利用定义求圆锥曲线轨迹方程
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y
2
2
Q
信息1 : F2 M 2a
信息2 : P为F1的中点
F1
P M
O
F2
x
例 3．如图，已知 N( 5，0)，P 是圆 M： (x＋ 5)2＋y2＝ 36(M 为圆心) 上一动点 ,线段 PN 的垂直平分线 l 交 PM 于 Q 点， (1)求点 Q 的轨迹 C 的方程； (2)若直线 y＝ x＋m 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 △AOB 面积的最大值．
在平面内 ,讨论：
(1)已知A(2,3)且 PA 3, 则点P的轨迹是什么？
圆
(2)已知ABC的一边BC的长为3, 周长为8, 则顶点A的 轨迹是什么？ 椭圆
除去长轴两端点
( 3)若A(1,0), B(5,0), 且 MA MB 4, 则点M的轨迹是 什么？
双曲线的右支
(4)过点(2,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨 迹是什么？
又 M(－ 5， 0)， N( 5， 0)， |MN|＝ 2 5<6， ∴点 Q 在以 M、 N 为焦点的椭圆上 , 且 2c＝ 2 5,2a＝ 6， ∴ a＝ 3， c＝ 5， b2＝ 4， x2 y2 ∴点 Q 的轨迹 C 的方程为 ＋ ＝ 1. 9 4
解 (1)连结 QN，由题意知： |PQ|＝|QN|，|QM|＋|QP|＝|MP|， ∴|QM|＋|QN|＝|MP|， ∴|MP|＝6，∴|QM|＋|QN|＝6，
y
M
Q
信息1 : F1 M 2a
P F2 x
信息2 : P为MF2的中点
F1
O
x y 变题2 :已知双曲线的方程为 2 2 1(a 0, a b b 0), F1 , F2分别为左右焦点 , Q是双曲线上任意 一点, 从左焦点F1作F1QF2平分线的垂线, 垂足 为P , 求点P的轨迹方程.
2a F1 F2
__________ ________ 双曲线 : 平面内与两定点F1 , F2的距离的差的绝对值
PF1 PF2 2a (2a F1 F2 )
2a F1 F2
相等 ______ 抛物线 :平面内与一定点F和一条定直线的距离
的点的轨迹.
PF d p （点F不在l上）
P
O1
O2
所以，动圆心的轨迹是以 x O1、O2为焦点，2a=12的 椭圆
四 定 范 围
三 定 方 程
二 定 位
一 定 型
椭圆: 平面内与两定点F1 , F2的 ________ 距离和 等于 _________ 常数2a
的点的轨迹.
PF1 PF2 2a (2a F1 F2 )
常数2a 的点的轨迹. 等于 __________
圆锥曲线专题复习1
“定义法”求轨迹方 程
例1.一 动 圆 与 圆 O1 : ( x 3)2 y 2 4外 切,同 时 与 圆 O2 : ( x 3)2 y 2 100 内 切,求 动 圆 圆 心 的 轨 迹 。
PO1 2 R
y
PO2 10 R
PO1 PO2 12 O1O2 6
x2 y2 变 题1 :已 知 椭 圆 的 方 程 为2 2 1(a b 0), a b F1 , F2分 别 为 左 右 焦 点 , Q是 椭 圆 上 任 意 一 点 ,从 右焦点 F2作F1QF2外 角 平 分 线 的 垂 线 ,垂 足 为 P ,求 点P的 轨 迹 方 程 .
而|MP|为圆(x＋ 5)2＋y2＝36 的半径，
小结
射线
椭圆 双曲线
一定型
抛物线
二定位
定义法求轨迹
圆
三定方程
四定范围
抛物线
(2002年全国） 例2：已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的 一个动点，如果延长F1P到Q，使得 | PQ |=| PF2 | ， 那么动点Q的轨迹是（ ） （A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）抛物线 Q y
P A
信息1 : PQ PF2
F2 x
F1
O
信息2 : PF1 PF2 2a
2
2
Q
信息1 : F2 M 2a
信息2 : P为F1的中点
F1
P M
O
F2
x
例 3．如图，已知 N( 5，0)，P 是圆 M： (x＋ 5)2＋y2＝ 36(M 为圆心) 上一动点 ,线段 PN 的垂直平分线 l 交 PM 于 Q 点， (1)求点 Q 的轨迹 C 的方程； (2)若直线 y＝ x＋m 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 △AOB 面积的最大值．
在平面内 ,讨论：
(1)已知A(2,3)且 PA 3, 则点P的轨迹是什么？
圆
(2)已知ABC的一边BC的长为3, 周长为8, 则顶点A的 轨迹是什么？ 椭圆
除去长轴两端点
( 3)若A(1,0), B(5,0), 且 MA MB 4, 则点M的轨迹是 什么？
双曲线的右支
(4)过点(2,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨 迹是什么？
又 M(－ 5， 0)， N( 5， 0)， |MN|＝ 2 5<6， ∴点 Q 在以 M、 N 为焦点的椭圆上 , 且 2c＝ 2 5,2a＝ 6， ∴ a＝ 3， c＝ 5， b2＝ 4， x2 y2 ∴点 Q 的轨迹 C 的方程为 ＋ ＝ 1. 9 4
解 (1)连结 QN，由题意知： |PQ|＝|QN|，|QM|＋|QP|＝|MP|， ∴|QM|＋|QN|＝|MP|， ∴|MP|＝6，∴|QM|＋|QN|＝6，
y
M
Q
信息1 : F1 M 2a
P F2 x
信息2 : P为MF2的中点
F1
O
x y 变题2 :已知双曲线的方程为 2 2 1(a 0, a b b 0), F1 , F2分别为左右焦点 , Q是双曲线上任意 一点, 从左焦点F1作F1QF2平分线的垂线, 垂足 为P , 求点P的轨迹方程.
2a F1 F2
__________ ________ 双曲线 : 平面内与两定点F1 , F2的距离的差的绝对值
PF1 PF2 2a (2a F1 F2 )
2a F1 F2
相等 ______ 抛物线 :平面内与一定点F和一条定直线的距离
的点的轨迹.
PF d p （点F不在l上）
P
O1
O2
所以，动圆心的轨迹是以 x O1、O2为焦点，2a=12的 椭圆
四 定 范 围
三 定 方 程
二 定 位
一 定 型
椭圆: 平面内与两定点F1 , F2的 ________ 距离和 等于 _________ 常数2a
的点的轨迹.
PF1 PF2 2a (2a F1 F2 )
常数2a 的点的轨迹. 等于 __________
圆锥曲线专题复习1
“定义法”求轨迹方 程
例1.一 动 圆 与 圆 O1 : ( x 3)2 y 2 4外 切,同 时 与 圆 O2 : ( x 3)2 y 2 100 内 切,求 动 圆 圆 心 的 轨 迹 。
PO1 2 R
y
PO2 10 R
PO1 PO2 12 O1O2 6
x2 y2 变 题1 :已 知 椭 圆 的 方 程 为2 2 1(a b 0), a b F1 , F2分 别 为 左 右 焦 点 , Q是 椭 圆 上 任 意 一 点 ,从 右焦点 F2作F1QF2外 角 平 分 线 的 垂 线 ,垂 足 为 P ,求 点P的 轨 迹 方 程 .
而|MP|为圆(x＋ 5)2＋y2＝36 的半径，
小结
射线
椭圆 双曲线
一定型
抛物线
二定位
定义法求轨迹
圆
三定方程
四定范围
抛物线
(2002年全国） 例2：已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的 一个动点，如果延长F1P到Q，使得 | PQ |=| PF2 | ， 那么动点Q的轨迹是（ ） （A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）抛物线 Q y
P A
信息1 : PQ PF2
F2 x
F1
O
信息2 : PF1 PF2 2a