取对数求导法
对数求导法
对数求导法对数求导法是一种常用的求导方法，它可以帮助我们求解复杂的函数的导数。
对数求导法的基本思想是将原函数转化为对数函数，然后利用对数函数的性质来求导。
在本文中，我们将介绍对数求导法的基本原理和具体的求导步骤，并通过一些例子来加深读者对这一方法的理解。
一、对数求导法的基本原理对数求导法的基本原理是利用对数函数的性质将原函数进行转化，然后利用对数函数的导数性质来求解原函数的导数。
对数函数的性质有两个：1. ln(ab)=lna+lnb 2.ln(a^m)=m*lna 。
利用这两个性质，我们可以将原函数进行转化，然后再求导。
如果原函数是f(x)=x^a，我们可以将其转化为g(x)=ln(x^a)=a*lnx，然后再求导。
这样做的好处是，转化后的函数更容易求导，可以简化求导的过程。
二、对数求导法的具体步骤对数求导法的具体步骤如下：1. 将原函数按照ln的性质进行转化，转化为对数函数的形式。
2. 对转化后的对数函数进行求导，根据对数函数的导数性质进行求解。
3. 将求导结果重新转化为原函数的导数。
下面我们通过几个具体的例子来演示对数求导法的具体步骤。
例1：求解函数f(x)=x^2的导数。
首先将函数转化为对数函数的形式，得到g(x)=ln(x^2)=2lnx。
然后对g(x)求导，得到g'(x)=2/x。
最后将g'(x)重新转化为原函数f(x)的导数，得到f'(x)=2/x。
通过上面两个例子，我们可以看到对数求导法的具体步骤是非常简单清晰的，只需要按照上面的步骤进行操作即可。
值得注意的是，对数求导法只适用于对数函数和指数函数的求导，其他类型的函数并不适用。
对数求导法在实际问题中有着广泛的应用，尤其在求解复杂函数的导数时非常实用。
在微积分中，常常需要求解一个复杂函数的导数，这时可以利用对数求导法来简化求导的过程。
对数求导法还可以应用于一些物理和工程问题中，在电路分析中经常会遇到复杂的电压和电流关系，可以利用对数求导法来简化分析过程。
对数求导法
求函数导数的方法
01 定义
03 适用性 05 应用举例
目录
02 原理 04 求导举例
对数求导法是一种求函数导数的方法。 取对数的运算可将幂函数、指数函数及幂指函数运算降格成为乘法运算，可将乘法运算或除法运算降格为加 法或减法运算，使求导运算计算量大为减少。 对数求导法应用相当广泛。
定义
求导举例
（1）设，求。 解取对数得，求导得，所以。 （2）设，求。 解取对数得， 求导得， 所以。 （3）设函数由方程所确定，且已知，求。 解方程两边对求导，得，，，求得 将代入得。 注这里由于整体上是个减法，所以先取对数没有用。如果写为，那是错的，对数没有这样的运算性质。
应用举例
求函数在区间上的最小值，函数在区间上的最大值 。 解和在区间上连续且可导， （1）取对数得，求导得，所以， 函数在区间上的最小值为 （2）取对数得，求导得，所以， 函数在区间上的最大值为。
对求导的函数其两边先取对数，再同求导，就得到求导结果。这里需要补充说明，(ln f(x))'=f'(x)/f(x)。 因为，ln(x)的导数是1/x。
这种求导方法就称为取对数求导法 。简称对数求导法。
原理
对数求导法的原理就是 （1）换底，即； （2）复合式、商的形式、根式、幂的形式、指数形式或幂指函数形式的情况，求导时比较适用对数求导 法，这是因为：取对数可将乘法运算或除法运算降格为加法或减法运算，取对数的运算可将根式、幂函数、指数 函数及幂指函数运算降格成为乘除运算。
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对数的导数公式
对数的导数公式对数的导数是一个在微积分中常见且重要的概念。
它在解决许多实际问题中起着关键作用。
本文将介绍对数的导数公式以及其应用。
让我们回顾一下对数的定义。
对数是指数函数的逆运算。
对于任意正实数x和正实数a(a≠1)，其中a被称为底数，x被称为真数，对数的定义可以表示为：logₐ(x) = y ⇔ a^y = x其中，logₐ(x)表示以a为底数的x的对数，y表示对数的值。
接下来，我们来推导对数的导数公式。
假设y = logₐ(x)，我们要求y关于x的导数(dy/dx)。
为了完成这个推导，我们可以使用隐函数求导法。
首先，我们将等式两边同时取以a为底数的指数，得到：a^y = x接着，对等式两边同时求导，得到：a^y * ln(a) * (dy/dx) = 1根据隐函数求导法，我们可以将dy/dx解出来：dy/dx = 1 / (a^y * ln(a))根据对数的定义，我们可以将y表示为logₐ(x)，代入上式中，得到：dy/dx = 1 / (a^(logₐ(x)) * ln(a))化简上式，我们可以得到对数的导数公式：dy/dx = 1 / (x * ln(a))这就是对数的导数公式。
接下来，让我们来看一些对数的导数公式的应用。
对数的导数公式在求解各种实际问题时非常有用。
其中一种常见的应用是在经济学中的复利计算。
复利是指在一定时间内，利息不仅仅基于本金，而且还基于先前的利息。
复利计算涉及到指数函数和对数函数，因此对数的导数公式可以帮助我们理解和计算复利。
另一个应用是在科学和工程领域中的模型拟合。
许多实际问题可以通过建立数学模型来解决。
对数函数常常用于描述一些具有指数增长或指数衰减的现象。
因此，对数的导数公式可以帮助我们计算模型中的斜率和速率。
对数的导数公式也在微积分的证明中起着重要作用。
通过对数的导数公式的推导，我们可以更深入地了解微积分的基本概念和原理。
总结一下，本文介绍了对数的导数公式及其应用。
对数函数求导
对数函数求导在数学中，对数函数是常见的一种函数类型。
当需要求解这种函数导数时，需要用到一些特定的技巧和公式。
在本文中，我们将介绍如何对对数函数进行求导，以及一些相关的应用和例子。
一、对数函数的定义和性质对数函数是一种常见的函数类型，通常用符号“log”表示。
对于一个正实数x，我们用log(x)表示以e为底数的x的对数，即：log(x) = ln(x)其中，e是一个自然常数，约等于2.71828。
对数函数具有以下一些基本性质：•对于任意的正实数a和b，有以下三个基本公式：①log(ab) = log(a) + log(b)②log(a/b) = log(a) - log(b)③log(a^b) = b log(a)•对于任意的正实数a，有以下两个特殊公式：④log(1) = 0⑤log(e) = 1这些基本公式和性质是对数函数求导的基础。
二、对数函数求导的公式对于对数函数log(x)，我们可以通过求导公式来计算其导数。
具体来说，我们可以使用以下公式：d/dx log(x) = 1/x这个公式表示对数函数的导数等于其自变量的倒数。
因此，如果我们要求解log(x)在某个点x=a的导数，那么可以将x=a代入公式中，即：d/dx log(x) |x=a = 1/a有了这个公式，我们就可以在实际问题中应用对数函数的导数了。
三、对数函数求导的应用举例1. 如何求解指数函数的导数？指数函数是另一种常见的函数类型，通常用符号“exp”表示。
对于一个实数x，我们用exp(x)表示e的x次幂，即：exp(x) = e^x我们可以使用对数函数求导公式来计算指数函数的导数。
具体来说，我们可以使用以下公式：d/dx exp(x) = exp(x)这个公式表示指数函数的导数等于函数本身。
我们可以使用对数函数的性质③来证明这个公式。
假设y=exp(x)，那么我们可以写出：log(y) = x对两边求导，得到：1/y * dy/dx = 1因此，dy/dx = y = exp(x)，从而得到了指数函数的导数公式。
对数求导法
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（原创实用版）
目录
1.引言
2.对数函数的导数
3.自然对数函数的导数
4.常用对数函数的导数
5.结论
正文
1.引言
在微积分中，求导是计算函数的瞬时变化率的一种方法，而在求导过程中，对数函数的求导公式是非常重要的一部分。
对数函数的求导公式，通常被称为 log 函数求导公式，可以帮助我们计算以某个函数为底的对数函数的导数。
本文将为大家详细介绍 log 函数求导公式大全。
2.对数函数的导数
对数函数的导数可以通过以下公式进行计算：
ln(u) = 1/u
其中，u 表示对数函数的底数。
3.自然对数函数的导数
自然对数函数是指以自然常数 e 为底的对数函数，其导数为：
ln(x) = 1/x
其中，x 表示自然对数函数的自变量。
4.常用对数函数的导数
除了自然对数函数外，我们还常用其他底数的对数函数，如：
log(x) = 1/(xln2)
log(x) = 1/(xln3)
log(x) = 1/(xln4)
等等。
这些对数函数的导数可以通过以下公式进行计算：
log(x) = 1/(xlna)
其中，a 表示对数函数的底数，lna 表示底数 a 的自然对数。
5.结论
log 函数求导公式大全是微积分中非常重要的一部分，可以帮助我们计算各种对数函数的导数。
通过熟练掌握这些公式，我们可以更好地理解和应用对数函数在数学和实际问题中的性质和特点。
对数求导法导数基本公式高阶导数
对数求导法导数基本公式高阶导数一、对数求导法1. 令原函数为y=f(x)，其中f(x)是一个复杂函数，将y=f(x)两边取对数得到ln y = ln f(x)。
2. 对等式两边关于x求导，利用对数函数的求导法则，得到(lny)'=(ln f(x))'。
3. 根据对数函数的求导法则，我们有(ln y)'=1/y*(y')。
4. 化简得到ln y' = (ln f(x))'。
5. 对上式两边关于x求导，得到(d/dx)(ln y') = (d/dx)((lnf(x))')。
6. 根据链式法则，我们有(d/dx)(ln y') = y'/y*(y")，(d/dx)((ln f(x))') = (f(x))'/f(x)*(f(x))"。
7.化简得到y'/y*(y")=(f(x))'/f(x)*(f(x))"。
8.将结果回代到原函数中，即可得到原函数的导数。
二、对数函数的求导1. 自然对数函数ln x的导数：自然对数函数的导数为1/x，即(d/dx)(ln x) = 1/x。
2. 一般对数函数loga x的导数：一般对数函数的导数为1/(x*ln a)，即(d/dx)(loga x) = 1/(x*ln a)。
3.指数函数a^x的导数：指数函数的导数为a^x*ln a，即(d/dx)(a^x) = a^x*ln a。
4.对数函数的链式法则：若y=u(x)是一个可导函数，z=f(u)是一个可导函数，则有(dz/dx) = (dz/du)*(du/dx)。
三、基本公式在求导过程中，一些基本公式常常被使用。
1.常数函数的导数：若f(x)=c，其中c为常数，则有(d/dx)(c) = 0。
2.幂函数的导数：若f(x)=x^n，其中n为常数，则有(d/dx)(x^n) = nx^(n-1)。
对数求导法
对数求导法对数求导法是微积分中的一种常用方法，用于求解含有对数函数的导数或高阶导数。
对数求导法在求解复杂的函数导数时，能够简化计算过程，提高计算效率。
本文将介绍对数求导法的基本概念、原理和应用，帮助读者更好地理解并掌握这一重要的数学工具。
1. 对数函数的导数在学习对数函数的导数之前，我们首先需要了解对数函数的定义和性质。
对数函数是指以某个正数为底的对数运算，一般表示为logₐx，其中a为底数，x为真数。
对数函数的图像是一条逐渐上升的曲线，其导数可以通过对数函数的性质来求解。
对数函数的导数公式为：(logₐx)' = 1 / (x * ln(a))ln(a)表示以e为底的对数函数，关于e的性质是在微积分中经常使用的，e的近似值约为2.71828。
2. 对数求导法的基本原理在微积分中，当遇到形如y = logₐx的函数时，我们可以通过对数求导法来求解其导数。
对数求导法的基本原理是将对数函数转化为自然对数函数或常用的对数函数，再利用导数的基本公式来进行求解。
具体的方法是通过对数函数的换底公式，将对数函数转化为以e为底的自然对数函数，然后再利用自然对数函数的导数公式来求导。
对数求导法在微积分的应用中广泛使用，特别是在解决一些复杂函数的导数问题时，对数求导法能够简化计算过程，提高计算效率。
以下是对数求导法在实际问题中的应用案例：案例一：求解y = log₄x的导数对于函数y = log₄x，我们可以利用对数求导法来求解其导数。
利用对数函数的换底公式将对数函数转化为自然对数函数：y = log₄x = ln(x) / ln(4)然后，利用自然对数函数的导数公式来求解：y' = (1 / x) * (1 / ln(4))。
对数求导法
对数求导法对数求导法是微积分中的一种常用方法，用于求对数函数的导数。
对数函数是一种特殊的函数，其导数的求解需要特殊的方法。
在实际应用中，对数函数在各种科学工程问题中都有着重要的作用，因此掌握对数求导法对于理解和应用微积分有着重要意义。
本文将介绍对数函数的定义及其求导法则，并通过具体的例子来解释对数求导法的应用。
一、对数函数的定义我们来看一下对数函数的定义。
对数函数是指以某个固定的正数a（a≠1）为底的函数，通常表示为log_a(x)，其中x是自变量，a是底数。
对数函数有两种常用的表示方法，分别是自然对数和常用对数。
自然对数是以e为底的对数函数，通常表示为ln(x)，其中e≈2.718。
常用对数是以10为底的对数函数，通常表示为log(x)。
对数函数有着特殊的性质，其中最重要的一条就是对数函数的导数的特殊性质。
下面我们将介绍对数函数的求导法则。
二、对数函数的求导法则对数函数的求导法则是一种特殊的导数求解方法，用于求解对数函数的导数。
对于以a为底的对数函数log_a(x)，其导数的求解方法如下：1. 对于自然对数ln(x)，其导数是1/x。
即：d/dx [ln(x)] = 1/x通过上述导数法则，我们可以方便快捷地求解对数函数的导数。
下面我们将通过具体的例子来演示对数求导法的应用。
三、例子演示例1：求导ln(x)ln(x)的导数是1/x。
我们来求常用对数log(x)的导数。
假设底数a=10，根据对数函数的求导法则，我们有：d/dx [log(x)] = 1/(x * ln(10))通过以上例子，我们可以看到对数求导法的应用方法。
在实际问题中，对数函数常常出现在概率论、统计学、生物学、化学等领域的模型中。
掌握对数求导法对于解决实际问题有着重要的意义。
四、结语在学习微积分的过程中，我们需要不断练习对数求导法的应用，加深对其原理和方法的理解。
我们也要结合实际问题，多思考对数函数在实际应用中的意义和作用。
相信通过不懈的努力，我们一定能够掌握对数求导法，并将其应用于实际问题中，取得更好的学习成绩和科研成果。
对数求导法例子
对数求导法例子首先，让我们来了解一下对数函数的概念。
对数函数是指满足一定性质的指数函数的逆运算函数。
常见的对数函数有自然对数函数ln(x)和常用对数函数log(x)。
对数函数的导数求解对于一些复杂的函数来说非常有用，因为它可以将复杂的指数函数化简成较为简单的式子。
接下来，我们将通过具体的例子来说明如何利用对数求导法来求解函数的导数。
例1：求解 y = ln(x) 的导数我们知道，对数函数ln(x)是指数函数ex的逆函数，因此可以利用定义导数的极限思想来求解其导数。
对于y = ln(x)，我们可以利用导数的定义来求解其导数。
具体步骤如下：1. 首先，我们知道对数函数ln(x)的导数可以表示为lim(x->0) (ln(x+h) - ln(x))/h，其中h 表示x的变化量。
2. 我们可以利用对数函数的性质ln(a) - ln(b) = ln(a/b)来化简上式为lim(x->0)ln((x+h)/x)/h。
3. 进一步化简得到lim(x->0) ln(1+h/x)/h。
4. 由于x在趋近于0的情况下，1+h/x也会趋近于1，因此我们可以利用极限的性质lim(x->0) ln(1+h/x)/h = lim(x->0) (h/x)/h = 1/x。
5. 因此，我们得到了对数函数ln(x)的导数为1/x。
通过以上步骤，我们成功求解了对数函数ln(x)的导数。
通过对数求导法，我们化繁为简地得到了导数的表达式，并可以利用这个表达式来求解对数函数的导数值。
例2：求解 y = log(x) 的导数接下来，让我们来考虑常用对数函数log(x)的导数求解。
与对数函数ln(x)类似，常用对数函数log(x)的导数也可以利用对数求导法来求解。
具体步骤如下：1. 对于y = log(x)，我们可以利用导数的定义来求解其导数。
导数的定义为lim(x->0) (log(x+h) - log(x))/h，其中h表示x的变化量。
第三节隐函数的导数与取对数求导法
y
x0 y1
1; 4
将方程(1)两边再对x求导得
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
观察函数
y
(
x 1)3 ( x 4)
x 2ex
1
,
方法:
y x sin x .
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
所求切线方程为
y a x a( 1)
2
即 y x a(2 )
2
例7
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t
3a cos2 t( sin t) tan t
dt
d2y dx 2
d (dy ) dx dx
二：求下列方程所确定的隐函数y的导数
1：y 1 xe y
2：y tan(x y)
三：用对数求导法则求下列函数的导数： 1、 y x x2 ； 2、 y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
3、 y x sin x 1 e x .
四：求椭圆xy
a cost bsin t
在t
y
( x 1)3 x 1 1
( x 4)2 e x
[ x
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
例5 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
对数函数怎么求导
对数函数怎么求导求导是数学分析中经常需要用到的概念，而对数函数是一种特殊的函数，求解它的导数便显得尤其重要。
对于对数函数的求导，可以利用它的函数特征，采用极限法，或者利用微积分中的导数定义直接推导求解，这两种方法可以得到相同的结果，下面就简单介绍一下这两种方法的推导过程。
（一）极限法求导由于关于对数函数的定义可以表示为：y = loga x其中a为底数，而根据对数函数性质就可以得到：y = ln(x)即当x=a时，y=1，于是根据极限法得出：lim x→a y = lim x→a (1/ln(x)) (1/x)由于 x→a，(1/x)的极限就是0，所以可以得出：y = 0所以当底数a=e时，对数函数是一元函数，它的导数y就为0。
（二）微积分定义求导从微积分定义上来说，求导就是求解函数在某点处的斜率。
特别是对数函数，它的定义式也就可以表示为：y = ln(x)而对数函数在点(a, b)处的斜率，由斜率定义公式可知：y = lim h→0 (ln(a+h)-ln(a))/h由此可以求得：y = lim h→0 ln(1+h/a) /h由于h→0时，ln(1+h/a)→0，所以有：y = 0所以这两种方法得到的对数函数的导数都是0，说明对数函数在任何一点处都是一条水平线。
综上所述，无论是极限法还是微积分定义求导，都能得到对数函数的导数都是0的结论，从而证明任何一点处，对数函数都是一条水平线。
以上就是关于《对数函数怎么求导》的推导思路，我们先从函数的定义、性质出发，再推导出对数函数的导数，最后给出结论证明，通过极限法和微积分定义求导，都能得出对数函数的导数都是0的结论，从而证明任何一点处，对数函数都是一条水平线。
取对数求导法
注意:
求n阶导数时,求出 1-3 或 4 阶后,不要 急于合并.应该在分析结果规律的基础上 直接写出n阶导数.(严格讲，最后写出的结 果应该用数学归纳法证明，但一般不证)
高阶导数求法举例
下面是补充题：
例4 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
解
y 1 1 x2
y
1 ( 1 x2
为了方便起见，对数真数的绝对值可以略 去不写.
下面我们再看一个例子
取对数求导法举例
例16 求 y x sinx 的导数 (x 0).
解 两边取对数，有
lny sinx lnx
两边同时对x求导，可得
1 y (sin x) lnx ln x sin x
(2) cu(x cu(x) (c是常数）
(3) u(x)v(x) u(x)v(x) u(x)v(x)
u(x) u(x)v(x) u(x)v(x)
(4) v(x)
v2 (x)
(v(x) 0)
❖ 复合函数的求导法则
设y f (u), 而u (x),则复合函数 y f [ (x)]
(C) 0
(x ) x 1
(sin x) cos x
(cos x) sin x
(tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
(sec x) sec x tan x (csc x) csc x cot x
2.2.5 导数基本公式
❖ 常数和基本初等函数的导数公式
(a x ) a x ln a
y(n) (1)n 2n e2x
课堂练习 Ex2 10 (6)
10 (6) 设 y ln(1 x), 求y (n) .
课堂练习解答：
对数求导法
思考题 求
x x , ( x > 0) y=x
的导数.
小结：对于幂指函数求导，我们利用对数把指数 从底数的“肩膀”上拉下来，幂指函数就转化成相 乘的函数，进而简化求导运算.
二、乘积形式的函数的对数求导法 例3 求 y =
( x − 1)( x − 2) , ( x > 4) 的导数. ( x − 3)( x − 4)
( x −1)( x − 2) y = x ,( x > 0)以及y = ( x − 3)( x − 4)
x
的怎样进行求导呢？
这里我们介绍一种新的求导方法—对 数求导法，即利用对数进行求导．在 这我们有两个问题． （１）怎么利用对数进行求导？ （２）对数求导法有哪些简便之处？ .
对数求导法的步骤
解 先在两边取对数，得
ln y = ln ( x − 1)( x − 2) ( x − 3)( x − 4)
两边同时对x求导数，注意到y = y( x)，得
1 = (ln( x − 1) + ln( x − 2) − ln( x − 3) − ln( x − 4)) 2
1 ' 1 1 1 1 1 y = ( + − − ) y 2 x −1 x − 2 x − 3 x − 4
2
的导数.
小结：对数求导法可以把乘积的函数转化成 加减的函数，把函数的幂运算转化成 函数的相乘运算，这会简化我们的求 导运算。
谢谢！ 谢谢！
y 1 1 1 1 y = ( + − − ) 2 x −1 x − 2 x − 3 x − 4
'
即
1 ( x − 1)( x − 2) 1 1 1 1 y = ( + − − ) 2 ( x − 3)( x − 4) x − 1 x − 2 x − 3 x − 4
取对数的求导法则
取对数的求导法则
例1．设，其中u，ν是x的函数且均可
导，试求y的导数.
注意：这是一种特殊类型的函数，它既不是幂函数，也不是指数函数，称为幂指函数.具体地，如，等都是幂指函数.求幂指函数的导数时，既不能直接利用幂函数的导数公式计算，也不能直接利用指数函数的导数公式计算。
我们可以利用对数求导法求其导数.
解：将函数式两边取自然对数，有
按隐函数求导法，上式两边对x求导数，得
即
从而有
另解：也可以将幂指数y=uν化为复合函数y=eνlnu，用复合函数的求导法则求导数.记u=e lnu，则y=uν=(e lnu)ν=e vlnu
于是有y′=（uν）′=(eνlnu)′＝eνlnu(νlnu)′
读者可以不必死记幂函数的导数公式，只要掌握对数求导法即可.
所谓对数求导法，就是先对所给的函数式两边取自然对数，再按隐函数的求导法则求导数.在某些情况下，利用对数求导法求导数，
要比用通常的方法求导数方便一些.下面通过例题来说明这种方法.。
log函数的求导公式过程
对于自然对数函数ln(x) 或常用对数函数log₁₁(x)，它们的求导公式如下：
1. 对数函数的求导公式：d/dx logₐ(x) = 1 / (x ln(a))
其中，logₐ(x) 表示以a 为底的对数函数。
下面是对数函数求导公式的推导过程：
假设y = logₐ(x)，则x = a^y。
我们需要求dy/dx。
两边同时取自然对数（ln）：
ln(x) = ln(a^y)
利用对数的性质，可以将a^y 转化为e 的指数形式：
ln(x) = y ln(a)
对两边同时求导数（注意，此处的d/dx 表示对自变量x 求导）：
d/dx ln(x) = d/dx (y ln(a))
根据链式法则，右侧可以展开：
1/x = y ( d/dx ln(a) )
将y 替换为logₐ(x)：
1/x = logₐ(x) ( d/dx ln(a) )
进一步整理可得：
d/dx logₐ(x) = 1 / (x ln(a))
同样的推导可以应用于自然对数函数ln(x)，其中a 是常数e（自然对数的底数）。
需要注意的是，基数a 必须大于0 且不等于1，才能应用对数函数求导公式。
对数导数推导
对数导数推导总论：求对数导数是数学中一个关键概念，可以应用到很多不同的领域，也是各种数学计算和应用中不可缺少的一环。
本文将尽可能详细地介绍对数导数的推导过程。
一、概念求对数导数指的是求解一个函数关于某一自变量x的斜率，其中函数f(x)是与变量x有关的一个复合函数。
即：f(x) = g(h(x))，其中g(·)和h(·)都是定义在某一区域内的可微函数，如果再加上极限的概念，在求解某一变量的斜率时，就得到了求对数导数的概念：$$\lim_{h→0}\frac{g(h(x+h))-g(h(x))}h$$二、基础知识在进行对数导数求解之前，一定需要先掌握几个基础知识：1. 对数函数的定义：对数函数是以e为底的指数函数，即y = lnx，即y=log_e x，其中x是大于0的实数。
2. 对数的性质：对数的性质可以帮助我们更好地理解和利用对数函数，最常用的性质有如下几条：a. 对称性：loga = logb 当且仅当 a = b。
c. 常熟汇总： loga * logb + loga * logb = loga + b。
3. 对数函数的微分：对数函数的微分可以简写为：d(lnx)/dx = 1/x，即回常为一个反比例函数。
三、推导过程来看一个具体的求对数导数例题，求函数$f(x)=ln(x²+1)$$$的x = 1处的对数导数： 1. 用不定积分的方法：我们知道不定积分的性质：$\int f'(x)dx=f(x)+C$，即：$$\int \frac{d}{dx}(ln(x²+1))dx=ln(x²+1)+C$$而根据区间 [1, x] 的不定积分定义，我们可以得到：又有：2. 用极限的方法：我们用极限的思想来求解，由于u(x)是一个可导函数，我们可以令 h 代入如下式子：可以考虑u(x)有如下形式：$$u(x)=ln(x²+1)$$于是求解对数导数可以用极限的方法求解：得到$$\lim_{h→0}\frac{2xh}{x²+1+2xh+h²}=\frac{2x}{x²+1}$$3. 对求得的结果进行简化：由于h → 0，即可以将h²项去掉以上就是求对数导数的推导过程，可以看到过程中需要明确对数函数的定义，性质和微分，以及利用极限和不定积分求解，将这些基础知识结合起来，就可以完成求对数导数的过程。
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对于这两类函数，可以通过两边取对数， 转化为隐函数，然后按 隐函数求导的方法求 出导数y 。这样会使计算简单或 更容易，这 种方法称作 对数求导法
取对数求导法举例
例 15 求 y
3
x(3x - 1) 1 ( x 2) (5 x 3)( 2 x ) 3
解 两边取对数，有
1 ln y ln x ln(3x 1) ln(5 x 3) ln(2 x) 3
2
1 x 1 1 x
2
(arc cot x)
函数的和、差、积、商的求导法则
设u(x), v(x)可导 ,则
(1) u( x) v( x) u( x) v( x)
(2) cu(x cu(x) (c是常数）
(3) u(x)v(x) u( x)v( x) u( x)v( x)
2 sin x sinx 即 y (cosx) (cos x ln cos x ) cos x
EX 2 8. 利用对数求导法求函数 的导数
(5) y 2x
x
解 两边取对数
ln y ln(2 x
两边求导
x
) ln 2 x ln x
y 1 x ln x y x 2 x
利用上述公式及法则,初等函数求导问题可完 全解决.
注意: 初等函数的导数仍为初等函数. 关键: 正确分解初等函数的复合结构.
思考题: 幂函数在其定义域（ ）.
（1） 必可导； （3）不一定可导. （2）必不可导；
思考题解答： 正确地选择是（3）
例
f ( x) x , x (,) 在 x=0 处不可导;
f (0)
2 x (1 x )
2 2 x 0
0
x 0
f (0)
2(3 x 2 1) (1 x )
2 3
2.
作业 Ex2 8 (1, 5) 10 (1, 3, 5)
EX 2 8. 利用对数求导法求函数 的导数
sinx （ 1）y (cosx)
解 两边取对数，得 lny sinx ln cosx 两边同时对 x求导，可得 1 sin x y cos x ln cos x ( sin x ) y cos x
u(x) u ( x)v( x) u( x)v( x) (4) (v(x) 0) 2 v(x) v ( x)
复合函数的求导法则
设y f (u ), 而u ( x), 则复合函数 y f [ ( x)] 的导数为 dy dy du dx du dx 或 y ( x) f (u ) ( x).
下面，我们给出四个反 三角函数的求导公 式，证明这些公式需要 用到反函数的求导法 则，这里略去不证 .
(arcsin x)
1 1 x
2
(arccos x)
1 1 x
2
1 1 ( arc cot x ) (arctan x ) 1 x2 1 x2
显然，有
例3 求下列函数的n阶导数 .
(2) y e
解
-2x
2 x 1 1 2 x y (2)e (1) 2 e
y (2) e
2 2x
(1) 2 e
n 2x
2 2 2x
-----------
y
(n )
(1) 2 e
n
课堂练习 Ex2 10 (6)
1 x), 求y 10 (6) 设 y ln(
高阶导数求法举例
下面是补充题： 例4 设 y arctan x, 求f (0), f (0). 解
y 1 1 x2
y (
1 1 x2
)
2 x (1 x 2 ) 2
y (
2 x (1 x )
2 2
)
2(3 x 2 1) (1 x 2 ) 3
v( x)
v( x)u ( x) [v( x) ln u( x) ] u ( x)
课堂练习
Ex 2 8 (6)
课堂练习解答：
Ex 2 （ 8 6） 两边取对数，有 lny lnx ln sinx 两边同时对 x求导 y 1 ln x cos x ln sin x y x sin x 1 ln x 1 y (sin x ) ( ln sin x cos x ln x ) x sin x ln x 1 (sin x ) ( ln sin x cot x ln x ) x
授课内容
取对数求导法 导数基本公式 高阶导数
Math2-4
知 识 点
幂指函数转化成隐函数 反三角函数的求导公式 导数基本公式 二阶导数、高阶导数
重
点
导数基本公式和法则的应用
2.2.4 取对数求导法
有时还会遇到这样一些 情形，虽然给定的函数 是显函数，但直接求它 的导数很困难或很麻烦 ，例 如幂指函数 y u v 及一种因子之幂的连乘 积的函数， 如 y3 x(3x - 1) . (5x 3)(2 - x)
两边同时对 x求导，可得
1 11 3 5 1 y y 3 x 3x 1 5 x 3 2 x
即
1 x(3 x 1) y 3 3 (5 x 3)( 2 x)
1 3 5 1 x 3x 1 5 x 3 2 x
即 y 2x
x
(
ln x 2 x
1 x
)
x x
x
(ln x 2)
10.求下列函数的n阶导数
10(5) y xe
x
解 y e x xe x (1 x)e x
x x x y e (1 x)e (2 x)e x x x y e ( 2 x)e (3 x)e
(arcsin x) (arccos x)
(arctan x) (arc cot x)
例 17 求下列函数的导数：
(1) y arcsin(3x )
解
y 1 1 - (3x 2 ) 2 (3 x )
2
2
6x 1 9x
4
例 17 求下列函数的导数：
(2)
x 2 x 解 y 3(arctan ) (arctan ) 2 2 x 2 1 x 3(arctan ) ( ) x 2 2 2 1 ( ) 2 x 2 1 1 3(arctan ) 2 x2 2 1 6 x 2 4 (arctan ) 2 2 4 x
2 3
而 f ( x) x 2 , x (,) 在定义域内处处可导.
2.3 高阶导数
问题:变速直线运动的加速度.
v(t ) f (t ) 设 s f (t ), 则瞬时速度为
加速度 a是速度 v对时间 t的变化率
a(t ) v(t ) [ f (t )].
例1 求下列函数的二阶导数：
(2)
解
y xcosx
y cosx x sin x
y sinx sinx x cosx
2sinx x cosx
高阶导数求法举例
例2
解
设 f(x) x 2 ln x ,求f (2).
f (x) 2x ln x x
2
.
二阶导数的导数称为三阶导数 三阶导数的导数称为四阶导数 f
f ( x), y ,
( 4)
d y
d y dx
4
3
( x), y ,
( 4)
dx 4
3
.
.
一般地,函数f ( x)的n 1 阶导数的导数称为 函数f ( x)的n阶导数, 记作 n n d y d f ( x) ( n) ( n) f ( x), y , 或 . dx n dx n 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
1 cos x ln x sin x x 1 sin x cos x ln x sin x 即 y x x
1 y (sin x) ln x sin x(ln x) y
一般地对于
f ( x) u( x)
v( x)
(u( x) 0)
相应地, f ( x)称为f ( x)的一阶导数.
高阶导数求法举例 由高阶导数的定义 逐步 求高阶导数.
例1 求下列函数的二阶导数：
(1) y 2x3 3x 2 5
解
y 6x 6x
2
y (6x 2 6x )
12x 6
高阶导数求法举例 由高阶导数的定义 逐步 求高阶导数.
2.2.5 导数基本公式
常数和基本初等函数的导数公式
(a x ) a x ln a 1 (log a x) x ln a
(arcsin x ) (arctan x )
(e x ) e x 1 (ln x) x (arccos x )
2
1
1 1 x 1 1 x2
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即 f ( x x) f ( x) ( f ( x)) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
二阶导数记作 f ( x), y ,
d2y dx
2
或
d 2 f ( x) dx
ln f ( x) v( x) ln u( x)
d 1 d 又 ln f ( x) f ( x) dx f ( x) dx d d f ( x) f ( x) ln f ( x) f ( x) v( x) ln u ( x) dx dx