几何变换-第五讲图形的平移和旋转学生版

第五讲图形的平移和旋转

一、基础知识

平移、旋转是几何变换中的基本变换.如能适当的运用这些变换方法，往往可以帮助我们发现解题途径.

（一）平移法

平移法是平行移动法的简称.在解几何题时，为了寻求解题途径，可以把题目中的某些线段平移到某一适当的位置，作出辅助图形，使问题得到解决.

平移的特性是：对应线段平行且相等；对应角的两边分别平行且方向一致.

为了把题目中的某些线段能较迅速地、较合理地平移到某一适当位置，作出辅助图形，熟知一些常见的图形怎样平移是很必要的．下面几个图形是梯形中涉及腰、对角线、腰的中点等的常见的平移法．

在图13—1中，(甲)是平移腰BC到ED，（注意图中的线段ED没有画出来，请大家补上），可使梯形两腰、两底角、两底之差集中到△ADE中；(乙)是平移对角线DB到CF，可使梯形两对角线及其交角、两底之和集中到△ACF中；(丙)是平移上底DC到BM，可使梯形两底之和、一腰、一底角集中到△ADM 中，或将梯形ABCD转化成平行四边形ANQD．

（二）旋转法

将平面图形绕平面内一定点O旋转一个定角α，得到与原来图形完全一样的图形，这样的变换称为旋转变换. O点叫做旋转中心，α叫做旋转角.当α180

=︒时，称为中心对称变换.

旋转变换的主要性质有：

（1）在旋转变换下两点之间的距离不变.

（2）在旋转变换下两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角.

旋转变换一般在等腰三角形、正三角形、正多边形中应用广泛.旋转变换可以将图形中某一部分通过旋转一个定角变到一个新的位置，以实现问题条件的相对集中.

图13一11及图13一12是几种常见旋转变换的基本图形．

其中图13－11(甲)：△ABC 中，AB AC =，以A 为中心，旋转△ABP 到△ACP '，则,,,BP CP APB AP P APC APP ''∠-∠∠-∠这四个量集中到△PCP '中．

图13－11(乙)：△ABC 是正三角形，以B 为中心，旋转△ABO 到△CBP ，则,,AO BO CO 集中到△POC 中．

图13—1l(丙)：正方形ABCD 中，以B 为中心，旋转△ABP 到△CBQ ，则,,2AP CP BP 集中到△CPQ 中(旋转90︒).

图13-12：△ABD ，△ACE 都是正三角形，以A 为中心，将△DAC 逆时针旋转60︒到△BAE 的位置，,DC BE 的交角为60︒．

其实，我们常用的“中线倍长”，就是一种旋转变换（中心对称）.

二、名校真题回放

1．（101中学2005-2006学年度初二年级期中考试数学试题）已知梯形ABCD 中，AD ∥BC . （1） 若C B ∠=∠，求证：梯形ABCD 是等腰梯形； （2） 若BD AC =，求证：梯形ABCD 是等腰梯形.

2.（2006年海淀区八年级第一学期期末测评）在由边长为1㎝的小正方形组成的网格中，将曲线a 向上平移1㎝得到曲线b （如图11），则图中阴影部分的面积为多少？

3.（人大附中2005-2006学年度第一学期期中初二年级数学练习）如图，已知：,,12AB AD AE AC ==∠=∠. 求证：DE BC =．

4. （人大附中2005-2006学年度第一学期期中初二年级数学练习）如图，F E ,分别在正方形ABCD 的边BC AB ,上，1=AB ，△BEF 的周长＝2，求EDF ∠的度数.

5.（人大附中2005—2006学年度第一学期期末初二年级数学练习）如图6，△ABC 中，120BAC ∠=︒，

以BC 为边向形外作等边△BCD ．把△ABD 绕着点D 顺时针旋转60o

,到△ECD 的位置，若3,2AB AC ==，求AD 的长．

三、活题巧解 （一）平移

例1.（西安市初中数学竞赛题）如图，在等腰三角形ABC 的两腰AB ，AC 上分别取点E ，F 使AE=CF,已知BC=2,求证EF ≥1.

例2.（北京市中考模拟题）河的同侧有A,B 两个村庄,要把A 处的产品运往B 处,并规定要走a 千米的河岸路,要使路线最短,问河边码头应建何处?

A

l

B

A E

B

C F

例3.(第14届“希望杯”第一试第9题) 在Rt ABC 中,AD 是斜边BC 上的高,P,Q,R 分别是边AB,BC,CA 上的点. 求证:

AD<

1

().2

PQ QR RP ++

例4.（1999年黄冈市初二竞赛试题）六边形ABCDEF 中，AB ∥,DE BC ∥,EF CD ∥AF ，其各对边之差相等，即0BC EF ED AB AF CD -=-=->，求证：六边形ABCDEF 的各角相等.

例5.（北京市中考模拟题）求证：(2)n n ≥条直线两两相交，所得的角中至少有一个角不大于180n

︒

例6．（全国初中数学竞赛试题）如图在ABC 中,0

60,40,,BAC ACB P Q ∠=∠=分别在BC,CA 上,并且AP,BQ 分别是,BAC ABC ∠∠的角平分线. 求证:.BQ AQ AB BP +=+

A

B

P

O

Q

C C

B

Q

D R

P

A

（二）旋转

例7.（北京市中考模拟题）如图，梯形ABCD 中， AD ∥BC ，BE AE =，CD BC AD =+,求证：DCE BCE CDE ADE DE CE ∠=∠∠=∠⊥,,

例8. (第8届“希望杯”数学竞赛试题)等边ABC 的边长a

=

25123+ ,点P 是

ABC 内的一点,且

222,PA

PB PC +=若PC=5,求PA,PB 长.

例9.（全国联赛培训题）如图，已知正方形ABCD ，M 为BC 上任意一点，AN 平分DAM ∠，交DC 于N .求证：AM BM DN =+

例10.（全国联赛培训题）如图，两个正方形ABCD 与AKLM 有一个公共顶点A ,求证：这两个正方形的中心以及线段,BM DK 的中点是某个正方形的顶点.

A A

C P