3或4√2.强化训练以阿基米德三角形为背景考查的高考题主要还有以下几种类型.（一）轨迹问题1.如图,抛物线C 1:x 2=4y,C 2:x 2=−2py(p >0).点M (x 0,y 0)在拋物线C 2上,过M 作C 1的切线,切点为A,B(M为原点O 时,A,B 重合于O).当x 0=1−√2时,切线MA 的斜率为−12. (1)求p 的值;(2)当M 在C 2上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A,B 重合于O 时,中点为O ).【答案】(1)p =2;(2)见解析 【解析】（1）p =2过程从略; (2)设N(x,y),A (x 1,x 124),B (x 2,x 224),x 1≠x 2由N 为线段AB 中点知x =x 1+x 22(1),所以y =x 12+x 228(2).所以，切线MA,MB 的方程分别为y =x 12(x −x 1)+x 124,(3)y =x 22(x −x 2)+x 224.(4)由(3)(4)得,MA,MB 的交点M (x 0,y 0)的坐标为x 0=x 1+x 22,y 0=x 1x 24.因为点M (x 0,y 0)在C 2上,即x 02=4y 0,所以x 1x 2=−x 12+x 226.(5)由(1)(2)(5)得x 2=43y,x ≠0.当x 1=x 2时,A,B 重合于O 时,中点N 为O ,坐标满足x 2=43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2=43y .2.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F,A,B 是抛物线上的两动点,且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)过A,B 两点分别作扡物线的切线,设其交点为M .(1)证明FM̅̅̅̅̅⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值; (2)设△ABM 的面积为S ,写出S =f(λ)的表达式,并求S 的最小值.【答案】(1)见解析;(2)4.【解析】(1)由已知条件,得F(0,1),λ>0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由AF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0) 即(−x 1,1−y )=λ(x 2,y 2−1),也即{−x 1=λx 2①1−y 1=λ(y 2−1)②将①式两边平方并把x 12=4y 1,x 22=4y 2代入得y 1=λ2y 2③解②、③式得y 1=λ,y 2=1λ,且有x 1x 2=−4, 拋物线方程为y =14x 2,求导得y ′=12x .所以过抛物线上A,B 两点的切线方程分别是y =12x 1(x −x 1)+y 1,y =12x 2(x −x 2)+y 2易得M 的坐标为(x 1+x 22,−1).所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 22,−2)⋅(x 2−x 1,y 2−y 1)=0 (II)由(I )知在△ABM 中,FM ⊥AB ,因而S =12|AB|⋅|FM|.又|FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1+x 22)2+(−2)2=√λ+1λ+2=√λ√λ|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ+1λ+2=(√λ+√λ)2于是S =12|AB|⋅|FM|=12(√λ√λ)3,由√λ+√λ⩾2知S ⩾2,且当λ=1时,S 取得最小值4.3.如图,等边三角形OAB 的边长为8√3,且其三个顶点均在拋物线E:x 2=2py(p >0)上.（1）求抛物线E 的方程;(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ,与直线y =−1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.【答案】(1)x 2=4y ; (2)见解析.【解析】(1)抛物线E 的方程为x 2=4y ,过程略.(2)设P (x 0,y 0),x 0≠0,由y =14x 2,得y ′=12x ,直线l 的方程为y −y 0=12x 0(x −x 0),即y =12x 0x −14x 02.联立20011241y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即200421x x x y ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，所以2004,12x Q x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 设M (0,y 1),所以MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0−y 1),MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 02−42x 0,−1−y 1) 因为MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以x 02−42x 0−y 0−y 0y 1+y 1+y 12=0.又y 0=14x 02(x 0≠0),所以y 1=1 故以PQ 为直径的圆恒过M(0,1).4.如图，设抛物线C:y =x 2的焦点为F ,动点P 在直线l:x −y −2=0上运动,过P 作拋物线C 的两条切线PA,PB ,且与抛物线C 分别相切于A,B 两点. (1)求△APB 的重心G 的轨迹方程; (2)证明∠PFA =∠PFB .【答案】(1)y =13(4x 2−x +2); (2)见解析.【解析】（1）设切点A,B 坐标分别为(x,x 02)和(x 1,x 12)((x 1≠x 0), 所以切线AP 的方程为:2x 0x −y −x 02=0; 切线BP 的方程为:2x 1x −y −x 12=0;解得P 点的坐标为:x P =x 0+x 12,y P =x 0x 1所以△APB 的重心G 的坐标为x G =x 0+x 1+x P3=x P ,y G =y 0+y 1+y P 3=x 02+x 12+x 0x 13=(x 0+x 1)2−x 0x 13=4x P2−y p 3所以y p =−3y G +4x G 2,由点P 在直线l 上运动.从而得到重心G 的轨迹方程为: x −(−3y +4x 2)−2=0,y =13(4x 2−x +2).(2)因为FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,x 02−14),FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+x 12,x 0x 1−14),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,x 12−14). 由于P 点在拋物线外,则|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |≠0.所以cos∠AFP =FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |FP⃗⃗⃗⃗⃗ ||FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 0+x 12⋅x +(x x −14)(x 2−14)|FP ̅̅̅̅|√x 02+(x 02−14)2=x 0x 1+14|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |同理有cos∠BFP =FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |FP⃗⃗⃗⃗⃗ ||FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 0+x 12⋅x +(x x −14)(x 2−14)|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |√x 12+(x 12−14)2=x 0x 1+14|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |所以∠PFA =∠PFB .5.如图,设抛物线方程为 x 2=2py(p >0),M 为直线y =−2p 上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A,B .(1)求证：A,M,B 三点的横坐标成等差数列;(2)已知当M 点的坐标为(2,−2p)时，|AB|=4√10,求此时抛物线的方程;(3)是否存在点M ,使得点C 关于直线AB 的对称点D 在拋物线x 2=2py(p >0)上，其中点C 满足 OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ （O 为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】（1）证明：由题意设A (x 1,x 122p ),B (x 2,x 222p),x 1<x 2,M (x 0,−2p ). 由x 2=2py 得y =x 22p,得y ′=xp,所以k MA =x 1p,k MB =x 2p.因此直线MA 的方程为y +2p =x 1p(x −x 0),直线MB 的方程为y +2p =x 2p(x −x 0).所以x 122p+2p =x 1p(x 1−x 0),(1)x 222p+2p =x 2p(x 2−x 0).(2)由(1)、(2)得x 1+x 22=x 1+x 2−x 0,因此x 0=x 1+x 22,即2x 0=x 1+x 2.所以A,M,B 三点的横坐标成等差数列.(2) 由（1）知,当x 0=2时,将其代入(1)、(2)并整理得:x 12−4x 1−4p 2=0,x 22−4x 2−4p 2=0所以x 1,x 2是方程x 2−4x −4p 2=0的两根，因此x 1+x 2=4,x 1x 2=−4p 2, 又k AB =x 222p −x 122p x2−x 1=x 1+x 22p=x 0p,所以k AB =2p由弦长公式得|AB|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+4p2√16+16p2.又|AB|=4√10,所以p=1或p=2,因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.(3)设D(x3,y3),由题意得C(x1+x2,y1+y2),则CD的中点坐标为Q(x1+x2+x32,y1+y2+y32).设直线AB的方程为y−y1=x0p(x−x1),由点Q在直线AB上,并注意到点(x1+x22,y1+y22)也在直线AB上，代入得y3=x0px3.若D(x3,y3)在拋物线上,则x32=2py3=2x0x3.因此x3=0或x3=2x0.即D(0,0)或D(2x0,2x02p).(1)当x0=0时,则x1+x2=2x0=0,此时,点M(0,−2p)适合题意.(2)当x0≠0,对于D(0,0), 此时C(2x0,x12+x222p ),k CD=x12+x222p2x0=x12+x224px0,又k AB=x0p,AB⊥CD所以k AB⋅k CD=x0p ⋅x12+x224px0=x12+x224p2=−1,即x12+x22=−4p2,矛盾.对于D(2x0,2x02p ),因为C(2x0,x12+x222p),此时直线CD平行于y轴,又k AB=x0p≠0,所以直线AB与直线CD不垂直,与题设矛盾,所以x0≠0时,不存在符合题意的M点.综上所述,仅存在一点M(0,−2p)适合题意.。
专题一 阿基米德三角形的性质讲课教案
专题一阿基米德三角形的性质阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的。
阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。
性质1阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。
性质2阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为。
性质3抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。
性质4若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。
性质5底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。
性质6若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。
性质7在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。
性质8在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB 于S、T△，则QST的垂心在上。
性质9|AF|·|BF|=|QF|2.性质10Q M的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB。
性质11在性质8中，连接AI、BI△，则ABI的面积是△QST面积的倍。
高考题中的阿基米德三角形例1（2005江西卷，理22题）如图，设抛物线C:y=x2的焦点为F，动点P在直线l:x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线P A、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1△）求APB的重心G的轨迹方程.AFyBxl（2）证明∠PFA=∠PFB.O P解：（1）设切点A、B坐标分别为(x,x2)和(x,x2)((x x)，01110∴切线AP的方程为：2x x-y-x2=0;00切线BP的方程为：2x x-y-x2=0;113 = 3 = 3 =3 , （2）方法 1：因为 FA = (x , x 2 - 1), FP = ( x 0 + x 1 , x x - 1), FB = (x , x 2 - 1).r r 0 1 1 1 uuur uuurFP ×FA uuur uuur =uuur 4 , 1 | FP || FA | | FP |uuur uuurFP ×FB uuur uuur = uuur4 , 1 uuur | FP | x 2 + (x 2 - )22 , 0) ，则 P点到直线 AF 的距离为： d = | x 1 | ; 而直线BF 的方程 : y - 1 =1 =x 2 4 1 1 2 = | x 1 | ②当 x x ¹ 0 时，直线 AF 的方程： y - 1 =0 4 (x - 0), 即(x 2 - 1)x - x y + 1 x = 0,4x - 0 4 4 0解得 P 点的坐标为： x = x 0 + x1 , y = x xP 2P 0 1所以△APB 的重心 G 的坐标为 ，y = y 0 + y 1 + y P Gx 2 + x 2 + x x 0 1 0 1 (x + x )2 - x x 0 1 0 1 4x P 2 - y p所以 y = - 3y + 4x 2 ，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为：pGGx - (- 3y + 4x 2 ) - 2 = 0,即y = 1 3(4x 2 - x + 2).uuur uuu uuu 0 0 4 2 4 4 uuur由于 P 点在抛物线外，则 | FP |¹ 0.∴ cos ? A FPx + x 1 1 1 0 1 ?x (x x - )( x 2 - ) x x +0 0 1 0 0 1 uuur| FP | x 2+ (x 2 - )20 0 4同理有 cos ? BFP∴∠AFP =∠PFB.x + x 1 1 1 0 1 ?x (x x - )( x 2 - ) x x +1 0 1 1 0 1| FP || FB | | FP |1 1 4方法 2：①当 x x = 0时,由于x ? x , 不妨设x1 010,则y = 0, 所以 P 点坐标为 ( 0x1即 (x 2- 1)x - x y + 1x = 0.1 4 4 1x 2-112 4 x114 x,所以 P 点到直线 BF 的距离为： d = 2 1 x x | (x 2 - ) 1 + 1 | (x 2 + 1 4 2 4 1 1 (x 2 - )2 + (x )21 1 | x | ) 14 1 2+ 4所以 d 1=d 2，即得∠AFP =∠PFB.1 x2 - 1 0直线 BF 的方程： y - 1 = 1 4 (x - 0), 即(x 2 - 1)x - x y + 1 x = 0, 1 1 4 = | x 0 - x 1 | 4 2 4 0 = 1 x 2 + 4 40 0 x - x 同理可得到 P 点到直线 BF 的距离 d = | x 1 - x 0 | ，因此由 d 1=d 2，可得到∠AFP =∠⎩1－y1＝λ(y2－1) ② 1 x 2 -4 x - 0 4 4 11所以 P 点到直线 AF 的距离为：d = 1| (x 2 - 0 1 x + x 1 1 )( 0 1 ) - x 2x + x | | 0 1 )( x 2 + )(x 2 - )2 + x 20 1 2 0 0 1 2 ，22PFB例 2 (2006 全国卷Ⅱ，理 21 题)已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F ，A 、B 是抛物线上的→ →两动点，且AF ＝λFB （λ＞0）．过 A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ ．→ →（Ⅰ）证明FM·AB 为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为 S ，写出 S ＝f(λ)的表达式，并求 S 的最小值．解：(Ⅰ)由已知条件，得 F(0，1)，λ＞0．→ →设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．由AF ＝λFB ，即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，⎧－x1＝λx2 ①⎨1 1将①式两边平方并把 y1＝4x12，y2＝4x22 代入得y1＝λ2y2 ③ 1解②、③式得 y1＝λ，y2＝λ，且有 x1x2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4，1 1抛物线方程为 y ＝4x2，求导得 y ′＝2x ．所以过抛物线上 A 、B 两点的切线方程分别是x1＋x21 1 1uuur uuur1 1y ＝2x1(x －x1)＋y1，y ＝2x2(x －x2)＋y2，1 1 1 1即 y ＝2x1x －4x12，y ＝2x2x －4x22．x1＋x2 x1x2 x1＋x2解出两条切线的交点 M 的坐标为( 2 ， 4 )＝( 2 ，－1)． ……4 分→ → 所以FM·AB ＝( 2 ，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝2(x22－x12)－2(4x22－4x12)＝0→ →所以FM·AB 为定值，其值为 0．……7 分1(Ⅱ)由(Ⅰ△)知在 ABM 中，FM ⊥AB ，因而 S ＝2|AB||FM|．|FM|＝＝x1＋x2( 2 )2＋(－2)2＝1y1＋y2＋2×(－4)＋4 ＝1 1 14x12＋4x22＋2x1x2＋41 1λ＋λ＋2＝ λ＋ λ．因为|AF|、|BF|分别等于 A 、B 到抛物线准线 y ＝－1 的距离，所以1 1|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋λ＋2＝( λ＋ λ)2．1 1于是 S ＝2|AB||FM|＝( λ＋ λ)3，1由 λ＋ λ≥2 知 S ≥4，且当 λ＝1 时，S 取得最小值 4．例 3（2007 江苏卷，理 19 题）如图，在平面直角坐标系 xOy中，过 y 轴正方向上一点C (0,c) 任作一直线，与抛物线 y = x 2 相交于 AB 两点，一条垂直于 x 轴的直线，分别与线段 AB 和直线 l : y = - c 交于 P ,Q ，（1）若OA ?OB 2 ，求 c 的值；（5 分）（2）若 P 为线段 AB 的中点，求证：Q A 为此抛物线的切线；（5 分）(x , y ), B (x , y )，OA ur = (x , y )，OB ur = (x , y )，因为OA ur ?OB ur uu 骣c y = 2x x - 2x 2 + y = 2x x - x 2，它与 y = - c 的交点为 M çç 1 - ç桫2 2x ,- c ÷，又 P ççç 1 ÷÷骣k k 2 ÷÷，所以 Q ççç , - c ÷ c ÷÷÷，因为 x x = - c ,所以 - x ç ç çç2 k ç2 1 2M ççç 1 + 2 , - c ÷÷=çç ,- c ÷÷÷,所以点 M 和点 Q 重合，也就是 QA 为此抛物线的切线。
阿基米德三角形的性质及应用——2021年高考全国乙卷理科压轴题背景探究
阿基米德三角形的性质及应用——2021年高考全国乙卷理科
压轴题背景探究
阿基米德三角形是一种具有特殊性质的三角形，它由阿基米德提出，在几何学中有着广泛的应用。
阿基米德三角形的性质有：
1、阿基米德三角形的三个内角相等，每个内角等于
$60^{\circ}$；
2、阿基米德三角形的三条边满足勾股定理，即两边之和大于
第三边；
3、阿基米德三角形的三条边满足比例关系，即两边之比等于
第三边。
阿基米德三角形的应用：
1、在建筑学中，阿基米德三角形用来构建桥梁、楼梯、屋顶
等建筑物；
2、在航海学中，阿基米德三角形用来测定船只在海上的位置；
3、在机械学中，阿基米德三角形用来设计齿轮系统、传动系
统等；
4、在几何学中，阿基米德三角形用来推导许多几何定理，如勾股定理、三角形内角和定理等。
高考中的阿基米德三角形-阿基米德三角形
数学高考中的阿基米德三角形例（2018年全国Ⅲ卷理16）已知点(1,1)M -和抛物线2:4=C y x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点．若090∠=AMB ，则k = ． 解法分析思路1: 利用待定系数法，根据条件090∠=AMB ，建立k 的方程. 解法1：抛物线的焦点为(1,0)F ，设直线AB 的方程为(1)=-y k x .由24,(1)，⎧=⎨=-⎩y x y k x 可得2440ky y k --=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则124y y k+=，12y y 4=-. 所以 12122422y y x x k k ++=+=+，()21212116y y x x ==.∵11(1,1)MA x y =+-，22(1,1)MB x y =+-，90AMB ∠=︒, ∴MA MB ⋅=1212(1)(1)(1)(1)0x x y y +++--=， 整理可得 12121212()()20x x x x y y y y +++-++=， ∴24412420k k++--+=，即2440k k -+=，∴2k =． 思路2：利用点差法，得到k 的表达式，再结合抛物线的几何性质解决.解法2：设1122(,),(,)A x y B x y ，则211224,4,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以2212124()y y x x -=-，∴12122212121244--===--+y y y y k y y x x y y . 取AB 的中点00(,)N x y ，分别过,A B 作准线1x =-的垂线，垂足分别为,A B ''， ∵90AMB ∠=︒，所以11||||(||||)22MN AB AF BF ==+1(||||)2AA BB ''=+，又因为点N 为AB 的中点，所以MN 平行于x 轴， 所以01y =，即122y y +=，所以2k =.解法3：我们先证明两个重要结论，然后利用结论秒杀此题.结论1：过抛物线22=y px 的焦点F 任作一条弦AB ，抛物线在点,A B 处的两条切线相交于点M ，则M 在22=y px 的准线上 ，且⊥MA MB ，⊥MF AB ，称∆MAB 为阿基米德三角形.证明：设直线AB 的方程为2=+p x my . 由22,,2⎧=⎪⎨=+⎪⎩y px px my 可得2220y pmy p --=.显然0∆> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122y y pm +=，212y y p =-.抛物线在,A B 两点的切线方程分别为()11y y p x x =+，()22y y p x x =+.解之得1212,2,2⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩y y x p y y y 由此求得两切线的交点坐标12(,)22+-y y P M所以M 在22=y px 的准线上.22212121⋅=⋅==--AM BMp p p p k k y y y y p,∴⊥MA MB(,)=-MF p pm ，2121(,)=--AB x x y y()()()21212121022p p MF AB p x x pm y y p my my pm y y ⎛⎫⋅=---=+----= ⎪⎝⎭∴⊥MF AB .结论2 若M 在22=y px 的准线上，且⊥MA MB ，则,MA MB 是抛物线的两条切线证明：过B A ,分别作抛物线的两条切线,设它们交于点M ',由结论1知，M '在22=y px 的准线上，且B M A M '⊥'，由抛物线的焦点弦的性质知，2=-px 是以AB 为直径的圆的切线，又M 在2=-px 上，且⊥MA MB ，则可得'M 与M 重合. 所以,MA MB 是抛物线的两条切线.对于本题而言，利用结论2.∆MAB 为阿基米德三角形， (1,1)M -,(1,0)F ,∴12=-MF k 由⊥MF AB ，可得2=k一、主要概念及性质1、定义：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。
(优选)阿基米德三角形在高考中的应用ppt讲解
A
B.平行 D.无 法 判断
O
x
P
M
B
练 习 2： ( 07.江 苏) 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐标
系xoy中，过y轴正方向上一点C(，0 c)
任作一直线，与抛物线y x2相交于A,B
两 点 ， 一 条 垂 直 于 x 轴的 直 线 ， 分 别 与 线
段AB和直线l: y -c交于点P,Q .
（优选）阿基米德三角形在高 考中的应用ppt讲解
回顾：过抛物线x2=2py(p>0)上的点
P(x0，y0)处的切线方程？x0x p( y0 y)
y
思考：
F
方 程x0 x
p( y0
y)还 O x 0x =p(y0+y)
可以表示什么直线？
图1
P(x 0,y0) x
结论：过抛物线x2=2py(p>0)外一点P(x0，
y
B F
O
x
P
结论：直线AB的方程为 x0x p(y0 y) ． 探究1：若弦AB过抛物线x2 2 y内一定点
(1,3),则阿基米德三角形的顶点P(x0, y0 ) 的轨 迹是 否为 一条 定直线？y
探究2：若 弦 A B 过 抛
物 线 x2 2py内 一 定
(1,3) B x0x=p(y0+y)
（1)若P为线段AB 的 中 点 ， 求 证 ：Q A
A
y
CP
B
为此抛物线的切线；
O
x
（2）试问（1）的逆命题
是否成立？说明理由。
M Q(M)
探性究质44：：在阿基米德三角形
|AFBAP，|则|F| BPF||与2 ||FPAF| ||F2B的| 关系？
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x02
(x02
1)2 4
x1
x1
(x0
x1
1 )( 4
x12
1 4
)
| FP|
x0
x1
1 4
,
| FP || FB |
| FP |
x12
( x1 2
1)2 4
| FP |
∴∠AFP=∠PFB.
推论：在阿基米德三角形ABP， 若弦AB过抛物线焦点F，则
PF AB
y
F
B
A
O
x
P
练习 3：(06.全国)已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，
2 x0
x1 , x0 2 1),
4
x1). FP
(
∴
x0 x1 2
,
x0
x1
1),FB 4
( x1 ,
x12
1). 4
∴c osAFP
FP FA
x0
2
x1
x0
(x0 x1
1 4
)(x0
2
1) 4
x0 x1
1 4
| FP|| FA|
同理可得：
cosBFP FP FB
x0
2
| FP|
M。 则 直 线 PM与 x轴的 位 置 关 系 ( B )
A.相交 y
C.垂直
A
B.平行 D.无 法 判断
O
x
P
M
B
练 习 2： ( 07.江 苏) 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐标
系xoy中，过y轴正方向上一点C(，0 c)
任作一直线，与抛物线y x2相交于A,B
两 点 ， 一 条 垂 直 于 x 轴的 直 线 ， 分 别 与 线
xnsn 4(n 1)
(1)试证：xnsn 4（n 1）;
(2)取xn 2n,并记Cn为抛物线上分别 以A n B n为切点的两条切线的交点。试证： |F C1||F C2| |F Cn | 2n 2n1 1
x2 4y上
性质4：在阿基米
德三角形ABP，
F(0,1)
则| FCn |2 | FAn | | FBn |
的 轨 迹 是 否 为 一 条 定 直线 ？图2
性质1：若阿基米德三角形ABP 的边AB即弦AB过抛物线内定点C， 则另一顶点P的轨迹为一条直线。
y C B
A
F
x
O
P
探究3：若抛物线x2 2 py上的阿
基米德三角形的顶点P在定直线
y x 1(与x2 2py无公共点),
则弦AB是否过定点？
y
段AB和直线l: y -c交于点P,Q .
（1)若P为线段AB 的 中 点 ， 求 证 ：Q A
A
y
CP
B
为此抛物线的切线；
O
x
（2）试问（1）的逆命题
是否成立？说明理由。
M Q(M)
探性究质44：：在阿基米德三角形
|AFBAP，|则|F| BPF||与2 ||FPAF| ||F2B的| 关系？
Bn(sn,tn ).
An(xn, yn )
性质5：如图：在阿基米德三
角形ABP，若F为抛物线焦点，
则 PFA PFB
A(
x1
,
x12 2p
)
A
y
p F (0, 2 )
B O
B
B(x2 ,
x22 2p
)(
x1
x2 )
x
P ( x1 x2 , x1x2 ) 2 2p
高考链接：( 0 5 . 江 西 ） 如 图 ，抛 物 线 C ：
高考题中的阿基米德三角形
回顾：过抛物线x2=2py(p>0)上的点
P(x0，y0)处的切线方程？x0x p( y0 y)
y
思考：
F
方 程x0 x
p( y0
y)还 O x 0x =p(y0+y)
可以表示什么直线？
图1
P(x 0,y0) x
结论：过抛物线x2=2py(p>0)外一点P(x0，
y0)，分别作抛物线的切线PA、PB，A、B 分别是切点，则直线AB的方程
A(
x1
,
x12 2p
)
(0, p ) y 2F
A
x2 2 py
B
B(x2 ,
x22 2p
)(
x1
x2 )
B
O
x
P ( x1 x2 , x1x2 ) 2 2p
例 2： ( 06.重 庆 .22)
如图.对每个正整数,nAn(xn, yn )是抛物
线x2 4y上的点，过焦点的F 直线FAn
交抛物线与另一点Bn(sn, tn ).
(1,3),则阿基米德三角形的顶点P(x0, y0 ) 的轨 迹是 否为 一条 定直线？y
探究2：若 弦 A B 过 抛
物 线 x2 2py内 一 定
(1,3) B x0x=p(y0+y)
AF
点(a0,b,c)),则 阿 基 米 德 三 角 形 的 顶 点 P(x0, y0 )
O
x
P (x 0,y0)
y x2 的焦点为F，动点P在直线l:
x - y - 2 0上运动，过P作抛物线C
的两条切线PA、PB，且与抛物线C
分别相切于A、B两点.
y
证明:∠PFA = ∠PFBA.
F
B
O
x
P
分析： 设切点 A(x, x02 ), B(x1, x12 )(( x1 x0 )
则P( FA (
x0 x0 ,
x2 4y上
(1)试证：
xnsn 4（n 1）;
An(xn, yn )
Bn(sn,tn ).
证明：（Ⅰ）对任意固定的 n 1,
因为焦点F（0,1）,所以可设直线 AnBn
的方程为 y 1 knx,
由
y knx x2 4y
1 ,
得 x2 4knx 4 0
由一元二次方程根与系数的关系得
为 x0x p( y0 y)．
y
AF
B x 0x =p(y0+y)
O
x
P (x 0,y0)
由的两抛条物切线线的所弦围与阿三成过基角的弦米形三的德角端形点.
阿基米德是 A 伟大数学家与力 学家,并享有“数 学之神”的称号。
y
B F
O
x
P
结论：直线AB的方程为 x0x p(y0 y) ． 探究1：若弦AB过抛物线x2 2 y内一定点
A、B两点 .求 证：A,M,B三点 的横坐 标
成等差数列.
思考：把M改 A 成抛物线外任 意一点，结论 仍然成立吗？
yN
O
-2p
M
B
x
性质3：如图, ABP是阿基米德
三角形，N为抛物线弦AB中点，
则直线PN平行于抛物线的对称
轴.
y N
F
x2 2 py
B
A
O
x
P
练 习 1.动 点 P是 圆x( 4)2 y2 9上 任 意 一 点 ， 过 点 P作 抛物 线 y2 4x的 两 条 切 线 ， 切 点 为 AB,,弦 AB的 中 点 为
AF
B x 0x =p(y0+y)
O
x
P (x 0,y0)
性质2：若直线l与抛物线没有源自公共点，以l上的点为顶点的
阿基米德三角形ABP的底边AB
过定点。
y
C
B
A
F
x
O
P
例 1： (08.山 东如) 图 ， 抛 物 线 x2 2py
(p 0),M为直 线l: y 2p上任 意一点 ，
过M引抛 物线的 两条切线，切点 分别为