1.4.3 对数求导法

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(按隐函数求微分或导数)
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4
y (1 sin x ) ,
x
解恒等变形得
ln y x ln(1 sin x )
根据微分法则知
1 1 dy dx ln(1 sin x ) x cos xdx y 1 sin x
因此
解等式两边先取绝对值再取对数得
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2
对 x 求导

1 1 y 1 1 1 , y 2 x 1 x 2 x 3 x 4

1 1 1 1 . x 1 x 2 x 3 x 4
x
分析要求幂指函数 f ( x )
g( x )
的微分或导数，
根据对数恒等式，先变换成
ye
或
ln f ( x )
g( x)
e g ( x )ln f ( x ) .
(按复合函数求微分或导数)
ln y ln f ( x ) g( x )ln f ( x ).
g( x )
1.4.3 对数求导法
一、幂指函数的对数求导法则二、乘积形式函数的对数求导法则三、小结
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观ຫໍສະໝຸດ Baidu函数
( x 1)3 x 1 y , 2 x ( x 4) e
求导方法: 先在方程两边取对数,
y x
sin x
.
然后利用隐函数的求导 -----对数求导法
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例6 设
求y.
解两边取对数
a ln y x ln a [ln b ln x ] b [ln x ln a ], b
两边对 x 求导
a a b y ln , b x x y
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注结果与例1中利用对数求导法所得完全一致.
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二、乘积形式函数的对数求导法则
乘积形式函数的求导法则：如果利用
uv uv uv
来求导，理论上是可行的，但对于比较复杂的情
形，例如
( x 1) 3 x 1 y , 2 x ( x 4) e
求导法则:
y uv , 其中u u( x ), v v( x ),可用对数对幂指函数
求导法求导: ln y v ln u,
uv 1 , y v ln u u y uv v y u v ln u . u y uv ln u v vuv 1 u.
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作业
1.认真看书。
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15
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
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( x 1)( x 2) , 求y. 例5 设 y ( x 3)( x 4)
则过程显得非常繁琐，因此也先取对数，再求导.
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例4
( x 1) 3 x 1 设 y , 求y. 2 x ( x 4) e
解等式两边先取绝对值再取对数得
1 ln y ln x 1 ln x 1 2ln x 4 x 3 上式两边对 x求导得
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三、小结
对数求导法则：
对方程两边取对数，按隐函数的求导法则求导. 对数求导法适用的函数类型：
1. 幂指函数；
2. 乘积形式函数.
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对数求导法的步骤: 1. 取自然对数； 2. 等式两端分别对自变量求导；
3. 等式两端再乘以y, 左端即y ( x ).
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例3 利用求导公式求解根据求导公式可得
的导数.
y sin x x
sin x 1
x

x
sin x
ln x sin x

sin x x sin x 1 x sin x ln x cos x
x
sin x
sin x x ln x cos x .
方法求出导数.
适用范围:
多个函数相乘和幂指函数 u( x )v ( x )的情形.
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一、幂指函数的对数求导法则例1 解
设 y xsin x ( x 0), 求y.
等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
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例2 设 y (1 sin x ) , 则 dy _______ .
注
按指数函数求导公式
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按幂函数求导公式
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uv ln u v vuv 1 u. y
按指数函数求导公式幂指函数的求导公式: 将幂指函数当作幂函数求导加上将幂指函数按幂函数求导公式
当作指数函数求导.
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1 dy y dx ln(1 sin x ) x cos xdx 1 sin x x cos x x (1 sin x ) ln(1 sin x ) dx . 1 sin x
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