北师大版必修4高中数学第二章《平面向量》ppt课件

【规范解答】选D.非零向量满足
(
uuur AB uuur

uuur AC uuur
uur )gBC
0，
AB AC
即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC，
uuur uuur
又
cos
A
AB uuur
g
AC uuur
1，
AB AC 2
A 所以，△ABC为等边三角形.
3
1.已知
r
r
a 3,2，b 1,0,
共线
r
【解析】选A. Q a
r rr rr b ,(a b)g a b
r2 r2 a b 0
∴向量
r a
+与br
垂ar -b直r .
4.如图，在△ABC中，AD⊥AB，BuuCr
uuur 3BD
uuur ，AD
1，则
uuur uuur AC AD
=( )
(A) 2 3

uuur 2AO

2
Auu∴Bur (BAu)u对Fr ,;
设
uuur AB
则1,
uuur uuur ACgAD
3 2 cos 3,
而
uuur uuur ADgAB

21∴c(oCs )错;1,
6
3
又
uuur uur ADgAF
uur EF （21 cos
向量的有关概念 1.数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大 小；向量包含大小和方向两个要素，具有双重性，不能比较 大小.
行；
1. 的方向0r 具有任意性，且 与任一0r向量平
2.单位向量不一定相等；
3.向量可以借助有向线段来表示，但有向线段不是向量.
【例1】如图所示，△ABC的三边均不
）EuuFr

uur EF,
uuur uur uur uuur AD(AFgEF) AD(1 cos
3 2)


1
uuur AD

1
uuur DA

uur EF.
32
2

uuur uur ADgAF
uur EF

Auu∴Dur ((AuDuFr)g对EuuFr ),
∴真命题的代号是(A)，(B)，(D)
数量积的运算
数量积的运算是向量运算的核心，利用向量的数量积可以解
决以下问题：
1.设
r a


x1,
y1
r
，b

x
2
,
y2
，
2.求向量的模及夹角问题
(1)设
r a


x,
y
，则
r a
2

x2

y2
或
r a

x2 y2
(2)两向量夹角的余弦(0≤θ ≤π )
rr
cos
agb rr
(3)与 EuuFr相等的向量有：
uuur uuur DB，CD.
向量的线性运算
1.向量的线性运算包括向量的加法、减法及数乘，其中向量 的加法、减法的几何意义是向量进行线性运算的考查前提和 基础，学习时务必掌握好三角形法则和平行四边形法则. 2.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解 的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面 几何中的共线问题、共点问题.
2.向量共线与几何图形中平行的区别与联系 (1)向量的平行或共线指的是表示两个向量的有向线段所在的 直线平行或重合，因此向量中的共线与平行是同一概念. (2)平面几何中的“共线”、“平行”具有不同的含义.共线 指的是三个及三个以上的点在同一直线上，而平行的直线或 线段一定不会重合.
(3)在平面几何中“平行”具有传递性，而在平面向量中，平
5.已知
ar，br 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量
r c
满足
r r r r
a c g b c 0,
则
|
r c
|
的最大值是(
)
(A)1
(B)2
(C) 2
【解析】选C.
Q
r a

r b
rr =1,agb 0,
(D) 2
2
展开
rr rr ac gbc
∴EF∥BC，且 EF 1 BC.
2
又D是BC的中点，
∴EF=BD=DC.
(1)与 EuuFr共线的向量有：
uur uuur uuur uuur uuur uur uur FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB.
(2)与 EuuF的r 模相等的向量有：
uur uuur uuur uuur uuur FE，BD，DB，DC，CD.

x,
2
,
(1)当
rr a 2b
与
r 2a

r b
平行时，求x的值；
(2)当 a 与 b 夹角为锐角时，求x的范围.
【审题指导】先求出
r a

2及br
2的ar 坐br标，利用向量平行
的条件求x的值； a与 夹b 角为锐角，则cos θ ＞0但要排除
a与 共b 线同向的特殊情况.
【规范解答】(1)由题意得：ar
1.在向量的线性运算中，不共线向量都可以采用三角 形法则——首尾相接的方式求解. 2.在向量的表示中,基底的选取直接影响运算的繁简.
【例2】如图，O是平行四边形ABCD外一点，用
uuur uuur uuur OA、OB、OC
表示
uuur OD
．
【审题指导】本题考查向量的线性表示，求解时立足向量的 平行四边形法则和三角形法则.
7
2.(2011·江门模拟)设向量
r a


1,
2
,
r b

1,
3，
下列结论中，
正确的是( )
rr
Aa Pb
r r r
Ca P a b
rr
Ba b
r rr
Da (a b)
【解析】选D.
Q
r a


1,
2
,
r b

r
1,3，(a

r b)

r a
ur r 2 -
展开得: ur gr 故 0，
ur r .
10.已知
r a
r 1，b

2,
(1)若
a 与 b 的夹角为
，求
3
rr a+b ；
(2)若
rr a-b
与
a 垂直，求 a
与
b 的夹角.
【解析】(1)
|
rr a+b
|2

r2 a

rr 2a b

r2 b
＝1＋2 1 2 cos ＋2＝3＋ 2. 3
相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的
中点.
(1)写出与
uur EF
共线的向量；
(2)写出与
uur EF
的模相等的向量；
(3)写出与
uur EF
相等的向量.
【审题指导】本题考查平面向量的有关概念——共线向量、
相等向量及模，求解时可借助平面几何的有关知识，并借助
上述概念求解.
【规范解答】∵E、F分别是AC、AB的中点，

a gb
x1x2 y1y2
x12 y12
x
2 2

y
2 2
(1) 是两ar 个gbr 向量的数量积，书写时要严格注意 “·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用 “×”代替； (2)向量共线与垂直的坐标表示要分清.
【例3】(2011·东台高一检测)已知
r a


2,3,
r b

向量
r a

r b
与
r a

r 2b
垂直，则实
数λ 的值为( )
(A)- 1
(B) 1
(C)- 1
(D) 1
7
7
6
6
【解析】选A.向量
r a

r
r
b＝－3－1，2，a
r
2b＝－1, 2 ，
因为两个向量垂直，故有(－3λ－1，2λ)·(－1,2)＝0，即
3λ＋1＋4λ＝0，解得： ＝ 1 .
uuur uur uur uuur uur uur
D ADgAF EF AD(AFgEF)
其中真命题的代号是_____________(写出所有真命题的代 号)．
【解析】AuuCur

uur AF

uuur AC

uuur CD
∴Au(uADur)对2;BuuCr ,
取AD的中点O,则AuuDur

0,
r r r
a b a.
3．(2011·哈尔滨高一检测)已知向量
rr a、b
不共线，
且
r a

r b
，则下列结论中正确的是(
)
(A)向量
r a
r +b
与
rr a-b
垂直
(B)向量
r a
r +b
与
rr a-b
共线
(C)向量
rr a+b
与
r a
垂直
(D)向量
rr a+b
与
r a
uur )gBC

0,
uuur uuur
AB AC
且
AB uuur
g
AC uuur
ຫໍສະໝຸດ Baidu

1 ，则△ABC为(
)
AB AC 2
(A)三边均不相等的三角形
(B)直角三角形
(C)等腰非等边三角形
(D)等边三角形
uuur
【审题指导】明确 AuuBu及r
AB
uuur
的AuuC含ur 义，结合向量的平行四
AC
边形法则及数量积的定义对三角形的形状作出判断.

uuur mDA

uuur nDC,
求实数m,n.
【解析】(1)由题意可知
r rr r (a 2b)g(b kc) 0
即(10,-1)·(3+k,-1+2k)=0
∴30+10k+1-2k=0
k 31. 8
(2)
uuur BD
uur uuur
uuur
BC CD 2,3，DB 2，3.
【规范解答】∵四边形ABCD是平行四边形，设其对角线AC、
BD相交于点E,由向量加法的平行四边形法则,可知
uuur uuur uur uuur uuur uur OA OC 2OE，OB OD 2OE
uuur uuur uuur uuur OA OC OB OD
uuur uuur uuur uuur OD OA OC OB
(B) 3
2
(C) 3
(D) 3
3
【解析】选D.
uuur uuur ACgAD

uuur (AB

uur uuur BC)gAD

uuur uuur ABgAD

uur uuur BCgAD
uuur uuur
0 3BDgAD
uuur uuur uuur
uuur 2
0 3(BA AD)gAD 3gAD 3

uuur AB

BuuCr，则λ
+μ
=_______________.
【解析】AB=2,BC=3，∠ABC=60°
所以BH=1，
M为AH的中点，所以AuuMur

1
uuur AH
2
1
uuur uuur AB BH

1（AuuBur

1
uur BC）
1
uuur AB

1
uur BC
r rrr r r r 0 | c |2 cg(a+b) | c |ga b cos ,
r c

rr a+b
cos
则
2的cos最大，值是cr
.
2
6.(2011·锦州高一检测)如图，在△ABC中，已知AB=2，BC=3，
∠ABC=60°，AH⊥BC于H，M为AH的中点，若
uuur AM
n
,
解得 m 1 ,n 1.
2
9.若非零向量
ur r ,
满足
ur r +

ur r -
，证明:
ur r .
【解题提示】只须证明
ur r g 0.
【证明】由
ur r ur r + -
得:
ur r 2 ur r 2 ur r 2 + - +
答案：(A)，(B)，(D)
8.(2011·济南高一检测)在 ABCD中，向量
r uuur
r uur
r uuur
a AB 4,1，b BC 3, 1，c CD (1, 2)
(1)若向量
r (a

2br )与向量
r (b

kcr )垂直，求实数k的值;
(2)若
uuur DB
2
2
3
26
1, 1 1 1 2
26
26 3
答案：2
3
7.如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：
uuur uur uur
AAC AF 2BC
uuur uuur uur
BAD 2AB 2AF
uuur uuur uuur uuur
CACgAD ADgAB

r 2b


2

2x,
1,
r 2a

r b


4

x,8.
由
r a

2与br
2平ar 行br得：
(2-2x)·8-(-1)·(4+x)=0, x 4 .
3
(2)由题意得：
rr
agb＞0 r r
即
，
a与b不共线
24x3x6＞00，
∴x＞-3且 x 4 .
3
向量的应用 1.向量的应用
行不一定具有传递性.如
r rr r 0Pa,0 Pb,
且
rr a,b
均为非零向量，则
r a
不一定平行于
r b
,若
r a
P
br，br Pcr，但
rrr a, b, c
均为非零向量，则必
有
rr a Pc.
【例4】在△ABC中，已知向量 AB与AC
满足 (
uuur AB uuur

uuur AC uuur
uuur uuur uur uuur
uuur
AD AB BC CD 6, 2,DA (6,2)
又
uuur DC

(1, 2)
uuur uuur uuur Q DB mDA nDC
∴(-2,3)=m(-6,2)+n(1,2)
∴
2 6m 3 2m 2n