高考题中的阿基米德三角形教材
高考数学复习微难点12 抛物线中的阿基米德三角形
两条切线，切点分别为 A，B.
(1) 求证：直线 AB 过定点；
【解答】 设 Dt，－12，A(x1，y1)，则 x21＝2y1.由于 y′＝x，所以切线 DA 的斜率为 x1，故yx11＋－12t ＝x1，整理得 2 tx1－2 y1＋1＝0.设 B(x2，y2)，同理可得 2tx2－2 y2＋1＝0.故直
设抛物线 C：x2＝2py(p>0)的焦点为 F，过 F 且垂直于 y 轴的直线交抛物线 C 于 M，N 两点，O 为原点，△OMN 的面积为 2.
(1) 求拋物线 C 的方程； 【解答】 由题意得，点 M，N 的纵坐标均为p2，由 x2＝2p·p2，解得 x＝±p，则|MN| ＝2p，由 S△CMN＝12·|MN|·|OF|＝12·2p·p2＝12p2＝2，解得 p＝2，故抛物线 C 的方程为 x2＝ 4y.
主题三 几何与代数 第八章 解析几何
微难点12 抛物线中的阿基米德三角形
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米 德三角形．
过弦的端点分别作切线 已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)，直线 l 交 C 于 A，B 两点，且 A，B 两点与原 点不重合，点 M(1,2)为线段 AB 的中点． (1) 若直线 l 的斜率为 1，求抛物线 C 的方程；
1. 若 AB 过焦点，则 AB 的端点的两条切线的交点 Q 在其准线上； 2. 阿基米德三角形底边上的中线平行于坐标轴，即 xQ＝xM； 3. AB 过抛物线的焦点； 4. AQ⊥BQ； 5. 阿基米德三角形面积的最小值为 p2.
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(2) 分别过 A，B 两点作抛物线 C 的切线，若两条切线交于点 S，求证：点 S 在一 条定直线上．
2024版高考数学一轮复习专题基础练专题八平面解析几何视野拓展4蒙日圆及阿基米德三角形的应用作业课件
应用专练
3.
2 2
[2023江苏苏州部分学校联考]已知双曲线C: 4 -2 =1(b>0),若直线l:x+y+2=0上存在一点P满足:过点P能向双曲线
C引两条互相垂直的切线,则双曲线C的离心率的取值范围是
.
答案
6
3.(1, 2 ] 通解
应用专练
秒杀解
由蒙日圆的定义可得点P在圆x2+y2=4上,又点P在圆M:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0)上,所以两圆有公共点,
所以|2-r|≤ (3−0) 2 +(4−0) 2 ≤2+r,解得3≤r≤7,故选B.
应用专练
2.
2 2
5
[2022江苏南京模拟]已知椭圆C: +2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为 5 ,其蒙日圆方程为x2+y2=
1
12 1
1 12
,所以y'=2,则抛物线在点A处的切线斜率为 2 ,在点A处的切线方程为y- 4 = 2 (x-x1),即y= 2 x- 4 ,
4
因为x2=4y,即y=
2
(技巧点拨:因为抛物线方程为x2=4y,即y=
2
4
,所以想到利用导数的几何意义求切线方程)
2 22
同理得抛物线在点B处的切线方程为y= x- ,
视野拓展4
蒙日圆及阿基米德三角形的应用
知识延展
发散思维，培素养
知识延展
1.蒙日圆
如图(以椭圆为例),椭圆的两条切线互相垂直,则两条切线的交点位于以椭圆的中心为圆心的圆上,称该圆为蒙日圆,
第11讲 阿基米德三角形问题(解析版)
第11讲 阿基米德三角形问题1．设定点F (0，1)，动点E 满足：以EF 为直径的圆与x 轴相切.（1）求动点E 的轨迹C 的方程；（2）设A ，B 是曲线C 上的两点，若曲线C 在A ，B 处的切线互相垂直，求证：A ，F ，B 三点共线.【答案】（1）x 2＝4y ；（2）证明见解析.【分析】（1）设E 点坐标为(x ，y )，由E 到x 轴的距离等于2EF 即可求解. （2）设A ，B 两点的坐标分别为2111(,)4x x ，2221(,)4x x ，利用导数求出曲线在A ，B 处切线的斜率，从而可得x 2＝－14x ，再求出AB 的斜率，证出 k AF ＝k AB ，即证. 【详解】（1）设E 点坐标为(x ，y )，则EF 中点为圆心，设为E ，则E 点坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭. ∴E 到x 轴的距离等于||2EF ， 即12y +x 2＝4y . ∴点E 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .（2）证明：由（1）知，曲线C 是以F 为焦点的抛物线，其方程可化为y ＝14x 2， 设A ，B 两点的坐标分别为2111(,)4x x ，2221(,)4x x ， ∵曲线方程为y ＝14x 2，∴y ′＝12x ， ∴曲线在A ，B 处切线的斜率分别为k 1＝12x 1，k 2＝12x 2， ∵k 1k 2＝－1，∴12x 1·12x 2＝－1，∴x 2＝－14x ， ∴A ，B 两点连线的斜率为k AB ＝()()22212112111114444x x x x x x x x -⎛⎫=+=-+ ⎪-⎝⎭＝－11x ＋14x 1， A ，F 两点连线的斜率为k AF ＝2111140x x --＝－11x ＋14x 1＝k AB ， ∴A ，B ，F 三点共线.【点睛】关键点点睛：本题考查了三点共线，可以证明直线的斜率相等，解题的关键是根据A ，B 两点的坐标求出x 2＝－14x ，考查了计算求解能力.2．如图，已知抛物线的焦点为F过点的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N ．（Ⅰ）求的值；（Ⅰ）记直线MN的斜率为，直线AB的斜率为证明：为定值【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2(m≠0)，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y1y2；（Ⅰ）设M(x M，y M)，N(x N，y N)，设直线AF：y=y1x1−1(x−1)与y2=4x联立，得y14y2+(1−x1)y−y1=0,由韦达定理得，y1y M=−4⇒y M=−4y1，同理，y N=−4y2，进而可得的比值，化简即可求出结果为定制．试题解析：证明：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2(m≠0)．将其代入，消去x，整理得y2−4my−8=0．从而y1y2=−8．（Ⅰ）AF：y=y1x1−1(x−1)与y2=4x联立，得y14y2+(1−x1)y−y1=0由韦达定理得，y1y M=−4⇒y M=−4y1，同理，y N=−4y2k1 k2=4y M+y N4y1+y2=y1+y2y M+y N=−y1y24=2（定值）．考点：1．抛物线的简单性质；2．直线与抛物线的性质．3．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0），直线l 交C 于A ，B 两点，且A ，B 两点与原点不重合，点M （1，2）为线段AB 的中点．（1）若直线l 的斜率为1，求抛物线C 的方程；（2）分别过A ，B 两点作抛物线C 的切线，若两条切线交于点S ，证明点S 在一条定直线上．【答案】（1）x 2＝2y （2）证明见解析【分析】（1）设直线l 的方程为y x t =+，代入抛物线方程，消去y ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，运用韦达定理，以及中点坐标公式，可得p ，即可得到所求抛物线方程；（2）求得22x y p=的导数，可得抛物线在A ，B 处的切线的斜率，由点斜式方程和点A ，B 满足抛物线方程，可得在A ，B 处的切线方程，联立两切线方程，相加，结合中点坐标公式，即可得到所求点S 所在的定直线方程．【详解】解：（1）设直线l 的方程为y x t =+，代入抛物线2:2(0)C x py p =>， 可得2220x px pt --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x p +=，点(1,2)M 为线段AB 的中点，可得22p =，即1p =，则抛物线的方程为22x y =；（2）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，点(1,2)M 为线段AB 的中点，可得122x x +=，124y y +=， 由22x y p=的导数为x y p '=，可得抛物线在A 处的切线斜率为1x p ，切线方程为111()x y y x x p -=-， 由2112x py =，可得11()x x p y y =+，①同理可得22()x x p y y =+，②①+②可得1212()(2)x x x p y y y +=++，即为2(24)x p y =+，即20x py p --=．可得交点S 在一条定直线20x py p --=上．【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题．4．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0），F 为抛物线C 的焦点．以F 为圆心，p 为半径作圆，与抛物线C 在第一象限交点的横坐标为2．（1）求抛物线C 的方程；（2）直线y ＝kx +1与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，设切线l 1，l 2的交点为P ，求证：△P AB 为直角三角形．【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得M 点的坐标为(2,)2p ，代入抛物线方程，即可求出p 的值； （2）设221212(,),(,)44x x A x B x ，利用导数的几何意义得到A ，B 两点处的切线斜率分别为1112k x =，2212k x =，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到k 1k 2＝﹣1，从而得到△P AB 为直角三角形．【详解】（1）记抛物线C 与圆F 在第一象限的交点为M ，由圆F 与抛物线C 的准线相切，且M 到抛物线C 准线的距离等于圆F 的半径p ，所以M 点的坐标为(2,)2p ，代入抛物线方程得：24(0)p p =>， 所以2p =，所以抛物线的方程为24x y =.（2）设221212(,),(,)44x x A x B x ， 由24x y =，可得y 214x =，则12y x '=， 所以A ，B 两点处的切线斜率分别为1112k x =，2212k x =， 由214y kx x y =+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-，所以1212114k k x x ==-， 所以PA PB ⊥，即PAB ∆为直角三角形．【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．5．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线分别交抛物线于,A B 两点．（1）若以AB 为直径的圆的方程为()()222316x y -+-=，求抛物线C 的标准方程；（2）过点,A B 分别作抛物线的切线12,l l ，证明：12,l l 的交点在定直线上．【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析.【分析】（1）根据抛物线的定义可求圆心到准线的距离为4，从而可求抛物线的方程．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，利用导数求出,A B 两点处的切线方程，从而可求12,l l 的交点的坐标，再联立直线和抛物线的方程可得212x x p =-，从而可得12,l l 的交点的纵坐标为定值，故12,l l 的交点在定直线上． 【详解】（1）设AB 中点为M ，A 到准线的距离为1d ，B 到准线的距离为2d ，M 到准线的距离为d ，则()2,3M 且322=M p p d y =++. 由抛物线的定义可知，12,d AF d BF ==，所以128d d AB +==， 由梯形中位线可得1242d d d +==，所以342p +=，可得2p =，所以抛物线C 的标准方程为24x y =. （2）证明：设()()1122,,,A x y B x y ，由22x py =，得22x y p=，则x y p '=， 所以直线1l 的方程为()111x y y x x p-=-，直线2l 的方程为()222x y y x x p -=-， 联立得()()111222x y y x x p x y y x x p ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得121222x x x x x y p +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线12,l l 的交点坐标为1212,22x x x x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 因为AB 过焦点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题可知直线AB 的斜率存在，故可设直线AB 方程为2p y kx -=， 代入抛物线22x py =中，得2220x pkx p --=，所以212x x p =-，故1222x x p p =-，所以12,l l 的交点在定直线2p y =-上．6．已知动点Q 在x 轴上方，且到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1.（1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,1P 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 分别异于原点O ，在曲线C 的A ，B 两点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 交于点M ，求证：M 在定直线上.【答案】（1）24x y =()0y ≠；（2）证明见解析【分析】（1）设(,)Q x y (0)y >，由到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大11y =，化简可得点Q 的轨迹C 的方程；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得12x x +，12x x 的值，又24x y =，所以2x y '=，可得切线1l 的方程，同理可得切线2l 的方程，求出交点坐标，可得其在定直线上.【详解】解：（1）设(,)Q x y (0)y >，1y =，化简得24x y =()0y ≠，故轨迹C 的方程为24x y =()0y ≠.（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立得24440x kx k -+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，1244x x k =-， 又24x y =，所以2x y '=， 所以切线1l 的方程为()1112x y x x y =-+，即21124x x y x =-， 同理切线2l 的方程为22224x x y x =- 联立得1222x x x k +==，1214x x y k ==-. 两式消去k 得220x y --=， 当1k =时，2x =，0y =，所以交点M 的轨迹为直线220x y --=，去掉()2,0点.因而交点M 在定直线上.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的综合计算能力，属于难题.7．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0和抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)，圆心C 到抛物线焦点F ． （1）求抛物线E 的方程；（2）不过原点的动直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，且满足OA ⊥OB ．①求证直线l 过定点；②设点M 为圆C 上任意一动点，求当动点M 到直线l 的距离最大时直线l 的方程．【答案】（1）y 2＝12x ；（2）①证明见解析；②13x －y －156＝0．【分析】(1) 根据题意圆心到抛物线焦点距离，利用两点之间距离公式计算可得结果（2）设直线方程()0x my t t =+≠，联立抛物线，结合条件求得两根之和与两根之积，解得12,x my =+得到定点，再得出点到线距离最大时的直线方程【详解】(1)圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0，可得圆心C (－1，1)，半径r ＝1，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点(,0)2p F ，准线方程为2p x =，圆心C 到抛物线焦点F =解得p ＝6，即抛物线方程为y 2＝12x . (2)①证明：设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则212+y x x my t⎧=⎨=⎩ 整理得：y 2－12my －12t ＝0，所以y 1＋y 2＝12m ，y 1y 2＝－12t ．由于OA ⊥OB ．则x 1x 2＋y 1y 2＝0．即(m 2＋1)y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝0．整理得t 2－12t ＝0，由于t ≠0，解得t ＝12．故直线的方程为x ＝my ＋12，直线经过定点P (12，0)．②当CP ⊥l 且动点M 经过PC 的延长线时，动点M 到动直线l 的距离取得最大值．113MP CP k k ==-， 则113m =-． 此时直线l 的方程为：11213x y =+， 即13x －y －156＝0．【点睛】 本题在解答直线与抛物线位置关系时需设出直线方程，这里给出x my t =+形式的直线方程，方便计算，根据题目意思解得直线恒过定点，再结合题意，求得当与直线垂直时的直线方程即可.8．已知抛物线24x y =的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且(0)AF FB λλ=>，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为P .（1）若直线PA 与x ，y 轴分别交于点M ，N ，且MON △的面积为12，求||AF 的值； （2）记ABP △的面积为S ，求S 的最小值，并指出S 最小时对应的点P 的坐标. 【答案】(1)2;(2)APBS 有最小值4，此时(0,1)P -.【分析】（1）先求出以点A 为切点的抛物线的切线PA 方程，得出11,02M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()12410,N x -利用面积求出A 点的纵坐标，然后求出AF ．（2）先分别写出直线PA ，PB 方程，利用都过点P 写出直线AB ，代入抛物线方程利用弦长公式求出AB ，及点()0,1P x -到直线AB 的距离，写出APB S 表达式及最值．【详解】（1）设()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，则120x x ≠，抛物线方程写成214y x =，12y x '=，则以点A 为切点的抛物线的切线PA 的方程为：()1111:2PA l y y x x x -=-，又21114y x =，即21111:24PA l y x x x =-，11,02M x ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，()12410,N x -，12MONS OM ON ∴=⋅ 23111111122416x x x =⨯⨯-=，故31116x 12=，∴12x =，211114y x ==，从而11122pAF y =+=+=. （2）由（1）知21111:24PA l y x x x =-，即：1112y x x y =-，同理221:2PB l y x x y =-，由直线PA ，PB 都过点()00,P x y ，即001100221212y x x y y x x y⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则点()11,A x y ，()22,B x y 的坐标都满足方程0012x x y y -=，即直线AB 的方程为：0012x x y y -=，又由直线AB 过点()0,1F ，∴01y =-， 联立021124x x y x y⎧-=-⎪⎨⎪=⎩得20240x x x --=，12AB x ∴=-124x x ==，点()0,1P x -到直线AB的距离d =，12APBSAB d ∴=⋅==13244APBS∴=，当且仅当时00x =，APB S 有最小值4，此时()0,1P -.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9．已知以动点P 为圆心的P 与直线l ：12x =-相切，与定圆F ：221(1)4x y -+=相外切. （Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅰ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点M 、N （MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为1M 、1N ，直线l 交x 轴于点A ，记1AMM ∆、AMN ∆、1ANN ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ，且22134S S S =，证明：直线MN 过定点.【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅰ）详见解析. 【分析】（Ⅰ）根据题意，点P 到直线1x =-的距离与到(1,0)F 的距离相等，由抛物线的定义可得解； （Ⅰ）设111,2M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、21,2N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，用坐标表示1S 、2S 、3S ，利用韦达定理，代入即得解. 【详解】（Ⅰ）设(,)P x y ，P 半径为R ，则12R x =+，1||2PF R =+，所以点P 到直线1x =-的距离与到(1,0)F 的距离相等，故点P 的轨迹方程C 为24y x =.（Ⅰ）设()11,M x y ，()22,N x y ，则111,2M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、21,2N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭设直线MN ：x ty n =+（0t ≠）代入24y x =中得2440y ty n --=124y y t +=，1240y y n =-<∵1111122S x y =+⋅、3221122S x y =+⋅ ∴131********S S x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12121122ty n ty n y y ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22121211422t y y n t y y n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2221144422nt t n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦221242t n n ⎡⎤⎛⎫=++⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦又21211112222S n y y n =+⋅-=+∴()()22222211116164422S n t n n t n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222131114842222S S S nt n t n n n ⎛⎫⎛⎫=⇔=+⇔=+⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴直线MN 恒过1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.10．已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-. （1）判断点()0,1D 是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，点M 到x 轴的距离为d ，点()1,0N ，求MN d -的最大值.【答案】（1）不在，证明见详解；（2【分析】（1）假设直线方程y kx b =+，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算4PA PB ⋅=-，可得1b =-，然后验证可得结果.（2）分别计算线段,PA PB 中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点M 的轨迹方程22y x =，然后可得焦点F ，结合抛物线定义可得18MN d NF -≤+，计算可得结果. 【详解】（1）设直线方程y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y 根据题意可知直线斜率一定存在，()0,3P-则()224430134y kx b x kx b y x =+⎧⎪⇒--+=⎨=-⎪⎩()121243,4x x b x x k =-++=()241648k b ∆=-++()()1122,3,,3PA x y PB x y =+=+则()()121233PA PB x x y y ⋅=+++()12121239PA PB x x y y y y ⋅=++++()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++ ()1212122y y kx b kx b k x x b +=+++=++()()()2212121369PA PB k x x k kb x x b b ⋅=+++++++由4PA PB ⋅=-所以()()()22121213694k x x k kb x x b b +++++++=-将()121243,4x x b x x k =-++=代入上式 化简可得2210b b ++=，所以1b =- 则直线方程为1y kx =-，所以直线过定点()0,1-，()2416480k b ∆=-++>所以可知点()0,1D 不在直线上. （2）设(),M M M x y 线段PA 的中点为113,22x y E -⎛⎫⎪⎝⎭ 线段PB 的中点为223,22x y G -⎛⎫⎪⎝⎭则直线PA 的斜率为113PA y k x +=， 直线PB 的斜率为223PB y k x +=可知线段PA 的中垂线的方程为11113232y x x y x y -⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭由211134y x =-，所以上式化简为2121418x y x x =-+- 即线段PA 的中垂线的方程为2121418x y x x =-+- 同理可得：线段PB 的中垂线的方程为2222418x y x x =-+- 则()22121222222112122141832481832M M x x x x x y x x x x x x x x y x y x ⎧⎧+=-+-⎪=-⎪⎪⎪⇒⎨⎨++-⎪⎪=-+-=⎪⎪⎩⎩由（1）可知：()12124,438x x k x x b +==-+=-所以()12122221212322832M M M M x x x x x x k y k x x x x y ⎧+=-⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=++-⎩⎪=⎪⎩即()2,2M k k，所以点M 轨迹方程为22y x=焦点为10,8F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1188MN d MN MF MN MF ⎛⎫-=--=-+ ⎪⎝⎭当,,M N F 三点共线时，MN d -有最大所以111888MN d MN MF NF -=-+≤+=【点睛】本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处b ，第（2）问中关键在于得到点M 的轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.11．已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-. （1）判断点()0,1D -是否在直线AB 上？说明理由； （2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程. 【答案】（1）点()0,1D -在直线AB 上，理由见解析（2）212x y =【分析】（1）由抛物线的方程可得顶点P 的坐标，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积PA PB ，再由题意4PA PB =-可得直线AB 恒过(0,1)-，即得D 在直线AB 上；（2）设A ，B 的坐标，可得直线PA ，PB 的斜率及线段PA ，PB 的中点坐标，进而求出线段PA ，PB 的中垂线的方程，两个方程联立求出外接圆的圆心M 的坐标，由（1）可得M 的横纵坐标关于参数k 的表达式，消参数可得M 的轨迹方程． 【详解】(1) 点()0,1D -在直线AB 上.理由如下， 由题意, 抛物线21:34C y x =-的顶点为(0,3)P - 因为直线与抛物线有2个交点， 所以设直线AB 的方程为()()1122,,,y kx b A x y B x y =+，联立2134y x y kx b⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得到244(3)0x kx b --+=， 其中21616(3)0k b ∆=++>，12121244(3)4(3)x x k x x b x x b +==-+=-+，所以()21212242y y k x x b k b +=++=+，()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++2224(3)4k b k b b =-+++2212k b =-+因为()()1122,3,,3PA x y PB x y =+=+所以()()121233PA PB x x y y ⋅=+++()12111239x x y y y y =++++()()2224(3)123429b k b k b =-++-++++223b b =+-4=，所以2221(1)0b b b ++=+=，解得1b =-，经检验，满足>0∆，所以直线AB 的方程为1y kx =-，恒过定点()0,1D -.（2）因为点M 是PAB ∆的外接圆的圆心，所以点M 是三角形PAB 三条边的中垂线的交点， 设线段PA 的中点为F ，线段PB 的中点为为E ， 因为(0,3)P -，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y所以1(2x F ，13)2y -，2(2x E ，23)2y -，113PA y k x +=，223PB y k x +=，所以线段PA 的中垂线的方程为：11113()232y x x y x y --=--+， 因为A 在抛物线上，所以211134y x +=， PA 的中垂线的方程为：211143()82x x y x x -+=--，即211418x y x x =-+-，同理可得线段PB 的中垂线的方程为：222418x y x x =-+-， 联立两个方程211222418418x y x x x y x x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩，解得1212221212()3288M x x x x x x x x x y +⎧=-⎪⎪⎨++-⎪=⎪⎩， 由（1）可得124x x k +=，124(3)8x x b =-+=-，所以8432M k x k -⨯=-=，22221212122()288M x x x x x x y k +++===， 即点2(,2)M k k ，所以212M M x y =，即点M 的轨迹方程为：212x y =． 【点睛】本题考查求直线恒过定点的方程及直三角形外接圆的性质，和直线与椭圆的综合应用，属于难题． 12．抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过F 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于,M N 两点，O 为原点，OMN 的面积为2. （1）求拋物线C 的方程.（2）P 为直线()00:0l y y y =<上一个动点，过点P 作拋物线的切线，切点分别为,A B ，过点P 作AB 的垂线，垂足为H ，是否存在实数0y ，使点P 在直线l 上移动时，垂足H 恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出0y 的值，并求定点H 的坐标.【答案】（1）24x y =；（2）存在这样的0y ，当01y =-时，H 坐标为(0,1).【分析】（1）先根据抛物线的性质，结合题中条件，得到||2MN p =，由三角形面积列出方程求出p ，即可得出抛物线方程；（2）先设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，直线AP 的方程为()11y y k x x -=-，根据直线与抛物线相切，得到112x xy y +=，进而推出AB 的方程为002x x y y +=，根据PH AB ⊥，得到PH 方程，由两直线方程，即可求出0y ，确定出结果. 【详解】（1）由题意得，点,M N 的纵坐标均为2p ，由222p x p =⋅，解得x p =±，则||2MN p =， 由2111||||222222CMN p S MN OF p p =⋅⋅=⋅⋅==△，解得2p =， 故抛物线C 的方程为24x y =.（2）假设存在实数0y ，使点P 在直线l 上移动时，垂足H 恒为定点， 设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，直线AP 的方程为()11y y k x x -=-，将抛物线方程变形为24x y =，则2x y '=，所以12x k =， 所以AP 的方程为()1112x y y x x -=-. 因为2114x y =，所以直线AP 的方程为112x x y y +=. 把()00,P x y 代入AP 的方程得10012x x y y +=. 同理可得2002.2x x y y +=构造直线方程为002x xy y +=，易知,A B 两点均在该直线上，所以直线AB 的方程为002x xy y +=.故AB 恒过点()00,y -. 因为PH AB ⊥，所以可设PH 方程为()0002x x x y y -=--，化简得()0022xx y y =--- 所以PH 恒过点()00,2y +.当002y y -=+，即01y =-时，AB 与PH 均恒过(0,1)， 故存在这样的0y ，当01y =-时，H 坐标为(0,1). 【点睛】 关键点点睛：求解本题第二问的关键在于用0y 分别表示出直线AB 和PH 的方程；根据题中条件，先设点的坐标，以及直线AP 的方程，由直线与抛物线相切，得出直线AP 方程，推出AB 的方程，进而确定PH 的方程，即可求解.13．已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ； （Ⅰ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅰ）21y x =-．【分析】设22111,0,,,,,,,,222222a b a b A B b P a Q b R ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒l 的方程为2(x a -+ )0b y ab +=．（Ⅰ）由F 在线段AB 上⇒10ab +=，又122211a b a b abk b k a a ab a a---=====-=+-⇒//AR FQ ；（Ⅰ）设l 与x 轴的交点为()1,0D x ⇒1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=⇒111222a b b a x ---=⇒10x =（舍去），11x =．设满足条件的AB 的中点为(),E x y ．当AB 与x轴不垂直时⇒()211y x a b x =≠+-⇒2a by +=⇒()211y x x =-≠．当AB 与x 轴垂直时⇒E 与D 重合⇒所求轨迹方程为21y x =-．【详解】 由题设1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设12:,:l y a l y b ==，则0ab ≠，且 22111,0,,,,,,,,222222a b a b A B b P a Q b R ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 记过,A B 两点的直线为l ，则l 的方程为()20x a b y ab -++= （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故10ab +=， 记AR 的斜率为1,k FQ 的斜率为2k ，则122211a b a b abk b k a a ab a a---=====-=+-， 所以//AR FQ（Ⅰ）设l 与x 轴的交点为()1,0D x ， 则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=， 由题设可得111222a b b a x ---=，所以10x =（舍去），11x =． 设满足条件的AB 的中点为(),E x y ． 当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =可得()211yx a b x =≠+-． 而2a by +=，所以()211y x x =-≠． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为21y x =-【点睛】本题考查了1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．14．如图，设抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|–1.（Ⅰ）求p 的值；（Ⅰ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M.求M 的横坐标的取值范围.【答案】（Ⅰ）p=2；（Ⅰ）(−∞,0)∪(2，+∞).【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.试题解析：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=–1的距离，由抛物线的定义得p2=1，即p=2.（Ⅰ）由（Ⅰ）得，抛物线的方程为y 2=4x,F(1,0)，可设A(t 2,2t),t ≠0,t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF: x=sy+1，(s ≠0)，由{y 2=4x ，x =sy +1 消去x 得y 2−4sy −4=0，故y 1y 2=−4，所以，B(1t2,−2t ).又直线AB 的斜率为2tt 2−1，故直线FN 的斜率为−t 2−12t .从而得直线FN:y =−t 2−12t(x −1)，直线BN:y =−2t.所以N(t 2+3t 2−1,−2t).设M(m,0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2−m =2t+2t t 2−t 2+3t 2−1，于是m =2t 2t 2−1. 所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是(−∞,0)∪(2,+∞). 【考点】抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.【思路点睛】（Ⅰ）当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y 轴的距离；（Ⅰ）通过联立方程组可得点Β的坐标，进而可得点Ν的坐标，再利用Α，Μ，Ν三点共线可得m用含有t的式子表示，进而可得Μ的横坐标的取值范围.15．如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A 、B ，满足PA 、PB 的中点均在抛物线C 上.（1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）设AB 中点为M ，且(,)P P P x y ，(,)M M M x y ，证明：P M y y =；（3）若P 是曲线2214y x +=（0x <）上的动点，求PAB ∆面积的最小值.【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）直接利用抛物线定义得到答案.（2）设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，根据AP 中点在抛物线上得到2210100280y y y x y -+-=，同理得到12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两不等实根，计算得到答案.（3）设t =，代换得到30121()||2M S x x y y =--=计算得到答案. 【详解】（1）焦点坐标为（1,0），准线方程为x ＝－1，所以，焦点到准线的距离为2.（2）设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，则PA 中点为20011(,)282x y y y ++，由AP 中点在抛物线上可得220101()4()228y y x y +=+，化简得2210100280y y y x y -+-=，显然21y y ≠， 且对2y 也有2220200280y y y x y -+-=，所以12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两不等实根，所以1202y y y +=，1202M P y y y y y +===. （3）121()(||||)2M P M M S x x y y y y =--+-0121()||2M x x y y =--， 由（1）可得1202y y y +=，212008y y x y =-， 2220000012(2)4(8)8(4)0()y x y y x y y ∆=--=->≠，此时00(,)P x y 在半椭圆221(0)4y x x +=<上，∴2220000008(4)8[4(1)4]32(1)y x x x x x ∆=-=--=--，∵010x -≤<，∴>0∆，∴12||||y y a -===， 2222200012121200042(8)()2||888M P y x y y y y y y y x x x x x --++--=-=-=-2006(44)38x x -=-2003(1)x x =--，所以23012001()||2M S x x y y x x =--=--=，t =，所以3S =∈，即PAB ∆的面积的最小值是 【点睛】本题考查了面积的最值问题，证明坐标关系，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.16．设抛物线2:C y x =的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. （1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB ． 【答案】(1)21(42)3y x x =-+(2)见解析 【解析】本试题主要考查了轨迹方程的求解和证明角的相等问题． 解：（1）设切点A ，B 坐标分别为()200,x x 和()211x x ，()10xx ≠，∴切线AP 的方程为：20020x x y x --=；切线BP 的方程为：21120x x y x --=；由于P 既在AP 又在BP 上，所以20021120{20P P P P x x y x x x y x --=--=解得0101{2p p x x x y x x +==，0101(,)2x x P x x + 所以APB 的重心G 的坐标为013pG p x x x x x ++==，()2222010101010143333pp p G y y y x y x x x x x x x x y ++-+-++====， 所以234P G G y y x =-+，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：()23420x y x --+-=，即()21423y x x =-+． （2）方法1：因为20014FA x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，，0101124x x FP x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，21114FB x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，． 由于P 点在抛物线外，则0FP ≠．，同理有，AFP PFB ∴∠=∠．方法2：①当100x x =时，由于10x x ≠，不妨设00x =，则00y =，所以P 点坐标为102x ⎛⎫⎪⎝⎭，，则P 点到直线AF 的距离为：112x d =；而直线BF 的方程：2111144x y x x --=，即211111044x x x y x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭．所以P 点到直线BF 的距离为：1211221142124x x x d x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===+所以12d d =，即得AFP PFB ∠=∠．②当100x x ≠时，直线AF 的方程：()200114040x y x x --=--，即200011044x x x y x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 直线BF 的方程：()211114040x y x x --=--，即211111044x x x y x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 所以P 点到直线AF 的距离为：201001120124124x x x x xd x -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭===+， 同理可得到P 点到直线BF 的距离，因此由12d d =，可得到AFP PFB ∠=∠．17．如下图，设抛物线方程为()220x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）设线段AB 的中点为N ；（Ⅰ）求证：MN 平行于y 轴；（Ⅰ）已知当M 点的坐标为()22p -，时，AB =，求此时抛物线的方程； （Ⅰ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线()220x py p =>上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）（Ⅰ）证明见解析；（Ⅰ）22x y =或24x y =；（Ⅰ）仅存在一点()0,2M p -适合题意.【分析】（Ⅰ）（Ⅰ）设出,,,A B N M 的坐标，利用导数求得切线,MA MB 的方程，结合N 是线段AB 的中点进行化简，得到,M N 两点的横坐标相等，由此证得MN 平行于y 轴.（Ⅰ）利用AB =列方程，解方程求得p ，进而求得抛物线方程.（Ⅰ）设出D 点坐标，由C 点坐标求得线段CD 中点的坐标，由直线AB 的方程和抛物线的方程，求得D 点的坐标，由此进行分类讨论求得M 点的坐标.【详解】（Ⅰ）（Ⅰ）证明：由题意设211,2x A x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12x x <，()33,N x y ，()0,2M x p -．由22x py =得22x y p =，则x y p '=，所以1MA x k p =，2MB x k p =． 因此直线MA 的方程为()102x y p x x p+=-， 直线MB 的方程为()202x y p x x p+=-． 所以()2111022x x p x x p p +=-，①()2222022x x p x x p p+=-．② 由①、②得121202x x x x x +=+-，因此1202x x x +=，即012322x x x x =+=，也即03x x =.所以MN 平行于y 轴． （Ⅰ）解：由（Ⅰ）知，当02x =时，将其代入①、②并整理得：2211440x x p --=，2222440x x p --=，所以1x ，2x 是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又222101221222AB k x x x x x p p x x p p-+===-， 所以2AB k p=．由弦长公式的AB ==又AB =1p =或2p =，因此所求抛物线方程为22x y =或24x y =．（Ⅰ）解：设()44,D x y ，由题意得()1212,C x x y y ++，则CD 的中点坐标为124124,22x x x y y y Q ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设直线AB 的方程为()011x y y x x p-=-，由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭也在直线AB 上， 代入得044x y x p=． 若()44,D x y 在抛物线上，则2440422x py x x ==，因此40x =或402x x =．即()0,0D 或20022,x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）当00x =时，则12020x x x +==，此时，点()0,2M p -适合题意．（2）当00x ≠，对于()0,0D ，此时221202,2x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2212221200224CD x x x x p k x px ++==， 又0AB x k p =，AB CD ⊥，所以22220121220144AB CD x x x x x k k p px p ++⋅=⋅==-， 即222124x x p +=-，矛盾． 对于20022,x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为221202,2x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时直线CD 平行于y 轴， 又00AB x k p=≠， 所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾，所以00x ≠时，不存在符合题意得M 点．综上所述，仅存在一点()0,2M p -适合题意．【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于难题.。
第18讲 阿基米德三角形(解析几何)(解析版)
第18讲阿基米德三角形知识与方法阿基米德（约公元前287年一前212年)，是伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家,并且享有“力学之父”的美称.他在求体积或面积时采用的“平衡法”一档杆原理,被后人命名为“阿基米德方法”.正是由于他对当时数学作出的突出贡献以及对后世数学发展的深邃影响,他又被后人誉为“数学之神”.本节主要探讨的阿基米德三角形指的是圆锥曲线（椭圆、双曲线、拋物线）的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形.阿基米德三角形得名于阿基米德在研究与拋物线有关的面积问题时得出的一个结论:抛物线的弦与拋物线所围成的封闭图形的面积,等于抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二.（结论的证明利用了“平衡法”)该结论的变式叙述可见于《普通高中课程标准实验教科书·数学选修3-1（A版):数学史选讲》(人民教育出版社2007年1月第2版).接下来，我们就去探讨一下阿基米德三角形中蕴藏的一些重要性质:条件：已知抛物线C:x2=2py(p>0),如图所示,D为某一直线l上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B,F为直线AB与y轴的交点,则有以下结论成立:结论1.1直线AB的方程为(x1+x2)x−2py−x1x2=0.证明:设A(x1,y1),则x12=2py1.由于y′=xp ,所以切线DA的斜率为x1p,故切线DA的方程为x1x=p(y+y1)(1)设B(x2,y2),同理可得DB的方程为x2x=p(y+y2)(2) (1)÷(2)化简后,可得y=x1x22p(3)将(3)代入(1),可得x=x1+x22,所以点D的坐标为(x1+x22,x1x22p)故直线AB的方程为(x1+x2)x−2py−x1x2=0说明:特别的,当D为直线y=−p2上的动点时,直线AB的方程为(x1+x2)x−2py+p2=0且该直线过拋物线的焦点F.第二部分中的典例第（1）问考查的就是该性质的具体运用.结论1.2k DF⋅k AB=k DA⋅k DB=x1x2p2证明:由结论1.1的证明可知点F的坐标为(0,−x1x22p)又k DF=2x1x2p(x1+x2),k AB=x1+x22p,k DA=x1p,k DB=x2p,所以结论1.2得证.说明:特别的,当D为直线y=−p2上的动点时，有DF⊥AB,DA⊥DB；且此时△DAB面积的达到最小,其最小值为p2.第三部分中的第2题、第3题考查的均是该条性质及推论的运用,如若我们对上述性质比较熟悉,则审题结束时【答案】或许已了然于心.结论1.3在阿基米德△DAB中,有∠DFA=∠DFB.证明:如图,过点A,B分别作抛物线准线的垂线AA1,BB1,垂足为A1,B1.连接A1D,B1D,DF,AF,BF,A1F,则k A1F =−px1,k AD=x1p.易知,AD⊥A1F.又AA1=AF,所以AD垂直且平分A1F,故A1D=DF,∠DA1A=∠DFA.同理可得B1D=DF,∠DB1B=∠DFB,所以A1D=B1D=DF,∠DA1B1=∠DB1A1.进而∠DA1A=∠DB1B,即∠DFA=∠DFB.说明:第三部分中的第4题的第（2）问恰恰就考查了这一结论.结论1.4DA,AB,DB的斜率成等差数列、A,D,B三点的横坐标成等差数列.证明:结合结论1.2的证明过程以及点D坐标(x1+x22,x1x22p),稍作运算，便可证得该结论.说明:第三部分中的第5题的第（1）问中就涉及到了这一结论.结论1.5线段FA,FD,FB的长度之间的关系为FD2=x12x22p2+p2|x1x2|⋅FA⋅FB−p2.证明:经过简单计算即可得到上述结果.说明:特别的,当D为直线y=−p2上的动点时,有线段FA,FD,FB的长度成等比数列.结论1.6若以E(0,−5x1x22p)为圆心的圆与直线AB相切于点T,则四边形ADBE的面积为|x1−x2|38p −x1x2⋅|x1−x2|p证明:易知DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−x 22,x 1(x 1−x 2)2p ),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 12,x 2(x 2−x 1)2p). 利用面积公式S ΔDAB =12√DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2,可得 S △DAB=12|x 1−x 22⋅x 2(x 2−x 1)2p −x 2−x 12⋅x 1(x 1−x 2)2p |=|x 1−x 2|38p又S △EAB =12|EF|⋅|x 1−x 2|=12(−5x 1x 22p +x 1x 22p )⋅|x 1−x 2|=−x 1x 2⋅|x 1−x 2|p所以S 四边形 ADBE =S Δ+S ΔA =|x 1−x 2|38p−x 1x 2⋅|x 1−x 2|p.说明：当D 为直线y =−p2上的动点,且E (0,5p2)时,则四边形ADBE 的面积为|x 1−x 2|38p+p |x 1−x 2|.结论1.7△DAB 的重心G 满足的方程为4x 2−6py −x 1x 2=0. 证明:过程从略，感兴趣的读者可自行尝试证明.说明:当D 为直线y =−p2上的动点时，△DAB 的重心G 的轨迹方程为4x 2−6py +p 2=0结论1.8 若P 为拋物线弧AB 上一点,拋物线在点P 处的切线与直线..分别交与M,N 两点,则S △DMN :S △PAB =1:2证明:设P (x 3,y 3),则有x M =x 1+x 32,x N =x 2+x 32，所以AM MD =MP PN =DNNB =|x 1−x 3||x 2−x 3|.设AMMD =MP PN=DNNB =a,S △PMD =b ，因为S ΔPMA S ΔPMD=AMMD =a ,所以S ΔPMA =ab同理S △PND =b a ,S ΔPNB =b a 2,所以S △DMN =b (1+1a ). 又S ΔNMD S △BAD=MD⋅DN AD⋅BD=a(a+1)2,所以S ΔBAD =b ⋅(a+1)3a 2.所以S ΔPBA =S ΔDAB −S △DMN −S ΔPAM −S ΔPBN =b ⋅2(a+1)a所以S ΔDMN :S △PAB =1:2.值得注意的是抛物线的性质远也不止这些，上述所列诸条,大多数是在区域模拟考试及高考中经常出现的.众所周知,以阿基米德三角形为背景的直线的定点、三角形的面积、轨迹、最值等相关问题是高考和模拟考考查的热点也是难点.纸上得来终觉浅,接下来我们不妨从多个视角去赏析一道高考题,以进一步体会阿基米德三角形的相关性质.典型例题【例1】已知曲线C:y =12x 2,D 为直线y =−12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A,B . (1)证明：直线AB 过定点;(2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见解析;(2)3或4√2.【分析】分析题目可知,直线AB 是切点所在的直线,只需找到㔹点的共同属性即可.故可采用“设而不求”的思想就将该问题解决. 【解析】解法1：设而不求设D (t,−12),A (x 1,y 1),则x 12=2y 1.由于y ′=x ,所以切线DA 的斜率为x 1,故y 1+12x1−t=x 1即DA 的方程为2tx 1−2y 1+1=0.设B (x 2,y 2),同理可得DB 的方程为2tx 2−2y 2+1=0. 故直线AB 的方程为2tx −2y +1=0,所以直线AB 过定点(0,12).(2)由（1）得直线AB 的方程为y =wx +12.由{y =tx +12y =x 22,可得x 2−2tx −1=0 于是x 1+x 2=2t,x 1x 2=−1,y 1+y 2=t (x 1+x 2)+1=2t 2+1,|AB|=√1+t 2|x 1−x 2|=√1+t 2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2(t 2+1)设d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离,则d 1=√t 2+1,d 2=√t 2+1.因此,四边形ADBE 的面积S =12|AB|(d 1+d 2)=(t 2+3)√t 2+1. 设M 为线段AB 的中点,则M (t,t 2+12).由于EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,而EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,t 2−2),AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量(1,t)平行,所以t +(t 2−2)t =0.解得t =0或t =±1. 当t =0时,S =3;当t =±1时,S =4√2.因此,四边形ADBE 的面积为3或4√2.分析:本题还可从寻找切点A,B 定直线入手，将直线AB 用参数表示，借助海伦秦九韶公式将面积问题解决. 解法2：求切点定直线(1)设D (t,−12),过D 点与C 相切的直线方程设为y +12=k(x −t),切线AD,BD 的斜率分别为k 1,k 2.由{y +12=k(x −t)y =x 22,可得x 2−2kx +2kt +1=0(1) 由Δ=0,可得k 2−2kt −1=0(2)于是k 1+k 2=2t,k 1k 2=−1 将@代入(1),可得A (k 1,k 122),B (k 2,k 222),所以k AB =k 1+k 22=t.故直线AB 的方程为y =k 1+k 22x +12,即直线AB 过定点(0,12).(2)设线段AB 的中点坐标为T (x 0,y 0),则有 x 0=k 1+k 22=t,y 0=k 12+k 224=t 2+12,所以k ET =t 2−2t又k AB ⋅k ET =−1,解得t =0或t =±1 又DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k 1−k 22,k 12+12),DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(k 2−k 12,k 22+12) 利用面积公式S =12√AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ̅̅̅̅)2=12|x 1y 2−x 2y 1|可得 S △DAB=12|k 1−k 22⋅k 22+12−k 2−k 12⋅k 12+12|=18|k 1−k 2|3 同理可得 S △EAB =|k 1−k 2|当t =0时,|k 1−k 2|=2,此时S 冏边形 ADBE =18|k 1−k 2|3+|k 1−k 2|=3 当t =±1时,|k 1−k 2|=2√2,此时S 㐰边形 ADBE =18|k 1−k 2|3+|k 1−k 2|=4√2注:此处给出的这种方法是解决此类问题的通性通法,但注意不要漏掉斜率为0的情形. 解法3:设直线定“待参”设直线AB 的方程设为y =kx +m,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)由{y =kx +my =x 22,可得x 2−2kx −2m =0.于是x 1+x 2=2k,x 1x 2=−2m由于y ′=x ,所以切线DA,BD 的斜率分别为x 1,x 2 所以切线DA,BD 的方程分别为x 1x =y +y 1,x 2x =y +y 2联立可得D 点的纵坐标y D =12x 1x 2=−m ,又D 为直线y =−12上的动点,所以m =12 故直线AB 过定点(0,12) (2)由（1）知x D =y D +y 1x 1=12x 1x 2+12x 12x 1=x 1+x 22=k设线段AB 的中点坐标为T (x 0,y 0),则有x 0=x 1+x 22=k所以TD 垂直于直线y =−12过A,B 分别作直线y =−12的垂线,垂足分别为A 1,B 1,如图所示,所以点D 为A 1B 1的中点.记AB 过的定点为F ,则有AA 1=AF,BB 1=BF 由（1）知k AD ⋅k BD =x 1x 2=−1,所以DA ⊥DB 易得S △DAB =12S 梯形AA 1B 1B =(y 1+12+y 2+12)|x 1−x 2|2=|x 1−x 2|38又S △EAB =12|EF|⋅|x 1−x 2|=12(52−12)⋅|x 1−x 2|=|x 1−x 2| 以下计算同方法二. 解法四：设切点定截距设A (x 1,x 122),B (x 2,x 222),D (m,−12),直线AB:y =kx +b . 联立{y =12x 2y =kx +b⇒x 2−2kx −2b =0,由韦达定理得{x 1+x 2=2kx 1⋅x 2=−2b又y ′=x ,从而直线DA,DB 的方程分别为y =x 1x −12x 12,y =x 2x −12x 22.因为切线过点D (m,−12),所以有{mx 1−12x 12=−12mx 2−12x 22=−12即x 1,x 2为方程x 2−2mx −1=0的两根,即x 1⋅x 2=−1=−2b ⇒b =12,所以直线AB 过定点(0,12).(2)由（1）知,x 1+x 2=2k ,则y 1+y 2=k (x 1+x 2)+1=2k 2+1,所以,AB 的中点T (k,k 2+12). 当k =0时,M (0,12),此时,四边形ADBE 的面积S =3.当k ≠0时,由k TE ⋅k AB =−1得k 2−2k=−1k ,解得k 2=1.所以,|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2(k 2+1)=4. 又点E 到直线AB 的距离d 1=√1+k 2=√2,点D 到直线AB 的距离d 2=√1+k 2=√2所以四边形ADBE 的面积S =12×|AB|×(d 1+d 2)=4√2.综上，四边形ADBE 的面积为3或4√2.强化训练以阿基米德三角形为背景考查的高考题主要还有以下几种类型.（一）轨迹问题1.如图,抛物线C 1:x 2=4y,C 2:x 2=−2py(p >0).点M (x 0,y 0)在拋物线C 2上,过M 作C 1的切线,切点为A,B(M为原点O 时,A,B 重合于O).当x 0=1−√2时,切线MA 的斜率为−12. (1)求p 的值;(2)当M 在C 2上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A,B 重合于O 时,中点为O ).【答案】(1)p =2;(2)见解析 【解析】（1）p =2过程从略; (2)设N(x,y),A (x 1,x 124),B (x 2,x 224),x 1≠x 2由N 为线段AB 中点知x =x 1+x 22(1),所以y =x 12+x 228(2).所以，切线MA,MB 的方程分别为y =x 12(x −x 1)+x 124,(3)y =x 22(x −x 2)+x 224.(4)由(3)(4)得,MA,MB 的交点M (x 0,y 0)的坐标为x 0=x 1+x 22,y 0=x 1x 24.因为点M (x 0,y 0)在C 2上,即x 02=4y 0,所以x 1x 2=−x 12+x 226.(5)由(1)(2)(5)得x 2=43y,x ≠0.当x 1=x 2时,A,B 重合于O 时,中点N 为O ,坐标满足x 2=43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2=43y .2.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F,A,B 是抛物线上的两动点,且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)过A,B 两点分别作扡物线的切线,设其交点为M .(1)证明FM̅̅̅̅̅⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值; (2)设△ABM 的面积为S ,写出S =f(λ)的表达式,并求S 的最小值.【答案】(1)见解析;(2)4.【解析】(1)由已知条件,得F(0,1),λ>0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由AF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0) 即(−x 1,1−y )=λ(x 2,y 2−1),也即{−x 1=λx 2①1−y 1=λ(y 2−1)②将①式两边平方并把x 12=4y 1,x 22=4y 2代入得y 1=λ2y 2③解②、③式得y 1=λ,y 2=1λ,且有x 1x 2=−4, 拋物线方程为y =14x 2,求导得y ′=12x .所以过抛物线上A,B 两点的切线方程分别是y =12x 1(x −x 1)+y 1,y =12x 2(x −x 2)+y 2易得M 的坐标为(x 1+x 22,−1).所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 22,−2)⋅(x 2−x 1,y 2−y 1)=0 (II)由(I )知在△ABM 中,FM ⊥AB ,因而S =12|AB|⋅|FM|.又|FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1+x 22)2+(−2)2=√λ+1λ+2=√λ√λ|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ+1λ+2=(√λ+√λ)2于是S =12|AB|⋅|FM|=12(√λ√λ)3,由√λ+√λ⩾2知S ⩾2,且当λ=1时,S 取得最小值4.3.如图,等边三角形OAB 的边长为8√3,且其三个顶点均在拋物线E:x 2=2py(p >0)上.（1）求抛物线E 的方程;(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ,与直线y =−1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.【答案】(1)x 2=4y ; (2)见解析.【解析】(1)抛物线E 的方程为x 2=4y ,过程略.(2)设P (x 0,y 0),x 0≠0,由y =14x 2,得y ′=12x ,直线l 的方程为y −y 0=12x 0(x −x 0),即y =12x 0x −14x 02.联立20011241y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即200421x x x y ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，所以2004,12x Q x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 设M (0,y 1),所以MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0−y 1),MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 02−42x 0,−1−y 1) 因为MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以x 02−42x 0−y 0−y 0y 1+y 1+y 12=0.又y 0=14x 02(x 0≠0),所以y 1=1 故以PQ 为直径的圆恒过M(0,1).4.如图，设抛物线C:y =x 2的焦点为F ,动点P 在直线l:x −y −2=0上运动,过P 作拋物线C 的两条切线PA,PB ,且与抛物线C 分别相切于A,B 两点. (1)求△APB 的重心G 的轨迹方程; (2)证明∠PFA =∠PFB .【答案】(1)y =13(4x 2−x +2); (2)见解析.【解析】（1）设切点A,B 坐标分别为(x,x 02)和(x 1,x 12)((x 1≠x 0), 所以切线AP 的方程为:2x 0x −y −x 02=0; 切线BP 的方程为:2x 1x −y −x 12=0;解得P 点的坐标为:x P =x 0+x 12,y P =x 0x 1所以△APB 的重心G 的坐标为x G =x 0+x 1+x P3=x P ,y G =y 0+y 1+y P 3=x 02+x 12+x 0x 13=(x 0+x 1)2−x 0x 13=4x P2−y p 3所以y p =−3y G +4x G 2,由点P 在直线l 上运动.从而得到重心G 的轨迹方程为: x −(−3y +4x 2)−2=0,y =13(4x 2−x +2).(2)因为FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,x 02−14),FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+x 12,x 0x 1−14),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,x 12−14). 由于P 点在拋物线外,则|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |≠0.所以cos∠AFP =FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |FP⃗⃗⃗⃗⃗ ||FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 0+x 12⋅x +(x x −14)(x 2−14)|FP ̅̅̅̅|√x 02+(x 02−14)2=x 0x 1+14|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |同理有cos∠BFP =FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |FP⃗⃗⃗⃗⃗ ||FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 0+x 12⋅x +(x x −14)(x 2−14)|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |√x 12+(x 12−14)2=x 0x 1+14|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |所以∠PFA =∠PFB .5.如图,设抛物线方程为 x 2=2py(p >0),M 为直线y =−2p 上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A,B .(1)求证：A,M,B 三点的横坐标成等差数列;(2)已知当M 点的坐标为(2,−2p)时，|AB|=4√10,求此时抛物线的方程;(3)是否存在点M ,使得点C 关于直线AB 的对称点D 在拋物线x 2=2py(p >0)上，其中点C 满足 OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ （O 为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】（1）证明：由题意设A (x 1,x 122p ),B (x 2,x 222p),x 1<x 2,M (x 0,−2p ). 由x 2=2py 得y =x 22p,得y ′=xp,所以k MA =x 1p,k MB =x 2p.因此直线MA 的方程为y +2p =x 1p(x −x 0),直线MB 的方程为y +2p =x 2p(x −x 0).所以x 122p+2p =x 1p(x 1−x 0),(1)x 222p+2p =x 2p(x 2−x 0).(2)由(1)、(2)得x 1+x 22=x 1+x 2−x 0,因此x 0=x 1+x 22,即2x 0=x 1+x 2.所以A,M,B 三点的横坐标成等差数列.(2) 由（1）知,当x 0=2时,将其代入(1)、(2)并整理得:x 12−4x 1−4p 2=0,x 22−4x 2−4p 2=0所以x 1,x 2是方程x 2−4x −4p 2=0的两根，因此x 1+x 2=4,x 1x 2=−4p 2, 又k AB =x 222p −x 122p x2−x 1=x 1+x 22p=x 0p,所以k AB =2p由弦长公式得|AB|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+4p2√16+16p2.又|AB|=4√10,所以p=1或p=2,因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.(3)设D(x3,y3),由题意得C(x1+x2,y1+y2),则CD的中点坐标为Q(x1+x2+x32,y1+y2+y32).设直线AB的方程为y−y1=x0p(x−x1),由点Q在直线AB上,并注意到点(x1+x22,y1+y22)也在直线AB上，代入得y3=x0px3.若D(x3,y3)在拋物线上,则x32=2py3=2x0x3.因此x3=0或x3=2x0.即D(0,0)或D(2x0,2x02p).(1)当x0=0时,则x1+x2=2x0=0,此时,点M(0,−2p)适合题意.(2)当x0≠0,对于D(0,0), 此时C(2x0,x12+x222p ),k CD=x12+x222p2x0=x12+x224px0,又k AB=x0p,AB⊥CD所以k AB⋅k CD=x0p ⋅x12+x224px0=x12+x224p2=−1,即x12+x22=−4p2,矛盾.对于D(2x0,2x02p ),因为C(2x0,x12+x222p),此时直线CD平行于y轴,又k AB=x0p≠0,所以直线AB与直线CD不垂直,与题设矛盾,所以x0≠0时,不存在符合题意的M点.综上所述,仅存在一点M(0,−2p)适合题意.。
专题一 阿基米德三角形的性质讲课教案
专题一阿基米德三角形的性质阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的。
阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。
性质1阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。
性质2阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为。
性质3抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。
性质4若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。
性质5底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。
性质6若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。
性质7在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。
性质8在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB 于S、T△，则QST的垂心在上。
性质9|AF|·|BF|=|QF|2.性质10Q M的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB。
性质11在性质8中，连接AI、BI△，则ABI的面积是△QST面积的倍。
高考题中的阿基米德三角形例1（2005江西卷，理22题）如图，设抛物线C:y=x2的焦点为F，动点P在直线l:x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线P A、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1△）求APB的重心G的轨迹方程.AFyBxl（2）证明∠PFA=∠PFB.O P解：（1）设切点A、B坐标分别为(x,x2)和(x,x2)((x x)，01110∴切线AP的方程为：2x x-y-x2=0;00切线BP的方程为：2x x-y-x2=0;113 = 3 = 3 =3 , （2）方法 1：因为 FA = (x , x 2 - 1), FP = ( x 0 + x 1 , x x - 1), FB = (x , x 2 - 1).r r 0 1 1 1 uuur uuurFP ×FA uuur uuur =uuur 4 , 1 | FP || FA | | FP |uuur uuurFP ×FB uuur uuur = uuur4 , 1 uuur | FP | x 2 + (x 2 - )22 , 0) ，则 P点到直线 AF 的距离为： d = | x 1 | ; 而直线BF 的方程 : y - 1 =1 =x 2 4 1 1 2 = | x 1 | ②当 x x ¹ 0 时，直线 AF 的方程： y - 1 =0 4 (x - 0), 即(x 2 - 1)x - x y + 1 x = 0,4x - 0 4 4 0解得 P 点的坐标为： x = x 0 + x1 , y = x xP 2P 0 1所以△APB 的重心 G 的坐标为 ，y = y 0 + y 1 + y P Gx 2 + x 2 + x x 0 1 0 1 (x + x )2 - x x 0 1 0 1 4x P 2 - y p所以 y = - 3y + 4x 2 ，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为：pGGx - (- 3y + 4x 2 ) - 2 = 0,即y = 1 3(4x 2 - x + 2).uuur uuu uuu 0 0 4 2 4 4 uuur由于 P 点在抛物线外，则 | FP |¹ 0.∴ cos ? A FPx + x 1 1 1 0 1 ?x (x x - )( x 2 - ) x x +0 0 1 0 0 1 uuur| FP | x 2+ (x 2 - )20 0 4同理有 cos ? BFP∴∠AFP =∠PFB.x + x 1 1 1 0 1 ?x (x x - )( x 2 - ) x x +1 0 1 1 0 1| FP || FB | | FP |1 1 4方法 2：①当 x x = 0时,由于x ? x , 不妨设x1 010,则y = 0, 所以 P 点坐标为 ( 0x1即 (x 2- 1)x - x y + 1x = 0.1 4 4 1x 2-112 4 x114 x,所以 P 点到直线 BF 的距离为： d = 2 1 x x | (x 2 - ) 1 + 1 | (x 2 + 1 4 2 4 1 1 (x 2 - )2 + (x )21 1 | x | ) 14 1 2+ 4所以 d 1=d 2，即得∠AFP =∠PFB.1 x2 - 1 0直线 BF 的方程： y - 1 = 1 4 (x - 0), 即(x 2 - 1)x - x y + 1 x = 0, 1 1 4 = | x 0 - x 1 | 4 2 4 0 = 1 x 2 + 4 40 0 x - x 同理可得到 P 点到直线 BF 的距离 d = | x 1 - x 0 | ，因此由 d 1=d 2，可得到∠AFP =∠⎩1－y1＝λ(y2－1) ② 1 x 2 -4 x - 0 4 4 11所以 P 点到直线 AF 的距离为：d = 1| (x 2 - 0 1 x + x 1 1 )( 0 1 ) - x 2x + x | | 0 1 )( x 2 + )(x 2 - )2 + x 20 1 2 0 0 1 2 ，22PFB例 2 (2006 全国卷Ⅱ，理 21 题)已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F ，A 、B 是抛物线上的→ →两动点，且AF ＝λFB （λ＞0）．过 A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ ．→ →（Ⅰ）证明FM·AB 为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为 S ，写出 S ＝f(λ)的表达式，并求 S 的最小值．解：(Ⅰ)由已知条件，得 F(0，1)，λ＞0．→ →设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．由AF ＝λFB ，即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，⎧－x1＝λx2 ①⎨1 1将①式两边平方并把 y1＝4x12，y2＝4x22 代入得y1＝λ2y2 ③ 1解②、③式得 y1＝λ，y2＝λ，且有 x1x2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4，1 1抛物线方程为 y ＝4x2，求导得 y ′＝2x ．所以过抛物线上 A 、B 两点的切线方程分别是x1＋x21 1 1uuur uuur1 1y ＝2x1(x －x1)＋y1，y ＝2x2(x －x2)＋y2，1 1 1 1即 y ＝2x1x －4x12，y ＝2x2x －4x22．x1＋x2 x1x2 x1＋x2解出两条切线的交点 M 的坐标为( 2 ， 4 )＝( 2 ，－1)． ……4 分→ → 所以FM·AB ＝( 2 ，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝2(x22－x12)－2(4x22－4x12)＝0→ →所以FM·AB 为定值，其值为 0．……7 分1(Ⅱ)由(Ⅰ△)知在 ABM 中，FM ⊥AB ，因而 S ＝2|AB||FM|．|FM|＝＝x1＋x2( 2 )2＋(－2)2＝1y1＋y2＋2×(－4)＋4 ＝1 1 14x12＋4x22＋2x1x2＋41 1λ＋λ＋2＝ λ＋ λ．因为|AF|、|BF|分别等于 A 、B 到抛物线准线 y ＝－1 的距离，所以1 1|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋λ＋2＝( λ＋ λ)2．1 1于是 S ＝2|AB||FM|＝( λ＋ λ)3，1由 λ＋ λ≥2 知 S ≥4，且当 λ＝1 时，S 取得最小值 4．例 3（2007 江苏卷，理 19 题）如图，在平面直角坐标系 xOy中，过 y 轴正方向上一点C (0,c) 任作一直线，与抛物线 y = x 2 相交于 AB 两点，一条垂直于 x 轴的直线，分别与线段 AB 和直线 l : y = - c 交于 P ,Q ，（1）若OA ?OB 2 ，求 c 的值；（5 分）（2）若 P 为线段 AB 的中点，求证：Q A 为此抛物线的切线；（5 分）(x , y ), B (x , y )，OA ur = (x , y )，OB ur = (x , y )，因为OA ur ?OB ur uu 骣c y = 2x x - 2x 2 + y = 2x x - x 2，它与 y = - c 的交点为 M çç 1 - ç桫2 2x ,- c ÷，又 P ççç 1 ÷÷骣k k 2 ÷÷，所以 Q ççç , - c ÷ c ÷÷÷，因为 x x = - c ,所以 - x ç ç çç2 k ç2 1 2M ççç 1 + 2 , - c ÷÷=çç ,- c ÷÷÷,所以点 M 和点 Q 重合，也就是 QA 为此抛物线的切线。
阿基米德三角形的性质及应用——2021年高考全国乙卷理科压轴题背景探究
阿基米德三角形的性质及应用——2021年高考全国乙卷理科
压轴题背景探究
阿基米德三角形是一种具有特殊性质的三角形，它由阿基米德提出，在几何学中有着广泛的应用。
阿基米德三角形的性质有：
1、阿基米德三角形的三个内角相等，每个内角等于
$60^{\circ}$；
2、阿基米德三角形的三条边满足勾股定理，即两边之和大于
第三边；
3、阿基米德三角形的三条边满足比例关系，即两边之比等于
第三边。
阿基米德三角形的应用：
1、在建筑学中，阿基米德三角形用来构建桥梁、楼梯、屋顶
等建筑物；
2、在航海学中，阿基米德三角形用来测定船只在海上的位置；
3、在机械学中，阿基米德三角形用来设计齿轮系统、传动系
统等；
4、在几何学中，阿基米德三角形用来推导许多几何定理，如勾股定理、三角形内角和定理等。
高考中的阿基米德三角形-阿基米德三角形
数学高考中的阿基米德三角形例（2018年全国Ⅲ卷理16）已知点(1,1)M -和抛物线2:4=C y x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点．若090∠=AMB ，则k = ． 解法分析思路1: 利用待定系数法，根据条件090∠=AMB ，建立k 的方程. 解法1：抛物线的焦点为(1,0)F ，设直线AB 的方程为(1)=-y k x .由24,(1)，⎧=⎨=-⎩y x y k x 可得2440ky y k --=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则124y y k+=，12y y 4=-. 所以 12122422y y x x k k ++=+=+，()21212116y y x x ==.∵11(1,1)MA x y =+-，22(1,1)MB x y =+-，90AMB ∠=︒, ∴MA MB ⋅=1212(1)(1)(1)(1)0x x y y +++--=， 整理可得 12121212()()20x x x x y y y y +++-++=， ∴24412420k k++--+=，即2440k k -+=，∴2k =． 思路2：利用点差法，得到k 的表达式，再结合抛物线的几何性质解决.解法2：设1122(,),(,)A x y B x y ，则211224,4,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以2212124()y y x x -=-，∴12122212121244--===--+y y y y k y y x x y y . 取AB 的中点00(,)N x y ，分别过,A B 作准线1x =-的垂线，垂足分别为,A B ''， ∵90AMB ∠=︒，所以11||||(||||)22MN AB AF BF ==+1(||||)2AA BB ''=+，又因为点N 为AB 的中点，所以MN 平行于x 轴， 所以01y =，即122y y +=，所以2k =.解法3：我们先证明两个重要结论，然后利用结论秒杀此题.结论1：过抛物线22=y px 的焦点F 任作一条弦AB ，抛物线在点,A B 处的两条切线相交于点M ，则M 在22=y px 的准线上 ，且⊥MA MB ，⊥MF AB ，称∆MAB 为阿基米德三角形.证明：设直线AB 的方程为2=+p x my . 由22,,2⎧=⎪⎨=+⎪⎩y px px my 可得2220y pmy p --=.显然0∆> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122y y pm +=，212y y p =-.抛物线在,A B 两点的切线方程分别为()11y y p x x =+，()22y y p x x =+.解之得1212,2,2⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩y y x p y y y 由此求得两切线的交点坐标12(,)22+-y y P M所以M 在22=y px 的准线上.22212121⋅=⋅==--AM BMp p p p k k y y y y p,∴⊥MA MB(,)=-MF p pm ，2121(,)=--AB x x y y()()()21212121022p p MF AB p x x pm y y p my my pm y y ⎛⎫⋅=---=+----= ⎪⎝⎭∴⊥MF AB .结论2 若M 在22=y px 的准线上，且⊥MA MB ，则,MA MB 是抛物线的两条切线证明：过B A ,分别作抛物线的两条切线,设它们交于点M ',由结论1知，M '在22=y px 的准线上，且B M A M '⊥'，由抛物线的焦点弦的性质知，2=-px 是以AB 为直径的圆的切线，又M 在2=-px 上，且⊥MA MB ，则可得'M 与M 重合. 所以,MA MB 是抛物线的两条切线.对于本题而言，利用结论2.∆MAB 为阿基米德三角形， (1,1)M -,(1,0)F ,∴12=-MF k 由⊥MF AB ，可得2=k一、主要概念及性质1、定义：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。
(优选)阿基米德三角形在高考中的应用ppt讲解
A
B.平行 D.无 法 判断
O
x
P
M
B
练 习 2： ( 07.江 苏) 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐标
系xoy中，过y轴正方向上一点C(，0 c)
任作一直线，与抛物线y x2相交于A,B
两 点 ， 一 条 垂 直 于 x 轴的 直 线 ， 分 别 与 线
段AB和直线l: y -c交于点P,Q .
（优选）阿基米德三角形在高 考中的应用ppt讲解
回顾：过抛物线x2=2py(p>0)上的点
P(x0，y0)处的切线方程？x0x p( y0 y)
y
思考：
F
方 程x0 x
p( y0
y)还 O x 0x =p(y0+y)
可以表示什么直线？
图1
P(x 0,y0) x
结论：过抛物线x2=2py(p>0)外一点P(x0，
y
B F
O
x
P
结论：直线AB的方程为 x0x p(y0 y) ． 探究1：若弦AB过抛物线x2 2 y内一定点
(1,3),则阿基米德三角形的顶点P(x0, y0 ) 的轨 迹是 否为 一条 定直线？y
探究2：若 弦 A B 过 抛
物 线 x2 2py内 一 定
(1,3) B x0x=p(y0+y)
（1)若P为线段AB 的 中 点 ， 求 证 ：Q A
A
y
CP
B
为此抛物线的切线；
O
x
（2）试问（1）的逆命题
是否成立？说明理由。
M Q(M)
探性究质44：：在阿基米德三角形
|AFBAP，|则|F| BPF||与2 ||FPAF| ||F2B的| 关系？
2025高考数学必刷题 第80讲、阿基米德三角形(学生版)
第80讲阿基米德三角形知识梳理如图所示，AB 为抛物线22(0)x py p =>的弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，分别过,A B 作的抛物线的切线交于点P ，称PAB △为阿基米德三角形，弦AB为阿基米德三角形的底边．1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．2、若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点()00 C x y ，，则另一顶点P 的轨迹为一条直线．3、若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．4、底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p．5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为2p ．6、点P 的坐标为1212,22x x x x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；7、底边AB 所在的直线方程为()121220; x x x py x x +--=8、PAB △的面积为3128PAB x x S p-=．9、若点P 的坐标为()00,x y ，则底边AB 的直线方程为()000x x p y y -+=．10、如图1，若E 为抛物线弧AB 上的动点，点E 处的切线与PA ，PB 分别交于点C ，D ，则||||||||||||AC CE PD CP ED DB ==.11、若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在点E 处的切线与阿基米德三角形PAB △的边PA ，PB 分别交于点C ，D ，则2EABPCDS S = ．12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的23．图1必考题型全归纳题型一：定点问题例1．（2024·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知点()0,1A -，()0,1B ，动点P 满足PB AB PA BA =⋅．记点P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）设D 为直线=2y -上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E ，F ．证明：直线EF 过定点．例2．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆M 恒过定点10,8F ⎛⎫⎪⎝⎭，圆心M 到直线14y =-的距离为1,8d d MF =+．(1)求M 点的轨迹C 的方程；(2)过直线1y x =-上的动点Q 作C 的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，证明：直线AB 恒过定点．例3．（2024·全国·高二专题练习）已知平面曲线C 满足：它上面任意一定到10,2⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到直线32y =-的距离小1.(1)求曲线C 的方程；(2)D 为直线12y =-上的动点，过点D 作曲线C 的两条切线，切点分别为A B ､，证明：直线AB 过定点；(3)在（2）的条件下，以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.变式1．（2024·陕西·校联考三模）已知直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，OD AB ⊥，D 为垂足，点D 的坐标为(1,1)．(1)求C 的方程；(2)若点E 是直线4y x =-上的动点，过点E 作抛物线C 的两条切线EP ，EQ ，其中P ，Q 为切点，试证明直线PQ 恒过一定点，并求出该定点的坐标．变式2．（2024·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线C ：2y ax =给出如下三个条件：①焦点为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭；②准线为12y =-；③与直线210y -=相交所得弦长为2．(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C 的方程；(2)已知ABQ 是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q 是抛物线C 在弦AB 两端点处的两条切线的交点，若点Q 恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB 是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．变式3．（2024·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知抛物线2:C y ax =（a 是常数）过点(2,2)P -，动点1,2D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2)当1t =时，求直线AB 的方程；(3)证明：直线AB 过定点．变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知动点P 在x 轴及其上方，且点P 到点(0,1)F 的距离比到x 轴的距离大1.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若点Q 是直线4y x =-上任意一点，过点Q 作点P 的轨迹C 的两切线QA ､QB ，其中A ､B 为切点，试证明直线AB 恒过一定点，并求出该点的坐标.题型二：交点的轨迹问题例4．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()0,F c (0)c >到直线:20l x y --=．(1)求抛物线C 的方程；(2)设点0(P x ，0)y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；(3)过（2）中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，求1l ，2l 交点M 满足的轨迹方程．例5．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点；椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率2e =．(1)求椭圆E 的方程；(2)经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：点M 定在直线1y =-上；(3)椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''、(M B A '''、B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出切线M A ''、M B ''的方程；若不存在，试说明理由．例6．（2024·全国·高三专题练习）已知动点Q 在x 轴上方，且到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1.（1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,1P 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 分别异于原点O ，在曲线C 的A ，B 两点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 交于点M ，求证：M 在定直线上.变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线:4l x =的距离之比为12，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点(4,0)M 的直线与曲线C 交于,A B 两点，,R Q 分别为曲线C 与x 轴的两个交点，直线,AR BQ 交于点N ，求证:点N 在定直线上．变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知点F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，点M 、N 在抛物线上，且M 、N 、F 三点共线.若圆22:(2)(3)16P x y -+-=的直径为MN .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与抛物线交于点A ，B ，分别过A 、B 两点作抛物线C 的切线1l ，2l ，证明直线1l ，2l 的交点在定直线上，并求出该直线.变式7．（2024·全国·高三专题练习）下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．(1)圆222:O x y r +=上点()00,M x y 处的切线方程为．理由如下：．(2)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点()00,x y 处的切线方程为；(3)(,)P m n 是椭圆22:13x L y +=外一点，过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则直线AB 的方程是．这是因为在()11,A x y ，()22,B x y 两点处，椭圆L 的切线方程为1113x x y y +=和2213x x y y +=．两切线都过P 点，所以得到了1113x m y n +=和2213x my n +=，由这两个“同构方程”得到了直线AB 的方程；(4)问题（3）中两切线PA ，PB 斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为()y n k x m -=-，由22()33y n k x m x y -=-⎧⎨+=⎩，得222(13)6()3()30k x k n km x n km ++-+--=，化简得Δ0=，得222(3)210m x mnk n -++-=．若PA PB ⊥，则由这个方程可知P 点一定在一个圆上，这个圆的方程为．（5）抛物线22(0)y px p =>上一点()00,x y 处的切线方程为00()y y p x x =+；（6）抛物线2:4C x y =，过焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作抛物线的两条切线1l 和2l ，设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线1l 的方程为112()x x y y =+．直线2l 的方程为222()x x y y =+，设1l 和2l 相交于点M ．则①点M 在以线段AB 为直径的圆上；②点M 在抛物线C 的准线上．题型三：切线垂直问题例7．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的方程为24x y =，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）若点P 坐标为()0,1-，求切线,PA PB 的方程；（2）若点P 是抛物线C 的准线上的任意一点，求证：切线PA 和PB 互相垂直.例8．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的方程为24x y =，点P 是抛物线C 的准线上的任意一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，点M 是AB 的中点.（1）求证：切线PA 和PB 互相垂直；（2）求证：直线PM 与y 轴平行；（3）求PAB 面积的最小值.例9．（2024·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆1Γ和抛物线2Γ有相同的焦点(1,0)，椭圆1Γ的离心率为12，抛物线2Γ的顶点为原点.(1)求椭圆1Γ和抛物线2Γ的方程；(2)设点P 为抛物线2Γ准线上的任意一点，过点P 作抛物线2Γ的两条切线PA ，PB ，其中,A B 为切点.设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆1C 和抛物线2C 有相同的焦点()1,0，椭圆1C 过点31,2G ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点为原点．()1求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；()2设点P 为抛物线2C 准线上的任意一点，过点P 作抛物线2C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．①设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值；②若直线AB 交椭圆1C 于C ，D 两点，PAB S ，PCD S 分别是PAB ，PCD 的面积，试问：PABPCDS S 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．变式9．（2024·全国·高三专题练习）抛物级22(0)x py p =>的焦点F 到直线2py =-的距离为2.（1）求抛物线的方程；（2）设直线1y kx =+交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，分别过A ，B 两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P ，求证：PF AB ⊥.变式10．（2024·河南驻马店·校考模拟预测）已知抛物线E ：()220x py p =>的焦点为F ，点P 在E 上，直线l ：20x y --=与E 相离．若P 到直线l 的距离为d ，且PF d +的最小值为2．过E 上两点,A B 分别作E 的两条切线，若这两条切线的交点M 恰好在直线l 上．（1）求E 的方程；（2）设线段AB 中点的纵坐标为n ，求证：当n 取得最小值时，MA MB ⊥．题型四：面积问题例10．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的方程为()220x py p =>，点3,2A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）点Q 为直线12y =-上的动点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为D ，E ，求QDE △面积的最小值．例11．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线22x py =上一点()0,1M x 到其焦点F 的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）如图，过直线:2l y =-上一点A 作抛物线的两条切线AP ，AQ ，切点分别为P ，Q ，且直线PQ 与y 轴交于点N ．设直线AP ，AQ 与x 轴的交点分别为B ，C ，求四边形ABNC 面积的最小值．例12．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到原点的距离等于直线:440l x y --=的斜率.（1）求抛物线C 的方程及准线方程；（2）点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，求PAB 面积的最小值.变式11．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>上的点R 的横坐标为1，焦点为F ，且||2RF =，过点(4,0)P -作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 、B ，D 为线段PA 上的动点，过D 作抛物线的切线，切点为E （异于点A ，B ），且直线DE 交线段PB 于点H .(1)求抛物线C 的方程；(2)（i ）求证：||||AD BH +为定值；（ii ）设EAD ，EBH △的面积分别为12S S ，，求12133S S S =+的最小值.变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知点A （﹣4，4）、B （4，4），直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）Q 为直线y=﹣1上的动点，过Q 作曲线C 的切线，切点分别为D 、E ，求△QDE 的面积S 的最小值．变式13．（2024·河南开封·河南省兰考县第一高级中学校考模拟预测）已知点()F ，平面上的动点S 到F 的距离是S 40+=的距离的2倍，记点S 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过直线:2l y =上的动点()(),22P s s >向曲线C 作两条切线1l ，2l ，1l 交x 轴于M ，交y 轴于N ，2l 交x 轴于T ，交y 轴于Q ，记PNQ V 的面积为1S ，PMT △的面积为2S ，求12S S ⋅的最小值．题型五：外接圆问题例13．（2024·全国·高三专题练习）已知P 是抛物线C ：2134y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=- ．（1）试判断直线AB 是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；（2）设点M 是PAB 的外接圆圆心，求点M 的轨迹方程．例14．（2024·高二单元测试）已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=- .（1）判断点()0,1D 是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，点M 到x 轴的距离为d ，点()1,0N ，求MN d -的最大值.例15．（2024·全国·高三专题练习）已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=- .（1）判断点()0,1D -是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程.题型六：最值问题例16．（2024·全国·高三专题练习）如图已知()2,P t -是直线2x =-上的动点，过点P 作抛物线24y x =的两条切线，切点分别为,A B ，与y 轴分别交于,C D.（1）求证：直线AB 过定点，并求出该定点；（2）设直线AB 与x 轴相交于点Q ，记,A B 两点到直线PQ 的距离分别为12,d d ；求当12AB d d +取最大值时PCD 的面积.例17．（2024·湖南·高三校联考阶段练习）在直角坐标系xoy 中，已知抛物线()2:20C x py p =>，P 为直线1y x =-上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，当P 在y 轴上时，OA OB ⊥.(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值.例18．（2024·辽宁沈阳·校联考二模）从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线()2:21C x py p =>，从点()4,9发出的平行于y 轴的光线照射到抛物线上的D 点，经过抛物线两次反射后，反射光线由G 点射出，经过点()1,5-．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知圆()22:34M x y +-=，在抛物线C 上任取一点E ，过点E 向圆M 作两条切线EA 和EB ，切点分别为A 、B ，求EA EB ⋅ 的取值范围．变式14．（2024·贵州·高三校联考阶段练习）已知抛物线()2:20C x py p =>上的点()02,y 到其焦点F 的距离为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知点D 在直线l ：=3y -上，过点D 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 与直线l 交于点M ，过抛物线C 的焦点F 作直线AB 的垂线交直线l 于点N ，当MN 最小时，求ABMN 的值.变式15．（2024·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考阶段练习）已知抛物线2:4C y x =，点P 为直线2x =-上的任意一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则点()0,1M 到直线AB 的距离的最大值为（）A ．1B ．4C ．5D题型七：角度相等问题例19．设抛物线2:C y x =的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB ．例20．（2024·全国·高三专题练习）已知F ，F '分别是椭圆221:171617C x y +=的上、下焦点，直线1l 过点F '且垂直于椭圆长轴，动直线2l 垂直1l 于点G ，线段GF 的垂直平分线交2l 于点H ，点H 的轨迹为2C .(1)求轨迹2C 的方程；(2)若动点P 在直线:20l x y --=上运动，且过点P 作轨迹2C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，试猜想PFA ∠与PFB ∠的大小关系，并证明你的结论的正确性.例21．（2024·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆22=>交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的+-=与抛物线2:2(0)C x py pG x y:(1)1直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．(1)求证：点P的纵坐标为定值；∠=∠．(2)若F是抛物线C的焦点，证明：PFA PFBy x=的焦点为F，动点P 变式16．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，设抛物线C：2x y--=上运动，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，在直线l：20求证：AFB BFP∠=∠.变式17．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点E(0，2)，以OE为直径的圆与抛物线C∶x2=2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E作直线交抛物线与A，B两点，过A，B两点分别作拋物线C的切线交于点P.（1）求证∶点P的纵坐标为定值；（2）若F是抛物线C的焦点，证明∶∠PFA=∠PFB。
高考试题中的阿基米德三角形(含答案)
（2005江西卷，理22题）如图，设抛物线2:x y C 的焦点为F ，动点P 在直线02:y xl 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.22．解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x 和，∴切线AP 的方程为：;02200x y x x 切线BP 的方程为：;02211xyxx 解得P 点的坐标为：101,2x x y x x x PP所以△APB 的重心G 的坐标为P PGx x x x x 310，,343)(3321021010212010pPPGy x x x x x x x xxy y y y 所以243GGpx y y ，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22x xyx yx即（2）方法1：因为).41,(),41,2(),41,(21110120x x FBx x x x FP x x FA由于P 点在抛物线外，则.0||FP ∴,||41)41(||)41)(41(2||||cos1022202010010FP x x x x FP x x x x x x FA FP FA FP AFP同理有,||41)41(||)41)(41(2||||cos10221212110110FP x x x x FP x x x x x x FB FP FB FP BFP∴∠AFP=∠PFB. 方法2：①当,0,0,,0000101y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2(1x ，则P 点到直线AF的距离为：,4141:;2||12111x x xyBF x d 的方程而直线xyOABPFl即.041)41(1121x yx xx所以P 点到直线BF 的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212x x x xx xx x xd 所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当001x x 时，直线AF 的方程：,041)41(),0(04141002020x yx xxx x xy即直线BF 的方程：,041)41(),0(041411121121x yx xxx x xy即所以P 点到直线AF 的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|102021020220012010201x x xx x x x x x x x x x x d ，同理可得到P 点到直线BF 的距离2||012x x d ，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB(2006全国卷Ⅱ，理21题)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明FM →·AB →为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值．21．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由AF →＝λFB →，即得(－x 1，1－y)＝λ(x 2，y 2－1)，－x 1＝λx 2①1－y 1＝λ(y 2－1) ②将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得y 1＝λ2y 2③解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ．所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2，即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22．解出两条切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22，－1)．……4分所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0 所以FM →·AB →为定值，其值为0．……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB ||FM |．|FM |＝(x 1＋x 22)2＋(－2)2＝14x 12＋14x 22＋12x 1x 2＋4 ＝y 1＋y 2＋12×(－4)＋4＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．因为|AF |、|BF|分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ)2．于是S ＝12|AB||FM |＝(λ＋1λ)3，由λ＋1λ≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4．（2007江苏卷，理19题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2y x 相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l yc 交于,P Q ，（1）若2OA OB ，求c 的值；（5分）（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。
抛物线的阿基米德焦点三角形问题及其应用
2019年10月高中*项目基金:本文系福建省科学教育“十三五”规划2018年度立项课题《提升学生核心素养的高中数学校本课程开发研究》(课题立项批准号:FJJKXB18-243)的阶段研究成果之一。
抛物线的弦与过弦的两端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.特别地，抛物线过焦点的弦与过弦的两端点的两条切线所围成的特殊三角形称为阿基米德焦点三角形.有关抛物线的阿基米德焦点三角形问题在近几年高考等试卷中时有出现.了解涉及抛物线的阿基米德焦点三角形的一些基本性质，对于解决相应问题很有帮助，其可以更加快捷地处理相应问题，也能有效地拓展知识面.一、结论展示抛物线C ：x 2=2py （p >0）的焦点为F ，弦AB 过焦点F ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别是l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，则△PAB 就是阿基米德焦点三角形.该阿基米德焦点三角形有以下几个基本性质：（1）点P 必在抛物线C 的准线上；（2）△PAB 是以P 为直角的直角三角形（即PA ⊥PB ）；（3）PF ⊥AB.根据抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质，可以用其破解很多与之相关的抛物线问题，从而使问题的求解变得简单快捷，易于操作.二、应用问题1.三角形形状的判定例1已知抛物线C ：x 2=2py （p >0）的焦点为F ，弦AB过焦点F ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别是l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，则△PAB 的形状为（）.A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .随点P 位置变化前三种情况都有可能分析:常规方法是设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立确定两端点的坐标，结合导数的几何意义确定两切线l 1，l 2的方程，进而求解交点P 的坐标关系式，结合直线的斜率公式及两直线垂直的关系加以分析.此过程比较烦琐，解答起来比较费时，而结合阿基米德焦点三角形的基本性质，基本可以达到“秒杀”的效果.解:结合抛物线的阿基米德焦点三角形的性质，可知△PAB 是以P 为直角的直角三角形.故答案为B .点评:利用抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质来判定对应的三角形的形状,不但处理起来比较简单,而且效果良好.2.直线位置关系的判定例2已知抛物线C ：x 2=2py （p >0）的焦点为F ，弦AB过焦点F ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别是l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，则直线PF 与弦AB 所在的直线的位置关系为（）.A .相交但不垂直B .相交且垂直C .平行D .相交但是否垂直随点P 位置变化而改变分析:常规方法也是设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立确定两端点的坐标，结合导数的几何意义确定两切线l 1，l 2的方程，进而求解交点P 的坐标关系式，结合直线的斜率公式及两直线垂直的关系加以分析.若直接利用阿基米德焦点三角形的基本性质，则更为简单快捷.解:结合抛物线的阿基米德焦点三角形的性质，可知PF ⊥AB.故答案为B .点评:利用抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质来判定两直线的位置关系,可以很好地确定其相应的垂直关系,避免了繁杂的运算过程,节约时间,提高效益.3.线段长度的求解例3已知F 为抛物线C ：x 2=2py （p >0）的焦点，过点F抛物线的阿基米德焦点三角形问题及其应用*◉福建省石狮市石光中学林建森教学参谋解法探究272019年10月高中的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别是l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，设|AB|=q ，则|PF|的值为______.（结果用含q 的代数式表示）分析:设出|AF|=m ，|BF|=n ，结合阿基米德焦点三角形的性质并通过直角三角形的射影定理来建立相应的关系式，得到|PF|2=|AF|·|BF|=mn ，进而由抛物线的焦点弦性质1|AF|+1|BF|=2p的变形与转化来确定|PF|的值.解:设|AF|=m ，|BF|=n ，则有|AB|=m+n=q ，由阿基米德焦点三角形的基本性质可得PA ⊥PB ，PF ⊥AB ，结合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF|·|BF|=mn ，由抛物线的焦点弦性质1|AF|+1|BF|=2p ，可得m+n mn =2p ，则有q|PF|2=2p ，则有|PF|=2pq√2.故填答案为2pq√2.点评:利用抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质,以确定相应的三角形的形状,结合直角三角形的射影定理加以转化与应用,从而提升效率,拓展思维.4.三角形面积的破解例4已知抛物线C ：x 2=2py （p >0）的焦点为F ，弦AB过焦点F ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别是l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，则△PAB 的面积的最小值是______.分析:设出弦AB 所在直线的倾斜角θ，结合抛物线的极径公式得到|AF|与|BF|的三角表达式，再利用阿基米德焦点三角形的性质来确定|PF|的三角表达式，通过三角形的面积公式来进行转化，结合三角函数的图像与性质来确定最值即可.解:设直线AB 的倾斜角为θ，不失一般性，根据抛物线的对称性，不妨设θ∈0，π2[)，由抛物线的极径公式可得|AF|=p 1-sin θ，|BF|=p 1-sin （π+θ）=p1+sin θ，可得|AB|=|AF|+|BF|=p 1-sin θ+p 1+sin θ=2pcos 2θ.由阿基米德焦点三角形的性质可得PA ⊥PB ，PF ⊥AB ，结合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF|·|BF|=p 1-sin θ·p 1+sin θ=p 2cos 2θ，即|PF|=p cos θ，那么S △PAB =12|AB||PF|=p 2cos 3θ≥p 2，当且仅当cos θ=1，即θ=0时，△PAB 的面积取得最小值为p 2.故填答案为p 2.点评:利用抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质,结合抛物线的极径公式及直角三角形的射影定理,有效转化三角形的面积关系式,进而转化为有关的三角函数问题,结合三角函数的图像与性质即可有效破解.5.最值问题的应用例5（2019届四川省成都市高三模拟·16）已知F 为抛物线C ：x 2=4y 的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别是l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，则|PF|+32|AB|的最小值为______.分析:设出|AF|=m ，|BF|=n ，结合阿基米德焦点三角形的性质并通过直角三角形的射影定理来建立相应的关系式，得以|PF|2=|AF|·|BF|=mn ，由抛物线的焦点弦性质1|AF|+1|BF|=2p的变形与转化得到m+n=mn ，结合条件通过均值不等式的应用，利用配凑法来确定|PF|+32|AB|的最小值.解:设|AF|=m ，|BF|=n ，则有|AB|=m+n ，由阿基米德焦点三角形的基本性质可得PA ⊥PB ，PF ⊥AB ，结合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF|·|BF|=mn ，由抛物线的焦点弦性质1|AF|+1|BF|=2p ，可得1m +1n=1，变形可得m+n=mn ，即|AB|=|PF|2=mn ，结合均值不等式，可得|PF |+32|AB |=mn √+32mn =mn√2+mn√2+32mn≥3mn √2×mn√2×32mn 3√=6，当且仅当mn√2=32mn，即mn=16时取等号，所以|PF|+32|AB|的最小值为6.故填答案为6.点评:利用抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质,结合抛物线的焦点弦性质及均值不等式,能很好地达到转化与应用,进而为求解复杂关系式的最值问题奠定基础,有效拓展思维,提高素养.在破解一些相关问题时，如果能够巧妙地借助抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质来处理，特别在解答一些选择题或填空题时，不失为一种很好的方法.灵活借助抛物线的阿基米德焦点三角形相关的基本性质，可以很好地处理问题，从而有效提升学习的宽度与深度，提高数学效益，培养数学素质，提升思维品质.F教学参谋解法探究28。
新高考数学二轮复习隐圆蒙日圆与阿基米德三角形培优课件
即 x－n2＋y2＝2 x－m2＋y2，
化简可得 x2＋y2－8m－3 2nx＋4m23－n2＝0， 又点P的轨迹方程为x2＋y2＋8x＝0， 可得－ 4m823m－－3n22＝n＝0，8， 解得mn＝＝－－162， 或nm＝＝4－2， (舍去)，
故存在异于A，B的两定点M(－6,0)，N(－12,0)， 使得||PPMN||＝12，故 C 正确； 对于选项 D，因为||PPAB||＝12，所以 2|PA|＝|PB|， 所以2|PA|＋|PQ|＝|PB|＋|PQ|， 又点P在圆x2＋y2＋8x＝0上，如图所示， 所以当P，Q，B三点共线时，2|PA|＋|PQ|取得最小值，此时(2|PA|＋ |PQ|)min＝|BQ|
培优点7 隐圆、蒙日 圆与阿基米德三角形
专题一 函数与导数
在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及到隐圆、蒙 日圆与阿基米德三角形，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面 积等解析几何的核心问题，难度为中高档.
内容索引
考点一 考点二 考点三 专题强化练
隐圆(阿波罗尼斯圆) 蒙日圆 阿基米德三角形
对于C选项，当直线l与NM垂直时，动点C到直线l的距离最大，且最
大值为r＋|NM|＝2＋ 2 ，故C错误；
对于D选项，记圆心N到直线l的距离为d，
则
d＝
|m－1| m2＋1.
因为|PQ|2＝4(r2－d2)＝8.
又 r＝2，所以 d＝ 2. 由mm2－＋112＝2，得 m＝－1，故 D 正确.
考点二 蒙日圆
设直线的方程为y＝k(x＋2)， 代入椭圆x32＋y2＝1，消去 y， 可得(1＋3k2)x2＋12k2x＋12k2－3＝0， 由Δ＝0，可得k2－1＝0， 设l1，l2的斜率分别为k1，k2， ∴k1＝－1，k2＝1， ∴直线l1，l2的方程分别为y＝－x－2，y＝x＋2.
2025届高三数学二轮复习 -圆锥曲线之阿基米德三角形微专题 课件(共32张PPT)
特别地，若阿基米德三角形的底边AB过焦点F，则QFAB.
阿基米德三角形的性质
性质 10 |AF|·|BF|=|QF|2．
证明：|AF|·|BF|= (x1
p 2
)
(
x2
p) 2
=
x1x2
p 2
( x1
x2 )
p2 4
= ( y1 y2 )2 + y12 y22 + p2 ，
2p
44
而|QF|2= ( y1 y2 p )2 ( y1 y2 )2
y1 y0
y12 2p
x0
，
l
即 y12 y1 y2 y1x0 y2 x0 y12 2 py0 ，
将
y=
y1
2
y2
，
y1 y2
2 px
代入得
y0 y
p(x
x0 ) ，即为 Q
点的轨迹方程.
阿基米德三角形的性质
性质 5 抛物线以 C 点为中点的弦平行于 Q 点的轨迹．
利用两式相减法易求得以 C 点为中点的弦的斜率为 p ，因此该 y0
2p 2
2
= ( y1 y2 )2 + y12 y22 + p2 =|AF|·|BF|.
2p
44
典例分析
例 1.（2024 届广州市高三二模）已知点 F 是抛物线 C : y2 4x 的焦点， C 的两条切线交于点 P(x0 , y0 ) ， A ， B 是切点. （1）若 x0 0 ， y0 3 ，求直线 AB 的方程； （2）若点 P 在直线 y x 3 上，记 PFA 的面积为S1 ， PFB 的面积为S2 ，求S1 S2 的最小值； （3）证明： PFA BFP .
阿基米德三角形在高考中的应用共32页PPT
▪
26、要使整个人生都过得舒适、来自快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
32
阿基米德三角形在高考中的 应用
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
高考数学一轮专项复习ppt课件-阿基米德三角形(北师大版)
即 y＝12x1x－14x21， 同理，直线 PB 的方程为 y＝12x2x－14x22， 联立直线 PA，PB 方程可得 x＝x1＋2 x2，y＝x14x2， 即 x＝42k＝2k，y＝x14x2＝－b，即 P(2k，－b)， ∴点 P 到直线 AB 的距离 d＝|2k12ຫໍສະໝຸດ ＋2kb2 |，123456
由题意设 Ax1，2xp21 ，Bx2，2xp22 ，x1<x2， 由 x2＝2py，得 y＝2xp2 ，则 y′＝px， 所以 kPA＝xp1，kPB＝xp2， 若弦 AB 过焦点，设弦 AB 所在直线为 y＝kx＋p2， 联立x2＝2py，得x2－2pkx－p2＝0， 则 x1x2＝－p2，所以 kPA·kPB＝－pp2 2＝－1，
y2＝2px，
消去x得y2－2mpy－p2＝0，
由根与系数的关系可得y1y2＝－p2，y1＋y2＝2mp， 对于A，抛物线y2＝2px在点A处的切线方程为y1y ＝px＋px1， 即 y1y＝px＋y221， 同理可知，抛物线 y2＝2px 在点 B 处的切线方程为 y2y＝px＋y222，
联立yy12yy＝＝ppxx＋＋yy222122，，
123456
所以两切线的交点为P(0，－1)， 所以阿基米德三角形面积 S△PAB＝12×4×2＝4， 所以弦 AB 与抛物线所围成的封闭图形的面积 S＝4×23＝83.
设抛物线的焦点为F，由题意可知，抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1,0)， 准线方程为x＝－1，因为△PAB为“阿基米德三角形”，且弦AB经过 抛物线y2＝4x的焦点，所以点P必在抛物线的准线上，所以点P(－1,4)， 所以直线 PF 的斜率为－4－1－01＝－2. 又因为 PF⊥AB，所以直线 AB 的斜率为12， 所以直线 AB 的方程为 y－0＝12(x－1)， 即x－2y－1＝0.
阿基米德三角形 徐竞电子教案
• A.6
B.7
C.8
D.9
解析：易得点C在抛物线的准线上，故易得CAB为阿基米德三角形，
C 90,CF AB
由射影定理知，AF • BF CF 2 8 故选C
•题2（2014辽宁，10）.已知点 A(2,3在) 抛物线C： y2 2 p的x 准线上， 过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线 BF的斜率为（ ）
A．12 B．23 C．34 D．43
解析：易得F (2,0),由阿基米德三角形知AF BF,
又k AF
3, 4
kBF
4, 3
选D
• 随堂练习1.（2005年江西卷，理22题）：
•
如图，设抛物线
C
:
y
x2的焦点为F，动点Q在准线l
:
y
1上运动，
4
过Q作抛物线C的两条切线QA、QB，且与抛物线C分别相切于A、
可以从以下几个方面考虑：1、点P的轨迹 2、PA与PB的关系。 3、FA与FB的关系。 4、点P,A,B三点坐标之间的关系
(1)点P的轨迹是抛物线的准线，方程为：y p 2
(2)两切线互相垂直，即PA PB;
(3)PF AB;
(4)点A, P, B三点的横坐标成等差数列，即点P的坐标为( xA xB , p )
(1)证明：FM • AB为定值；
(2)设ABM的面积为S,写出S f ()的表达式，并求S的最小值。
提示：(1)为定值0 (2) FM
λ
1 λ
,
AB (
λ
1 )2,S 1 AB • FM (
λ
2
λ
1 )3 λ
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x02
(x02
1)2 4
x1
x1
(x0
x1
1 )( 4
x12
1 4
)
| FP|
x0
x1
1 4
,
| FP || FB |
| FP |
x12
( x1 2
1)2 4
| FP |
∴∠AFP=∠PFB.
推论：在阿基米德三角形ABP， 若弦AB过抛物线焦点F，则
PF AB
y
F
B
A
O
x
P
练习 3：(06.全国)已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，
2 x0
x1 , x0 2 1),
4
x1). FP
(
∴
x0 x1 2
,
x0
x1
1),FB 4
( x1 ,
x12
1). 4
∴c osAFP
FP FA
x0
2
x1
x0
(x0 x1
1 4
)(x0
2
1) 4
x0 x1
1 4
| FP|| FA|
同理可得：
cosBFP FP FB
x0
2
| FP|
M。 则 直 线 PM与 x轴的 位 置 关 系 ( B )
A.相交 y
C.垂直
A
B.平行 D.无 法 判断
O
x
P
M
B
练 习 2： ( 07.江 苏) 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐标
系xoy中，过y轴正方向上一点C(，0 c)
任作一直线，与抛物线y x2相交于A,B
两 点 ， 一 条 垂 直 于 x 轴的 直 线 ， 分 别 与 线
xnsn 4(n 1)
(1)试证：xnsn 4（n 1）;
(2)取xn 2n,并记Cn为抛物线上分别 以A n B n为切点的两条切线的交点。试证： |F C1||F C2| |F Cn | 2n 2n1 1
x2 4y上
性质4：在阿基米
德三角形ABP，
F(0,1)
则| FCn |2 | FAn | | FBn |
的 轨 迹 是 否 为 一 条 定 直线 ？图2
性质1：若阿基米德三角形ABP 的边AB即弦AB过抛物线内定点C， 则另一顶点P的轨迹为一条直线。
y C B
A
F
x
O
P
探究3：若抛物线x2 2 py上的阿
基米德三角形的顶点P在定直线
y x 1(与x2 2py无公共点),
则弦AB是否过定点？
y
段AB和直线l: y -c交于点P,Q .
（1)若P为线段AB 的 中 点 ， 求 证 ：Q A
A
y
CP
B
为此抛物线的切线；
O
x
（2）试问（1）的逆命题
是否成立？说明理由。
M Q(M)
探性究质44：：在阿基米德三角形
|AFBAP，|则|F| BPF||与2 ||FPAF| ||F2B的| 关系？
Bn(sn,tn ).
An(xn, yn )
性质5：如图：在阿基米德三
角形ABP，若F为抛物线焦点，
则 PFA PFB
A(
x1
,
x12 2p
)
A
y
p F (0, 2 )
B O
B
B(x2 ,
x22 2p
)(
x1
x2 )
x
P ( x1 x2 , x1x2 ) 2 2p
高考链接：( 0 5 . 江 西 ） 如 图 ，抛 物 线 C ：
高考题中的阿基米德三角形
回顾：过抛物线x2=2py(p>0)上的点
P(x0，y0)处的切线方程？x0x p( y0 y)
y
思考：
F
方 程x0 x
p( y0
y)还 O x 0x =p(y0+y)
可以表示什么直线？
图1
P(x 0,y0) x
结论：过抛物线x2=2py(p>0)外一点P(x0，
y0)，分别作抛物线的切线PA、PB，A、B 分别是切点，则直线AB的方程
A(
x1
,
x12 2p
)
(0, p ) y 2F
A
x2 2 py
B
B(x2 ,
x22 2p
)(
x1
x2 )
B
O
x
P ( x1 x2 , x1x2 ) 2 2p
例 2： ( 06.重 庆 .22)
如图.对每个正整数,nAn(xn, yn )是抛物
线x2 4y上的点，过焦点的F 直线FAn
交抛物线与另一点Bn(sn, tn ).
(1,3),则阿基米德三角形的顶点P(x0, y0 ) 的轨 迹是 否为 一条 定直线？y
探究2：若 弦 A B 过 抛
物 线 x2 2py内 一 定
(1,3) B x0x=p(y0+y)
AF
点(a0,b,c)),则 阿 基 米 德 三 角 形 的 顶 点 P(x0, y0 )
O
x
P (x 0,y0)
y x2 的焦点为F，动点P在直线l:
x - y - 2 0上运动，过P作抛物线C
的两条切线PA、PB，且与抛物线C
分别相切于A、B两点.
y
证明:∠PFA = ∠PFBA.
F
B
O
x
P
分析： 设切点 A(x, x02 ), B(x1, x12 )(( x1 x0 )
则P( FA (
x0 x0 ,
x2 4y上
(1)试证：
xnsn 4（n 1）;
An(xn, yn )
Bn(sn,tn ).
证明：（Ⅰ）对任意固定的 n 1,
因为焦点F（0,1）,所以可设直线 AnBn
的方程为 y 1 knx,
由
y knx x2 4y
1 ,
得 x2 4knx 4 0
由一元二次方程根与系数的关系得
为 x0x p( y0 y)．
y
AF
B x 0x =p(y0+y)
O
x
P (x 0,y0)
由的两抛条物切线线的所弦围与阿三成过基角的弦米形三的德角端形点.
阿基米德是 A 伟大数学家与力 学家,并享有“数 学之神”的称号。
y
B F
O
x
P
结论：直线AB的方程为 x0x p(y0 y) ． 探究1：若弦AB过抛物线x2 2 y内一定点
A、B两点 .求 证：A,M,B三点 的横坐 标
成等差数列.
思考：把M改 A 成抛物线外任 意一点，结论 仍然成立吗？
yN
O
-2p
M
B
x
性质3：如图, ABP是阿基米德
三角形，N为抛物线弦AB中点，
则直线PN平行于抛物线的对称
轴.
y N
F
x2 2 py
B
A
O
x
P
练 习 1.动 点 P是 圆x( 4)2 y2 9上 任 意 一 点 ， 过 点 P作 抛物 线 y2 4x的 两 条 切 线 ， 切 点 为 AB,,弦 AB的 中 点 为
AF
B x 0x =p(y0+y)
O
x
P (x 0,y0)
性质2：若直线l与抛物线没有源自公共点，以l上的点为顶点的
阿基米德三角形ABP的底边AB
过定点。
y
C
B
A
F
x
O
P
例 1： (08.山 东如) 图 ， 抛 物 线 x2 2py
(p 0),M为直 线l: y 2p上任 意一点 ，
过M引抛 物线的 两条切线，切点 分别为