1.4.3 对数求导法
对数求导法
对数求导法对数求导法是微积分中的一种求导方法，它常常被用来简化复杂函数的求导过程。
对数求导法的核心思想是，对于一个函数y=f(x)，如果我们对函数取对数，那么就可以将原函数的求导问题转化为对对数函数的求导问题。
这种方法能够帮助我们更加快速地求出函数的导数，特别是对于一些复杂的函数而言，对数求导法是非常有用的。
在接下来的内容中，我们将详细介绍对数求导法的原理和应用，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一求导方法。
一、对数求导法的基本原理要理解对数求导法，首先需要知道函数的对数导数法则。
对于一个函数y=f(x)，如果我们将其取对数，得到ln(y)=ln(f(x))，那么对其进行求导，就得到了ln(y)’ =f’(x)/f(x)。
这就是对数导数法则的基本原理，它可以帮助我们将原函数的求导问题转化为对数函数的求导问题，从而简化求导的过程。
对数求导法在实际应用中有着广泛的用途，特别是在解决一些复杂函数的求导问题时，对数求导法常常能够起到事半功倍的效果。
下面我们举几个例子来说明对数求导法的应用。
通过以上两个例子，我们可以看到对数求导法在求解复杂函数的导数时的重要作用。
通过将函数取对数，我们能够将原函数的求导问题转化为对数函数的求导问题，从而简化了求导的过程。
这种方法不仅可以帮助我们更快速地求出函数的导数，而且还可以避免一些繁琐的计算过程，大大提高了求导的效率。
虽然对数求导法在解决一些复杂函数的求导问题时有着重要的作用，但是它也存在一些局限性。
对数求导法并不是适用于所有的函数，有些函数取对数后会使原函数的求导问题变得更加复杂，甚至无法求导。
在应用对数求导法时，需要根据具体的问题来综合考虑是否采用这种方法。
对数求导法也需要一定的数学基础和运用技巧。
在将函数取对数后，我们需要灵活地运用对数的性质和导数法则来化简求导的过程，这需要一定的数学能力和经验。
在使用对数求导法时，需要认真学习对数函数的性质和导数法则，灵活地运用这些知识来求解问题。
对数求导法的公式
对数求导法的公式讲述如何使用求导法求解函数的最值求导法是一种寻找函数最值（即极大值和极小值）的数学方法。
它可以帮助分析函数在某个点的变化情况，并且可以有效地找出函数最值。
需要牢记的是，求导法得出的方程最后一步必须用解析法进行处理，才能获得极大或极小值。
首先，让我们来了解一下求导法的公式。
对于以y为函数的单变量函数f(x)，求导法的公式为：f'(x) = 〖[f(x+Δx) - f(x)〗/Δx〗这个公式要么可以用来表示函数f(x)在点x的斜率，要么用来表示函数的变化量，即函数在点x处的导数。
然后，让我们来看看如何使用求导法求解函数的最值问题。
首先，我们需要对目标函数进行导数运算。
假设目标函数f(x)=x3，我们可以很容易地将其导数计算出来，即：f'(x)=3x2。
注意，此处不要将此导数代入目标函数来求最值，因为这样做可能会得出错误的结果。
接下来，我们要根据导数的性质，来判断此函数的最值情况。
我们知道，如果函数f'(x)是连续而且拐点（即当x = a时，f'(a) = 0）处处为0，那么这时函数f(x)必然处于最大值点或者最小值点，甚至可能存在多个拐点。
因此，当f'(x)取值为0时，我们可以进行接下来的步骤，即求解函数f(x)的极大值或极小值。
最后，为了求得函数f(x)的最值，我们再次对目标函数f(x)进行导数运算，当且仅当导数的值大于0时，极大值才可以使用示值法求得，当且仅当导数的值小于0时，极小值才可以使用示值法求得。
所以，最后，通过代入不同的值，找出极大值和极小值就可以完成函数的求最值问题了。
总之，求导法是一种常用的求解函数最值的数学方法。
它可以有效的帮助我们确定函数最值的位置，并且可以在最短的时间内获得正确的结果。
在求解最值问题时，我们一定要正确地使用求导法的公式，以确保能够得。
常用导数求导公式
常用导数求导公式在微积分中，导数是描述函数斜率变化率的重要概念。
求导是求得函数的导数的过程，它在许多数学和物理问题中起着关键作用。
导数求导的过程中，有一些常用的导数求导公式，它们可以帮助我们简化计算过程。
下面是一些常用的导数求导公式的总结：常数函数的导数如果f(f)=f，其中f为常数，则f′(f)=0。
这是因为常数函数的图像是水平直线，斜率恒为0。
幂函数的导数1.如果f(f)=f f，其中f为整数，则f′(f)=ff f−1。
这是幂函数求导的基本规则。
指数函数的导数1.如果f(f)=f f，其中f为常数且f>0，则$f'(x) =a^x \\ln(a)$。
这是指数函数求导的特殊规则。
对数函数的导数1.如果$f(x) = \\ln(x)$，则$f'(x) = \\frac{1}{x}$。
这是自然对数函数求导的规则之一。
2.如果$f(x) = \\log_a(x)$，其中f>0且f ff1，则$f'(x) = \\frac{1}{x \\ln(a)}$。
这是对数函数求导的一般规则。
三角函数的导数1.如果$f(x) = \\sin(x)$，则$f'(x) = \\cos(x)$。
这是正弦函数求导的规则之一。
2.如果$f(x) = \\cos(x)$，则$f'(x) = -\\sin(x)$。
这是余弦函数求导的规则之一。
3.如果$f(x) = \\tan(x)$，则$f'(x) = \\sec^2(x)$。
这是正切函数求导的规则之一。
反三角函数的导数1.如果$f(x) = \\arcsin(x)$，则$f'(x) =\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。
这是反正弦函数求导的规则之一。
2.如果$f(x) = \\arccos(x)$，则$f'(x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。
这是反余弦函数求导的规则之一。
对数及指数函数的导数
(4)y lg(sinx)y cotxlge
/
1 (5)y lg 1 x y 2(x - 1) x
/
(6)y ln 1 x
2
y
/
1 x
2
公式5：对数函数的导数
1 (5)(ln x ) x 1 (6)(log a x ) log a e x
公式6：指数函数的导数
1 2 / y 2 (2x 3x 1) 2x 3x 1
/
练 习 1： 求 下 列 函 数 的 数 导 (1)y xlnx y 1lnx 1 / 1 y (2)y ln x 2x x / y 2 logae 2 (3)y loga(x 2) x 2
(7)(e ) e
x /
x /
x
x
(8)(a ) a lna
例3：求y e cos3x的导数
2x
分析：先用到两个函数 乘积的求导法则，再 用到复合函数求导法则
y e (2cos3x 3sin3x)
/ 2x
例4：求y a 的导数
5x
y 5a lna
/ 5x
练 习 2： 求 下 列 函 数 的 数 导 (1)y x e
例1: 求y ln(2x 3x 1)的导数
2
分析：用到对数的求导 公式和复合函数求导法 则及 四则运算.
Байду номын сангаас
1 2 (4x 3) 2x 3x 1 2 例2: 求y lg 1 x 的导数
1 1 1 / 2 / 2 lg e (1 x ) 法2：y lg(1 x )y 2 2 1 x 2 1 1 xlge lge ( 2x) 2 2 2 1 x x 1
对数求导法
对数求导法对数函数是高中数学课程中常见的函数之一，它在数学和物理学中有着重要的应用。
对数函数的导数求解是数学分析的重要内容之一，掌握对数函数的求导法则对学生提高数学分析水平具有重要意义。
对数函数的定义：对数函数是指以某特定的常数为底的对数函数，通常表示为y = loga(x)，其中a为底数，x为自变量，y为因变量。
在常见的数学课程中，我们通常所讨论的对数函数是以10为底的常用对数函数（log10(x)）以及以e为底的自然对数函数（ln(x)）。
首先我们来求解常用对数函数y = log(x)的导数。
根据求导法则，我们知道对数函数的导数与指数函数的导数有关。
我们通过指数函数的导数求导法则来求解常用对数函数的导数。
设y = log(x)，则x = 10^y。
根据指数函数的导数求导法则可得：dy/dx = d(10^y)/dx= (10^y) * ln(10)= x * ln(10)常用对数函数y = log(x)的导数为dy/dx = 1/x * ln(10)。
通过上述常用对数函数和自然对数函数的导数求解可得到对数函数导数的性质：这些性质在对数函数的导数计算中具有重要的作用，我们可以通过这些性质来求解包括对数函数的复合函数和反函数在内的更复杂的导数计算问题。
接下来我们通过例题来演示对数函数的导数计算过程。
例题：求函数y = ln(2x+1)的导数。
以上两个例题展示了对数函数的导数计算过程，通过这些例题的求解，我们可以更深入地理解对数函数的导数求解方法。
结语：对数函数是数学分析中常见的函数之一，它在数学和物理学中有着重要的应用。
掌握对数函数的导数求解方法对于提高学生的数学分析水平具有重要的意义。
通过对常用对数函数和自然对数函数的导数性质的学习和应用，我们可以更深入地理解对数函数的导数求解方法，并且能够通过例题来熟练掌握对数函数的导数计算过程。
希望本文对对数函数的导数求解方法有所帮助，能够帮助学生更好地掌握对数函数的导数计算技巧。
log函数的求导公式过程
log函数的求导公式过程
对于自然对数函数 (log 函数) 的求导公式，我们可以使用导数定义和链式法则进行求解。
基本的自然对数函数由以下形式表示：f(x) = ln(x)
我们可以使用以下步骤来求解该函数的导数：
1.使用导数定义：根据导数的定义，导数表示函数在某一点
的瞬时斜率，定义如下：
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h
2.代入自然对数函数：将自然对数函数代入导数定义中：
f'(x) = lim(h→0) [ln(x+h) - ln(x)] / h
3.使用对数的特性：利用对数的特性，我们可以重写式子：
f'(x) = lim(h→0) ln[(x+h) / x] / h
4.转换为指数形式：使用对数性质，将对数转换为指数的形
式：
f'(x) = lim(h→0) [(x+h) / x]^1/h
5.应用极限：使用极限的性质，计算最终结果：
f'(x) = 1 / x
因此，自然对数函数 ln(x) 的导数为 1/x。
需要注意的是，这是针对 x > 0 的情况。
对于负数或零，自然对数函数并没有定义。
对数求导公式推导过程
对数求导公式推导过程是数学中一个重要的知识点，它是用来解决特定函数曲线的斜率问题。
首先，我们需要知道什么是对数。
对数是把一个数乘以自身的次幂，得到一个特定的数值。
例如，10^2=100，这里的2就是10的对数。
现在让我们来求导数据公式的推导过程，以下是求导的步骤：
1. 首先，假设有一个函数y=lnx，它的导数是什么？
2. 将y=lnx替换为y=x的对数形式，即y=loga(x)，其中a是底数。
3. 使用对数求导法则，即求导时将原函数的对数形式求导，即d/dx(loga(x))=1/x。
4. 将求导的结果带入原函数的对数形式，即d/dx(lnx)=1/x，这就得到了对数求导公式。
以上就是对数求导公式推导过程的介绍，从上面的推导过程可以看出，对数求导公式是一个非常简单易懂的求导公式，而且可以用来解决许多数学中的问题。
对数求导法
解 先在两边取对数，得
ln y = ln ( x − 1)( x − 2) ( x − 3)( x − 4)
两边同时对x求导数，注意到y = y( x)，得
1 = (ln( x − 1) + ln( x − 2) − ln( x − 3) − ln( x − 4)) 2
1 ' 1 1 1 1 1 y = ( + − − ) y 2 x −1 x − 2 x − 3 x − 4
1 y y
'
'
= c o s x ln x +
x
s in x x
sin x 于是y = x (cos x ln x + ) x
对于一般形式的幂指函数
y = u v , (u > 0)
（1）
如果u = u ( x ), v = v ( x ) 都可导，我们可以像例1一样利用 对数求导法，求出（1）的导数，也可以把幂指函数化为
§4.4 对数求导法
我们学过导数公式，导数四则运算， 我们学过导数公式，导数四则运算， 高阶导数及隐含数求导， 高阶导数及隐含数求导，这使我们能够对 很多类型的函数进行求导函数， 很多类型的函数进行求导函数，但对下列 函数
( x −1)( x − 2) y = x ,( x > 0)以及y = ( x − 3)( x − 4)
x
的怎样进行求导呢？
这里我们介绍一种新的求导方法—对 数求导法，即利用对数进行求导．在 这我们有两个问题． （１）怎么利用对数进行求导？ （２）对数求导法有哪些简便之处？ .
对数求导法的步骤
1.对y = f ( x)两边同时取对数.
2.两边同时关于x求导数.
3.移项，移成y ' = y ' ( x )的形式
常用导数公式及运算
常用导数公式及运算导数是微积分中的重要概念，描述了函数在其中一点上的变化率。
在实际应用中，导数公式是进行数学推导和计算的基本工具，也是理解函数性质和解决实际问题的重要手段。
1.基本导数公式：-常数函数导数公式：若f(x)=a（a为常数），则f'(x)=0。
- 幂函数导数公式：若 f(x) = x^n（n为常数），则 f'(x) =nx^{n-1}。
- 指数函数导数公式：若 f(x) = a^x（a>0且a≠1），则 f'(x) = a^xlna。
- 对数函数导数公式：若 f(x) = log_a(x)（a>0且a≠1），则f'(x) = \frac{1}{xlna}。
- 正弦函数导数公式：f(x) = sin(x)，则 f'(x) = cos(x)。
- 余弦函数导数公式：f(x) = cos(x)，则 f'(x) = -sin(x)。
- 正切函数导数公式：f(x) = tan(x)，则 f'(x) = sec^2(x)。
2.运算法则：-基本四则运算法则：-若f(x)=u(x)+v(x)，则f'(x)=u'(x)+v'(x)。
-若f(x)=u(x)-v(x)，则f'(x)=u'(x)-v'(x)。
-若f(x)=c×u(x)（c为常数），则f'(x)=c×u'(x)。
-若f(x)=u(x)×v(x)，则f'(x)=u'(x)×v(x)+u(x)×v'(x)。
- 若 f(x) = u(x) / v(x)（其中v(x) ≠ 0），则 f'(x) =\frac{u'(x) × v(x) - u(x) × v'(x)}{v(x)^2}。
-复合函数导数法则：-若f(x)=g(u(x))，则f'(x)=g'(u(x))×u'(x)。
对数和指数函数的导数
例3：求ylog2(x 1 x2 )的导数：
解 ： y/ x
1 1
x2
l
o
g2e
(
x
1 x2 )/
x
1 1
x2
l
o
g2e
[
1
1( 2
1
x2
)
1 2
2
x
]
log2e 1 x2
变式：求下列函数的导数
(1) y xx
本题解法的求导方法称 为“对数求导法”
xxn2xy)y/y// 2c1(oxx1tx-x21l)g
e
公式5：对数函数的导数
(5)(ln x) 1 x
(6)(log a
x)
1 x
log a
e
公式6：指数函数的导数
(7)(ex )/ ex
(8)(ax )/ axlna
例3：求y e2x cos3x的导数
分 析 ： 先 用 到 两 个 函 数乘 积 的 求 导 法 则 ， 再 用到复合函数求导法则
y/ e2x(2cos3x 3sin3x)
例4：求y a5x的导数
y/ 5a5xlna
练 习 2： 求 下 列 函 数 的导 数 (1)y x2 ex (2)y e3x (3)y x3 3x (4)y xn ex (5)y ex sinx (6)y ex lnx (7)y ax logax
两边取自然对数, ln y x ln x,
两边对x求导, 1 y ln x x 1
y
x
y x x (1 ln x).
知识回顾 Knowledge Review
)3
的
自然对数导数公式推导
自然对数导数公式推导
对数函数的导数公式：一般情况下，如果a（a>0，a≠1）的B
的幂等于N，则数B称为N的对数，以a为基，表示为Logan=B，其中a称为对数的基，N称为真数。
如果基数相同，则真值越大，函数值就越大。
（A>1）如果基数相同，则实数越小，函数值越大。
（0<A<1）=“”>
对数公式是数学中常用的公式。
如果a^x=n（a>0，a≠1），则x 称为以a为底n的对数，表示为x=log（a）（n），其中a写在log 的右下角。
其中a是对数的底，N是实数。
通常，我们称以10为底的对数为普通对数，以e为底的对数为自然对数。
f（x）=lnx
f“（x）=lim{h->0}（ln（x h）-lnx）/h
=lim{h->0}ln（1 h/x）/h
=lim{h->0}（1/x）（x/h）ln（1 h/x）]=1/x的最后一个等号，因为lim{h->0}（1/h）ln 1的极限由lim{h->0}（1 h）/h=1决定，很容易推导{x->0}（1 x）^{1/x}=E函数y=xlnx-x+C（x>0，C是常数）的自然对数LNX。
对数导数求导过程
对数导数求导过程一、对数导数求导过程嘿，小伙伴们！今天咱们来唠唠对数导数求导这个事儿哈。
对数函数在数学里可老重要了，那它求导呢，也有自己独特的一套办法。
咱们先从最基本的对数函数y = ln(x)说起。
求它的导数呢，其实可以用极限的定义来做。
想象一下哈，我们有个小小的增量Δx，当x变成x + Δx的时候，y就变成了ln(x + Δx)。
那这个函数的导数呢，就是当Δx趋近于0的时候，[ln(x + Δx) - ln(x)] / Δx的极限。
根据对数的运算法则，ln(x + Δx) - ln(x)可以写成ln((x + Δx) / x)，也就是ln(1 + Δx / x)。
然后再利用等价无穷小，当u趋近于0的时候，ln(1 + u)和u是等价无穷小。
这里呢，u就是Δx / x。
所以当Δx趋近于0的时候，[ln(1 + Δx / x)] / Δx就等于1 / x啦。
所以y = ln(x)的导数就是1 / x。
那要是对数函数的底数不是e呢，比如说y = logₐ(x)。
我们可以利用换底公式把它变成y = ln(x) / ln(a)。
那它的导数呢，根据除法求导的法则，(u/v)'=(u'v - uv')/(v²)。
这里u = ln(x)，u' = 1 / x，v = ln(a)，v' = 0（因为ln(a)是个常数）。
所以y'=(1 / x ln(a) - ln(x) 0)/(ln(a)²)=1/(xln(a))。
再比如说，要是对数函数里面不是单纯的x，而是一个函数u(x)呢，像y = ln(u(x))。
这时候就用到复合函数求导啦。
我们设u = u(x)，那y = ln(u)。
根据复合函数求导的法则，y'=(dy/du)(du/dx)。
dy/du = 1 / u，du/dx就是u(x)的导数。
所以y'=(1 / u(x))u'(x)。
对数求导法则
六、对数的求导法则
例1．设，其中u，ν是x的函数且均可
导，试求y的导数.
注意：这是一种特殊类型的函数，它既不是幂函数，也
不是指数函数，称为幂指函数.具体地，如
，
等都是幂指函数.求幂指函数的导数时，既不能直接利用幂函数的导数公式计算，也不能直接利用指数函数的导数公式计算。
我们可以利用对数求导法求其导数.
解：将函数式两边取自然对数，有
按隐函数求导法，上式两边对x求导数，得
即
从而有
另解：也可以将幂指数y=uν化为复合函数y=eνlnu，用复合函数的求导法则求导数.
记 u=e lnu，则 y=uν=(e lnu)ν=e vlnu
于是有 y′=（uν）′ =(eνlnu)′
＝eνlnu(νlnu)′
读者可以不必死记幂函数的导数公式，只要掌握对数求导法即可.
所谓对数求导法，就是先对所给的函数式两边取自然对数，再按隐函数的求导法则求导数.在某些情况下，利用对数求导法求导数，要比用通常的方法求导数方便一些.下面通过例题来说明这种方法.。
高三复习-对数求导公式
对数求导公式
对数求导的公式：(logax)
=1/(xlna)。
一般地，如果a（a
0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
对数函数的导数公式
一般地，如果a（a
0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
底数则要
0且≠1 真数
并且，在比较两个函数值时：
如果底数一样，真数越大，函数值越大。
（a
1时）
如果底数一样，真数越小，函数值越大。
（0
a
1时）
对数求导法对数求导法是一种求函数导数的方法。
取对数的运算可将幂函数、指数函数及幂指函数运算降格成为乘法
运算，可将乘法运算或除法运算降格为加法或减法运算，使求导运算计算量大为减少。
对数求导法应用相当广泛。
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(按隐函数求微分或导数)
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4
y (1 siБайду номын сангаас x ) ,
x
解 恒等变形得
ln y x ln(1 sin x )
根据微分法则知
1 1 dy dx ln(1 sin x ) x cos xdx y 1 sin x
因此
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7
例3 利用求导公式求 解 根据求导公式可得
的导数.
y sin x x
sin x 1
x
x
sin x
ln x sin x
sin x x sin x 1 x sin x ln x cos x
x
sin x
sin x x ln x cos x .
方法求出导数.
适用范围:
多个函数相乘和幂指函数 u( x )v ( x )的情形.
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一、幂指函数的对数求导法则 例1 解
设 y xsin x ( x 0), 求y.
等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
注 结果与例1中利用对数求导法所得完全一致.
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二、乘积形式函数的对数求导法则
乘积形式函数的求导法则：如果利用
uv uv uv
来求导，理论上是可行的，但对于比较复杂的情
形，例如
( x 1) 3 x 1 y , 2 x ( x 4) e
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14
作业
1.认真看书。
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15
1 dy y dx ln(1 sin x ) x cos xdx 1 sin x x cos x x (1 sin x ) ln(1 sin x ) dx . 1 sin x
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湘潭大学数学与计算科学学院
例6 设
求y.
解 两边取对数
a ln y x ln a [ln b ln x ] b [ln x ln a ], b
两边对 x 求导
a a b y ln , b x x y
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x
分析 要求幂指函数 f ( x )
g( x )
的微分或导数，
根据对数恒等式，先变换成
ye
或
ln f ( x )
g( x)
e g ( x )ln f ( x ) .
(按复合函数求微分或导数)
ln y ln f ( x ) g( x )ln f ( x ).
g( x )
求导法则:
y uv , 其中u u( x ), v v( x ),可用对数 对幂指函数
求导法求导: ln y v ln u,
uv 1 , y v ln u u y uv v y u v ln u . u y uv ln u v vuv 1 u.
则过程显得非常繁琐，因此也先取对数，再求导.
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例4
( x 1) 3 x 1 设 y , 求y. 2 x ( x 4) e
解 等式两边先取绝对值再取对数得
1 ln y ln x 1 ln x 1 2ln x 4 x 3 上式两边对 x求导得
解 等式两边先取绝对值再取对数得
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2
对 x 求导
1 1 y 1 1 1 , y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
1 1 1 1 . x 1 x 2 x 3 x 4
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
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( x 1)( x 2) , 求y. 例5 设 y ( x 3)( x 4)
注
按指数函数求导公式
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按幂函数求导公式
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uv ln u v vuv 1 u. y
按指数函数求导公式 幂指函数的求导公式: 将幂指函数当作幂函数求导加上将幂指函数 按幂函数求导公式
当作指数函数求导.
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1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
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例2 设 y (1 sin x ) , 则 dy _______ .
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三、小结
对数求导法则：
对方程两边取对数，按隐函数的求导法则求导. 对数求导法适用的函数类型：
1. 幂指函数；
2. 乘积形式函数.
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对数求导法的步骤: 1. 取自然对数； 2. 等式两端分别对自变量求导；
3. 等式两端再乘以y, 左端即y ( x ).
1.4.3 对数求导法
一、幂指函数的对数求导法则 二、乘积形式函数的对数求导法则 三、小结
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观察函数
( x 1)3 x 1 y , 2 x ( x 4) e
求导方法: 先在方程两边取对数,
y x
sin x
.
然后利用隐函数的求导 -----对数求导法